文档内容
第 2 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
[考情分析] 高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是空间线面关系的命题的
真假判断；二是体积、表面积的求解；解答题以垂直或平行关系的证明为主，中等难度．
考点一 空间直线、平面位置关系的判定
核心提炼
判断空间直线、平面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题．
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，
并结合有关定理进行判断．
例1 (1)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(
)
A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
B．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
答案 D
解析 A选项，两个平行平面内的两条直线，可能平行，或者异面，A选项错误；
B选项，若m⊥α，n⊥β，则直线m，n对应的方向向量m，n可看作α，β的法向量，由于
m∥n，α，β是两个不同的平面，则α∥β，故B选项错误；
C选项，若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于两个平面交线的直线才垂直于另一个平
面，从选项中无法判断m，n和交线的位置关系，因此m，n可能相交但不垂直，平行，异
面但不垂直，C选项错误；
D选项，若m⊂β，又m⊥α，根据面面垂直的判定定理，即有α⊥β，若m⊄β，由于m∥n，
n∥β，则m∥β，过m任作一个平面，使其和β相交于直线c，根据线面平行的性质定理，
m∥c，又m⊥α，则c⊥α，结合c⊂β，即α⊥β，故D选项正确.
(2)如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，M，N分别为棱C D ，C C的中点，下列说法
1 1 1 1 1 1 1
正确的有________．(填序号)
①直线AM与CC 是相交直线；
1②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB 是异面直线；
1
④直线AM与DD 是异面直线．
1
答案 ③④
解析 因为点A在平面CDD C 外，点M在平面CDD C 内，直线CC 在平面CDD C 内，
1 1 1 1 1 1 1
CC 不过点M，所以AM与CC 是异面直线，故①错误；
1 1
如图，取DD 的中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错误；
1
因为点B 与BN都在平面BCC B 内，M在平面BCC B 外，BN不过点B ，所以BN与MB
1 1 1 1 1 1 1
是异面直线，故③正确，同理④正确．
规律方法 对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线
面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；
若得出矛盾，则假设不成立．
跟踪演练1 (1)(2022·湖南师大附中模拟)在长方体ABCD－ABC D 中，直线AC与平面
1 1 1 1 1
ABD 的交点为M，O为线段BD 的中点，则下列结论不正确的是( )
1 1 1 1
A．A，M，O三点共线
B．M，O，A，A四点共面
1
C．B，B，O，M四点共面
1
D．A，O，C，M四点共面
答案 C
解析 如图，因为AA∥CC ，则A，A，C ，C四点共面．
1 1 1 1
因为M∈AC，所以M∈平面ACC A ，又M∈平面ABD ，则点M在平面ACC A 与平面
1 1 1 1 1 1 1
ABD 的交线上，
1 1
同理，O，A也在平面ACC A 与平面ABD 的交线上，
1 1 1 1
所以A，M，O三点共线，从而M，O，A，A四点共面，A，O，C，M四点共面．
1
由长方体性质知，OM与BB 是异面直线，即B，B，O，M四点不共面．
1 1
(2)设点E为正方形ABCD的中心，M为平面ABCD外一点，△MAB为等腰直角三角形，且∠MAB＝90°，若F是线段MB的中点，则( )
A．ME≠DF，且直线ME，DF是相交直线
B．ME＝DF，且直线ME，DF是相交直线
C．ME≠DF，且直线ME，DF是异面直线
D．ME＝DF，且直线ME，DF是异面直线
答案 B
解析 连接EF，
如图所示，
由题意知AB⊥AD，
AB⊥AM，AM＝AD，
AB＝AB，
则Rt△BAM≌Rt△BAD，
所以BM＝BD，
因为E，F分别为BD，BM的中点，则EF∥DM，
因为FM＝BM＝BD＝DE，
故四边形FMDE是等腰梯形，
所以ME＝DF，且直线ME，DF是相交直线．
考点二 空间角
核心提炼
(1)异面直线所成的角：先通过平移直线，作出异面直线所成的角，再通过解三角形求角．
(2)线面角：先找出斜线在平面上的射影，斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为线面角，
作线面角的关键是作平面的垂线．
(3)二面角：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点
作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，即可得到二面角的平面角．
例2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ改编)已知正方体 ABCD－ABC D ，则下列结论正确的是
1 1 1 1
________．(填序号)
①直线BC 与DA 所成的角为90°；
1 1
②直线BC 与CA 所成的角为90°；
1 1
③直线BC 与平面BBDD所成的角为45°；
1 1 1④直线BC 与平面ABCD所成的角为45°.
