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培优点 5 平面向量“奔驰定理”
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平
面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相
关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．
考点一 平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0．
△PBC △PAC △PAB
例1 已知O是△ABC内部一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且＝，则实数m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由奔驰定理得S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，
△BOC △AOC △AOB
又OA＋2OB＋mOC＝0，
∴S ∶S ∶S ＝1∶2∶m.
△BOC △AOC △AOB
∴＝＝，解得m＝4.
易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P
为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．
跟踪演练1 设点O在△ABC内部，且AO＝AB＋AC，则＝________.
答案
解析 由AO＝AB＋AC，
得－12OA＝4(OB－OA)＋3(OC－OA)，
整理得5OA＋4OB＋3OC＝0，
所以＝.
考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)
(1)O是△ABC的重心
S ∶S ∶S ＝1∶1∶1
△BOC △AOC △AOB
⇔OA＋OB＋OC＝0．
⇔
(2)O是△ABC的内心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝a∶b∶c
⇔aOA＋bOB＋cOC＝0．
(3)O是△ABC的外心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C
⇔sin 2A·OA＋sin 2B·OB＋sin 2C·OC＝0．
(4)O是△ABC的垂心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝tan A∶tan B∶tan C
⇔tan A·OA＋tan B·OB＋tan C·OC＝0．
考向1 “奔驰定理”与重心
例2 已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56aGA＋40bGB
＋35cGC＝0，则B＝________.
答案
解析 依题意，可得56a＝40b＝35c，
所以b＝a，c＝a，
所以cos B＝＝，
因为0<B<π，所以B＝.
考向2 “奔驰定理”与外心
例3 已知点P是△ABC的外心，且PA＋PB＋λPC＝0，C＝，则λ＝________.
答案 －1
解析 依题意得，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝1∶1∶λ，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，
∴A＝B，又C＝，
∴A＝B＝，
又＝，
∴λ＝＝＝－1.
考向3 “奔驰定理”与内心
例4 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若AO＝λAB＋μBC，则3λ
＋6μ的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 AO＝λAB＋μBC可化为
OA＋λOB－λOA＋μOC－μOB＝0，
整理得(1－λ)OA＋(λ－μ)OB＋μOC＝0，
所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，
解得λ＝，μ＝，
所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.考向4 “奔驰定理”与垂心
例5 已知H是△ABC的垂心，若HA＋2HB＋3HC＝0，则A＝________.
答案
解析 依题意，
可得tan A∶tan B∶tan C＝1∶2∶3，
代入tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，
可得6tan A＝6tan3A，
因为tan A≠0，
所以tan A＝±1.
又因为tan A<tan B<tan C，
所以tan A＝1，所以A＝.
规律方法 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能
在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一
条件．
跟踪演练2 (1)设I为△ABC的内心，且2IA＋3IB＋IC＝0，则角C＝________.
答案
解析 由2IA＋3IB＋IC＝0，
可得a∶b∶c＝2∶3∶，
令a＝2k，b＝3k，c＝k，
则cos C＝＝，
又C∈(0，π)，
所以C＝.
(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的
面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是______．
答案
解析 方法一 据奔驰定理得，
PA＋xPB＋yPC＝0，
即AP＝2xPB＋2yPC，
平方得AP2＝4x2PB2＋4y2PC2＋8xy|PB|·|PC|·cos∠BPC，
又因为点P是△ABC的外心，
所以|PA|＝|PB|＝|PC|，且∠BPC＝2∠BAC＝，
所以x2＋y2＋xy＝，
(x＋y)2＝＋xy≤＋2，
解得0<x＋y≤，
当且仅当x＝y＝时取等号，
所以(x＋y) ＝.
max
方法二 S ∶S ∶S ＝
△PBC △PCA △PAB
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝∶x∶y，
又∠BAC＝，∴sin 2A＝，
∵x＝sin 2B，y＝sin 2C，
∴x＋y＝(sin 2B＋sin 2C)
＝
＝sin.
又∵B∈，
∴2B－∈，
∴sin∈，
∴x＋y∈，
∴(x＋y) ＝.
max
专题强化练
1．点P在△ABC内部，满足PA＋2PB＋3PC＝0，则S ∶S 为( )
△ABC △APC
A．2∶1 B．3∶2
C．3∶1 D．5∶3
答案 C
解析 根据奔驰定理得，
S ∶S ∶S ＝1∶2∶3.
