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第 17 讲 复数
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.复数的有关概念
(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母
z表示，即 z ＝ a ＋ b i (a，b∈R)，其中a称为z的实部，b 称为z的虚部.
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数⇔ b ＝ 0
复数的
a＋bi为虚数⇔ b ≠ 0
分类
a＋bi为纯虚数⇔ a ＝ 0 且 b ≠ 0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数
⇔
互为共轭复数，复数z的共轭复数用z 表示.
(5)复数的模：向量OZ＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对
值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝ .当 b＝0时，|z|＝＝ | a |.
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点 Z ( a ， b ) 及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一
对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z ＝a＋bi，z ＝c＋di，a，b，c，d∈R.
1 2
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形 OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、
1 2
减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
(3)由复数加、减法的几何意义可得 | | z | － | z ||≤|z ±z |≤ | z | ＋ |
1 2 1 2 1
z |.
2二、考点和典型例题
1、复数的概念及几何意义
【典例1-1】（2022·江西萍乡·三模（理））在复平面内，复数 所对应的点关于虚轴对
称，若 ，则复数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为 对应的点为 ， 所对应的点关于虚轴对称，
所以 对应的点为 ，所以 .
故选：B.
【典例1-2】（2022·江西师大附中三模（理））对任意复数 ， 为
虚数单位， 是z的共轭复数，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对于A，由 ，得 ，
则 ，故A正确；
对于B，因为 ，
，所以 ，故B错误；
对于C，由 ，得 ，
所以 ，故C正确；对于D，因为 ，故D正确.
故选：B.
【典例1-3】（2022·浙江·效实中学模拟预测）设 是虚数单位，复数 为实数，则实数
的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】
依题意，复数 为实数，
所以 .
故选：C
【典例1-4】（2022·广东广州·三模）若复数 满足 ，则在复平面内 的共
轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】
由 得 ，则 ，
则复平面内 的共轭复数对应的点位于第一象限.
故选：A.
【典例1-5】（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）设i是虚数单位，复数 满足
，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】
由题意得 ，即 ，故 ，其对应的点 在第四象限，
故选：D
【典例1-6】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数 满足 ，
则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以复数 的虚部为 ，
故选：A.
【典例1-7】（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）在复平面内，复数 对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】
由题得 ，即为复平面的点 ，故在第三象限.
故选：C．
【典例1-8】（2022·天津·二模）如果复数z满足 ，那么 的最大值是
______ ．
【答案】2 ＃＃ ＋2
【详解】
设复数z在复平面中对应的点为∵ ，则点 到点 的距离为2，即点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的
圆
表示点 到点 的距离，结合图形可得
故答案为： ．
【典例1-9】（2021·上海市七宝中学模拟预测）若纯虚数 满足 ，则实数
等于_________.
【答案】1
【详解】
解：因为 ，所以 ，
因为 为纯虚数，所以 ，解得 ；
故答案为：
【典例1-10】（2022·天津和平·二模）复数：满足 （ 是虚数单位），则复数z在
复平面内所表示的点的坐标为___________.
【答案】
【详解】由题意得： ，
对应的点的坐标为 .
故答案为：
2、复数的运算
【典例2-1】（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知 ， 是z的共轭复
数，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由已知可得 ，因此， .
故选：B.
【典例2-2】（2022·江西师大附中三模（文））已知 是虚数单位，则 的虚部是
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】
，故其虚部为 ，
故选：D.
【典例2-3】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知i为虚
数单位，则复数 的虚部为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
,
所以 的虚部为 .
故选：A.
【典例2-4】（2022·全国·模拟预测）已知复数 ，i为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，所以 ，所以 .
故选：A．
【典例2-5】（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数 ， 是 的共轭复数，
则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】
∵ ，
所以 .
故选：B．【典例2-6】（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知复数z满足 （i为虚数单
位），则z的共轭复数 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为
所以 .
故选：A
【典例2-7】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））复数 的共轭复数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
,
所以复数 的共轭复数为 .
故选：A.
【典例2-8】（2022·吉林长春·模拟预测（理））若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】
, , ，
所以 .
故选：A【典例2-9】（2022·上海·模拟预测）若 （i是虚数单位）是关于x的实系数方程
的一个复数根，则 _________．
【答案】 ##
【详解】
∵实系数一元二次方程 的一个虚根为 ，
∴其共轭复数 也是方程的根.
由根与系数的关系知， ，
∴ ， .
∴
故答案为：
【典例2-10】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）著名数学家棣莫佛（De moivre，
1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣
莫佛提出了公式： ，其中 ， .已知
，根据这个公式可知 ______.
【答案】2
【详解】
根据棣莫佛公式，
由 ，
因为 ，所以 ，故答案为：
