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专题一 三角函数与解三角形
微专题3 三角函数与解三角形中最值与范围问题
一、考点透析
考点1 以三角函数为背景的范围与最值问题
1．（2025·黑龙江大庆·三模）已知函数
．
(1)求
的最小正周期及单调递减区间；
(2)将
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，再将
的图象向右平移
个单位后，
再将纵坐标变为原来的
，最终得到
的图象，若
，满足不等式
，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得
到结果；
（2）先由三角函数的图像变换得到
的解析式，再将问题转化为最值问题，结合换元
法以及二次函数的值域，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
，
所以
，
所以
的周期为
，
由
得
，
所以
的单调递减区间为
.
（2）将
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，即可得到
，
再将
的图象向右平移
个单位，得到
，
再将纵坐标变为原来的
，即可得到
，
因为
，
，
所以当
，时，
，
令
，
，则
，所以当
时，
取得最小值，最小值为
所以
，解得
或
，
故
的取值范围为
．
考点2 以解三角形为背景的范围与最值问题
1.（2025·遵义模拟预测）记△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且❑√3sin B＋
cos B＝1.
（1）求B；
（2）若b＝3，求△ABC 的周长的取值范围.
解：（1）因为❑√3sin B＋cos B＝1，所以2sin（B＋π
6 ）＝1，即sin（B＋π
6 ）＝1
2，
因为B∈（0，π），所以B＋π
6 ＝5 π
6 ，即B＝2π
3 .
（2）因为B＝2π
3 ，b＝3，由正弦定理得
a
sin A ＝
c
sinC ＝
b
sin B ＝
3
❑√3
2
＝2❑√3，
则a＝2❑√3sin A，c＝2❑√3sin C，又A＋B＋C＝π，则C＝π－B－A＝π
3 －A，且A∈（0，π
3
），
所以a＋b＋c＝2❑√3sin A＋2❑√3sin（π
3 －A）＋3＝2❑√3sin A＋3cos A－❑√3sin A＋3＝❑√3
sin A＋3cos A＋3＝2❑√3sin（A＋π
3 ）＋3，
因为A∈（0，π
3 ），所以A＋π
3 ∈（π
3 ，2π
3 ），则sin（A＋π
3 ）∈（
❑√3
2 ，1］，
所以a＋b＋c∈（6，2❑√3＋3]，
综上可知，△ABC 的周长的取值范围是（6，2❑√3＋3].
2.已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，asin A ＋C
2
＝bsin A.
（1）求B；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且c＝1，求△ABC 面积的取值范围.
解：（1）由题设及正弦定理得sin Asin A ＋C
2
＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin A ＋C
2
＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin A ＋C
2
＝cosB
2 ，
故cosB
2 ＝2sinB
2 cosB
2 .
因为cosB
2 ≠0，故sinB
2 ＝1
2，所以B＝60°.
（2）由题设及（1）知S△ABC＝
❑√3
4 a.
由（1）知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝c sin A
sinC ＝sin（120°－C ）
sinC
＝
❑√3
2tanC ＋1
2.
由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.结合A＋C＝120°，得30°＜
C＜90°，故1
2＜a＜2，
从而
❑√3
8 ＜S△ABC＜
❑√3
2 .
因此，△ABC 面积的取值范围是（
❑√3
8 ，
❑√3
2 ）.
考点3 三角与其他知识结合的范围与最值问题
1. 函数f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1 在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（
）
A.－π
2 ，π
2
B.－3 π
2 ，π
2
C.－π
2 ，π
2 ＋2
D.－3 π
2 ，π
2 ＋2
解析：D f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'（x）＝－sin x＋sin x＋
（x＋1）cos x＝（x＋1）cos x.令f'（x）＝0，解得x＝－1（舍去）或x＝π
2 或x＝3 π
2 .因
为f(
π
2)＝cos π
2 ＋(
π
2 +1)sin π
2 ＋1＝2＋π
2 ，f(
3 π
2 )＝cos 3 π
2 ＋(
3 π
2 +1)sin 3 π
2 ＋1＝
－3 π
2 ，又f（0）＝cos 0＋（0＋1）sin 0＋1＝2，f（2π）＝cos 2π＋（2π＋1）sin 2π＋1
＝2，所以f（x）max＝f(
π
2)＝2＋π
2 ，f（x）min＝f(
3 π
2 )＝－3 π
2 .故选D.
2．（24-25 高一上·甘肃·期末）设函数
.
