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培优点 8 等和(高)线定理与奔驰定理
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP＝λOA＋
μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得
OP′＝kOP，则OP′＝kOP＝kλOA＋kμOB，又OP′＝xOA＋yOB(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝
k；反之也成立．
(2)平面内一个基底{OA，OB}及任一向量OP′，OP′＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′在直线
AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线
AB平行的直线称为等和(高)线．
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过O点时，k＝0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k，k 互为相反数；
1 2
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
2．奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0．
△PBC △PAC △PAB
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”．这个定
理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，
有着决定性的基石作用．
题型一 利用等和线求基底系数和的值
例1 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE＝
λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
A．1 B. C. D.答案 B
解析 方法一 (常规方法)
∵E为线段AO的中点，
∴BE＝(BA＋BO)＝＝BA＋BD＝λBA＋μBD，
∴λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.
方法二 (等和线法)
如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，
则k＝.
由图易知，＝，即λ＋μ＝k＝.
思维升华 利用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．
跟踪训练1 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λAB＋
1
λAC(λ，λ 为实数)，则λ＋λ＝________.
2 1 2 1 2
答案
解析 方法一 (常规方法)
由题意作图如图．
∵在△ABC中，DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC＝λAB＋λAC，
1 2
∴λ＝－，λ＝.
1 2
故λ＋λ＝.
1 2
方法二 (等和线法)
如图，过点A作AF＝DE，连接DF.
设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，
∴AF＝AH，因此λ＋λ＝.
1 2题型二 利用等和线求基底系数和的最值(范围)
例2 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 O，P为圆O上任一点，若AP＝xAB＋
yAC，则2x＋2y的最大值为( )
A. B．2 C. D．1
答案 A
解析 如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点
F，
设AP＝λAE＋μAF，则λ＋μ＝1，
∵BC∥EF，∴设＝＝k，则k∈，
∴AE＝kAB，AF＝kAC，AP＝λAE＋μAF＝λkAB＋μkAC，∴x＝λk，y＝μk，
∴2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k≤.
思维升华 求解步骤：
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．
跟踪训练2 在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为AB上的一个动点，若OC＝xOA＋yOB，则
3x＋y的取值范围是________．
答案 [1,3]
解析 如图，取点D使得OD＝OA，OC＝xOA＋yOB＝3xOD＋yOB，作一系列与BD平行的
直线与圆弧相交，当点C与点B重合时，3x＋y取得最小值1；当点C与点A重合时，3x＋y
取得最大值3，故3x＋y的取值范围是[1,3]．
题型三 奔驰定理
例3 已知O是△ABC内部一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且＝，则实数m等于( )A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由奔驰定理得S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，
△BOC △AOC △AOB
又OA＋2OB＋mOC＝0，
∴S ∶S ∶S ＝1∶2∶m.
△BOC △AOC △AOB
∴＝＝，
解得m＝4.
思维升华 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点 P
为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．
跟踪训练 3 已知点 A，B，C，P 在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则
S ∶S 等于( )
△ABC △PBC
A．14∶3 B．19∶4
C．24∶5 D．29∶6
答案 B
解析 由QR＝QB可得PR－PQ
＝(PB－PQ)，
整理可得PR＝PB＋PQ＝PB＋PA，
由RP＝RC可得RP＝(PC－PR)，
整理可得PR＝－PC，
所以－PC＝PB＋PA，
整理得4PA＋6PB＋9PC＝0，
由奔驰定理可得
S ∶S ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
△ABC △PBC
1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若CD＝CA＋λCB，则λ等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 A
解析 由于D是AB边上一点，所以A，B，D三点共线，所以＋λ＝1，λ＝.
2．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m，使得AB＋AC＝mAM，则m
等于( )A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 方法一 (常规方法)
∵MA＋MB＋MC＝0，
∴M为△ABC的重心，
如图，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点，
∴AM＝AD，
又AD＝(AB＋AC)，
∴AM＝(AB＋AC)，
即AB＋AC＝3AM，∴m＝3.
