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命题点8 平面解析几何 ２ ９９
命题点 8 平面解析几何
M"A
直线与圆是解析几何的基础，考查重点是直线及其位置关系、直线与圆、圆与圆的位置关系，一般以选择题、填空题的形式呈
现，有时也可能在解答题中与圆锥曲线相结合考查直线方程的求解、直线与圆锥曲线的综合、圆与圆锥曲线的综合．
圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，也是高考考查的重点，主要是应用方程思想求解直线与圆锥曲线的综合问题，考查在
代数运算中，灵活运用设而不求的方法解决问题的能力．
命题方向：
．以直线与圆的几何度量（弦长和距离）、圆与圆的几何度量（公共弦与公切线方程等）为考查重点，同时也可以与其他知识
１
（如不等式、圆锥曲线、函数等）综合，以小题为主，难度中等．
．以圆锥曲线为载体，针对圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质及其应用，考查圆锥曲线方程的求解、直线与圆锥
２
曲线的位置关系等问题，各种题型都可能出现，解答题一般与函数、不等式、平面向量等知识构成综合问题，在知识的交汇处命
题，注重对数学思想方法和逻辑推理、数学运算等核心素养的考查，难度较大．
预测探究
识透高频考点 综合能力考查 以抛物线为载体，考查圆锥曲线中的定值问
题；利用内切圆的性质及相关知识，求圆的方程；考查运算求
１．（多选）（ 湖南衡阳第二次联考， ）已知圆Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｐ
２０２４ １０ ： ＋ ＝４，
解、逻辑推理等能力
是直线ｌ ｘ ｙ 上一动点 过点Ｐ作直线ＰＡ ＰＢ分别与圆
： ＋ －６＝０ ， ，
解析 证明 设直线 ＡＢ 的方程为 ｘ ｍｙ ｔ ｍ
Ｃ相切于点Ａ Ｂ 则 ＢＣＤ （１） ： ＝ ＋ （ ＞０），
， ， （ ）
Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则Ｃ ｘ ｙ Ｍ ｔ
圆Ｃ上恰有一个点到ｌ的距离为 （ １， １）， （ ２， ２）， （ １，－ １）， （ ，０），
Ａ． ２ ２ {ｘ ｍｙ ｔ
Ｂ． 直线ＡＢ恒过点
(
２ ， ２
) 联立
ｙ２
＝
ｘ
＋，消去ｘ得ｙ２
－４
ｍｙ
－４
ｔ
＝０，
３ ３ ＝４ ，
由Δ ｍ２ ｔ 得ｍ２ ｔ
＝１６（ ＋）＞０， ＋ ＞０，
ＡＢ 的最小值是４ ７
Ｃ．｜ ｜ 由根与系数的关系得ｙ ｙ ｍ ｙ ｙ ｔ．
３ １＋ ２＝４ ， １ ２＝－４
Ｄ． 四边形ＡＣＢＰ面积的最小值为 ２ １４ 直线ＢＣ 的方程为 ｙ ｙ ｙ ２＋ ｙ １ ｘ ｘ 化简得 ｙ ４ ｘ
２．（多选）（ 湖南长沙长郡中学测试， ）设 Ｆ Ｆ 为椭圆 ＋ １ ＝ｘ ２－ ｘ １ （ － １）， ＝ｙ ２－ ｙ １
２０２４ １１ １， ２ ｙ ｙ
ｘ２ ｙ２ １ ２
Ｃ 的两个焦点 Ｐ ｘ ｙ 为Ｃ上一点且在第一象限 －ｙ ｙ ，
： ＋ ＝１ ， （ ０， ０） ， ２－ １
２５ １６
ｙ ｙ