(1)求函数
在
上的最大值；
(2)若不等式
在
上恒成立，求
的取值范围；
(3)若方程
在
上有四个不相等的实数根，求
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
【知识点】三角函数综合、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx（型）的
二次式的最值
【分析】（1）令
，根据正弦函数的有界性知
，原函数变为以为自变量的
开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系分别求解即可；
（2）利用换元法将问题转化为
在
上恒成立求解即可；
（3）利用换元法将问题转化为二次函数在
上有两个零点求
的范围，将所有满足条
件的不等式列出来，求解出
的范围即可.
【详解】（1）令
，
则
变为
，
①当
，即
时，
，
②当
，即
时，
，
③当
，即
时，
，
综上可知，
.
（2）若要
，则需
，
当
时，
，
函数
变为
，
所求问题变为
恒成立，
易知
的图象是开口向下的抛物线的一部分，
最小值一定在区间端点处取得，所以有
，
解得
，故
的取值范围是
；
（3）令
.由题意可知，当
时，
关于
的方程
在
时有两个不等实数解，
所以原题可转化为
在
内有两个不等实数根，
令
，则有
，
解得
，即
的取值范围是
.
3．（25-26 高三上·江苏苏州·阶段练习）设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，
c，且
，
.
(1)点E 为边
的中点，若
，求
的面积；
(2)如图所示，点D 是
外一点，若
，且
，记
的
周长为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最
值或范围、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）利用正余弦定理以及诱导公式可得
，根据
为边
的中点得到
，两边平方后结合余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理得到
和
，再利用余弦定理结合诱导公式以及二
倍角公式得到
，写出
的表达式，求导判断单调性即可求解.
【详解】（1）由
可得
，
由正弦定理
得，
，
所以
，即
．
由余弦定理
，又因为
，因此
，
因为中线
，所以
；
两边同时平方得
，即
，
在
中，
，由余弦定理可得
，
可得
，所以
；
（2）在
中，由正弦定理可得
，即
，
在
中，由正弦定理可得
，即
．
因为四边形
的内角和为
，且
，
所以
，
在
中，
所以
，
则
，
，
因为在
中
，所以
，
则
，
在
单调递增，
因为
，所以
，
所以
的取值范围为
.
二、跟踪练习
1．（23-24 高一下·山西·阶段练习）已知向量
，
，函数
.
(1)求函数
的解析式和图象的对称中心；
(2)若函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，且关于x 的方程
在
上有3 个不同的解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
【知识点】三角函数综合、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）
的解析式、数量积的坐标表示
【分析】（1）由数量积的坐标运算结合三角恒等变换公式直接运算化简即可求解.
（2）先由平移变换知识求出函数
的解析式，再利用三角恒等变换公式将方程
在
上有3 个不同的解转化成一个解为
和
在
上有2 个不同的解即可求解.
【详解】（1）由题
，
令
，
所以函数
图象的对称中心为
.
（2）由题得
，
因为方程
在
上有3 个不同的解，
所以由二倍角公式得
在
上有3 个不同的解，
因为
时，
，故
是方程
的一个
解，
所以
在
上有2 个不同的解，
此时
，所以
即
在
上有2 个不同的解，
图像如下：
所以由三角函数图像可知
，即
.
故方程
在
上有3 个不同的解，则实数
的取值范围为
.
2．（24-25 高一下·江苏无锡·阶段练习）锐角
的三个内角角
，
，
所对的边分别
为
，
，，满足
．
(1)求角
的大小及角
的取值范围；
(2)若
，求
的周长的取值范围；
(3)若
的外接圆的圆心为
，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
；
(2)
；
(3)
.
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用定义求向量的
数量积、数量积的运算律
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得
，再根据锐角三角形的知识
列不等式，由此求得
的取值范围.
（2）应用正弦定理结合三角恒等变换化简得出
结合角的范围求出值域
即可得出周长范围；
（3）根据正弦定理求得外接圆的半径，设
，将
表示为
的形式，
结合三角函数值域的知识求得
的取值范围.
【详解】（1）锐角
的三个内角角
，
，
所对的边分别为
，
，，
因为
，
由正弦定理可得
，
所以
，
故
，因为
为锐角，所以
，
因为
为锐角三角形，则
，
解得
，所以，角
的取值范围是
.
（2）因为
，由正弦定理得
，
所以
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以周长的取值范围为
（3）设
的外接圆半径为
，所以
，
，所以
设
，则
，则
，
所以
因为
，所以
，所以
,所以
,
所以
，所以
的取值范围为
.
