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第 3 讲 空间向量与空间角
[考情分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问
题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的
形式出现，难度中等．
考点一 直线与平面所成的角
核心提炼
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
则①θ∈；②sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
例1 (2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为
AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面
ABD所成的角的正弦值．
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易错提醒 (1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是
〈a，n〉＋θ＝或〈a，n〉－θ＝，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．
(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．
跟踪演练 1 (2022·龙岩质检)如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AD⊥DC，PA＝PD＝PB，BC＝DC＝AD＝2，E为AD的中点，且PE＝4.
(1)求证：PE⊥平面ABCD；
(2)记PE的中点为N，若M在线段BC上，且直线MN与平面PAB所成角的正弦值为，求线
段BM的长度．________________________________________________________________________
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考点二 二面角
核心提炼
设α－l－β的平面角为θ，α的法向量为u，β的法向量为v.
则①θ∈[0，π]．
②|cos θ|＝|cos〈u，v〉|＝.
例2 (2022·广东联考)如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C为圆周上一点，
D为线段PC的中点，∠CBA＝30°，AB＝2PA.
(1)证明：平面ABD⊥平面PBC；
(2)若G为AD的中点，求二面角P－BC－G的余弦值．
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易错提醒 二面角的范围是[0，π]，两向量夹角的范围是[0，π]，二面角与其对应的两法向
量的夹角之间不一定相等，而是相等或互补的关系．
跟踪演练 2 (2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，PA＝AB＝AD＝2，四边形
ABCD为平行四边形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面PAD；
(2)求二面角D－AE－F的余弦值．
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考点三 空间中的探究性问题
核心提炼
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面
角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入
参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满
足要求，从而作出判断．
例3 (2022·武汉质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PA＝PD
＝，AB＝1，AD＝2，PD⊥AB.
(1)证明：平面PCD⊥平面PAB；
(2)若PB＝，试在棱PD上确定一点E，使得平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为.
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规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与
条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立．
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．
跟踪演练3 (2022·聊城质检)如图，在正四棱柱ABCD－ABC D 中，AA ＝2AB＝2，E，F
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分别为棱AA，CC 的中点，G为棱DD 上的动点．
1 1 1
(1)求证：B，E，D，F四点共面；
1(2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明
理由．
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