1
答案 ①②④
解析 如图，连接 AD ，在正方形 AADD 中，AD⊥DA ，因为 AD∥BC ，所以
1 1 1 1 1 1 1
BC ⊥DA，所以直线BC 与DA 所成的角为90°，故①正确；
1 1 1 1
在正方体ABCD－ABC D 中，CD⊥平面BCC B ，又BC ⊂平面BCC B ，所以CD⊥BC .连
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
接 BC，则 BC⊥BC .因为 CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面 DCB A ，所以 BC ⊥平面
1 1 1 1 1 1 1 1
DCB A，又CA ⊂平面DCB A，所以BC ⊥CA ，所以直线BC 与CA 所成的角为90°，故②
1 1 1 1 1 1 1 1 1
正确；
连接AC ，交BD 于点O，则易得OC ⊥平面BBDD，连接OB.因为OB⊂平面BBDD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以OC ⊥OB，∠OBC 为直线BC 与平面BBDD所成的角．设正方体的棱长为a，则易得
1 1 1 1 1
BC ＝a，OC ＝，所以在Rt△BOC 中，OC ＝BC ，所以∠OBC ＝30°，故③错误；
1 1 1 1 1 1
因为C C⊥平面ABCD，所以∠CBC 为直线BC 与平面ABCD所成的角，易得∠CBC ＝45°，
1 1 1 1
故④正确．
(2)如图，在正四棱柱ABCD－ABC D 中，AA ＝2AD，E为侧棱DD 上一点，若直线BD∥
1 1 1 1 1 1 1
平面AEC，则二面角E－AC－B的正切值为________．
答案 －
解析 如图，连接BD交AC于点F，连接EF，BD，
1 1由题意可知，BD∥EF，
1
因为F为BD的中点，
所以E为DD 的中点，
1
又AC⊥平面BDD B，
1 1
BD，EF⊂平面BDD B，
1 1
所以EF⊥AC，BD⊥AC，
则∠EFD为二面角E－AC－D的平面角，
设AD＝a，则ED＝a，DF＝a，
在Rt△EFD中，tan∠EFD＝＝，
又二面角E－AC－B与二面角E－AC－D互补，
所以二面角E－AC－B的正切值为－.
易错提醒 异面直线所成的角的范围是，线面角的取值范围是，二面角的取值范围是[0，
π]．
跟踪演练2 (1)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝
PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线
PD，BE所成的角．
由题意可知PD＝CD＝BE＝2，EF＝，
BF＝＝，
所以cos∠BEF＝＝.
(2)(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－ABC D 中，已知BD与平面ABCD和平面AABB所
1 1 1 1 1 1 1
成的角均为30°，则( )
A．AB＝2AD
B．AB与平面ABC D所成的角为30°
1 1C．AC＝CB
1
D．BD与平面BBC C所成的角为45°
1 1 1
答案 D
解析 连接BD，如图，
易知∠BDB 是直线BD与平面ABCD所成的角，
1 1
所以在Rt△BDB 中，∠BDB ＝30°，设BB＝1，则BD＝2BB＝2，BD＝＝.
1 1 1 1 1
易知∠ABD是直线BD与平面AABB所成的角，
1 1 1 1
所以在Rt△ADB 中，∠ABD＝30°.