Ｉ ｘ ｙ 为 Ｆ ＰＦ 的内心 且 Ｆ ＰＦ 内切圆半径为 则 令ｙ 得ｘ １ ２ ｔ 所以Ｑ ｔ
（ １， １） △ １ ２ ， △ １ ２ １， ＝０， Ｑ＝ ＝－， （－，０），
ＡＢＤ ４
（ ） ＯＭ ｔ
因此｜ ｜ ｜ ｜ ．
ＯＱ ＝ ｔ ＝１
ＩＰ ｘ ５ ５ ｜ ｜ ｜－ ｜
Ａ．｜ ｜＝ ５ Ｂ． ０＝
３ 因为点Ｑ的横坐标为 所以由 可知Ｑ Ｍ
（２） －１， （１） （－１，０）， （１，
ｘ ｋ ｋ １
Ｃ． １＝２ Ｄ． ＩＦ １· ＩＦ ２ ＝－ ０），
４ Z
ｘ２ ｙ２ "
３．（ 江苏南京、盐城二模， ）设双曲线Ｃ ａ ｂ
２０２４ １３ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０，
的一个焦点为Ｆ 过Ｆ作一条渐近线的垂线 垂足为Ｅ．若 2
＞０） ， ， 0
. Y
线段ＥＦ的中点在Ｃ上 则Ｃ的离心率为 ．
， ２ #
４．（ 浙江丽水、湖州、衢州二模， ）已知抛物线Ｅ ｙ２ ｘ $
２０２４ １８ ： ＝４ ，
点Ａ Ｂ Ｃ在抛物线Ｅ上 且Ａ在ｘ轴上方 Ｂ和Ｃ在ｘ轴下方
， ， ， ， 因为Ａ Ｃ关于ｘ轴对称 所以ｘ轴是 ＡＱＢ的平分线所在直
Ｂ在Ｃ左侧 Ａ Ｃ关于ｘ轴对称 直线ＡＢ交ｘ轴于点Ｍ 延 ， ， ∠
（ ）， ， ， ， 线 所以 ＡＱＢ的内切圆圆心在 ｘ 轴上 故设圆心为Ｔ ｓ
长线段ＣＢ交ｘ轴于点Ｑ 连接ＱＡ． ， △ ， （ ，０）
， ｓ
ＯＭ （－１＜ ＜１），
（１）
证明
：
｜
｜ ＯＱ ｜
｜为定值
（
Ｏ为坐标原点
）；
由
（１）
知ｙ
１
ｙ
２＝－４，
ｘ
１＋
ｘ
２＝
ｍｙ
１＋１＋
ｍｙ
２＋１＝
ｍ
（
ｙ
１＋
ｙ
２）＋２＝４
ｍ２
ｙ２ ｙ２
若点Ｑ的横坐标为 且Ｍ→Ｂ Ｍ→Ｃ ８ 求 ＡＱＢ的内切 ｘ ｘ １ ２ 又Ｍ→Ｂ ｘ ｙ Ｍ→Ｃ ｘ ｙ
（２） －１， · ＝ ， △ ＋２， １ ２＝ · ＝１， ＝（ ２－１， ２）， ＝（ １－１，－ １），
９ ４ ４
圆的方程． 则Ｍ→Ｂ Ｍ→Ｃ ｘ ｘ ｙ ｙ ｘ ｘ ｘ ｘ
· ＝（ ２－１）（ １－１）－ １ ２＝ １ ２－（ １＋ ２）＋１＋４＝４
３ ００ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
－４ｍ２ ｃ
， 又因为ｅ １ ｃ ａ２ ｂ２ ａ ｂ
＝ ａ ＝ ， ＝ － ， ＞ ＞０，
２
故
４－４
ｍ２
＝
８
，
结合ｍ
＞０，
得ｍ
＝
７．
ｘ２ ｙ２
９ ３ 所以ａ ｂ ｃ 所以Ｅ的方程为 ．
＝２， ＝ ３， ＝１， ＋ ＝１
所以直线ＡＢ的方程为 ｘ ｙ ４ ３
３ － ７ －３＝０， 存在ａ 使得点Ａ 都在Ｅ上．理由如下
{ ｘ ｙ （２） １＝２， ｎ ：
联立 ３
ｙ２ ＝
＝
４ ｘ
７
，
＋３，消去ｘ
，
整理得
，３
ｙ２
－４ ７
ｙ
－１２＝０， 因为ａ ｎ ＋１＝ ａ ｎ， 所以ａ ｎ＝ ａ １， 因为ｂ ｎ ＋１＝
ｃ
ｎ＋
ａ
ｎ ， ｃ ｎ ＋１＝
ｂ
ｎ＋
ａ
ｎ ，
２ ２
æ ö
解得Ａç２３＋８ ７ ２ ７＋８÷ 又Ｑ 所以ｂ ｃ １ ｂ ｃ ａ 即ｂ ｃ １ ｂ ｃ ａ
è ， ø， （－１，０）， ｎ ＋１＋ ｎ ＋１＝ （ ｎ＋ ｎ）＋ ｎ， ｎ ＋１＋ ｎ ＋１＝ （ ｎ＋ ｎ）＋ １，
