文档内容
专题 3-3 三角函数与解三角形综合大题 21 种类型
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】“化一法”................................................................................................................................................2
【题型二】恒成立求参型...........................................................................................................................................3
【题型三】利用对称性求三角函数零点...............................................................................................................3
【题型四】恒等变形....................................................................................................................................................4
【题型五】三角函数图像与解析式综合...............................................................................................................4
【题型六】正弦定理化简求角..................................................................................................................................4
【题型七】余弦定理+均值求角范围......................................................................................................................6
【题型八】求周长最值型...........................................................................................................................................7
【题型九】求面积最值型...........................................................................................................................................7
【题型十】四边形最值型...........................................................................................................................................8
【题型十一】中线型最值...........................................................................................................................................8
【题型十二】角平分线型最值..................................................................................................................................9
【题型十三】与高有关的最值型...........................................................................................................................10
【题型十四】外接圆型.............................................................................................................................................11
【题型十五】有角无边型最值...............................................................................................................................12
【题型十六】边系数不对称型最值......................................................................................................................12
【题型十七】角非对边型最值...............................................................................................................................12
【题型十八】判断三角形形状...............................................................................................................................13
【题型十九】三角形几解的问题...........................................................................................................................13
【题型二十】三角形中边与角的不等式恒明...................................................................................................14
【题型二十一】解三角形模型应用......................................................................................................................14
专题训练.........................................................................................................................................................................15
讲高考
1．（2022·天津·统考高考真题）在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
2．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以
a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
3．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．4．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
5．（2022·浙江·统考高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
6．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
7．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
题型全归纳
【题型一】“化一法”
【讲题型】
例题.已知函数 ．
(1)求函数 的对称中心及最小正周期；
(2)若 ， ，求 的值．【讲技巧】
化一法，即通过二倍角、降幂公式，两角和与差公式，化简为辅助角形式，再利用辅助
角化为正余弦单一函数形式，再借助函数性质求解计算。
【练题型】
已知函数 .
(1)求 的最小正周期及对称轴方程；
(2) 时， 的最大值为 ，最小值为 ，求 ， 的值.
【题型二】恒成立求参型
【讲题型】
例题.已知函数 ，其中向量 ，
．
(1)求 的解析式及对称中心和单调减区间；
(2)不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围．
【讲技巧】
恒成立两个基础结论：
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
【练题型】
已知函数 的一个零点为 ．
(1)求A和函数 的最小正周期；
(2)当 时，若 恒成立，求实数m的取值范围．
【题型三】利用对称性求三角函数零点
【讲题型】
例题.已知 ．
(1)求函数 的值域；
(2)若方程 在 上的所有实根按从小到大的顺序分别记为 ，求
的值．
【讲技巧】
三角函数图像的主要一个特征，就是轴对称与中心对称。
1. 与水平线相交时的零点，多以对称轴为突破点
2. 与其他函数相交时的零点，一般情况下，要看看其他函数是否具有对称中心
【练题型】已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 在区间 上恰有 个零点 ，
（i）求实数 的取值范围；
（ii）求 的值.
【题型四】恒等变形
【讲题型】
例题.已知 、 是方程 的两个实数根.
(1)求实数 的值；
(2)求 的值；
(3)若 ，求 的值.
【讲技巧】
(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tan x＝；②降次数：公式cos2α＝，sin2α＝；
(2)和积转换法：运用公式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ解决sin θ±cos θ与sin θcos θ
关系的变形、转化；
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan；
(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)
－β，β＝－等
【练题型】
已知 ．
(1)求证： ；
(2)若已知 ，求 的值．
【题型五】三角函数图像与解析式综合
【讲题型】
例题.已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.当 时，方程
恰有三个不相等的实数根， ，求实数a的取值范围以及
的值.