1 1
因为BD＝2，所以AD＝1，AB＝＝，
1 1
所以在Rt△ABB 中，AB＝＝，所以A项错误；
1
易知∠BAB 是直线AB与平面ABC D所成的角，因为在Rt△ABB 中，sin∠BAB＝＝≠，
1 1 1 1 1
所以∠BAB≠30°，所以B项错误；
1
在Rt△CBB 中，CB ＝＝，又AC＝BD＝，所以C项错误；
1 1
易知∠DBC是直线BD与平面BBC C所成的角，
1 1 1 1
因为在Rt△DBC中，CB ＝CD＝，所以∠DBC＝45°，所以D项正确．
1 1 1
考点三 空间平行、垂直关系
核心提炼
平行关系及垂直关系的转化
考向1 平行、垂直关系的证明
例3 (2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为
AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F－
ABC的体积．
(1)证明 因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE.
在△ADB和△CDB中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，
所以△ADB≌△CDB，
所以BA＝BC，
又E为AC的中点，
所以AC⊥BE.
因为BE∩DE＝E，且BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED，
又AC⊂平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD.
(2)解 由(1)可知BA＝BC，又因为∠ACB＝60°，AB＝2，所以△ABC为边长为2的正三角形，
则AC＝2，BE＝，AE＝1.
因为AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC为等腰直角三角形，所以DE＝1.
又BD＝2，所以BD2＝BE2＋DE2，
所以DE⊥EB.
连接EF(图略)，易知当△AFC的面积最小时，EF取最小值，
在Rt△BED中，EF的最小值为E到BD的距离，故当△AFC的面积最小时，EF＝＝.
由射影定理知EF2＝DF·FB，
又DF＋FB＝BD＝2，
所以DF＝，FB＝.
方法一 因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，
则F到平面ABC的距离
d＝·DE＝.
故V ＝S ·d＝××4×＝.
F－ABC △ABC
方法二 由(1)知BD⊥AC，
又BD⊥EF，AC∩EF＝E，AC，EF⊂平面ACF，
所以BD⊥平面ACF，所以BF即B到平面ACF的距离，
故V ＝V ＝S ·BF
F－ABC B－AFC △AFC
＝×·AC·EF·BF＝××2××＝.
考向2 翻折问题
例4 (2022·西北工业大学附属中学模拟)如图1，在正方形ABCD中，M，N，E分别为
AB，AD，BC的中点，点 P在对角线 AC上，且＝.将△AMN，△BMC，△DNC分别沿
MN，MC，NC折起，使A，B，D三点重合(记为点F)，得到四面体MNCF，如图2.
(1)若正方形ABCD的边长为12，求图2所示的四面体MNCF的体积；
(2)在图2中，求证：EP∥平面FMN.
(1)解 由题意知，在图2中CF⊥FM，CF⊥FN，FM∩FN＝F，FM，FN⊂平面FMN，
∴CF⊥平面FMN，
且FM＝FN＝6，FC＝12，
∴V ＝V ＝××6×6×12＝72.
四面体MNCF 三棱锥C－FMN
∴四面体MNCF的体积为72.
(2)证明 在正方形ABCD中．设AC∩MN＝G，S为DC的中点，连接BD，ES，AC∩BD＝
Q，AC∩ES＝R，如图，
则AG＝GQ＝QR＝RC，又＝.得P为GC的中点．
在图2中，易知MN的中点为G，
又E为FC的中点，
∴EP为△CFG的中位线，∴EP∥FG.
∵EP⊄平面FMN，FG⊂平面FMN.
∴EP∥平面FMN.
易错提醒 翻折问题应注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清
楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空
间中的位置与数量关系．跟踪演练3 (2022·西安模拟)如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，M，N分别是线段AB，
1 1 1 1
AC 的中点．
1
(1)求证：MN⊥AA；
1
(2)在线段BC 上是否存在一点P，使得平面MNP∥平面ABC？若存在，指出点P的具体位
1
置；若不存在，请说明理由．
(1)证明 连接AC，如图，因为在直三棱柱ABC－ABC 中，AAC C为平行四边形，
1 1 1 1 1 1
故AC和AC 相交，且交点为它们的中点N，
1 1
又因为M为AB的中点，
1
所以MN为△ABC的中位线，
1
所以MN∥BC .
