文档内容
微专题20 圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性
通法研究
【秒杀总结】
1、三角形面积问题
模型一：基本方法
模型二：分割三角形
模型三：三角形面积坐标表示
模型四（面积比）： “等角”“共角”“对顶角”
蝴蝶模型
蝉模型
2、四边形面积问题
模型一模型二
模型三
3、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的
等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的
取值范围.
4、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用
基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
【典型例题】
例1．（2023·宁夏银川·一模）如图，已知椭圆 ，曲线 与 轴的
交点为 ，过坐标原点 的直线 与相交于 、 ，直线 、 分别与 交于点 、 .(1)证明：以 为直径的圆经过点 ；
(2)记 、 的面积分别为 、 ，若 ，求 的取值范围.
【解析】(1)证明：若直线 的斜率不存在，则该直线与 轴重合，此时直线 与曲线 只有
一个交点，不合乎题意.
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 .
由 得 ，
设 、 ，则 、 是上述方程的两个实根，
于是 ， .
又因为点 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 为直径的圆经过点 .
(2)解：由已知，设 的斜率为 ，则 的方程为 ，
由 解得 或 ，则点 的坐标为 ，
又直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标为 .
所以 ，
由 得 ，解得 或 ，
则点 的坐标为 ，又直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标 ，
于是 ，
因此 ，
当 时，即当 时，等号成立，
所以 ，所以 的取值范围为 .
例2．（2023·浙江·模拟预测）如图，点A，B是椭圆 与曲线
的两个交点，其中点A与C关于原点对称，过点A作曲线 的切线与x轴
交于点D．记△ABC与△ABD的面积分别是 ， ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的最大值．
【解析】(1)由题设，令 ， 且 ，则 ，
又 ，得证.
(2)由（1）得：直线 为 ，则 到直线 的距离为 ；
由 且 ，则 ，故过A的切线为 ，
令 ，可得 ，即 ，所以 到直线 的距离为 ；又 ，
所以 ， ，
故 ，
根据 在椭圆上，则 ，可得 ，且 ，
综上， 且 ，
所以，当 时， ，此时 ，则 ，故 .
例3．（2023·河南·一模（理））已知点F为椭圆 的右焦点，椭圆
上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若M为椭圆C上的点，以M为圆心， 长为半径作圆M，若过点 可作圆M
的两条切线 ( 为切点)，求四边形 面积的最大值.
【解析】（1）根据题意椭圆上任意一点到点 距离的最大值为3，最小值为1.
所以 ，解得 ，
所以
因此椭圆 的标准方程为
（2）由（1）知， 为椭圆的左焦点，
根据椭圆定义知， ，
设 ，
∵点 在圆 外，∴ ，∴
所以在直角三角形 中，
， ，
由圆的性质知，四边形 面积 ，其中 .
即 .令 ，则
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以，在 时， 取极大值，也是最大值
此时 .
【点睛】
关键点点睛：（1）椭圆上长轴上的两个顶点到焦点的距离即为椭圆上的点到焦点的距离最
值；（2）将四边形的面积表示为关于 的函数，通过导数求最值即可.
例4．（2023·天津·南开中学二模）已知椭圆 的左右焦点分别是
和 ，离心率为 ，点P在椭圆E上，且 的面积的最大值为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过椭圆C右焦点 ，交该椭圆于A､B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆于
P，记 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，求直线l的方程.
【解析】（1）依题意，显然当P在短轴端点时，
的面积最大为 ，
即 ，又由离心率为 ， ，
解得 ， ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，当AB斜率不存在时， ，不合题意，
当AB斜率存在时，设直线方程为 ，
设点 ， ，
则 ，两式作差得： ，
即 ，
故直线OP的方程为： ，
联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得： ，
所以直线AB的方程为 .
