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专题一 三角函数与解三角形
微专题2 向量模几何意义与三角形四心
一、考点透析
考点1 平面向量模的几何意义
1．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
，若点
满
足
，则
（ ）
A．-3
B．0
C．1
D．4
2.（2025·上海·高考真题）已知
，
是平面内三个不同的单位向量．
若
，则
可的取值范围是 ．
3．（2025·湖南岳阳·三模）已知不共线的向量
，满足
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
考点2 重心问题
1．已知
，
为平面内任意一点，动点
满足
，则点
的轨迹一定经过（ ）
A．
的内心
B．
的垂心
C．
的重心
D．
的外心
2．
为
平面内一定点，该平面内一动点
满足
，则
的（ ）一定属于
集合
.
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
考点3 外心
1．在
中，若动点
满足
，则
点的轨迹一定经过
的
（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
2．
中，
为
边上的高且
，动点
满足
，则点
的轨迹一定过
的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
考点4 内心
1．已知
，若点P 满足
，其中
，则点P 的轨迹一定通过
的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
2．若满足
，则O 为
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
考点5 垂心
1．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若
则直线
BD 一定经过三角形ABC 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
2．已知
为
所在平面内一点，动点
满足：
，其中
，则动点
的轨迹一定通过
的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
考点6 奔驰定理
1．已知点A，B，C，P 在同一平面内，
，
，
，则
等于（ ）
A．14∶3
B．19∶4
C．24∶5
D．29∶6
2．已知
是
内的一点，若
的面积分别记为
，则
.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的
很相似，故形象地
称其为“奔驰定理”.如图，已知
是
的垂心，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、跟踪练习
1．已知
是平面上一定点，
是平面上不共线的三点，动点
满足
，
，则
点的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
2．已知在同一个平面上有
和一点
，且满足关系式：
，则
为
的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
3．已知
为
所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若
，则
为
内心
②若
，则
为等腰三角形
③若
，则
为
的外心
④若
，则点
的轨迹一定经过
的重心
A．1
B．2
C．3
D．4
4．边长为2 的等边三角形ABC 的重心为G，设平面内任意一点P，则
的最小值为
．
5．设点
在
内部，且
，则
与
的面积之比为
.