因为AA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
1
所以AA⊥BC，所以AA⊥MN，
1 1
即MN⊥AA.
1
(2)解 存在，当P为BC 的中点时，
1
平面MNP∥平面ABC.
连接PN，PM，如图，
因为N为AC 的中点，P为BC 的中点，
1 1
所以PN∥AB，
又PN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以PN∥平面ABC，
又由(1)知MN∥BC，BC⊂平面ABC，
MN⊄平面ABC，
故MN∥平面ABC，
又MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，
所以平面MNP∥平面ABC.
专题强化练
一、选择题
1．(2022·龙岩质检)已知三条直线a，b，c，若a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么
直线a和c的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行、相交或异面
答案 D
解析 画图分析可知空间直线的三种位置关系均有可能，故D正确．
2．(2022·湖北八市联考)设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充要条件可以是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α，β垂直于同一个平面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一条直线
答案 D
解析 对于A，α内有无数条直线与β平行不能得出α∥β，α内的所有直线与β平行才能得
出，故A错误；
对于B，C，α，β垂直于同一平面或α，β平行于同一条直线，不能确定α，β的位置关系，
故B，C错误；
对于D，α，β垂直于同一条直线可以得出α∥β，反之，当α∥β时，若α垂直于某条直线，
则β也垂直于该条直线．
3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，
则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )答案 A
解析 对于A，如图，易得平面MNQ∥平面ACD，但平面ACD与AB相交，故直线AB与
平面MNQ不平行；
对于B，C，易证AB∥MQ，AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故直线AB与平面MNQ平
行；
对于D，易证AB∥NQ，AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以直线AB与平面MNQ平行．
4.(2022·商丘模拟)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝
1 1 1 1
AA＝，AC＝1，则异面直线AC 与CB 所成角的余弦值为( )
1 1 1
A. B. C. D.
答案 B
解析 把三棱柱补成如图所示的长方体，连接BD，CD，则BD∥AC ，
1 1 1
所以∠CB D(或其补角)即为异面直线AC 与CB 所成的角．
1 1 1由题意可得CD＝AB＝＝＝2，
BD＝AC ＝＝2，CB ＝＝＝，
1 1 1
所以在△CB D中，由余弦定理得cos∠CB D＝＝＝.
1 1
所以异面直线AC 与CB 所成角的余弦值为.
1 1
5．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
1 1 1 1
A．平面BEF⊥平面BDD
1 1
B．平面BEF⊥平面ABD
1 1
C．平面BEF∥平面AAC
1 1
D．平面BEF∥平面AC D
1 1 1
答案 A
解析 对于选项 A，在正方体 ABCD－ABC D 中，因为 BB⊥平面 ABCD，EF⊂平面
1 1 1 1 1
ABCD，所以BB⊥EF.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF⊥BD，又BB∩BD＝B，
1 1
BB，BD⊂平面BDD ，所以EF⊥平面BDD ，又EF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面
1 1 1 1 1
BDD ，故选项A正确；对于选项B，因为平面ABD∩平面BDD ＝BD，由选项A知，平面
1 1 1
BEF⊥平面ABD不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线AA 与直线BE必相
1 1 1 1
交，故平面BEF与平面AAC不平行，故选项C错误；对于选项D，连接AB，BC(图略)，
1 1 1 1
易知平面ABC∥平面AC D，又平面ABC与平面BEF有公共点B，所以平面ABC与平面
1 1 1 1 1 1 1
BEF不平行，所以平面AC D与平面BEF不平行，故选项D错误．
1 1 1 1
6.如图，在平行四边形ABCD中，AB>AD，将△ABD沿着BD翻折至△A′BD，则下列直线
中不可能与直线A′B垂直的是( )
A．直线BC B．直线CD
C．直线BD D．直线AD
答案 C
解析 A选项，若BC⊥BD，当平面A′BD⊥平面BCD时，平面A′BD∩平面BCD＝BD，
BC⊂平面BCD，故BC⊥平面A′BD，
则此时BC⊥A′B；
B选项，当∠ABD>45°时，在翻折过程中，∠A′BA可以取从∠ABD到2∠ABD>90°的范围，
而AB∥CD，即直线A′B与直线CD所成角为∠A′BA，所以存在A′B⊥CD；
C选项，由于AB>AD，所以∠ABD为锐角，
∠A′BD为锐角，即BD与A′B不可能垂直；
D选项，由于BC∥AD，由A选项可知，BC与A′B可能垂直，所以AD与A′B可能垂直．7．(2022·新乡模拟)在三棱锥A－BCD中，△ABC和△BCD均为边长为2的等边三角形，若
AB⊥CD，则二面角A－BC－D的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 取BC的中点O，连接OA，OD,
因为△ABC和△BCD均为边长为2的等边三角形，
所以OA＝OD＝，且OA⊥BC，OD⊥BC.
