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专题一 三角函数与解三角形
微专题1 含参三角函数特征量ω 问题
一、考点透析
考点1 三角函数的周期T 与ω 的关系
1．（25-26 高三上·广东·开学考试）已知函数
的图象
向右平移
个单位长度后与原图象重合，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】周期变换及解析式特征、求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据题意可得出三角函数的周期，然后求出结果即可.
【详解】由题可知
是该函数的周期的整数倍，即
，
解得
，又
，故其最小值为
.
故选：B．
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
与
的图象在
上恰有
5 个公共点，且其中一个公共点的坐标为
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、周期变换及解析式特征
【分析】先根据
经过点
，得出
只能为整数，排除选项A，C；再结
合图像可验证选项B 满足题意，选项D 不满足题意.
【详解】由题意知
经过点
，
因此
，得：
，
即
只能为整数，排除选项A，C；
当
时，作出
与
在
上的图象：
由图像可得：
与
的图象在
上有5 个公共点，满足题意.
当
时，作出
与
在
上的图象：
由图象可得：
与
的图象在
上有7 个公共点，不满足题意.
故选：B.
考点2 三角函数的单调性与ω 的关系
1．（2025·辽宁·二模）已知函数
在区间
上单调，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合题设和函数的周期公式可得
，再根据余弦函数的性质可得
，进而求解即可.
【详解】由题可知
的最小正周期为
，因为
在区间
上单调，
所以
，则
，解得
，
当
时，
，
且
，
，
所以
，解得
，结合
，得
的取值范围为
．
故选：D．
2.（2025·北京高三阶段练习）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤π
2 ），f
（－π
4 ）＝0，｜f（π
4 ）｜＝1，且f（x）在（π
4 ，π
3 ）上单调，则ω 的最大值为（ ）
A.7
B.9
C.11
D.13
【答案】C
【解析】（1）函数f（x）＝sin（ωx＋φ），因为f（－π
4 ）＝sin（－π
4 ω＋φ）＝0，
所以－π
4 ω＋φ＝kπ，k∈Z ①，又｜f（π
4 ）｜＝1，
所以x＝π
4 是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的一条对称轴，
所以π
4 ω＋φ＝k'π＋π
2 ，k'∈Z ②，由①②可得φ＝k ＋k '
2
π＋π
4 ，k，k'∈Z，
又因为｜φ｜≤π
2 ，所以φ＝±π
4 ，且ω＝－4k＋1，k∈Z 或ω＝－4k－1，k∈Z，
又函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期T＝2π
ω ，又f（x）在（π
4 ，π
3 ）上单调，
所以π
3 －π
4 ≤π
ω，所以0＜ω≤12，所以ω 的最大值为11.
故选C.
考点3 三角函数的对称性与ω 的关系
1．（2025·山东青岛·三模）已知函数
的图象关于点
中心对称，
则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】由三角函数图象的对称性可得结果.
【详解】由题意，可得
，且
，即
，
所以
，解得：
，
，
函数
，
所以
.
故选：C.
2．（2025·湖南长沙·三模）将函数
的图象向左平移
个单位得
到的函数图象关于
轴对称，则
的值可以为（ ）
A．
B．1
C．2
D．5
【答案】B
【分析】利用三角函数平移规律得到函数
，由函数图象关于
轴对称，
推出函数为偶函数，求得
，结合选项即得.
【详解】函数
的图象向左平移
个单位得到的函数为：
，
依题意，函数
是偶函数，故
，
解得
，又
，结合选项，可得
可以取1．
考点4 三角函数的最值与ω 的关系
1．（2025·四川巴中·二模）已知函数
在区间
上的最小值为
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由
得
的范围，因此
在这个范围内，从而可得
的范围.
【详解】由题意，
在区间
上的最小值为
，
当
时，
；
当
时，
.
则
的取值范围为
或
.
故答案为：
.
2. 将函数f（x）＝sin（2ωx＋φ）（ω＞0，φ∈[0，2π]）图象上每点的横坐标变为原来的
2 倍，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的部分图象如图所示，且g（x）在[0，2π]上
恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则ω 的取值范围是（
）
A.（7
12，13
12］
B.［7
12，13
12）
C.［11
12，17
12）
D.（11
12，17
12］
【答案】C
【解析】（2）由已知得函数g（x）＝sin（ωx＋φ），由g（x）图象过点（0，
❑√3
2 ）以及
点在图象上的位置，知sin φ＝
❑√3
2 ，φ＝2π
3 ，∵0≤x≤2π，∴2π
3 ≤ωx＋2π
3 ≤2πω＋2π
3
，由g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴5 π
2 ≤2πω＋2π
3 ＜7 π
2 ，∴11
12
≤ω＜17
12.所以答案选C
考点5 三角函数的零点与ω 的关系
1．（2025·北京·高考真题）设函数
，若
恒成立，
且
在
上存在零点，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数
，
设函数
的最小正周期为T，由
可得
，
所以
，即
；
又函数
在
上存在零点，且当
时，
，
所以
，即
；
综上，
的最小值为4.
