微重点 7 平面向量的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量
积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关
系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合
也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．
考点一 求参数的最值(范围)
例1 (1)(2022·沈阳质检)在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若CG
＝λCB＋μCD(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
答案 [1,4]
解析 根据题意，不妨设正六边形ABCDEF的边长为2，以O为原点建立平面直角坐标系，
如图所示，
则F(－2，0)，D(，3)，C(2，0)，B(，－3)，
设点G的坐标为(m，n)，则CG＝(m－2，n)，
CB＝(－，－3)，CD＝(－，3)，
由CG＝λCB＋μCD可得，
m－2＝－λ－μ，即λ＋μ＝－m＋2，
数形结合可知m∈[－2，]，
则－m＋2∈[1,4]，即λ＋μ的取值范围为[1,4]．
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，则
实数λ的取值范围为( )
A．[－1,3] B．[－1,5]
C．[－7,3] D．[5,7]
答案 A
解析 ∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，
a·b＝|a||b|cos θ＝2|b|2cos θ，
不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立，
∵cos θ∈[－1,1]，
∴
∴
∴－1≤λ≤3.
规律方法 利用共线向量定理及推论
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．
(2)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
跟踪演练1 (2022·滨州模拟)在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一
点，若AN＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A. B.
C．[0,1] D．[1,2]
答案 C
解析 由题意，设AN＝tAM(0≤t≤1)，如图．
当t＝0时，AN＝0，
所以λAB＋μAC＝0，
所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；
当0<t≤1时，因为AN＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，
所以tAM＝λAB＋μAC，
即AM＝AB＋AC，
因为M，B，C三点共线，
所以＋＝1，即λ＋μ＝t∈(0,1]．
综上，λ＋μ的取值范围是[0,1]．
考点二 求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 可设e＝(1,0)，a＝(x，y)，
则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，
则1≤x≤5，－2≤y≤2，|a＋e|＝＝，
当x＝5时，取得最大值为6，
即|a＋e|的最大值为6.
(2)在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，2]，则cos∠BAD的取值范围是________．
答案
解析 因为＋＝，且AB＋AD＝AC，所以|AB|∶|AD|∶|AC|＝1∶2∶λ，
不妨设|AB|＝1，则|AD|＝2，|AC|＝λ，
在等式＋＝两边同时平方可得5＋4cos∠BAD＝λ2，则cos∠BAD＝，
因为λ∈[，2], 所以cos∠BAD＝∈.
易错提醒 找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]；
若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线，同理若向量a，b的夹角为钝角，包
括a·b<0和a，b不共线．
跟踪演练2 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|＋|a－b|的最大值为________．
答案 2
解析 设向量a，b的夹角为θ，
|a＋b|＝
＝，
|a－b|＝
＝，
则|a＋b|＋|a－b|＝＋，
令y＝＋，
则y2＝26＋2∈[36,52]，
据此可得(|a＋b|＋|a－b|) ＝＝2，
max
即|a＋b|＋|a－b|的最大值是2.
考点三 求数量积的最值(范围)
例3 (1)(2022·福州质检)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a－b|＝1，则(a－b)·(b－
c)的最大值为( )
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 ∵|a－b|2＝a2－2a·b＋b2
＝2－2a·b＝1，
∴a·b＝，
∴(a－b)·(b－c)＝a·b－a·c－b2＋b·c
＝－1－(a－b)·c＝－－|a－b|·|c|cos〈a－b，c〉
＝－－cos〈a－b，c〉，
∵cos〈a－b，c〉∈[－1,1]，
∴(a－b)·(b－c)∈，
即(a－b)·(b－c)的最大值为.
(2)(2022·广州模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上(包括端点)，
则AD·AP的取值范围是________．
答案 [－2,2]
解析 如图所示，以C为原点，BC为x轴正方向，过点C垂直向上的方向为y轴，建立平
面直角坐标系．
因为菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，
则B(－2,0)，C(0,0)，D(1，)，A(－1，)．
因为点P在BC边上(包括端点)，
所以设P(t，0)，其中t∈[－2,0]．
所以AD＝(2,0)，AP＝(t＋1，－)，
所以AD·AP＝2t＋2∈[－2,2]．
规律方法 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据
平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解
集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
跟踪演练3 已知AB是半圆O的直径，AB＝2，等腰△OCD的顶点C，D在半圆弧 上
运动，且∠COD＝120°，点P是半圆弧 上的动点，则PC·PD的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 以点O为原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图
所示，不妨取C(1,0)，则D，
设P(cos α，sin α)(α∈[0，π])，
PC·PD＝(1－cos α，－sin α)·
＝－sin α－cos α＝－sin.
因为α∈[0，π]，
所以α＋∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，即PC·PD的取值范围为.
专题强化练
1．(2022·山东省实验中学诊断)设向量OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b，0)，其中
O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．9
答案 C
解析 由题意得，AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)，
∵A，B，C三点共线，
∴AB＝λAC且λ∈R，
则可得2a＋b＝1，
∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋
≥4＋2＝8，
当且仅当b＝2a＝时，等号成立．
∴＋的最小值为8.
2．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且OA⊥OB，则(OC－OA)·(OC－OB)的最大值
为( )
A．1＋ B．1－
C.－1 D．1
答案 A
解析 如图，作出OD，使OA＋OB＝OD，
则(OC－OA)·(OC－OB)
＝OC2－OA·OC－OB·OC＋OA·OB
＝1－(OA＋OB)·OC
＝1－OD·OC
＝1－cos〈OD，OC〉，
当cos〈OD，OC〉＝－1时，(OC－OA)·(OC－OB)取得最大值为1＋.