又因为OA⊂平面ABC，OD⊂平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，
所以∠AOD为二面角A－BC－D的平面角．
取CD的中点E，连接BE，AE，
因为△BCD是等边三角形，所以CD⊥BE，
又因为AB⊥CD，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，AB∩BE＝B，
所以CD⊥平面ABE.
因为AE⊂平面ABE，所以CD⊥AE，所以AD＝AC＝2.
在△AOD中，cos∠AOD＝＝＝，
故二面角A－BC－D的余弦值为.
8．已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中
错误的是( )
A．AE⊥平面PAB
B．直线PD与平面ABC所成角为45°
C．平面PBC与平面PEF的交线与直线AD垂直
D．直线CD与PB所成的角的余弦值为
答案 C
解析 对于A，∵PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥PA，
∵六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，∴AE⊥AB，
∵PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴AE⊥平面PAB，故A正确；
对于B，∵六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，∴∠PDA即直线PD与平面ABC所成角，PA＝2AB，
∴PA⊥AD，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴直线PD与平面ABC所成角为45°，故B正确；
对于C，∵BC∥EF，EF⊂平面PEF，BC⊄平面PEF，
∴BC∥平面PEF.
设平面PBC与平面PEF的交线为l，则BC∥l，
又BC∥AD，∴AD∥l，故C错误；
对于D，设AB＝1，则PA＝2，
AE＝＝，
PE＝＝，BE＝2，PB＝＝，
∵CD∥BE，∴∠PBE是直线CD与PB所成的角(或所成角的补角)，
∴直线CD与PB所成的角的余弦值为cos∠PBE＝＝，故D正确．
二、填空题
9．已知l是平面α，β外的直线，给出下列三个论断：①l∥α；②α⊥β；③l⊥β.以其中两
个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________.(用序号表示)
答案 若①③，则②或若②③，则①(填写一个即可)
解析 因为当l∥α，α⊥β时，l与β可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③；
因为l∥α，所以α内存在一条直线m与l平行，又l⊥β，所以m⊥β，所以可得α⊥β，即
①③作为条件，可以得出②；
因为α⊥β，l⊥β，所以l∥α或者l⊂α，因为l是平面α外的直线，所以l∥α，即②③作为条
件，可以得出①.
10．三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝1，过线段BC的中点E作平面EFGH与直线AB，CD都
平行，且分别交BD，AD，AC于F，G，H，则四边形EFGH的周长为________．
答案 2
解析 因为AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝EH，AB⊂平面ABC，
所以AB∥EH，又点E为BC中点，所以EH为△ABC的中位线，
故EH＝AB＝.
同理，EF＝FG＝GH＝，
所以四边形EFGH的周长为2.
