文档内容
微专题02 三角函数的范围与最值
【秒杀总结】
一、三角函数 中 的大小及取值范围
1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即 ；
2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即 ；
3、任意对称轴与对称中心之间的距离为 周期加半周期的整数倍，即 ；
4、 在区间 内单调 且
5、 在区间 内不单调 内至少有一条对称轴，
6、 在区间 内没有零点 且
7、 在区间 内有 个零点 ．
二、三角形范围与最值问题
1、坐标法：把动点转为为轨迹方程
2、几何法
3、引入角度，将边转化为角的关系
4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；
（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， 的内切圆的面积为 ，
则边 长度的最小值为（ ）
A．16 B．24 C．25 D．36
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，为 的零点：且 恒成立， 在 区间上有最小值无最大值，则
的最大值是（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
例3．（2023·高一课时练习）如图，直角 的斜边 长为2， ，且点 分
别在 轴， 轴正半轴上滑动，点 在线段 的右上方．设 ，（
），记 ， ，分别考查 的所有运算结果，则
A． 有最小值， 有最大值 B． 有最大值， 有最小值
C． 有最大值， 有最大值 D． 有最小值， 有最小值
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 图象上存在两条互
相垂直的切线，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，函数 恰有
3个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递
增，且当 时， 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．例7．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
的面积为S，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·上海·高三专题练习）在钝角 中， 分别是 的内角 所
对的边，点 是 的重心，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）设锐角 的内角 所对的边分别为 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
例10．（2023·上海·高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O的
圆，已知圆O的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭
建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形 为亲水木平台区域（四边形
是矩形，A，D分别为 的中点， 米），亲水玻璃桥以点A为一出入口，
另两出入口B，C分别在平台区域 边界上（不含端点），且设计成 ，另
一段玻璃桥 满足 ．
(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：
）
(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为
，宽度、连接处忽略不计）．例11．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满
足
(1)设 ， ，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求 的值；
(2)若 为锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，设函数 ， ，
若当 对 恒成立时， 的最大值为 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习） 中， ，O是 外接圆圆心，
是 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，若 ，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设 ，函数 ．
若 在 上单调递增，且函数 与 的图象有三个交点，则 的取值范围是
（ ）A． B．
C． D．
5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数
在 上恰有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上有且仅有
4条对称轴，给出下列四个结论：
① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；
④ 在区间 上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
7．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 有且仅有3个零点，
则下列说法正确的是（ ）
A．在 不存在 ， 使得
B．函数 在 仅有1个最大值点
C．函数 在 上单调进增
D．实数 的取值范围是
8．（2023·上海·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023秋·山东济南·高三统考期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，
且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 为直角三角形
C．若 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为
D．若 为边 上一点，且 ，则 的最小值为
10．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数 ，则下
列说法中正确的是（ ）
A．
B． 的最大值是
C． 在 上单调递增
D．若函数 在区间 上恰有 个极大值点，则 的取值范围为
11．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面
积为 ，有以下四个命题中正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．当 ， 时， 不可能是直角三角形
C．当 ， ， 时， 的周长为
D．当 ， ， 时，若 为 的内心，则 的面积为
12．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若
且 在区间 上有最小值无最大值，则 _______．
14．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，已知
且对于任意的 都有 ，若 在 上单调，则 的最
大值为______.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ， ，
为 的零点，且 恒成立， 在区间 上有最小值无最大值，则
的最大值是_______
16．（2023·全国·高三对口高考）在 中， ，则
面积的最大值是____________
17．（2023·高一课时练习）用 表示函数 在闭区间I上的最大值．若正数a满足
，则a的最大值为________．
18．（2023·上海·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，
， ，则 的最大值为_______.
19．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，点 为边 的中点，
，则 的最小值为______.
20．（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝
2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是________ ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，对任意 ，总存在实数 ，使得，则 的最小值是___
22．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ，其中 ， ，
恒成立，且 在区间 上恰有 个零点，则 的取值范围是
______________．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形 的内角A，B，C所对的边分别是
a，b，c，且 ，若 ，则 的取值范围为_______．
24．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 内单调递
增，则实数 的取值范围是___________.
25．（2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考期末）设函数 ，
若对于任意实数 ， 在区间 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 的取
值范围是________．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，
若 在区间 内没有极值点，则 的取值范围是___________.
27．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r米，圆心角
是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I（区域
ACD），区域II（区域CBE）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方
米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC=θ，中植花卉总造价记为 ，
现某同学已正确求得： ，则 ___________；种植花卉总造价最小值
为___________.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对
任意 都有 ，若 在 上的取值范围是 ，则实数
的取值范围是__________．29．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 分别为锐角 的三个内角 ， ，
的对边，若 ，且 ，则 的周长的取值范围为__________．
30．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中， ， ，则中线
AD长的取值范围是_______;
四、解答题
31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 ， ，求 的对称中心；
(2)已知 ，函数 图象向右平移 个单位得到函数 的图象， 是
的一个零点，若函数 在 （m， 且 ）上恰好有10个零点，求 的
最小值；
32．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为
．
（1）求角 的大小；
（2）设点 是 的中点，若 ，求 的取值范围．
