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专题一 三角函数与解三角形
微专题2 向量模几何意义与三角形四心
一、考点透析
考点1 平面向量模的几何意义
1．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
，若点
满
足
，则
（ ）
A．-3
B．0
C．1
D．4
【答案】A
【详解】
法1：因为PA + PB =2 PO,所以|⃗PA +⃗PB|=|2 PO|=2，
即| PO|=1，点P 在以原点为圆心，以1 为半径的圆上，由极化恒等式知，
AP∙BP = PA ∙PB=PO
2-OA
2=1-4=-3，故选：A
法2：设点
，则PA =(−2−x ,−y), AP =( x +2, y)，
，所以
，
因为
，所以
，
整理可得
，
所以
故选：A
2.（2025·上海·高考真题）已知
，
是平面内三个不同的单位向量．
若
，则
可的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若
，则
，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量
两两垂直，显然不成立；
故
.
不妨设
，则
，
不妨设
，
，
则
，则
，
则
，
由
，
，
则
，
故
.
故答案为：
.
3．（2025·湖南岳阳·三模）已知不共线的向量
，满足
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，
即
，又
，
整理得
.
设
，则
，
设
，则
，
所以
，即点C 在直线
上；
设
，由
，得
，即点B 直线
上，
而
的几何意义为直线
上的点B 到直线
上的点C 的距离，
所以
，
即
的最小值为
.
故选：D
考点2 重心问题
1．已知
，
为平面内任意一点，动点
满足
，则点
的轨迹一定经过（ ）
A．
的内心
B．
的垂心
C．
的重心
D．
的外心
【答案】C
【详解】先设
的中点为
，则
，
又因为
，
而
，
由三点共线的充要条件知
三点共线，
则点
的轨迹一定经过
的重心.
故选：C．
2．
为
平面内一定点，该平面内一动点
满足
，则
的（ ）一定属于
集合
.
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
【答案】A
【详解】
中，根据正弦定理，
，即
.
设
，
，
所以
，
，
，
设D 为
中点，则
，故
，
所以
共线，
点
的轨迹为射线
（不含端点
）.
的重心一定属于集合
.
故选：A.
考点3 外心
1．在
中，若动点
满足
，则
点的轨迹一定经过
的
（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
【答案】C
【详解】因为
，
所以
，
设
的中点为
，则
，则
，
即
，所以
，所以点
在线段
的中垂线上，
故点
的轨迹过
的外心.
故选：C．
2．
中，
为
边上的高且
，动点
满足
，则点
的轨迹一定过
的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
【答案】A
【详解】设
，
，
以
为原点，
、
方向为
、
轴正方向如图建立空间直角坐标系，
，
，
，
则
，
，
，
，则
，
设
，则
，
，
，即
，
即点
的轨迹方程为
，
而直线
平分线段
，即点
的轨迹为线段
的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点
的轨迹一定过
的外心，
故选：A.
考点4 内心
1．已知
，若点P 满足
，其中
，则点P 的轨迹一定通过
的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
【答案】B
【详解】
指向角A 的平分线方向，
而
与
是平行的，所以依旧指向角A 的平分线方向，
所以点P 的轨迹即为角A 的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A 的平分线上，
所以点P 的轨迹会经过内心.
故选：B.
2．若满足
，则O 为
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【详解】延长
交
于
，延长
交
于
，延长
交
于
，
，
又因为
，所以
，
而
共线，则存在实数
，使得
，
所以
.
因为
不共线，所以
，
，
所以
，所以
是
的平分线，同理
都是
的内角平分
线，
所以
为
的内心.
故选：B.
考点5 垂心
1．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若
则直线
BD 一定经过三角形ABC 的（ ）
A．垂心
B．内心
C．重心
D．外心
【答案】A
【详解】
，
，
，
，
，
是三角形
的高线，
直线BD 一定经过三角形ABC 的垂心.
故选：A.
2．已知
为
所在平面内一点，动点
满足：
，其中
，则动点
的轨迹一定通过
的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】D
【详解】
，
，
由正弦定理得
，则
令
，
因为
，
所以
所以
，
等式两边点乘
得
，
所以点
的轨迹一定过
的垂心，
故选：D．
考点6 奔驰定理
1．已知点A，B，C，P 在同一平面内，
，
，
，则
等于（ ）
A．14∶3
B．19∶4
C．24∶5
D．29∶6
【答案】B
【详解】由
可得：
,
整理可得：
，
由
可得
，整理可得：
，
所以
，整理得：
，
由奔驰定理可得：
，
故选：
.
2．已知
是
内的一点，若
的面积分别记为
，则
.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的
很相似，故形象地
称其为“奔驰定理”.如图，已知
是
的垂心，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
是
的垂心，延长CO，BO，AO 分别交边AB，AC，BC 于点P，M，N，
如图，则
，
，
因此，
，同理
，
于是得
，
又
，即
，由“奔驰定理”有
，
则
，而
与
不共线，有
，
，即
，
所以
.故选：A
二、跟踪练习
1．已知
是平面上一定点，
是平面上不共线的三点，动点
满足
，
，则
点的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
【答案】B
【详解】由
，则
，即
，
故
，即点
的轨迹经过
的垂心.
故选：B
2．已知在同一个平面上有
和一点
，且满足关系式：
，则
为
的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】D
【详解】由
，
，所以
.
同理由
可得：
.
所以
为
的垂心.
故选：D
3．已知
为
所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若
，则
为
内心
②若
，则
为等腰三角形
③若
，则
为
的外心
④若
，则点
的轨迹一定经过
的重心
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】对于①：由
得
为
重心，故①错误；
对于②：由
得
，
又
，所以
，所以
为等腰三角形，故②正确；
对于③：由
得
，同理得
，
所以
为
的垂心，故③错误；
对于④：取
的中点为
，所以
，由正弦定理得
，令
，
则
，所以
，点
的轨迹经过
的重心，故④正确.
故选：B.
4．边长为2 的等边三角形ABC 的重心为G，设平面内任意一点P，则
的最小值为
．
【答案】
【详解】由题意，设等边
的边长为
，以
的中点
为原点，以
分别为
轴建立直角坐标系，可作图如下：
由
为等边
的重心，则
，
，即
，
，
设
，则
，
，
，
对于
，
，故
.
故答案为：
.
5．设点
在
内部，且
，则
与
的面积之比为
.
【答案】
【详解】因为点
在
内部，满足奔驰定理
，且
，
所以
与
的面积之比为
，
故答案为：
.