11．(2022·长春模拟)在正方形ABCD中，O为BD的中点，将平面ABD沿直线BD翻折，使
得平面ABD⊥平面BCD，则直线AB与CD所成角的大小为________．答案 60°
解析 如图，过B，D作BE∥CD，DE∥CB，且BE，DE交于点E，连接AE，OE，
所以直线AB与CD所成的角即为∠ABE或其补角，
设正方形ABCD的边长为2，则BE＝AB＝AD＝2，
而AO⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，AO⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以AO⊥平面BCD，又OE⊂平面BCD，所以AO⊥OE，且AO＝OE＝，
故AE＝2，则△ABE为等边三角形，故∠ABE＝60°，即直线AB与CD所成角的大小为60°.
12.(2022·金华模拟)每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图．若点 G，H，M，N
分别是正八面体ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中点，则下列结论正确的是________．
(填序号)
①四边形AECF是平行四边形；
②GH与MN是异面直线；
③GH∥平面EAB；
④GH⊥BC.
答案 ①③
解析 连接AC，EF，设AC与EF的交点为O，连接BD，MH，EH，EM，则AC与EF相
交且相互平分，故四边形AECF为平行四边形，故①正确；
所以AE∥CF，又G，H，M，N分别是正八面体ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中点，连接MG，GH，NM，NH，
所以GM∥AE，NH∥CF，
且GM＝AE，NH＝CF，
所以GM∥NH，且GM＝NH，
所以四边形MNHG是平行四边形，故②错误；
易证平面MNHG∥平面EAB，
又GH⊂平面MNHG，
所以GH∥平面EAB，故③正确；
因为EH⊥BC，MH⊥BC，EH∩MH＝H，EH，MH⊂平面EMH，
所以BC⊥平面EMH，
而GH⊄平面EMH，GH∩EH＝H，
所以GH与BC不垂直，故④错误．
三、解答题
13.(2022·成都模拟)如图，在圆柱OO 中，四边形ABCD是其轴截面，EF为⊙O 的直径，且
1 1
EF⊥CD，AB＝2，BC＝a.
(1)求证：BE＝BF；
(2)若直线AE与平面DEF所成的角为，求三棱锥A－BEF的体积．
(1)证明 如图，连接BO，在圆柱OO 中，BC⊥平面CEDF，
1 1
∵EF⊂平面CEDF，∴EF⊥BC，
∵EF⊥CD，BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
又BO⊂平面ABCD，∴EF⊥BO，
1 1
∵在△BEF中，O 为EF的中点，∴BE＝BF.
1
(2)解 如图，连接DE，AO，
1
∵AD⊥平面DEF，∴直线AE与平面DEF所成的角为∠AED＝，∴AD＝DE＝a＝，
∵EF⊥平面ABCD，
＝××2＝.
14.(2022·广安模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AB⊥BC，
CD∥AB，平面ABE⊥平面ABCD，且AB＝AE＝BE＝2BC＝2CD＝4，点M在棱AE上．
(1)若2EM＝AM，求证：CE∥平面BDM；
(2)当AE⊥平面MBC时，求点E到平面BDM的距离．
(1)证明 如图，连接AC与BD交于点N，连接MN，
∵AB∥CD，AB＝2CD＝4，
∴△CND∽△ANB，
∴＝＝，又∵2EM＝AM，
∴＝＝，
∴CE∥MN，
又∵CE⊄平面BDM，MN⊂平面BDM，
∴CE∥平面BDM.
(2)解 ∵AE⊥平面MBC，BM⊂平面MBC，
∴AE⊥BM，
∵AB＝BE，
∴M是AE的中点，
∵平面ABE⊥平面ABCD，
∴点E到平面ABCD的距离为d＝4sin 60°＝2，
在△BDM中，BD＝2，DM＝2，BM＝2，
∴S ＝×2×＝，
△BDM∴V ＝V －V ＝V ＝××S ×d
E－BDM E－ABD M－ABD E－ABD △ABD
＝××4×2×2＝.
设点E到平面BDM的距离为h，则h满足×h＝，
∴h＝，即点E到平面BDM的距离为.
