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微专题02 三角函数的范围与最值
【秒杀总结】
一、三角函数 中 的大小及取值范围
1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即 ；
2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即 ；
3、任意对称轴与对称中心之间的距离为 周期加半周期的整数倍，即 ；
4、 在区间 内单调 且
5、 在区间 内不单调 内至少有一条对称轴，
6、 在区间 内没有零点 且
7、 在区间 内有 个零点 ．
二、三角形范围与最值问题
1、坐标法：把动点转为为轨迹方程
2、几何法
3、引入角度，将边转化为角的关系
4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；
（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， 的内切圆的面积为 ，
则边 长度的最小值为（ ）
A．16 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【解析】因为 的内切圆的面积为 ，所以 的内切圆半径为4．设 内角， ， 所对的边分别为 ， ， ．因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．设内切圆与边 切于点
，由 可求得 ，则 ．又因为 ，所以
．所以 ．又因为 ，所以
，即 ，整理得 ．因为 ，
所以 ，当且仅当 时， 取得最小值．
故选：A．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，
为 的零点：且 恒成立， 在 区间上有最小值无最大值，则
的最大值是（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】C
【解析】由题意， 是 的一条对称轴，所以 ，即
①
又 ，所以 ②
由①②，得 ，
又 在 区间上有最小值无最大值，所以
即 ，解得 ，要求 最大，结合选项，先检验
当 时，由①得 ，即 ，又
所以 ，此时 ，当 时， ，
当 即 时， 取最小值，无最大值，满足题意.故选：C
例3．（2023·高一课时练习）如图，直角 的斜边 长为2， ，且点 分
别在 轴， 轴正半轴上滑动，点 在线段 的右上方．设 ，（
），记 ， ，分别考查 的所有运算结果，则
A． 有最小值， 有最大值 B． 有最大值， 有最小值
C． 有最大值， 有最大值 D． 有最小值， 有最小值
【答案】B
【解析】依题意 ，所以 .设 ，则
，所以 ，
，所以 ，当
时， 取得最大值为 .
，所以 ，所以
，当 时， 有最小值
为 .故选B.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 图象上存在两条互
相垂直的切线，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，令 ，
由 ，
得
，所以由题意可知，存在 ，使得 ，
只需要 ，即 ，所以 ， ，
所以 的最大值为 .
故选: D.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，函数 恰有
3个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，
求导
由反比例函数及对数函数性质知 在 上单调递增，
且 ， ，故 在 内必有唯一零点 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
令 ，解得 或2，可作出函数 的图像，
令 ，即 ，在 之间解得 或 或 ，
作出图像如下图
数形结合可得： ，故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递
增，且当 时， 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，函数 在 上单调递增，
所以 ，解得： ，
由于 ，所以 ，解得：
①
又因为函数 在 上 恒成立，
所以 ，解得： ，
由于 ，所以 ，解得：
②
又因为 ，当 时，由①②可知： ，解得 ；
当 时，由①②可知： ，解得 .所以 的取值范围为 .
故选：B.
例7．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
的面积为S，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中， ，
故题干条件可化为 ，由余弦定理得 ，
故 ，又由正弦定理化简得：
，
整理得 ，故 或 （舍去），得
为锐角三角形，故 ，解得 ，故
故选：C
例8．（2023·上海·高三专题练习）在钝角 中， 分别是 的内角 所
对的边，点 是 的重心，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】延长 交 于 ，如下图所示：为 的重心， 为 中点且 ，
， ， ；
在 中， ；
在 中， ；
， ，
即 ，整理可得： ， 为锐角；
设 为钝角，则 ， ， ，
， ，解得： ，
， ，
由余弦定理得： ，
又 为锐角， ，即 的取值范围为 .
故选：C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）设锐角 的内角 所对的边分别为 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
【答案】D
【解析】因为 ，
由正弦定理可得 ，则有 ，
由 的内角 为锐角，
可得 ，
，
由余弦定理可得
因此有
故选：D.