3．(2022·杭州模拟)平面向量a，b满足|a|＝1，＝1，记〈a，b〉＝θ，则sin θ的最大值为(
)
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为|a|＝1，＝1，所以2＝|b|2－3a·b＋|a|2＝1，
则|b|2－3|a||b|cos θ＋－1＝0，
即|b|2－3|b|cos θ＋＝0，
所以cos θ＝＝＋≥2＝，
当且仅当|b|＝时等号成立，因为〈a，b〉＝θ，θ∈[0，π]，
所以sin θ＝≤＝，即sin θ的最大值为.
4．已知四边形ABCD是菱形，对角线AC＝2，<D<，则AB·AD的取值范围为( )
A. B．(1,2)
C．(0,1) D．(－2,0)
答案 D
解析 设AC与BD交于点O，∠BAD＝2θ，则AO＝CO＝1，
所以AB·AD＝|AB||AD|cos 2θ＝··cos 2θ＝＝＝2－，
因为<D<，所以<2θ<，
则－<cos 2θ<0，－2<2－<0，
所以AB·AD的取值范围为(－2,0)．
5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，
则|PC＋4PD|的最小值为( )A．3 B．6
C．2 D．4
答案 B
解析 如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，
因为AD＝1，BC＝2，
所以P(0，x)，C(2,0)，D(1，a)，
所以PC＝(2，－x)，PD＝(1，a－x)，
4PD＝(4,4a－4x)，
所以PC＋4PD＝(6,4a－5x)，
所以|PC＋4PD|＝≥6，
所以当4a－5x＝0，即x＝a时，|PC＋4PD|的最小值为6.
6．已知不共线的平面向量m，n满足|m|＝2，|n|≥，|m＋n|－|m－n|＝2，则m与n夹角的余
弦值的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵|m|＝2，不妨设m＝(2,0)，由|m＋n|－|m－n|＝2，得|n＋m|－|n－m|＝2，
令n＝ON，其对应点N的轨迹是以(－2,0)，(2,0)为焦点的双曲线的右支，
方程为x2－＝1(x>0)，
实半轴长为1，虚半轴长为，又|n|≥，由得N，
此时ON与x轴的夹角为，
则满足|n|≥的N在图中双曲线N点的上方或在双曲线上与N点关于x轴对称的N 点下方的
1
位置，如图所示，又双曲线的渐近线为y＝±x，所以m与n夹角的取值范围为，所以m与n夹角的余弦值的取
值范围为.
7．(2022·武汉模拟)正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，如图，点P是以AB为直径
的半圆上的任意一点，AP＝λAD＋μAE(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是________．(填序号)
①λ的最大值为；
②μ的最大值为1；
③AP·AD的最大值为2；
④AP·AE的最大值为＋2.
答案 ②③④
解析 如图，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，D(－1,2)，E(1,1)，
连接OP，
设∠BOP＝α(α∈[0，π])，
则P(cos α，sin α)，AP＝(cos α＋1，sin α)，
AD＝(0,2)，AE＝(2,1)，
由AP＝λAD＋μAE，
得(cos α＋1，sin α)＝λ(0,2)＋μ(2,1)，则2μ＝cos α＋1且2λ＋μ＝sin α，α∈[0，π]，
所以λ＝(2sin α－cos α－1)
＝sin(α－θ)－≤，其中tan θ＝，故①错误；当α＝0时，μ ＝1，故②正确；
max
AP·AD＝2sin α≤2，故③正确；
AP·AE＝sin α＋2cos α＋2
＝sin(α＋φ)＋2≤＋2，其中tan φ＝2，故④正确．
8．(2022·广东六校联考)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，E是边CD的中点，连
接AE并延长至点F，使得AE＝2EF，若H为线段BC上的动点，则FH·AH的取值范围为
______________．
答案
解析 方法一 连接AC，BD交于点O，以点O为坐标原点，以BD所在直线为x轴，AC
所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，)，B(－1,0)，
C(0，－)，D(1,0)，
E.
设F(x，y)，
0 0
因为AE＝2EF，
所以＝2
＝，
所以2x－1＝，2y＋＝－，
0 0
所以x＝，y＝－，
0 0
所以F.
易知直线BC的方程为y＝－x－，
设H(x，－x－)(－1≤x≤0)，
则AH＝(x，－x－2)，
FH＝，
所以FH·AH＝x＋(x＋2)＝4x2＋x－，
因为－1≤x≤0，
所以FH·AH∈.
方法二 设BH＝tBC(0≤t≤1)，
则AH＝AB＋BH＝AB＋tBC＝AB＋tAD.连接AC(图略)，因为E为CD的中点，
所以AE＝(AC＋AD)＝(AB＋2AD)，
AF＝AE＋EF＝AE＝(AB＋2AD)，
所以FH·AH＝(AH－AF)·AH
＝AH2－AF·AH
＝(AB＋tAD)2－(AB＋2AD)·(AB＋tAD)
＝4＋4t2＋4t－(4＋2t＋4＋8t)
＝4＋4t2＋4t－6－
＝4t2－t－2.
设y＝4t2－t－2,0≤t≤1，
根据二次函数的图象与性质可知，
函数y＝4t2－t－2,0≤t≤1的最小值在t＝处取得，为－，
最大值在t＝1处取得，为－，
所以FH·AH的取值范围是.