【讲技巧】
形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质
(1)图像变换：
①相位变换：y＝sin x→y＝sin(x＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)| φ|个单位；
②周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸
长)为原来的||倍；
③振幅变换： y＝sin (ωx＋φ) →y＝Asin(ωx＋φ) 的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩
小(伸长)为原来的|A|倍；
注意：y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)变换规则是：先提取后者x的系数ω，然后在左(右)平
移||个单位；
(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向
外 ③单调性：同增异减
(3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝ ②y＝|
Asin(ωx＋φ)|的周期T＝.
(3)对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用
整体代入求解．
①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐
标；
正弦“第一零点”： ；正弦“第二零点”：
余弦“第一零点”： ；余弦“第二零点”：
【练题型】
已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐
标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．当 时，方程
恰有三个不相等的实数根 ，求实数a的取值范围和
的值．
【题型六】正弦定理化简求角【讲题型】
例题.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【讲技巧】
在处理三角形中的边角关系时，一般将边角混合的式子全部化为角的关系式或全部化为
边的关系式．式子中若出现边的一次式，一般采用正弦定理，若出现边的二次式，一般
采用余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意
角的限制范围．
【练题型】
在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)△求A；
(2)若 ABC的面积为 ， ，求a．
△ 【题型七】余弦定理+均值求角范围
【讲题型】
例题.已知 的内角 所对的边分别为 ， .
(1)求角 的最大值；
(2)若 的面积为 ， ，且 ，求b和c的值.
【讲技巧】
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范
围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角
形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
【练题型】
记锐角 的内角为 ，已知 .
(1)求角 的最大值；
(2)当角 取得最大值时，求 的取值范围.
【题型八】求周长最值型
【讲题型】
例题.．在① ；② ；③设△ABC的面积为S，且
．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角B的大小；(2)若 ， ，求钝角△ABC的周长的取值范围．
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【讲技巧】
解三角形：最值范围
1. 可以用余弦定理+均值不等式来求解。
2. 可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求
解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
【练题型】
已知 ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 .
(1)求△B的大小；
(2)若 ABC为钝角三角形，且 ，求 ABC的周长的取值范围.
△ △
【题型九】求面积最值型
【讲题型】
例题.在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ．
(1)若 ，求角 的值；
(2)若 外接圆的周长为 ，求 面积的取值范围．
【练题型】
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)若 ， 的面积为 ，求 的值；
(2)若 为锐角三角形，作角B的平分线交AC于点D，记 与 的面积分别
为 ， ，求 的取值范围.
【题型十】四边形最值型
【讲题型】
例题.如图所示，在平面四边形 中， ，设
.(1)若 ，求 的长；
(2)当 为何值时，△ 的面积取得最大值，并求出该最大值.
【讲技巧】
四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个
三角形个再各自用余弦定理，构建数量关系
【练题型】
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 外一点（ 、 在直线 两侧）， ， ，求四边形
面积的最大值．
【题型十一】中线型最值
【讲题型】
例题.．已知 内角 所对的边分别为 ，面积为 ，且
，求：
(1)求角A的大小；
(2)求 边中线 长的最小值.
【讲技巧】
三角形中线的处理方法（如图）：
1.向量法：
2. 双余弦定理法（补角法）：
如图设 ，
在 中，由余弦定理得 ，①在 中，由余弦定理得 ，②
因为 ，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
【练题型】
已知 内角 所对的边分别为 ，面积为 ，再从条件①、条件②这两个条
件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：
(1)求角 的大小；
(2)求 边中线 长的最小值.
条件①： ;
条件②： .
【题型十二】角平分线型最值
【讲题型】
例题.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足
(1)求角 ；
(2)若角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值.
【讲技巧】
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：【练题型】
已知 的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求内角A的角平分线 长的最大值．
，
【题型十三】与高有关的最值型
【讲题型】
例题.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 边上的高，求 的最大值．
【讲技巧】
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
5.三角形内心：【练题型】
在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 且
.
(1)若 ，求 ；
(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.