故选：C.
2．（2025·河北唐山·三模）已知函数
在区间
上恰好存
在5 个零点，则正整数
.
【答案】5
【分析】令
，得到
，并求出
，数形结合得到
，求出答案.
【详解】令
，即
，当
时，
，
因为
，故
或
，其中
，
从小到大，设函数零点分别为
，
则有
，
，
，
，
，
由题意知
，解得
，故正整数
.
故答案为：5
二、跟踪练习
1．（2025·天津·高考真题）
，在
上单调递增，
且
为它的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当
时，
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性得出
，根据单调性得出
，从而确定
，
结合对称轴与对称中心再求出
，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可
得解.
【详解】设
的最小正周期为
，根据题意有
，
，
由正弦函数的对称性可知
，
即
，
又
在
上单调递增，则
，
∴
，则
，
∵
，∴
时，
，∴
，
当
时，
，
由正弦函数的单调性可知
.
故选：A
2.函数f(x)＝2sin (ωx +π
3 )(ω>0)在区间[0，20]上有50 个最大值，则ω 的取值范围
__________.
【答案】［589π
120 ，601π
120 ）
【解析】因为函数f(x)＝2sin (ωx +π
3 )(ω>0)在区间[0，20]上有50 个最大值，
第1 个最大值为：ωx＋π
3 ＝π
2 ，
第2 个最大值为：ωx＋π
3 ＝π
2 ＋2π，
第3 个最大值为：ωx＋π
3 ＝π
2 ＋4π，
……
第50 个最大值为：ωx＋π
3 ＝π
2 ＋49×2π，
第51 个最大值为：ωx＋π
3 ＝π
2 ＋50×2π，
所以π
2 ＋49×2π≤20ω＋π
3 <π
2 ＋50×2π，解得 π
120 + 49π
10 ≤ω<π
120＋
5π，
综上：ω 的取值范围是［589π
120 ，601π
120 ）.
3．（2025·辽宁·三模）函数
，其
，若对于
，都有
恒成立，则
的取值不可能是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得
在
上单调，借助函数图象的对称轴建立不等式
求出
范围即可.
【详解】依题意，函数
在
上单调，函数
图象对称轴为
，
，解得
，
由
，解得
，又
，则
或
，
所以
或
，
的取值不可能是
.
故选：C
4.（2025·福建九地市质量检测）已知函数f（x）＝2sin ωx（❑√3sin ωx＋cos ωx）（ω＞
0）在（0，π
3 ）上单调递增，且对任意的实数a，f（x）在（a，a＋π）上不单调，则ω 的
取值范围为（ ）
A.（1，5
2］
B.（1，5
4 ］
C.（1
2，5
2］
D.（1
2，5
4 ］
【答案】D
【解析】 f（x）＝2sin ωx（❑√3sin ωx＋cos ωx）＝2❑√3sin2ωx＋2sin ωxcos ωx＝2sin
（2ωx－π
3 ）＋❑√3，∵f（x）在（0，π
3 ）上单调递增，∴2ω·π
3 －π
3 ≤π
2 ，解得ω≤5
4 ，又
对任意的实数a，f（x）在区间（a，a＋π）上不单调，∴f（x）的周期T＜2π，∴T＝2π
2ω
＜2π，∴ω＞1
2，∴1
2＜ω≤5
4 ，故选D.
5.已知函数f(x)＝sin ωx－❑√3cos ωx＋1(ω>0)在(0，2π)上有且只有5 个零点，则
实数ω 的取值范围是( )
A．(
11
2 ，37
6 ]
B．(
13
6 ，7
2]
C．(
25
12 ，11
4 ]
D．(
25
12 ，11
2 ]
【答案】C
【解析】因为f(x)＝sin ωx－❑√3cos ωx＋1＝2sin (ωx −π
3 )＋1，
令f(x)＝2sin (ωx −π
3 )＋1＝0，即sin (ωx −π
3 )＝－1
2，
所以sin (ωx −π
3 )＝－1
2在(0，2π)上有且只有5 个零点，
因为x∈(0，2π)，所以ωx－π
3 ∈(−π
3 ，2πω－π
3 )，
所以由正弦函数图象，如图，要使sin (ωx −π
3 )＝－1
2在(0，2π)上有且只
有5 个零点，则23π
6
<2πω－π
3 ≤31π
6
，即25
12<ω≤11
4 ，
所以实数ω 的取值范围是(
25
12 ，11
4 ].故选C．
