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§5.5 复 数
课标要求 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复
数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a 是实部，b 是虚部，i为虚数单
位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
⇔
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔ a ＝ c ， b ＝－ d (a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量OZ的模叫作复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 | z |或 | a ＋ b i |，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ( a － c ) ＋ ( b － d )i ；
1 2
③乘法：zz＝(a＋bi)(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；
1 2
④除法：＝＝＝ ＋ i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝ OZ1 ＋
1 2
OZ2，Z1Z2＝ OZ2 － OZ1 .常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z＝0没有共轭复数．( × )
(2)复数可以比较大小．( × )
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( × )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．
( √ )
2．已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，
z在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限．
3．(2023·合肥模拟)已知i是虚数单位，若|1＋ai|＝5，则实数a等于( )
A．2 B．2 C．－2 D．±2
答案 D
解析 ∵|1＋ai|＝5，∴＝5，
解得a＝±2.
4．已知复数z满足z(1－i)＝i(i为虚数单位)，则z的虚部为________．
答案
解析 由z(1－i)＝i，
得z＝＝＝＝－＋i，
所以z的虚部为.题型一 复数的概念
例1 (1)(多选)(2023·银川模拟)若复数z满足z(1－2i)＝10，则( )
A.＝2－4i
B．z－2是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若角α的始边为x轴非负半轴，复数z对应的点在角α的终边上，则sin α＝
答案 AB
解析 对于A，z＝＝＝2＋4i，∴＝2－4i，故A正确；
对于B，z－2＝2＋4i－2＝4i，为纯虚数，故B正确；
对于C，z＝2＋4i，其在复平面内对应的点为(2,4)，在第一象限，故C错误；
对于D，复数z在复平面内对应的点为(2,4)，则sin α＝＝，故D错误．
(2)(2024·杭州模拟)若复数z满足z(1＋i)＝－2＋i(i是虚数单位)，则|z|等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 依题意，z(1＋i)＝－2＋i，
z＝＝
＝＝－＋i，
所以|z|＝＝.
(3)(多选)(2023·永州模拟)若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有两个不同复数根x 和x ，其
1 2
中x＝－＋i(i是虚数单位)，则下面四个选项正确的有( )
1
A．m＝1 B．x>x
1 2
C．x＝1 D．x＝
2
答案 ACD
解析 由题可知，x ＋x ＝－1，所以x ＝－－i，m＝xx ＝＝1，故A正确；x ，x 均为虚数，
1 2 2 1 2 1 2
不能比较大小，故B错误；x＝3＝1，故C正确；x＝2＝－＋i＝，故D正确．
2
思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，
只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
跟踪训练1 (1)(多选)下面是关于复数z＝－1－i(i为虚数单位)的命题，其中真命题为( )
A．|z|＝2
B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
答案 BD
解析 A选项，|z|＝＝，A错误；
B选项，z2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i，B正确；
C选项，z的共轭复数为－1＋i，C错误；
D选项，z的虚部为－1，D正确．
(2)(2023·淄博模拟)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 A
解析 z＝＝＝，
因为复数z＝的实部与虚部相等，
所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，
故实数a的值为－3.
(3)(2023·怀化模拟)若复数z是x2＋x＋1＝0的根，则|z|等于( )
A. B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ∵x2＋x＋1＝0，
∴由求根公式得x＝＝，
即z＝，
∴当z＝－＋i时，|z|＝＝1，
当z＝－－i时，|z|＝＝1.
综上，|z|＝1.
题型二 复数的四则运算
例2 (1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知z＝，则z－等于( )
A．－i B．i C．0 D．1
答案 A
解析 因为z＝＝
＝＝－i，
所以＝i，即z－＝－i.
(2)(多选)(2023·忻州模拟)下列关于非零复数z，z 的结论正确的是( )
1 2
A．若z，z 互为共轭复数，则z·z∈R
1 2 1 2
B．若z·z∈R，则z，z 互为共轭复数
1 2 1 2
C．若z，z 互为共轭复数，且z≠0，则＝1
1 2 2D．若＝1，则z，z 互为共轭复数
1 2
答案 AC
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
1
由z，z 互为共轭复数，得z＝a－bi，
1 2 2
则z·z＝a2＋b2∈R，故A正确；
1 2
当z＝2＋2i，z＝1－i时，z·z＝4∈R，
1 2 1 2
此时z，z 不是共轭复数，故B错误；
1 2
由z，z 互为共轭复数，得|z|＝|z|，
1 2 1 2
又z≠0，从而＝1，即＝1，故C正确；
2
当z＝2＋i，z＝1－2i时，|z|＝|z|，即＝1，此时z，z 不是共轭复数，故D错误．
1 2 1 2 1 2
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练2 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
答案 D
解析 (2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.