【题型十四】外接圆型
【讲题型】
例题.已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且外接圆的半径为 ，求 的取值范围.
【讲技巧】
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角
三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径
【练题型】
在 中，角 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若 外接圆的半径为 ，点D为 边的中点，证明： ．
【题型十五】有角无边型最值
【讲题型】
例题.在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
(1)证明： ；(2)求 的取值范围.
【讲技巧】
有角无边型
1.一个角为定值，则另外俩角和为定值，所以可以消角。
2.注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式
范围求解。
3.有角无边型，如果出现边，多为边的比值齐次式型，一般可以用正弦定地来边化角转化
【练题型】
已知在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的三边，若
(1)求∠C的大小；
(2)求 的值．
【题型十六】边系数不对称型最值
【讲题型】
例题
在锐角三角形 中,角 的对边分别为 ,向量 ,
,且 .
(1)求角 的大小;
(2)若 的面积为 ,求 的取值范围.
【练题型】
已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 的取值范围．
【题型十七】角非对边型最值
【讲题型】
例题.在锐角 中，角A， ， 所对的边分别为 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【练题型】
在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求角B的值；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
【题型十八】判断三角形形状
【讲题型】
例题.在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答
问题．
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．(1)求角C的值；
(2)若 的面积 ，试判断 的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【讲技巧】
判断三角形形状的方法：
（1）角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之
间的关系，进行判断；
（2）边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及
诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种
情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．
【练题型】
已知 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且 ．
(1)若 ，求A的大小；
(2)当 取得最大值时，试判断 的形状．
【题型十九】三角形几解的问题
【讲题型】
例题.已知 三内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且 .
(1)求角A的值；
(2)在解三角形问题中，若 ，且 有两解，求边a的取值范围.
【练题型】
在 中，角 所对应的边分别为 ， ， 时，
（1）若 ，求
（2）记
（i）当 为何值时，使得 有解；（写出满足条件的所有 的值）
（ii）当 为何值时， 为直角三角形
（iii）直接写出一个满足条件的 值，使得 有两解
【题型二十】三角形中边与角的不等式恒明
【讲题型】
例题.在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明： ．
【练题型】
已知 .
(1)求 的取值范围；(2)若 ， ，求证： .
【题型二十一】解三角形模型应用
【讲题型】
例题.如图，经过村庄A有两条夹角为 的公路 ， ，根据规划，在两条公路之间的
区域内建一工厂 ，分别在两条公路边上建两个仓库 ， （异于村庄 ），要求
（单位： ）.
(1)当 时，求线段 的长度；
(2)设 ，当 取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距
离最远）
【练题型】
2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，
全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧
仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五
边形 所示，线段 处修建步行道， 为等腰三角形，且 ，
， ， .
(1)求步行道BE的长度；
(2)若沿海的 区域为绿化带， ，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周
长与面积.1.已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 为 的垂心， ，求 面积的最大值.
2．从① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题
目．
已知 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．某公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路（不计道路宽度），道路三角形的顶点
分别在草坪三角形的三条边上．
(1)第一块草坪的三条边 米， 米， 米，若 ，
（如图）， 区域内种植郁金香，求郁金香种植面积．
(2)第二块草坪的三条边 米， 米， 米，M为PQ中点，
（如图）， 区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值．
4．已知函数 在 上单调．
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ， ，求 ABC周长的
最大值△． △
5．记 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若 ，求 的面积的最大值.
6．在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ， ， 依次组成等差
数列.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围.
7．在 ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且 .
(1)求B△；
(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.
8．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求 的值：
(2)求 的最大值．
9．已知 的内角 的对边分别为 ， 为钝角．若 的面积为 ，且
．
(1)证明： ；
(2)求 的最大值．
10．在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在 中，角 所对的边分别为 ，且__________.
(1)求角 的大小；
(2)已知 ，且角 有两解，求 的范围.