方法二 (等和线法)
BC是值为1的等和线，过M作BC的平行线，
AM＝AB＋AC，
易知＝，
∴＋＝，
∴m＝3.
3．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值
为( )
A. B. C. D．1
答案 A
解析 方法一 (常规方法)
设BM＝tBC，
则AN＝AM＝(AB＋BM)＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，
∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝.
方法二 (等和线法)
如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，＝，即λ＋μ＝k＝.
4．点P在△ABC内部，满足PA＋2PB＋3PC＝0，则S ∶S 为( )
△ABC △APC
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
答案 C
解析 根据奔驰定理得，S ∶S ∶S ＝1∶2∶3，所以S ∶S ＝3∶1.
△PBC △PAC △PAB △ABC △APC
5.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且AP＝
λAB＋μAC，则λ＋μ的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[0,3] D．[0,4]
答案 C
解析 如图，过点 P作GH∥BC，分别交 AC，AB的延长线于点 G，H，设AP＝xAG＋
yAH，则x＋y＝1，当点P位于点D时，G，H分别位于点C′，点B′，
∵△BCD与△ABC的面积之比为2∶1，
∴AC′＝3AC，AB′＝3AB，
∴AP＝xAC′＋yAB′＝3xAC＋3yAB＝λAB＋μAC，
∴λ＝3y，μ＝3x λ＋μ＝3x＋3y＝3.
当点P位于A点⇒时，显然有λ＋μ＝0，
综上，λ＋μ的取值范围是[0,3]．
6．已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝120°，若OC＝λOA＋μOB(λ，
μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(1，]
C．[1，] D．[1,2]答案 D
解析 方法一 (常规方法)
设圆O的半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略)，
其中A，B(1,0)，C(cos θ，sin θ)，
有OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，
即(cos θ，sin θ)＝λ＋μ(1,0)，
整理得－λ＋μ＝cos θ，λ＝sin θ，
解得λ＝，μ＝cos θ＋，
则λ＋μ＝＋cos θ＋＝sin θ＋cos θ＝2sin，θ∈，易得λ＋μ∈[1,2]．
方法二 (等和线法)
设λ＋μ＝k，
如图，当C位于点A或点B时，A，B，C三点共线，
所以k＝λ＋μ＝1，
当点C运动到AB的中点时，k＝λ＋μ＝2，
所以λ＋μ∈[1,2]．
7.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，
AC＝b，向量AO＝λa＋μb，则λ＋μ的值为________．
答案
解析 如图，BC是值为1的等和线，过点O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，
设λ＋μ＝k，则k＝.
由题设知O为△ABC的重心，
所以＝.
8．已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA＋OB＋2OC＝0，则△AOC的面积为
________．
答案 1解析 方法一 如图，设AC的中点为M，BC的中点为N.
因为OA＋OB＋2OC＝OA＋OC＋OB＋OC＝0，
所以2OM＋2ON＝0，
即OM＋ON＝0，
所以O为线段MN的中点，
所以S ＝S ＝×S ＝××4＝1.
△AOC △ANC △ABC
方法二 因为OA＋OB＋2OC＝0，根据奔驰定理可得，S ∶S ∶S ＝1∶1∶2，所
△BOC △AOC △AOB
以＝＝，又S ＝4，所以S ＝1.
△ABC △AOC
9．设点O在△ABC的内部，且AB＝4OB＋5OC，则S 与S 之比是________．
△OAB △OBC
答案 5
解析 由AB＝4OB＋5OC变形可得AO＋OB＝4OB＋5OC，整理可得OA＋3OB＋5OC＝0，
根据奔驰定理可得S ∶S ∶S ＝1∶3∶5，
△OBC △OAC △OAB
则＝＝5.
10．在正六边形 ABCDEF中，P是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP＝αAB＋βAF(α，
β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
答案 [3,4]
解析 如图，直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC是最近的
等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈.
设正六边形的边长为2，则AN＝3，AM＝1，AD＝4，
故α＋β∈[3,4]．