例10．（2023·上海·高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O的
圆，已知圆O的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭
建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形 为亲水木平台区域（四边形
是矩形，A，D分别为 的中点， 米），亲水玻璃桥以点A为一出入口，
另两出入口B，C分别在平台区域 边界上（不含端点），且设计成 ，另
一段玻璃桥 满足 ．
(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：
）
(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为
，宽度、连接处忽略不计）．
【解析】（1）由题意， ，则 ，设．
若C，P重合， ，得 ，
∴ ，
而 ，
∴ ，当 （符合题意）时取
等号，又 ，
∴可以修建70米长廊．
（2） ，则
．
设 ，则 ，即 ．
，由（1）知 ，而 ，∴
使 且 ，即 ，
∴ ，当且仅当 时取等号．
由题意， ，则玻璃桥总长的最小值为 米，
∴铺设好亲水玻璃桥，最少需 万元．
例11．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满
足
(1)设 ， ，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求 的值；
(2)若 为锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
【解析】(1) ，由正弦定理得：，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
其中 ，
所以 ，
因为点E为线段BD的中点，所以 ，
由题意得： ，
所以 .
(2)由（1）知： ，又 ，
由正弦定理得： ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得： ，
则 ， ， ，
故 ，面积为
故 面积的取值范围是 .
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，设函数 ， ，
若当 对 恒成立时， 的最大值为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，因为 的最大值为 ，所以 时，
必取到最值，
当 时，根据余弦函数对称性得 ，此时
或者 ，此时
由 ，
设 时 对应解为 ，
由上分析可知
当 ， 或 ， 时，满足 的最大值为 ，
所以 ，即 ，所以 .
或 ，即 或 ，故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习） 中， ，O是 外接圆圆心，
是 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】过点O作 ，垂足分别为D，E，如图，因O是 外接圆圆
心，则D，E分别为AC， 的中点，
在 中， ，则 ，即
，
，同理 ，
因此，
，
由正弦定理得： ，当且仅当 时取“=”，
所以 的最大值为3.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，若 ，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ， ，， ．由题 ，由正弦定理有
，故 ，即
，故 ，即 ，由
正弦定理有 ，故 ， ，又锐角 ，且
， ， ，解得 ， ，
，
， ， ， ， ， ，
的取值范围为 ．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）设 ，函数 ．
若 在 上单调递增，且函数 与 的图象有三个交点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，
因为 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
又因函数 与 的图象有三个交点，
所以在 上函数 与 的图象有两个交点，
即方程 在 上有两个不同的实数根，
即方程 在 上有两个不同的实数根，
所以 ，解得 ，
当 时，
当 时，令 ，
由 ，
当 时， ，
此时， ，
结合图象，所以 时，函数 与 的图象只有一个交点，
综上所述， .
故选：B.5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数
在 上恰有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，其中 ，解得： ，
则 ，要想保证函数在 恰有三个零点，满足①
，
，令 ，解得： ；或要满足② ， ，
令 ，解得： ；经检验，满足题意，其他情况均不满足 条件，
综上： 的取值范围是 .
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上有且仅有
4条对称轴，给出下列四个结论：① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；
④ 在区间 上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【解析】由函数 ，
令 ，则
函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，即 有4个整数 符合，
由 ，得 ，则 ，
即 ， ，故③正确；
对于①， ， ，
当 时， 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
当 时， 在区间 上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期 ，由 ，则 ， ，
又 ，所以 的最小正周期可能是 ，故②正确；
对于④， ， ，又 ，
又 ，所以 在区间 上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．在 不存在 ， 使得
B．函数 在 仅有1个最大值点
C．函数 在 上单调进增
D．实数 的取值范围是
【答案】D
【解析】对于A, 在 上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期 ，
所以在 上存在 ，且 ，使得 ，故A错误；
由图象可知，函数在 可能有两个最大值，故B错误;
对于选项D,令 ，
则函数的零点为 ,
所以函数在y轴右侧的四个零点分别是： ，
函数 在 有且仅有3个零点，
所以 ，解得 ，故D正确；
由对选项D的分析可知， 的最小值为 ，
当 时， ，
但 不是 的子集，
所以函数 在 上不是单调进增的，故C错，
故选：D.