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 过点 ，且离心
率为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ，直线l与椭圆C交于 两点，且 ，当 （O为坐标原
点）的面积S最大时，求直线l的方程．
【解析】（1）因为椭圆 过点 ，且离心率为 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）显然，直线 的斜率 存在，
①当 时，可设直线 的方程为 由 可设 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时直线 的方程为 ；
②当 时，可设直线 的方程为 即 ， ，
联立 ，消去 整理得 ，
由 ，得 （*），
则有 ，
于是可得 的中点为 即 ，
因为 ，所以 ，化简得 ，结合（*）可得
解得 ，
又 到直线 的距离为
所以 ，即 ，
所以，当 时， 取最大值，
此时由 可得 ，直线 的方程为 ，
综上所述，直线 的方程为 或 .
例6．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆 上任意一点 作直线
(1)证明: ;
(2)若 为坐标原点，线段 的中点为 ，过 作 的平行线 与 交于 两点，
求 面积的最大值.
【解析】（1）联立 ，消去 整理得： ，
因为点 在 上，所以
化简得 .
（2）设 ，点 ，则 .
由已知得 ，所以 ，
即点 满足方程 ，所以 .
由 得 ，
设 ，则 .
所以
所以
，
令 ，因为 ，所以 .所以
所以 面积的最大值为 .
例7．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 经过点 且离心率为
；直线 与椭圆 交于A， 两点，且以 为直径的圆过原点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过原点的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，求四边形 面积
的最大值.
【解析】（1）椭圆 经过点 ， ,
椭圆的离心率为 ，则 ，即 ,
即 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，设以AB为直径的圆的圆心为 ，
则 ，则不妨取 ，故 ，
解得 ，故 方程为 ，
直线 过 中点，即为 轴，得 ， ，
故 ；
直线 斜率存在时，设其方程为 ， ， ，联立 ，可得 ，
则 ①，
②， ③，
以 为直径的圆过原点即 ，
化简可得 ，
将②③两式代入，整理得 ，
即 ④，
将④式代入①式，得 恒成立，则 ，
设线段 中点为 ，由 ，
不妨设 ，得 ，
又∵ ，∴ ，
又由 ，则 点坐标为 ，
化简可得 ，代回椭圆方程可得 即 ，
则 ，
综上，四边形 面积的最大值为 .
例8．（2023·全国·高三专题练习）如图， 椭圆 的右焦点为
，过点 的一动直线 绕点 转动，并且交椭圆于 两点， 为线段 的中点.(1)求点 的轨迹 的方程;
(2)在 的方程中， 令 ， .
①设轨迹 的最高点和最低点分别为 和 ，当 为何值时， 为正三角形?
②确定 的值， 使原点距直线 最远， 此时， 设 与 轴交点为 ，当直线
绕点 转动到什么位置时， 的面积最大， 并求出面积的最大值?
【解析】（1）设 ， ，
则 ， ，所以 ，
所以 ，
当 时，有 ，而 ，
所以 ，整理得到： ，
当 时， 的坐标为 ，此时满足 ，
故点 的轨迹 的方程为 即 ，
其中 .
（2）①由（1）可得点 的轨迹为椭圆，其中心为 ，长半轴长为 ，短半轴长为 ，
故 ， ，而 到 的距离为 .
因为 为正三角形，故 ，即 ，
所以 ，故 即 ，
所以 或 （舍，因为 ），
而 ，故 .
②原点距直线 的距离 为 ，
该距离可化简为 ，其中 ，令 ，则 ，故 ，
所以 ，故 ，
整理得到： ，故 ，
故 ，当且仅当 即 时等号成立，
此时 ，直线 ， ，
设直线 ，由 可得 ，
故 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
故直线 与 轴垂直时， 的面积最大，且面积最大值为 .
例9．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中 ，椭圆
的离心率为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的左､右顶点分别为 ，直线 过点 ，且交椭圆于 两点（异于
两点），记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .
①求 的值；
②设 和 的面积分别为 ，求 的最大值.
