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仿真模拟卷 2
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.(2022·日照模拟)集合A＝{－2,0,1,2}，B＝{－2,1,3}，则图中阴影部分所表示的集合为(
)
A．{－2} B．{0,1,3}
C．{0,2,3} D．{1,2,3}
2．(2022·长沙雅礼中学质检)已知复数z＝，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为i
B．|z|＝2
C．z的共轭复数＝－1＋i
D．z2为纯虚数
3．(2022·广东六校联考)函数f(x)＝(2x＋2－x)·lg|x|的大致图象为( )
4．(2022·哈尔滨模拟)已知平面向量a，b满足a＝(－1,2)，|b|＝，|a－b|＝，则a与b的夹角
为( )
A. B. C. D.
5．(2022·广安模拟)如图是民航部门统计的2022年春运期间12个城市售出的往返机票的平
均价格(单位：元)以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确
的是( )A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升
C．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
6．(2022·福州质检)某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三枝小
树枝(视为三条线段)，想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度
分别为3 cm,4 cm，6 cm，则( )
A．能作出二个锐角三角形
B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形
D．不能作出这样的三角形
7．(2022·南阳模拟)已知实数x，y满足且z＝y－2x的最大值为0，则实数m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．(2022·泰安模拟)垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分
类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济
价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，
减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益．已知某种垃圾的分解率 v与
时间t(单位：月)满足函数关系式v(t)＝a·bt(其中a，b为非零常数)．若经过6个月，这种垃
圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解(分解
率为100%)至少需要经过(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．40个月 B．32个月
C．28个月 D．20个月
9．(2022·景德镇模拟)已知S 是数列{a}的前n项和，a＝1，a＝3，数列{aa }是公比为2
n n 1 2 n n＋1
的等比数列，则S 等于( )
10
A．1 364 B.
C．118 D．12410．(2022·长沙雅礼中学质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦
点F，点A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾
斜角所在的区间是( )
A. B.
C. D.
11．(2022·南通调研)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则( )
A．sin α>sin β B．cos α>cos β
C．cos α>sin β D．sin α>cos β
12．(2022·山东省实验中学模拟)已知正四棱柱ABCD－ABC D 的底面边长为2，侧棱AA
1 1 1 1 1
＝1，P为四边形ABC D 上的动点，给出下列四个结论中不正确的是( )
1 1 1 1
A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个
B．若PD＝，则点P的轨迹是一段圆弧
C．若PD∥平面ACB，则DP长的最小值为2
1
D．若PD∥平面ACB ，且PD＝，则平面BDP截正四棱柱ABCD－ABC D 的外接球所得
1 1 1 1 1
平面图形的面积为
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·龙岩质检)已知＝－，则tan 2θ＝________.
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均与圆C：(x－3)2＋y2＝4相切，右焦点和圆
心重合，则该双曲线的标准方程为________________．
15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的是普丰实验和查理实
验，受其启发，我们可以设计一个程序框图来估计 π的值(如图)，若电脑输出的j的值为
288，那么可以估计π的值约为________．(结果四舍五入保留到小数点后两位)
16．(2022·哈尔滨模拟)1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”作为奔驰轿车的标志，
象征着陆上、水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，
并成为世界十大著名的商标之一(图一)．已知O为△ABC内一点，△OBC，△OAC，△OAB
的面积分别为S ，S ，S ，则有S OA＋S OB＋S OC＝0，我们称之为“奔驰定理”(图二)．
A B C A B C已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，O为△ABC内的一点且为
内心．若AO＝xAB＋yAC，则x＋y的最大值为________．
三、解答题(本题共70分．第17～21题为必考题，第22,23题为选考题)
(一)必考题(共60分)
17．(12分)(2022·荆州模拟)在①＝；②2bsin A＝atan B；③(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin
B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________．
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
18.(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC＝BC，PA＝PB，且点C在
以点O为圆心，AB为直径的半圆 上．
(1)求证：AB⊥PC；
(2)若AC＝2，且PC与平面ABC所成的角为，求点B到平面PAC的距离．
19．(12分)(2022·内江模拟)2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风
着陆场成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富身体状态良好，神州十三号载人飞行任务
取得圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶
段．某公司负责生产的A型材料是神舟十三号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该
公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，
得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当013时，确定y与x满足的线性回归方程为y＝－0.7x＋a.
根据以上阅读材料，解答以下问题：
(1)根据下列表格中的数据，比较当0b>0)的右焦点为F，上顶点为M，O为
坐标原点，若△OMF的面积为，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的
方程；若不存在，说明理由．21．(12分)(2022·临川一中模拟)已知函数f(x)＝ex－3ax－1，a∈R.
(1)讨论函数y＝f(x)的单调性；
(2)令函数g(x)＝f(x)＋sin x，若对∀x∈[0，＋∞)，g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
(二)选考题(共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分)
[选修4－4：坐标系与参数方程]
22．(10分)(2022·吉安模拟)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点
O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆D的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C的极坐标方程和圆D的直角坐标方程；
(2)设直线θ＝与曲线C交于点A，与圆D交于点B(异于点O)，求|AB|及△ABD的面积．
[选修4－5：不等式选讲]
23．(10分)(2022·上饶模拟)已知函数f(x)＝|x－2|－2|x－5|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)若f(x)≤|2x＋t|，求实数t的取值范围．