8．（2023·上海·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
， ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知 ，
即
由正弦定理化简得
即
故选： .
二、多选题
9．（2023秋·山东济南·高三统考期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，
且 ，则下列结论正确的是（ ）A．
B．若 ，则 为直角三角形
C．若 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为
D．若 为边 上一点，且 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为 ，所以 ，
则由正弦定理得
，
则 ，
因为 ，所以 ，故 ，
又 ，所以 ，故A错误；
对于B，由余弦定理得 ，
因为 ，即 ，代入上式得 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），则 ，
所以 ，故B正确；
对于C，设 边上的高分别是 ，
则由三角形面积公式易得 ，则 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 ，得 ，
所以 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以，
可得 ，
整理得 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 的最小值为 ，故D正确.
故选：BCD.
10．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数 ，则下
列说法中正确的是（ ）
A．
B． 的最大值是
C． 在 上单调递增
D．若函数 在区间 上恰有 个极大值点，则 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】 ，
A选项： ，A选项正确；
B选项：设 ，则 ，
解得 ， ，即 ，即 的最大值为 ，B选项正确；
C选项：因为 ，所以 在 上不单调，C选项错误；D选项： ，
令 ，解得 ，即 或 ， ，
当 ， 时， ，函数单调递减，
当当 ， 时， ，函数单调递增，
所以函数 的极大值点为 ， ， ， ，
又函数 在区间 上恰有 个极大值点，则 ，即
，D选项正确；
故选：ABD.
11．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面
积为 ，有以下四个命题中正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．当 ， 时， 不可能是直角三角形
C．当 ， ， 时， 的周长为
D．当 ， ， 时，若 为 的内心，则 的面积为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：
（当且仅当 时取等号）.
令 ， ，故 ，
因为 ，且 ，
故可得点 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数 上，表示圆弧上一点到点 点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点 ，即 时，取得最小值 ，
故可得 ，
又 ，故可得 ，
当且仅当 ， ，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为 ，所以由正弦定理得 ，若 是直角三角形的斜边，则
有 ，即 ，得 ，故选项B错误；
对于选项C，由 ，可得 ，由 得 ，
由正弦定理得， ，即 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，所以化简得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 的周长为 ，故选项C正确；
对于选项D，由C可知， 为直角三角形，且 ， ， ， ，
，所以 的内切圆半径为 ，所以 的面积为
所以选项D正确，
故选：ACD
12．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且
，则下列结论正确的有（ ）
A． B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】AD
【解析】在 中，由正弦定理可将式子 化为
，
把 代入整理得，
，
解得 或 ，即 或 (舍去).
所以 .
选项A正确.
选项B：因为 为锐角三角形， ，所以 .
由 解得 ，故选项B错误.
选项C： ，
因为 ，所以 ， ，
即 的取值范围 .故选项C错误.
选项D：
.因为 ，所以 ， .
令 ， ，则 .
由对勾函数的性质知，函数 在 上单调递增.
又 ， ，所以 .
即 的取值范围为 .故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若
且 在区间 上有最小值无最大值，则 _______．
【答案】4或10
【解析】∵f(x)满足 ，∴ 是f(x)的一条对称轴，
∴ ，∴ ，k∈Z，
∵ω＞0，∴ .
当 时， ，
y＝sinx图像如图：
要使 在区间 上有最小值无最大值，则：或 ，
此时ω＝4或10满足条件；
区间 的长度为： ，
当 时，f(x)最小正周期 ，则f(x)在 既有最大值也有最小值，
故 不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
14．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，已知
且对于任意的 都有 ，若 在 上单调，则 的最
大值为______.