【解析】（1）由题意可得 解得 ，所以椭圆C的方程为 ．
（2）①依题意，点 ，设 ，
因为 两点异于 两点，所以直线 斜率必不为0，设其方程为 ，与椭圆联立 ，得： ，故 ，
可得 .故
，即
②由题，
，令 ，则对勾函数 在 上单调递增，
故 ，当且仅当 时取等号.
所以 的最大值为 ．
【过关测试】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知椭圆
,经过点 ,离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)点 在椭圆 上,若直线 的斜率分别为 ,且满足 ,求 面积
的最大值.
【解析】（1）解:由题知 的离心率为 ,
即 ,
根据 ,
可得 ,
因为椭圆经过点 ,
所以 ,故椭圆方程为: ;
（2）由(1)知,椭圆方程为: ,
①若直线 斜率为0,
由图象可得 ,
故不符合题意,舍去,
②若直线 斜率不为0,
设直线 方程 ,
,
联立 ,
即 ,
,
即 ,
故有 ,
则,
解得: ,
此时直线 ,
,
则
,
点 到直线 的距离为: ,
故
,
令 ,
则,
所以当 ,即 时,
.
2．（2023·山东菏泽·高三统考期末）已知点 和直线 ： ，直线 过直线 上
的动点M且与直线 垂直，线段 的垂直平分线l与直线 相交于点P．
(1)求点P轨迹C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于 两点．若C上恰好存在三个点 ，使得
的面积等于 ，求l的方程．
【解析】（1）连接PF，因为MF的垂直平分线l交 于点P，所以 ，
即点P到定点 的距离等于点P到直线 ： 的距离，
由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线 ,
即点P轨迹C的方程为 .
（2）如图，作与l平行且与C相切的直线 ，切点为D,
由题知 的面积等于 ．由题意知直线l的斜率一定存在，设l的方程为 ，
方程 可化为 ，则 ，
设 ，令 ，解得 ，
将 代入 ，得 ，故 ，
所以D到l的距离 ，
由 ，消去y，得 ， ，
从而 ， ，
所以 ，
故 的面积 ，从而 ，
解得 或 ，
此时 或 为使得 的面积等于 的一个点，
那么在直线l的上方必然也存在着一条直线和l平行，和l的距离为 ，
这条直线与抛物线有两个交点也使得 的面积等于 ，
即此时C上恰好存在三个点 ，使得 的面积等于 ，
所以l的方程为 或 ．
3．（2023·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知椭圆 的上､下顶
点分别为 ，点 在椭圆内，且直线 分别与椭圆 交于 两点，直
线 与 轴交于点 ．已知 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 的面积为 的面积为 ，求 的取值范围．
【解析】（1） ， , ，因为 ，所以 ，解得： ，
所以椭圆方程 ；
（2） ，所以直线 方程是 ，
联立 ， ，得 或 ，
即
，所以直线 方程是 ，
联立 ，得 ，
得 或 ， ,
，
直线 的方程 ，令 ，得 ，
即 ,
,
，
因为点 在椭圆内，所以 ，又 ，得 ，
，设 ，4．（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知椭圆 的
左右焦点 分别是双曲线 的左右顶点，且椭圆 的上顶点到双曲线 的
渐近线的距离为 .设 是第一象限内 上的一点， 的延长线分别交 于点
.
(1)求椭圆 的方程.
(2)求 面积的取值范围.
(3)设 分别为 的内切圆半径，求 的最大值.
【解析】（1）由题可知： 的上顶点 ，双曲线 的渐近线方程为：
由点到直线距离公式得 ，故 ，
结合 得 .
（2）设 ， ，
联立 ，
消 得 ， .因 ，
而 ，
令 ，则
故 的取值范围为 .
（3） ，
由（2）可知，则有
，
又 ，所以
同理得 ，因此
，当且仅当 ，取等号；
则 ，则当 为 时可取等.
所以 的最大值为
5．（2023·北京·高三校考期末）已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆
的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为原点，A为椭圆的左顶点， 是椭圆 上不同于点A的两点，且直线
的斜率之积等于 ．求 与 的面积比值．
【解析】（1）由题意得： ， ，故 ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得： ，
椭圆C的方程为 ；
（2）若直线MN斜率存在，设直线MN方程为 .