(2)(2023·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 B
解析 ∵z·i3＝1－2i，∴－zi＝1－2i，
∴z＝＝＝2＋i，
∴＝2－i，∴的虚部为－1.
题型三 复数的几何意义
例3 (1)(2023·渭南模拟)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i为虚数单位)是由法国
数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，若复数z满足z·6＝|1＋i|，则复数
z对应的点Z落在复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 z·6＝|1＋i|，
根据棣莫弗公式可知，z·＝z·＝，即z·(－1＋i)＝2，
则z＝＝＝－1－i，复数z对应的点Z(－1，－1)落在复平面内的第三象限．
(2)(2023·邢台模拟)已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3
＋i|的最小值为( )A．5 B．4 C．3 D．2
答案 B
解析 因为z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z－i＝a＋(b－1)i，z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i，
由|z－i|＝|z＋2－i|，可得＝，
解得a＝－1，则z＝－1＋bi，
所以z－3＋i＝－4＋(b＋)i，
因此|z－3＋i|＝≥4，
当且仅当b＝－时，等号成立，
故|z－3＋i|的最小值为4.
思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可以把复数、向量与解析
几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
跟踪训练3 (1)在复平面内，O为坐标原点，复数z ＝i(－4＋3i)，z ＝7＋i对应的点分别为
1 2
Z，Z，则∠ZOZ 的大小为( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵z＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z＝7＋i，
1 2
∴OZ1＝(－3，－4)，OZ2＝(7,1)，
∴OZ1·OZ2＝－21－4＝－25，
∴cos∠ZOZ ＝＝＝－，
1 2
又∠ZOZ ∈[0，π]，∴∠ZOZ ＝.
1 2 1 2
(2)(2023·太原模拟)已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为( )
A．1 B.－1 C.＋1 D．3
答案 B
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，
即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝1，如图，
又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝，
所以|z－i|表示圆C上的动点到定点A(0,1)的距离，所以|z－i| ＝CA－1＝－1.
min课时精练
一、单项选择题
1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
答案 B
解析 因为a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
所以a＝－1，b＝3.
2．(2023·西安模拟)已知i是虚数单位，复数z满足z－i＝，则复数z的共轭复数为( )
A．2 B．－2 C．2i D．－2i
答案 A
解析 因为z－i＝
＝＝＝2－i，
所以z＝2，
所以复数z的共轭复数为2.
3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(2＋ai)i(其
中a∈R)为“等部复数”，则复数＋ai在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ∵z＝(2＋ai)i＝－a＋2i，
又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，
∴－a＝2，解得a＝－2，
∴z＝2＋2i，∴＝2－2i，
即＋ai＝2－4i，
∴复数＋ai在复平面内对应的点是(2，－4)，位于第四象限．
4．(2024·梅州模拟)已知复数z＝a＋i，a∈R，z＝1－2i，且z· 为纯虚数，则|z|等于( )
1 2 1 2 1
A. B．2 C. D.
答案 C
解析 复数z＝a＋i，z＝1－2i，
1 2
则z·＝(a＋i)(1＋2i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，
1 2
依题意，得解得a＝2，即z＝2＋i，
1
所以|z|＝＝.
1
5．已知m，n为实数，1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则m＋n
等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 D
解析 由1－i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，
则1＋i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，
则m＝1－i＋1＋i＝2，n＝(1－i)×(1＋i)＝2，
即m＝2，n＝2，则m＋n＝4.
6．(2023·齐齐哈尔模拟)已知复数z 与z＝3＋i在复平面内对应的点关于实轴对称，则等于(
1
)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
答案 B
解析 因为复数z 与z＝3＋i在复平面内对应的点关于实轴对称，所以z＝3－i，
1 1
所以＝＝＝＝1－i.
7．(2024·沧州模拟)设复数z满足|z－1＋i|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
答案 D
解析 复数z满足z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|x－1＋(y＋1)i|＝2，
∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4.
