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1.3 解三角形
目录
题型一：射影定理的应用........................................................................1
题型二：三角形中的面积、周长范围问题............................................2
题型三：三角形中的其它范围问题........................................................3
题型四：解三角形的应用........................................................................4
题型五：三角形的内切圆相关问题........................................................6
题型六： 三角与圆锥曲线的结合..........................................................7
多选题专练................................................................................................8
综合训练....................................................................................................8
题型一：射影定理的应用
1．在
中，
（
，
，分别为角
，
，
的对边），则
是
（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
2．
外接圆半径为2，三个角
的对边分别为
，若
，
且
，则
.
3．在锐角
中，
分别是角
的对边，且
，则
的最小值是 ．
4．在
中，角
对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
边上的高.
题型二：三角形中的面积、周长范围问题
1．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长.
2．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
.
(1)求角
；
(2)若
为锐角三角形，求
的周长的取值范围.
3．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
(1)求A；
(2)若
是锐角三角形，
，求
面积的取值范围.
4．如图，在平面四边形ABCD 中，
．
(1)若
，求四边形
的面积；
(2)求四边形
面积的最大值．
题型三：三角形中的其它范围问题
1．在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，若设
，
，若
，则
的最大值为 ．
2．在
中，内角
所对的边分别为
，该三角形面积大小记为，则
的最大值为 .
3．已知
的面积为1，边
上的中线为
，且
，则边
的最小
值为 .
4．记锐角
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
．
(1)求B；
(2)若
，求
的取值范围．
5．在
中，内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，记
边上的高为，求的最大值．
题型四：解三角形的应用
1．如图所示，为测量一棵树
的高度，在地面上选取A，B 两点（A，B，H 三点共线），
从A，B 两点分别测得树尖P 的仰角为
，
，且A，B 两点之间的距离为
，则树
的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．为了测量某古塔（点
为塔顶，点
为
在地平面上的射影）的高度，小张遥控无人机
从地平面垂直向上飞行10 米后，无人机悬停在古塔外面的
处进行拍摄，拍到观测塔顶
的仰角为
，然后小张遥控无人机朝着水平方向（即垂直于直线
的方向）沿直线飞行
6 米到达
处，且
距离
比
距离
更远（
四点共面），最后小张遥控无人机
沿着直线朝着塔顶
飞了14 米恰好到达塔顶
.若将无人机视为质点，则该古塔的高度约
为（ ）
A．16.6 米
B．17.3 米
C．18.7 米
D．19.2 米
3．目前世界最大跨度斜拉桥——中国常泰长江大桥（如图（1））于2025 年9 月9 日正式
通车，这种桥体可减小梁体内弯矩，减轻结构重量，节省材料.如图（2）为一座斜拉桥的
设计方案图，AB 为主梁，CD 为索塔，且CD 垂直平分AB，AC，EC 为两条斜拉索，若
，
，
，
，且
，则索塔CD 最高为 m.
4．如图，为了测量河对岸的塔高
，可以选取与塔底
在同一水平面内的两个测量基点
与
.现测得
，在点
测得塔顶
的仰角为
，则
，塔高
.
5．目前，中国已经建成全球最大的
网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见
到
基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座
基站
，已
知基站高
.该同学眼高
（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置
处（眼
睛所在位置）测得基站底部
的仰为
，测得基站顶端
的仰角为
.
(1)求出山高
（结果保留一位小数）；
(2)如图（第二幅），当该同学面向基站
前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所
在位置
处（眼睛所在位置）到基站
所在直线的距离
，且记在
处观测基站
底部
的仰角为
，观测基站顶端
的仰角为
.试问当
多大时，观测基站的视角
最大？
参考数据：
，
，
，
.
题型五：三角形的内切圆相关问题
1．在
中，内角
的对边分别为
，若
，则该三
角形内切圆面积的最大值为 .
2．记
内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)已知
，
的内切圆半径为.
（ⅰ）当
时，求
；
（ⅱ）求
的最大值.
3．已知
的外接圆半径为
，内切圆半径为，角
的对边分别为
，且
，
，
(1)求
的值；
(2)求的取值范围.
4．已知
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
.
(1)求
.
(2)若
内心为
，求
的周长的取值范围.
题型六： 三角与圆锥曲线的结合
1．已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
在椭圆上，且满足
.若椭圆的离心率为
，则
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
的顶点
和
，顶点
在椭圆
上，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设椭圆
：
(
，
)的左､右焦点分别为
，
，离心率为
，
是
上一点，且
，若
的面积为
，则
．
多选题专练
1．已知
的三个内角分别为
，
，
，
在线段
上，
且满足
平分
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，且
，下列说法正确
的是（ ）
A．
B．若
且
有唯一解，则
C．若
，则
D．若
，则
面积最大值为
3．记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，则
（ ）
A．
的周长为6
B．
，
，成等差数列
C．角
的最大值为
D．
面积的最大值为
综合训练
1．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在倾斜角为
的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆
，当太阳光线的仰角是
时，旗杆在山坡上的影子的长度是
，则旗杆
的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，为了测量河对岸A，B 两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点
C，D，E.从D 点测得
，从C 点测得
，
，从E 点测得
.若测得
，
(单位：千米)，则A，B 两点的距离为 千
米．
4．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满
．
(1)求C；
(2)已知角C 的平分线交AB 于点M，且
，当
取最小值时，求
的面积．
5．已知在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的取值范围．
6．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若角
为钝角，求
的取值范围．
7．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求证：
；
(2)设
边上的中点为D.
（ⅰ）若
，
，求
；
（ⅱ）记
，求
的最大值.
8．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
(1)若
，求
的面积；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
9．已知函数
．
(1)求函数
的对称中心和单调递增区间；
(2)若
中，
，且
，求
面积的最大值．
10．记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积；
(3)求
周长的取值范围．
11．如图，平面四边形
中，
．
(1)当
时，求
(2)求当
为何值时，
的面积最大？并求出其最大值．
12．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角A；
(2)D 为BC 上一点，
．
（i）若
，求
的值；
（ii）若
，求
面积的最大值．
13．已知
为锐角三角形，角
所对的边分别为
，且
.
(1)证明：
；
(2)已知点
在线段
上，且
，若
，求
面积的取值范围.
14．在
中，
，
分别为
，
的中点，
与
交于点
，记
，
．
(1)若
，
，
，求
；
(2)若
，
，求
面积的最大值．
15．某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是
全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴
塔高度
时，可以选取与塔底
在同一水平面内的两个测量基点
，
，且在
，
两
点测得塔顶
的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得
，
，
两地相距
36 米.
(1)求重兴塔高
；
(2)如图2，塔顶为点
，距离塔顶
点竖直向下5 米处有点
，若在离地面竖直高度为2
米的点
处用测角仪器测得
，求
的最大值.