由 ，消去 ，得 .
，
设 ，
则 ①， ②.
由 以及 ， 整理，得
.
将①，②代入上式，整理，得 ，解得 或 .
当 时，满足 ，直线 过 ；
当 时，满足 ，直线 过 ，
此时 必有一点为 ，不妨令 坐标为 ，此时 ，
不满足直线 的斜率之积等于 ．舍去；
若直线MN斜率不存在，则直线 斜率互为相反数.
不妨设 ，于是直线 与椭圆交于 ，
由对称性可知直线 与椭圆交于 .
所以直线MN也过 .，所以 为MN中点，即 ，
所以 与 的面积比值为 .
6．（2023·全国·高三专题练习）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊
而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将
由仿射变换得： ， ，则椭圆 变为，直线的斜率与原斜率的关系为 ，然后联立圆的方程与直线方程通过计
算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆
的离心率为 ，过右焦点 且垂直于 轴的直线与 相交于 两点且 ，过椭
圆外一点 作椭圆 的两条切线 ， 且 ，切点分别为 ．
(1)求证：点 的轨迹方程为 ；
(2)若原点 到 ， 的距离分别为 ， ，延长表示距离 ， 的两条直线，与椭圆 交
于 两点，过 作 交 于 ，试求：点 所形成的轨迹与 所形成的轨迹的
面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．
【解析】（1）由仿射变换得： ， ，则椭圆 变为
设原斜率存在分别为 ， ， ，变换后为 ， ，所以
，
设变换后的坐标系动点 ，过点 的直线为
到原点距离为 ，
即 ，
由韦达定理得： ，化简得：
由于原坐标系中 ， ，
所以在原坐标系中轨迹方程为： ，
由 解得 ，所以点 的轨迹方程为 ，
当切线斜率不存在时，由椭圆方程 易得 点在 上.
（2）如图所示延长 交 于 ，延长 交 于 ，由题意可知 ，所以四边形 为矩形， ，
所以 ，且 ，
分子分母同乘 得 ，
因为 ，当直线 斜率存在时，设 ， ，
由 解得 ， ，所以 ，
由 解得 ， ，所以 ，
所以 ，
当斜率不存在时仍成立，
所以 ， ，
所以 所形成的轨迹与 所形成的轨迹的面积之差 是定值.
7．（2023·湖北·高三统考期末）已知 ， 为椭圆 ： 的左、右焦
点.点 为椭圆上一点，当 取最大值 时， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 为直线 上一点（且 不在 轴上），过点 作椭圆 的两条切线 ， ，切
点分别为 ， ，点 关于 轴的对称点为 ，连接 交 轴于点 .设 ，
的面积分别为 ， ，求 的最大值.【解析】（1）依题意有当 为椭圆短轴端点时
最大，此时 ，则
为正三角形，则
且
，又 ， ， ，
故椭圆方程为 .
（2）设 ， ， ，
则依题意有 ： ， ：
因 ， 都过点 ，则 ，
则 方程为 ，即 过定点 .
故设 方程为 ， ，
联立 ，
， ，又
直线 方程为： ，令 得
，
当且仅当 即 ， 时取等号故 最大值为 .
8．（2023·全国·高三对口高考）如题图，已知点 是 轴左侧（不含 轴）一点，抛物线
上存在不同的两点 、 ，满足 、 的中点均在抛物线 上．
(1)设 中点为 ，且 ， ，证明： ；
(2)若 是曲线 上的动点，求 面积的最小值．
【解析】（1）（1）设 ， ， 又 ，
则 中点为 .
由 中点在抛物线上可得 ，
整理得， ，
同理 ，
所以 ， 是关于 的方程 的两根，所以 ，
.