8．(2023·贵阳模拟)欧拉公式exi＝cos x＋isin x由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数
函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论占有非常重
要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是( )
A． 对应的点位于第二象限
B． 为纯虚数
C.的模为
D． 的共轭复数为－i
答案 D解析 对于A， ＝cos ＋isin ＝－＋i，对应的点位于第二象限，故A正确；
对于B， ＝cos ＋isin ＝i，为纯虚数，故B正确；
对于C，＝＝＝＝＝，故C正确；
对于D， ＝cos ＋isin ＝＋i，所以 的共轭复数为－i，故D错误．
二、多项选择题
9．(2023·衡阳模拟)已知i为虚数单位，则下列结论中正确的是( )
A．i＋i2＋i3＋i4＝0
B．3＋i>1＋i
C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2
D．复数－2－i的虚部为－1
答案 AD
解析 对于A，由虚数的运算性质，可得i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A正确；
对于B，虚数不能比较大小，故B不正确；
对于C，当z＝i时，|z|2＝1，z2＝－1，此时|z|2≠z2，故C不正确；
对于D，根据复数的概念，可得复数－2－i的虚部为－1，故D正确．
10．已知复数z，z， 为z 的共轭复数，则下列结论中一定成立的是( )
1 2 1 1
A．z＋ 为实数
1 1
B．||＝|z|
1 1
C．若|z|＝|z|，则z＝±z
1 2 1 2
D．|z |＝|zz|
21 2 1
答案 ABD
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝x－yi，
1 2 1
对于A，z＋＝2x∈R，故A正确；
1 1
对于B，|z|＝，||＝，∴||＝|z|，故B正确；
1 1 1 1
对于C，当z＝3＋4i，z＝5时，|z|＝|z|＝5，但是z≠±z，故C错误；
1 2 1 2 1 2
对于D，z ＝(a＋bi)(x－yi)＝(ax＋by)＋(bx－ay)i，|z |＝＝，zz ＝(a＋bi)(x＋yi)＝(ax－by)
21 21 2 1
＋(bx＋ay)i，|zz|＝＝，∴|z |＝|zz|，故D正确．
2 1 21 2 1
三、填空题
11．(2024·天津模拟)已知i是虚数单位，则的值为________．
答案
解析 因为＝＝＝1＋3i，
所以＝|1＋3i|＝＝.
12．写出一个同时满足①②的复数z＝________.①z3＝；②z∉R.
答案 i(或－i)
解析 因为z∉R，不妨设z＝bi(b∈R，b≠0)，
则(bi)3＝－b3i＝－bi，
解得b＝±1，即z＝±i符合．
13．(2023·潍坊模拟)在复平面内，复数z与对应的点关于虚轴对称，则z＝________.
答案 －1＋i
解析 由题意得＝1＋i，
∵复数z与对应的点关于虚轴对称，
∴z＝－1＋i.
14．(2023·成都检测)已知|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最大值为________．
答案 2＋1
解析 设z＝x＋yi，其中x，y∈R，
由|z|＝1，可得x2＋y2＝1，
根据复数z的几何意义可得复数z表示以原点O为圆心，1为半径的单位圆，
则|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝，
可得|z－2－2i|表示单位圆上的点到点P(2,2)的距离，
因为PO＝2，
所以|z－2－2i|的最大值为PO＋r＝2＋1.
15．已知复数z，z 和z满足|z|＝|z|＝1，若|z－z|＝|z－1|＝|z－z|，则|z|的最大值为( )
1 2 1 2 1 2 1 2
A．2 B．3 C. D．1
答案 B
解析 根据题意，得|z|＝|(z－z)－z|≤|z－z|＋|z|＝|z－1|＋1≤|z|＋1＋1＝3，
2 2 2 2 1 1
当z＝－1，z＝1，z＝3时，|z－z|＝|z－1|＝|z－z|＝2，此时|z|＝3，
1 2 1 2 1 2
所以|z| ＝3.
max
16．在复平面内，已知点A(－1,0)，B(0,3)，复数z ，z 对应的点分别为Z ，Z ，且满足|z|
1 2 1 2 1
＝|z|＝2，ZZ＝4，则AZ1·BZ2的最大值为__________．
2 1 2
答案 2－4
解析 因为复数z，z 对应的点分别为Z，Z，
1 2 1 2
且|z|＝|z|＝2，则可确定点Z，Z 在以O为圆心，2为半径的圆上，
1 2 1 2
又ZZ＝4，所以ZZ 为圆的直径，即Z，Z 关于原点对称，所以OZ1＝－OZ2，
1 2 1 2 1 2
因为AZ1＝AO＋OZ1，BZ2＝BO＋OZ2，所以AZ1·BZ2＝(AO＋OZ1)·(BO＋OZ2)＝AO·BO＋AO·OZ2＋OZ1·BO＋OZ1·OZ2＝(1,0)·(0，
－3)－AO·OZ1＋OZ1·BO＋2×2×cos(－π)＝－4＋OZ1·BA，
又|BA|＝＝，|OZ1|＝2，〈OZ1，BA〉∈[0，π]，
则cos〈OZ1，BA〉∈[－1,1]，
所以OZ1·BA＝|OZ1||BA|cos〈OZ1，BA〉＝2cos〈OZ1，BA〉，
即OZ1·BA的最大值为2，
所以AZ1·BZ2的最大值为2－4.
