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专题一 三角函数与解三角形
第2 讲 三角函数的图象与性质
一、考点透析
考点1 三角函数的值域、最值
1．（2025·上海·高考真题）函数
在
上的值域为 ．
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数
在
上单调递增，在
单调递减，
且
，
故函数
在
上的值域为
.
故答案为：
.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接由题意得
，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得
，由此可得值域，进一步由整体代入法可得
函数
的单调区间.
【详解】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
3．（2025·山西·三模）已知
．
(1)求函数
的最小正周期及单调递增区间；
(2)设
，若函数
和
在
有相同的最大值，求
的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为
，
，
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得
，利用
和
整体代换法计算即可求解；
（2）根据正弦函数的图象与性质求出
在
上的最大值，进而得
在
上的最大值，建立关于
的方程，得
，即可求解.
【详解】（1）
，
所以函数
的最小正周期为
．
由
，
，
得
，
，
所以
的单调递增区间为
，
．
（2）当
，得
，
所以
在
上的最大值为
，
则
在
上的最大值也是
．
由
，
，得
，
，
因为
，所以
，
，
又
，所以
或
．
综上,
的取值范围为
.
考点2 三角函数的图象与解析式
1．（多选题2025·重庆·三模）如图是函数
的部分图
象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于
中心对称
C．
在
上单调递增
D．
的图象向左平移
个单位长度后为奇函数
【答案】AC
【分析】根据
、
结合周期可判断A；根据余弦函数的单调性及对称性
可判断BC；根据函数图象平移得到函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断D.
【详解】对于A，由
得
，由
得
，
由
得
，故
，
化简得
，
由图可知该函数的周期
，故
，解得
，
所以
，故A 正确；
对于B，由
，得
不是函数的对称中心，故B 错误；
对于C，由
，可得
，
由
，得函数
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，
此时
为偶函数，故D 错误.
故选：AC.
2．已知函数
( )
sin(
f x
x
），如图，A，B 是直线
1
2
y
与曲线
( )
y
f x
的两个交
点，若
π
|
|
6
AB
，则
(π)
f
_________.
【答案】
【详解】设
，
，由
可得
.
由
可知，
或
，
，则由题图可知，
，即
，所以
，
所以
.
因为
，所以
，
，即
，
，
所以
，
，
所以
或
.
又因为
，所以
，所以
.
3.函数y＝
2tan x
1－tan
2 x 的最小正周期为 .
【答案】π
【详解】y＝
2tan x
1－tan
2 x ＝tan 2x，x≠kπ±π
4 且x≠kπ＋π
2 ，k∈Z，每π 个单位长度的
区间上，函数图象要去掉一个点（π
2 ＋kπ，0），函数图象是每两个π
2 个单位长度的区间
上，重复出现一次完全相同的图象，所以周期是π.
考点3 三角函数的性质及应用
1．（2025·北京·高考真题）已知
，且
，
.写出满足条件的一组
的值
，
．
【答案】
（答案不唯一）
（答案不唯一）
【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【详解】因为
，
，
所以
的终边关于
轴对称，且不与
轴重合，
故
且
，
即
，
故取
可满足题设要求；
故答案为：
；
（答案不唯一）
2．（2025·全国一卷·高考真题）若点
是函数
的图象的一个对称
中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，
即
，
又
，则
时
最小，最小值是
，
即
.
故选：B
3．（2025·江苏苏州·三模）设函数
，若
在
内恰有3 个零
点，则
的取值不可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据零点个数得到
的取值范围，再根据各个
的值得出零点个
数判断各个选项即可判断.
【详解】当
时
，
因为
在
内恰有3 个零点，
，即存在有3 个不同的解使
得
，
当
时，
，所以满足
的值有
，符合题意；
当
时，
，所以满足
的值有
，符合题意；
当
时，
，所以满足
的值有
，不符合题意；
当
时，
，所以满足
的值有
，符合题意；
故选：C
4.（2023·全国乙）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（π
6 ，2π
3 ）上单调递增，直线x
＝π
6 和x＝2π
3 为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－5 π
12 ）＝（ ）
A.－
❑√3
2
B.－1
2
C.1
2
D.
❑√3
2
【详解】D 由函数f（x）在区间（π
6 ，2π
3 ）上单调递增，且直线x＝π
6 和x＝2π
3 是函数f
（x）的图象的两条相邻对称轴，得2π
ω ＝2（2π
3 －π
6 ），解得ω＝2，则f（π
6 ）＝sin（π
3
＋φ）＝－1，所以φ＝－π
2 ＋2kπ－π
3 ＝－5 π
6 ＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－5 π
6 ＋
2kπ），k∈Z，则f（－5 π
12 ）＝sin（－5 π
3 ＋2kπ）＝sin（－5 π
3 ）＝
❑√3
2 .故选D.
二、跟踪练习
1．（2025·天津·高考真题）
，在
上单调递增，
且
为它的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当
时，
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性得出
，根据单调性得出
，从而确定
，
结合对称轴与对称中心再求出
，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可
得解.
【详解】设
的最小正周期为
，根据题意有
，
，
由正弦函数的对称性可知
，
即
，
又
在
上单调递增，则
，
∴
，则
，
∵
，∴
时，
，∴
，
当
时，
，
由正弦函数的单调性可知
.
故选：A
2．（多选题2025·内蒙古赤峰·三模）将函数
图象上每
个点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于点
对称
D．
在
上的最大值为2
【答案】BC
【分析】求出变换之后
的解析式，依次判断选项可得结果.
【详解】由
则
，
所以
，
，
所以函数定义域为
，
令
，则
，
所以
为奇函数，故A 错误.
的最小正周期为
，B 正确.
由
，
得
的图象关于点
对称，C 正确.
令
，
由
，得
，
又
在
单调递增，
所以
时，
取得最大值
，
则
在
上的最大值为
，D 错误
故选：BC
3．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数
.
(1)求
的单调递减区间；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，当函数
在
上有一个零点时，求k 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数关系变形成正弦型函数，结合正
弦函数的单调性即可求解；
（2）利用正弦函数的性质求出结果.
【详解】（1）
,
令
，
解得：
，
所以
的单调递减区间为
（2）将函数
的图象向右平移
个单位后得到
，
则
，
因为
，所以
，
所以要使函数
在
上有一个零点，则
与
只有一个交点，
结合正弦函数的图象：
可得当
或
，即
或
，
即
或
，
或
时，
与
只有
一个交点，
所以实数
的取值范围为