又 为 中点，故 的纵坐标为 ，即 ；
（2）若直线 轴，则 的纵坐标为0，则 ，
又 是曲线 上的动点，因此 ，又A，B两点的纵坐标满足
， ，
故 ， ， ；
若直线AB的斜率存在，方程为 ，即 ，整理得， ，由 ， 代入得，
直线AB： ，
故 ，
而点 到直线AB的距离为 ，
故 ，
而 ，
故 ，
由 得， ， ，
综上 .
综上， 的面积的最小值为 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，离心率为 ，其左右焦
点分别为 ， ，点 在椭圆内，P为椭圆上一个动点，且 的最大值为
5．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），且 ，求四边形
的面积．
【解析】（1）由题意知： ，即 ，
又由椭圆定义可得： ，
又∵ ，且 ，
故可得 ， ， ．即椭圆 的方程为 .
（2）延长 交椭圆于点 ，连接 ,由 ，
根据椭圆的对称性可得 ， 过原点 ， ，
所以四边形 的面积等于 的面积.
设 ， ，则 ．显然， ．
设直线 的方程为 ，
联立 得， ，
∴ ①， ②，
又 ，得 ③，
由①②③得 ．
得直线 的方程为 ，即 ，
设 到直线 的距离为 ，
则由距离公式得 ，
又由弦长公式得：
将 代入上式得 ，
设四边形 的面积为 ，
易知 .10．（2023·江苏扬州·高三校考期末）已知过点 的椭圆 ： 上的
点到焦点的最大距离为3.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过椭圆 ： 上一点 的切线方程为 .已知点
M为直线 上任意一点，过M点作椭圆 的两条切线 ， 为切点， 与
（O为原点）交于点D，当 最小时求四边形 的面积.
【解析】（1）依题意有 ， ， ，
则 ,
由 得 ，即 ，
整理得 ，解得 ，或 ，
由于 ，故 舍去，
∴ ， ， ，
椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ， ， ，
依题意有切线 方程为 ，切线 方程为 ，
又切线都过 点，
∴ ， ，
∴ 方程为： ，∴ ， ,
设AB与x轴交于点E，
则有 ,
∴ ，
当且仅当 时取等号，此时 为锐角，
同理根据对称性可求得 时 ，
故 方程为： 或 ，∴ ，
根据对称性可以取 ，则 ， ， ，
联立 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
又
,
∴ ,故 最小时四边形 的面积为 .
11．（2023·北京西城·高三统考期末）如图，已知椭圆 的一个焦点
为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线交椭圆E于两点A，B， 的中点为M．设O为原点，射线
交椭圆E于点C．当 与 的面积相等时，求k的值．
【解析】（1）由题设, ，
解得 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）直线 的方程为 .
由 得 .
设 ,
则 .
因为 与 的面积相等,所以点 和点 到直线 的距离相等.
所以 为线段 的中点,即四边形 为平行四边形.设 ,
则 .所以 .
将上述两式代入 ，
得 .
解得 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点与椭圆
的右焦点重合，直线 与圆 相切．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设不过原点的直线 与椭圆 相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标
原点，射线OM与椭圆 相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记 ，
的面积分别为 ， ，求 的取值范围．
【解析】（1）∵抛物线 的焦点为 ，∴ ，
从而 ①，
∵直线 与圆 相切，∴ ②，
由①②得： ， ，
∴椭圆 的方程为：
（2）∵M为线段AB的中点，∴ ，
（1）当直线 的斜率不存在时， 轴，由题意知 ，结合椭圆的对称性，不妨
设OA所在直线的方程为 ，得 ，
从而 ， ，
（2）当直线 的斜率存在时，
设直线 ， ，
由 可得： ，由 可得： （*）
∴ ， ，
∵O点在以AB为直径的圆上，∴ ，即 ，
∴ ，
即 ，
（**）满足（*）式．
∴线段AB的中点 ，
若 时，由（**）可得： ，此时 ，
若 时，射线OM所在的直线方程为 ，
由 可得： ，
，
随着 的增大而减小，∵ ，∴ ，∴
综上，
13．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知椭圆 的左、右焦
点分别为 ， ，上顶点为A，钝角三角形 的面积为 ，斜率为 的直线 交椭圆C
于P，Q两点.当直线 经过 ，A两点时，点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，当直线 的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得
为定值?若存在，求出此时 面积的最大值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）方法一：设 ， ，则 .