９ ３ ２ ２
２ ７＋８ 所以ｂ ｃ ａ １ ｂ ｃ ａ
ｎ ＋１＋ ｎ ＋１－２ １＝ （ ｎ＋ ｎ－２ １），
所以直线ＡＱ的方程为ｙ ３ ｘ 化简整理得 ｘ ２
＝ （ ＋１）， ３ － 又因为ｂ ｃ ａ 所以ｂ ｃ ａ 所以ｂ ｃ ａ 即
２３＋８ ７ １＋ １＝２ １， １＋ １－２ １＝０， ｎ＋ ｎ－２ １＝０，
＋１ ｂ ｃ ａ 所以Ａ Ｃ Ａ Ｂ ａ ａ Ｂ Ｃ
９ ｎ＋ ｎ＝２ １， ｎ ｎ＋ ｎ ｎ＝２ １＞ １＝ ｎ ｎ，
４ ｙ ＋３＝０， 所以点Ａ ｎ 在以Ｂ ｎ， Ｃ ｎ 为焦点 ，２ ａ １ 为长轴长的椭圆上 ，
因为圆心Ｔ到直线ＡＢ和直线ＡＱ的距离相等 又因为Ｅ的焦点为 长轴长为 点Ｂ Ｃ 在ｘ轴上且
， （±１，０）， ４， ｎ， ｎ
ｓ ｓ 关于原点对称
所以｜３ ＋３｜ ｜３ －３｜ 因为 ｓ 解得ｓ １ ，
＝ ， －１＜ ＜１， ＝ ，
５ ４ ９ { ａ
ｓ 所以点Ａ 都在椭圆Ｅ上 ２ １＝４， ａ
故圆Ｔ的半径ｒ ３ ＋３ ２ ｎ ⇔ Ｂ Ｃ ａ ⇔ １＝２，
＝
５
＝
３
， ｎ ｎ＝ １＝２
因此圆Ｔ的方程为
(
ｘ １
) ２
ｙ２ ４ ．
所以存在ａ １＝２， 使得点Ａ ｎ 都在Ｅ上．
－ ＋ ＝
９ ９ 参透创新情境
悟透新型考法 （ 江苏苏锡常镇 月调研， ）三等分角是古希腊几何尺规
２０２４ ５ １８
ｙ ｙ 作图的三大问题之一 如今数学上已经证明三等分任意角是尺
１．（ 安徽皖北五校联考， ）已知实数ｘ ｙ满足ｘ ｘ ｜ ｜ ，
２０２４ ８ ， ｜ ｜＋ ＝ 规作图不可能问题 如果不局限于尺规 三等分任意角是可能
３ ， ，
则 ｘ ｙ 的取值范围是 Ｂ 的．下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法 已知角α
１， ｜ ３ ＋ －４｜ （ ） ：
α 的顶点为Ａ 在α的两边上截取 ＡＢ ＡＣ 连接ＢＣ
Ａ．［４－ ６，２） Ｂ．［４－ ６，４） （０＜ ＜π） ， ｜ ｜＝｜ ｜， ，
é ö é ö 在线段ＢＣ上取一点Ｏ 使得 ＢＯ ＣＯ 记ＢＯ的中点为Ｄ
êê ６ ÷ êê ６ ÷ ， ｜ ｜＝２｜ ｜， ，
Ｃ．ë２－ ，２ø Ｄ．ë２－ ，４ø 以Ｏ为中心 Ｃ Ｄ为顶点作离心率为 的双曲线Ｍ 以Ａ为圆
２ ２ ， ， ２ ，
２．（ 浙江温州第三次适应性考试， ）过抛物线ｙ２ ｐｘ 心 ＡＢ 为半径作圆 与双曲线 Ｍ 左支交于点 Ｅ 射线 ＡＥ 在
２０２４ １４ ＝２ （０＜ ， ， （
ｐ 焦点Ｆ的直线ｌ交抛物线于Ａ Ｂ两点 点Ｍ 沿ｘ
＜２） ， ， （１，０）， ＢＡＣ内部 则 ＢＡＥ １ ＢＡＣ．在上述作法中 以Ｏ为原点
轴将坐标系翻折成直二面角 当三棱锥Ａ ＦＭＢ体积最大时 ｐ ∠ ）， ∠ ＝ ∠ ， ，
， － ， ３
直线ＢＣ为ｘ轴建立如图所示的平面直角坐标系 若Ｂ
４ ． ， （－２，０），
＝ 点Ａ在ｘ轴的上方．
３
３．（ 福建漳州四检， ）已知椭圆Ｅ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的 （１）
求双曲线Ｍ的方程．