【答案】5
【解析】因为函数 ， ，
所以 ，
所以 ， ,
因为于任意的 都有 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
或 ，
所以 或 ，
即 （舍去），所以 ，因为 ，所以 ，即 ，
令 ，所以 ， 在 上单调，
所以 ，所以 ，而 ，
当 ， ，所以 ，函数在 不单调，舍去；
当 ， ，舍去；
当 ， ，所以 ，函数在 不单调，舍去；
当 ， ，所以 ，函数在 单调，
所以 的最大值为5.
故答案为：5.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ， ，
为 的零点，且 恒成立， 在区间 上有最小值无最大值，则
的最大值是_______
【答案】15
【解析】由题意知函数 为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴ • ，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间 上有最小值无最大值，
∴周期T≥（ ） ，即 ，∴ω≤16．
∴要求 的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得 15+φ＝kπ，φ ，函数为y＝f（x）＝sin（15x ），
在区间 上，15x ∈[ ， ），此时f（x）在 时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.16．（2023·全国·高三对口高考）在 中， ，则
面积的最大值是____________
【答案】
【解析】
，
当 时等号成立.此时 ，即 时，满足题意.
故答案为： .
17．（2023·高一课时练习）用 表示函数 在闭区间I上的最大值．若正数a满足
，则a的最大值为________．
【答案】
【解析】①当 时， ，
若 ，则 ，此时不成立；
②当 时， ，
若 ，则 ，又 ，解得 ；
③当 时， ，若 ，则 ，又 ，解得 ；
④当 时， ， ， ，不符合题意.
综上所述， ，即a的最大值为 .
故答案为：
18．（2023·上海·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，
， ，则 的最大值为_______.
【答案】
【解析】在 中，因为 ， ，
所以 ，
所以
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ，
所以角 为钝角，角 为锐角，
所以要 取最大值，则 取最大值， 取最小值，从而 取最小值．
又 ，
由 ，得 ，
，由 取最大值时，
，
此时由余弦定理可得 ，
从而求得 ，即 最大值为 ．
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，点 为边 的中点，
，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】 ，因为 为边
的中点， ，故 ，故求 的最大值.设 ，
，则由余弦定理， ， ，因为
，故 ，即 ，又
，故 ，即 ，此时 ，故
，当且仅当 时取等号.即 的最小值为
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝
2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是________ ．
【答案】
【解析】因为△ABC的面积为1，所 ，可得 ，
由 ，可得
，设 ，其中 ，
因为 表示点 与点（cosA，sinA）连线的斜率，
如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，
在直角△OAP中， ，可得 ，
所以斜率的最小值为 ，
所以m的最大值为 ，所以 ，所以 ，即BC的最小值为 ，
故答案为： ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，对任意 ，总存在实数 ，使得
，则 的最小值是___
【答案】
【解析】在单位圆中分析，由题意，
的终边要落在图中阴影部分区域
（其中 ），必存在某个正整数 ，使得 终边在OB的下面，而再加上 ，即跨越空白区域到达下
一个周期内的阴影区域内，
∴ ，
∵对任意 要成立，所以必存在某个正整数 ，使得以后的各个角的终边与前面的重
复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的
,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了），
故存在正整数 ,使得 ，即 ， ，
同时 ，
∴ 的最小值为 ,
故答案为： .
22．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ，其中 ， ，
恒成立，且 在区间 上恰有 个零点，则 的取值范围是
______________．
【答案】
【解析】由已知得： 恒成立，则 ，
，
由 得 ，
由于 在区间 上恰有3个零点，故 ，则 ， ，
则 ,
只有当 时，不等式组有解，此时 ，故 ，
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形 的内角A，B，C所对的边分别是
a，b，c，且 ，若 ，则 的取值范围为_______．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，即 ，
∵又 ，且 都为锐角，故 ， ，
因为锐角三角形 ，所以
所以
所以 所以 ，
又因为
所以
所以 ，解得 或 (舍去)
故 .