当直线 经过点 ，A时，由 的面积为 ， 到 的距离为 ，得 ①，
同时得 ，即 ②.
联立①②，结合 ，
解得 ， ， 或 ， ， .
因为 为钝角三角形，所以 ，所以 ， ， .
故椭圆C的标准方程为 .
方法二：设 ， ， ，则经过 ，
A两点时直线 的方程为 ，即 .
因为点 到直线 的距离为 ，所以 ①， ②
因为 为钝角三角形，所以 为钝角，所以 .
所以 ，即 ③.
联立①②③式及 得 ， ， .
故椭圆C的标准方程为 .
（2）方法一：由题意设直线 的方程为 ，
联立 消元得 .
当 ，即 时满足题意.
设 ， ，则 ， .
，
若 为定值，则上式与 无关，故 ，得 ，此时 .
又点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
经检验，此时 成立，
所以 面积的最大值为1.
方法二：由题意设直线 的方程为 ，
联立 消元得 .
当 ，即 时满足题意.
设 ， ，则 ， .
所以
,
所以
.
因为上式为定值，所以上式与 无关.所以 ，得 .此时 .
又点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
经检验，此时 成立，
所以 面积的最大值为1.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 引
圆 ： 的一条切线，切点为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得
的面积为 ？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
【解析】（1）如图
已知抛物线 ： 的焦点为 ，
圆 ： 的圆心 ，半径 ，
则 ，
过点M作 轴，则 ， ，
在 中，满足 ，即 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）存在点A使得 的面积为 ，点A的个数为2，理由如下：
设 ， ， ，
由（1）可知抛物线 的方程为 ，
则 切点弦PQ的方程为 ，斜率 ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，
，
点 到直线PQ的距离 ，
，
所以 ，
即点A的轨迹为抛物线 往左平移 个单位长度，
因为点A在圆M上，联立 ，得 ，显然 是一个根，因式分解得 ，
令 ， ，则 ，
若 ，由于 ，
则 恒成立，所以 为增函数，
， ，
根据零点存在定理函数 在 上存在一个零点，
所以存在两个点A使得 的面积为 .
15．（2023·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知点 是焦点为F的抛物线
C： 上一点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点P是该抛物线上一动点，点M，N是该抛物线准线上两个不同的点，且 的内
切圆方程为 ，求 面积的最小值．
【解析】（1）因为点 是抛物线C： 上一点，
所以 ，解得： ，
所以 .
（2）设点 ，点 ，点 ，直线 方程为： ，
化简得 ．
的内切圆方程为 ， 圆心 到直线 的距离为 ，即
．
故 ．
易知 ，上式化简得， ．
同理有 ，
， 是关于 的方程 的两根．
， ．． ，
，
点 到直线 的距离为 ，
所以 面积为 ，
令 ，则 ，
因为 ， ，
当且仅当 取等，所以 .
故 面积的最小值为 ．
16．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳市襄州区第一高级中学校考开学考试）已知抛物线
上一点 到准线的距离为 ，焦点为 ，坐标原点为 ，直线 与
抛物线 交于 、 两点（与 点均不重合）．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若以 为直径的圆过原点 ，求 与 的面积之和的最小值．
【解析】（1）由抛物线的定义可知点 到准线的距离为 ，解得 ，
所以， 抛物线 的方程为 .
（2）若直线 垂直于 轴，此时直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
不妨设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，则 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ， ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ，直线 过定点 ，则 ，
不妨设 ，则 ，则 ，，所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此， 与 的面积之和的最小值为 .
17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 短轴的两个顶点与右焦
点的连线构成等边三角形，直线 与圆 相切.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 ，与椭圆 分别交于 四点，如图，求
四边形 的面积的取值范围.