２０２４ １７ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
若过点Ａ且与ｘ轴垂直的直线交ｘ轴于点Ｇ 点Ｅ到直线
( ) ( ) （２） ，
离心率为 １ 点Ａ ３ Ｂ ３ Ｃ 中恰有两个 ＡＧ的距离为ｄ．
， １， ， １，－ ， （－１，２）
２ ２ ２ ＢＥ
点在Ｅ上． 证明 ｜ ｜为定值
：① ｄ ；
求Ｅ的方程
（１） ；
ＢＡＥ １ ＢＡＣ．
（２） 设ｎ ∈ Ｎ ，△ Ａ ｎ Ｂ ｎ Ｃ ｎ 的内角Ａ ｎ， Ｂ ｎ， Ｃ ｎ 的对边分别为ａ ｎ， ②∠ ＝ ３ ∠
ｃ ａ ｂ ａ Z
ｂ ｃ ｂ ｃ ａ ａ ａ ｂ ｎ＋ ｎ ｃ ｎ＋ ｎ．若点Ｂ Ｃ
ｎ， ｎ， １＋ １＝２ １， ｎ ＋１＝ ｎ， ｎ ＋１＝
２
， ｎ ＋１＝
２
ｎ， ｎ
"
在ｘ轴上且关于原点对称 问 是否存在ａ 使得点Ａ 都在Ｅ
， ： １， ｎ
上 若存在 请求出ａ 若不存在 请说明理由． % $
新 ， 型考法 利 ， 用椭圆的 １， 定义探究存 ， 在性问题 # & 0 Y
( ) ( )
解析 因为Ａ ３ 与Ｂ ３ 关于ｘ轴对称 Ｅ也
（１） １， １，－ ，
２ ２
创新情境 以三等分角为背景，以双曲线为载体，考查圆锥曲线
关于ｘ轴对称 Ａ Ｂ Ｃ中恰有两个点在Ｅ上 所以Ａ Ｂ 在 Ｅ
， ， ， ， ，
的综合问题
９
ｘ２ ｙ２
上 Ｃ不在Ｅ上 所以 １ ４ 解析 设双曲线Ｍ的方程为 ａ ｂ
， ， ａ２ ＋ｂ２ ＝１， （１） ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０），
命题点8 平面解析几何 ３ ０１
由 ＢＯ ＣＯ 及Ｂ
｜ ｜＝２｜ ｜ （－２，０）， １ ＢＥ
｜ ｜ ｄ
可得Ｃ 所以ａ 所以 １ ＢＡＥ ２ ＥＡＧ
（１，０）， ＝１， ｓｉｎ ∠ ＝ ＡＥ ，ｓｉｎ∠ ＝ ＡＥ ，
因为双曲线Ｍ的离心率为 ２ ｜ ｜ ｜ ｜
２， ＢＥ
所以
ａ２
＋
ｂ２
１＋
ｂ２
解得ｂ２
因为｜
ｄ
｜
＝２，
ａ２ ＝ ＝４， ＝３，
１
所以双曲线Ｍ的方程为ｘ２
－
ｙ２
＝１
．
所以
ｓｉｎ
１
２
∠
ＢＡＥ
＝ｓｉｎ∠
ＥＡＧ
，
３ 又 ＢＡＥ ＥＡＧ都是锐角
证明 因为 ＡＢ ＡＣ Ｂ Ｃ ∠ ，∠ ，
（２） ：① ｜ ｜＝｜ ｜， （－２，０）， （１，０），
所以 １ ＢＡＥ ＥＡＧ
所以直线ＡＧ的方程为ｘ １ ∠ ＝∠ ，
＝－ ， ２
２ 所以 ＢＡＣ ＢＡＧ ＢＡＥ ＥＡＧ ＢＡＥ
设Ｅ ｘ ｙ ｘ ∠ ＝２∠ ＝２（∠ ＋∠ ）＝３∠ ，
（ ０， ０）（ ０≤－１），
ｙ２ 所以
∠
ＢＡＥ
＝
１
∠
ＢＡＣ．
则ｘ２ ０ ｙ２ ｘ２ ３
０－ ＝１， ０＝３ ０－３，
３ Z
所以ｄ １ ｘ ｘ １ "
＝ － － ０ ＝－ ０－ ，
２ ２
又 ＢＥ ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｘ２ ｘ ２ ｘ % ( $
｜ ｜＝ （ ０＋２） ＋ ０ ＝ （ ０＋２） ＋３ ０－３＝ （２ ０＋１） ＝－２ ０ # & 0 Y
ＢＥ
所以｜ ｜ 为定值．
－１， ｄ ＝２，
连接ＢＥ 因为 ＡＢ ＡＥ
② ， ｜ ｜＝｜ ｜，