故答案为： .24．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 内单调递
增，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因函数 在 内单调递增，则 ， ，
即 ，整理得 ，
当 时，则 成立， ，
当 时， ，而 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，则有 ，
当 时， ，而 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，则有 ，
综上得，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
25．（2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考期末）设函数 ，
若对于任意实数 ， 在区间 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 的取
值范围是________．
【答案】
【解析】令 ，则 ，令 ，则 ，
则原问题转化为 在区间 上至少有2个，至多有3个t，使得
，求 得取值范围，作出 与 的图象，如图所示，
由图可知，满足条件可最短区间长度为 ，最长区间长度为 ，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，
若 在区间 内没有极值点，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】 ，
∴ 上 ， 没有极值点，
∴ 或 ，
∴ 或 ，而 且 得： ，
∴ ， 或 .
故答案为：
27．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r米，圆心角
是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I（区域
ACD），区域II（区域CBE）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC=θ，中植花卉总造价记为 ，
现某同学已正确求得： ，则 ___________；种植花卉总造价最小值
为___________.
【答案】
【解析】 ，
在 单调递减，在 单调递增，故
故答案为： ；
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对
任意 都有 ，若 在 上的取值范围是 ，则实数
的取值范围是__________．【答案】
【解析】 ，其中
，
因为函数 对任意 ， 都有 ，
所以 的最大值为 ，所以 ，即 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
若 在 ， 上的值域为 ，
所以
结合正弦函数的性质可知， ，
解得 ，
即实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 分别为锐角 的三个内角 ， ，
的对边，若 ，且 ，则 的周长的取值范围为__________．
【答案】
【解析】解:因为 ,所以
由余弦定理可得
同理可得: ,即 .消去 ,
可得
即 ,可得
由正弦定理 ,可得 ,即
因为 为锐角三角形,且 ,所以即 ,所以 ,即 ．
又因为 ,即
所以 的周长为
由二次函数性质可得, 的周长的取值范围为: ．
故答案为: ．
30．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中， ， ，则中线
AD长的取值范围是_______;
【答案】
【解析】设 ， ，对 运用正弦定理，得到
，解得 ，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组
，解得 ，故 ，结合二次函数性质，
得到 ，运用向量得到 ，
所以
，结合bc的范围，代入，得到 的范围为
四、解答题
31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 ， ，求 的对称中心；
(2)已知 ，函数 图象向右平移 个单位得到函数 的图象， 是
的一个零点，若函数 在 （m， 且 ）上恰好有10个零点，求 的
最小值；
【解析】（1）∵ 的最小正周期为 ，
又∵ ， ，∴ 的最小正周期是 ，故 ，解得 ，
当 时， ，
由 ，
的对称中心为 ；
当 时， ，
由 ，
的对称中心为 ；
综上所述， 的对称中心为 或 .
（2）∵函数 图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，
∴ .
又∵ 是 的一个零点，
，即 ，
∴ 或 ， ，
解得 或 ，
由 可得
∴ ，最小正周期 .
令 ，则
即 或 ， ，解得 或 ，
；
若函数 在 （ ）上恰好有10个零点，故要使 最小，须m､n恰好为 的零点，故 .
32．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为
．
（1）求角 的大小；
（2）设点 是 的中点，若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）在 中，由正弦定理 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
即 ，即 ，可得 ，
又因为 ，所以 ．
（2）如图，延长 到 ，满足 ，连接 ，
则 为平行四边形，且 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，可得 ，即 ，
由基本不等式得： ，即 ，
即 ，可得 ，（当且仅当 取等号号）
又由 ，即 ，
故 的取值范围是 .