【解析】（1）因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，
所以 ，即 ，
又因为直线 与圆 相切，
所以 结合 解得 ，
所以椭圆 .
（2）(i)若 垂直于 轴，则 与 轴重合，
由 解得 ，所以 ，
又因为
同理 垂直于 轴，则 与 轴重合时 .
(ii)若 都不与 轴平行或垂直，
设直线 ，得：
与椭圆 相交于 两点，
则 ，
当 时，直线 ，
将 的 替换为 可得 ，
，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时“=”成立，
综上
所以四边形 的面积的取值范围为 .
18．（2023·上海·高三专题练习）如图， 为坐标原点，椭圆 的左、
右焦点分别为 、 ，离心率为 ；双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，已知 ， 且 过 作 的不垂直于 轴的弦 ，
为 的中点，直线 与 交于 、 两点.
(1)求 、 的方程；
(2)若四边形 为平行四边形，求直线 的方程；
(3)求四边形 面积的最小值.
【解析】（1）由题意可得 ， ， ，则 ，
， ， ，
所以，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 .
（2）由（1）可知 ，因为直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ，
设点 、 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
则 ， ，所以，点 ，
因为四边形 为平行四边形，则 为线段 的中点，故点 ，
将点 的坐标代入双曲线 的方程可得 ，即 ，
解得 ，
因此，直线 的方程为 或 .（3）由（2）可得 ，
，所以，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，所以， ，
不妨取点 、 ，
所以点 到直线 的距离为
，
点 到直线 的距离为 ，
则 ，
所以，四边形 的面积为
，
故当 时，四边形 的面积取最小值 .
19．（2023·全国·高三专题练习）设A、B两点的坐标分别为 ， ，直线
AD，BD相交于点D，且它们斜率之积为 ．
(1)求点D的轨迹方程C；
(2)若斜率为k(其中k≠0)的直线l过点G(1,0)，且与曲线C交于点E、F，弦EF的中点为
H，O为坐标原点，直线OH与曲线C交于点M、N，求四边形MENF的面积S的取值范围．
【解析】（1）设D(x,y)，由题可得： ，
∴ ，化简得 ，∴点D的轨迹方程C为 ；
（2）由 得， ，
设 ， ，则由 可知， ， ，
则 ．
由E、F在曲线C上得， ，两式相减得， ，
整理得 ，则 ．
由 ， ，即为M，N两点的坐标，
∴点M，N到直线EF的距离之和为：
显然M和N在直线EF的异侧，故 和 异号，
∴ ，
则四边形MENF的面积为：
，
又∵k≠0，故S的取值范围为 ．
20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 上有两点 和 ，
．点 关于椭圆中心 的对称点为点 ，点 在椭圆内部 ． 是椭
圆的左焦点， 是椭圆的右焦点．
(1)若点 在直线 上，求点 坐标；
(2)是否存在一个点 ，满足 ，若满足求出点 坐标，若不存在请说明理由；
(3)设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围．
【解析】（1）因为点 和 ， 在椭圆 上，
所以，代入椭圆方程可得 ，
所以，直线 方程为 ，
又点 ， 在直线 上，
所以， ，解之得 ，
所以， ；
（2）椭圆 的两焦点 ；
假设存在一个点 ，满足 ，
所以，点 一定在双曲线 的左半支上，
因为 ，
所以，点 一定在双曲线 的左半支上，
又因为 ，
所以， ，解得 ，
又因为点 在椭圆内部，
所以 ，得 ，
所以满足条件的点 不存在；
（3）由题知 在椭圆 上，
点 ， 在椭圆内部， ，
所以，直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离 ，
所以， ，
同理，直线 的方程为 ，点 到直线 的距离
所以， ，
令 ， ，
所以， ，
由 ，可得 ， ，即 ，
由 ，可得 ， ， ＜0，即 ，
综上， 的取值范围为 ，
所以，则 的取值范围为 ．