△PBC △PAC △PAB
所以S ∶S ＝3∶1.
△ABC △APC
2．点O为△ABC内一点，若S ∶S ∶S ＝4∶3∶2，设AO＝λAB＋μAC，则实数λ和
△AOB △BOC △AOC
μ的值分别为( )
A.， B.， C.， D.，
答案 A
解析 根据奔驰定理，得3OA＋2OB＋4OC＝0，即3OA＋2(OA＋AB)＋4(OA＋AC)＝0，
整理得AO＝AB＋AC，
故λ＝，μ＝.
3．△ABC的重心为G，AB＝6，AC＝8，BC＝2，则△BGC的面积为( )
A．12 B．8
C．4 D．4
答案 C
解析 cos A＝
＝＝，
又A∈(0，π)，∴A＝，
∴S ＝×6×8×sin ＝12，
△ABC
又G为△ABC的重心，
∴GA＋GB＋GC＝0，
即S ∶S ∶S ＝1∶1∶1，
△AGB △AGC △BGC
∴S ＝S ＝4.
△BGC △ABC
4.如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝60°，M为△ABC的外心，若AM＝λAB
＋μAC，λ，μ∈R，则4λ＋3μ等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 在△ABC中，由余弦定理，可得BC＝＝2，
所以圆M的半径R＝＝，
所以S ＝×8×＝，
△AMB
S ＝×2×＝，
△BMC
S ＝×6×＝5.
△CMA
由AM＝λAB＋μAC，
可得MA＋λMB－λMA＋μMC－μMA＝0，
整理得(1－λ－μ)MA＋λMB＋μMC＝0，
所以S ∶S ∶S ＝μ∶(1－λ－μ)∶λ＝8∶13∶15，
△AMB △BMC △CMA
解得λ＝，μ＝，
所以4λ＋3μ＝.5.如图，设P，Q为△ABC内的两点，且AP＝AB＋AC，AQ＝AB＋AC，则下列结论正确的是(
)
①＝；②＝；③＝；④＝.
A．①② B．①③ C．①②④ D．②④
答案 B
解析 由AP＝AB＋AC，
可得PA＋PB－PA＋PC－PA＝0，
整理得PA＋PB＋PC＝0，
所以2PA＋2PB＋PC＝0，
＝＝，故①正确；
由AQ＝AB＋AC，
可得QA＋QB－QA＋QC－QA＝0，
整理得QA＋QB＋QC＝0，所以QA＋8QB＋3QC＝0，
所以＝＝，＝，故②，④错误，③正确．
6．△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S ＝14,2OA＋2OB＋3OC＝0，则△ABC的外接
△ABC
圆面积为________．
答案
解析 ∵2OA＋2OB＋3OC＝0，
且O为内心，
∴a∶b∶c＝2∶2∶3，
令a＝2k，则b＝2k，c＝3k，
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，
又S ＝(a＋b＋c)·r
△ABC
⇒×7k×2＝14⇒k＝2，
∴a＝4，b＝4，c＝6，
∴cos C＝－，sin C＝，
又2R＝＝⇒R＝＝，
∴外接圆面积S＝πR2＝.
7．若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC＝0．则△ABC的面积
为______．
答案
解析 ∵3OA＋4OB＝－5OC，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，
∴9|OA|2＋16|OB|2＋24OA·OB＝25|OC|2，
∴OA·OB＝0，∴OA⊥OB，
∴S ＝×1×1＝，
△AOB
由奔驰定理知，S ∶S ∶S ＝3∶4∶5，
△BOC △AOC △AOB
∴S ＝·S ，
△AOB △ABC
∴S ＝S ＝.
△ABC △AOB
8.已知点P，Q在△ABC内，PA＋2PB＋3PC＝2QA＋3QB＋5QC＝0，则＝________.
答案
解析 根据奔驰定理得S ∶S ∶S ＝1∶2∶3，
△PBC △PAC △PAB
S ∶S ∶S ＝2∶3∶5，
△QBC △QAC △QAB
∴S ＝S ＝S ，∴PQ∥AB，
△PAB △QAB △ABC
又∵S ＝S ，S ＝S ，
△PBC △ABC △QBC △ABC
∴＝＝－＝.
