文档文本内容
第八周
[周一]
1．(2022·汕头模拟)在①C＝2B；②△ABC的面积为；③sin(B＋C)＝这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，请说明
理由．
问题：是否存在△ABC，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，b＝2，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 若选①，则A＝π－3B，且A<B<C，
因为a＝1，b＝2，
由正弦定理得＝＝，
则＝，即＝，
所以2sin 3B＝sin B，
所以2sin(2B＋B)＝sin B，
即2(sin 2Bcos B＋cos 2Bsin B)＝sin B，
所以2[2sin B(1－sin2B)＋(1－2sin2B)sin B)]＝sin B，
整理得2(3sin B－4sin3B)＝sin B，
解得sin2B＝，
因为B∈(0，π)，所以sin B＝，
因为 A<B<C，所以角B为锐角，
所以cos B＝＝，
所以sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B
＝2××＝，
所以由正弦定理得c＝＝＝.
若选②，则由△ABC的面积为，a＝1，b＝2，
得absin C＝sin C＝，
所以cos C＝±＝±，
当C为锐角时，cos C＝，
此时由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2×＝2，
所以c＝.
当C为钝角时，cos C＝－，此时由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4＋2×1×2×＝8，
所以c＝2，综上，c＝或c＝2.
若选③，由sin(B＋C)＝，
得sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A＝，
由正弦定理得＝，
则sin B＝＝＝>1，
此时三角形不存在．
[周二]
2.(2022·贵阳模拟)如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形ABCD为圆柱下底面的内
接四边形，且AC为圆柱下底面的直径，PD为圆柱的母线，且PD＝3，圆柱的底面半径为1.
(1)证明：AD⊥PC；
(2)若B为 的中点，点Q在线段PB上，且PQ＝2QB，求三棱锥P－QAC的体积．
(1)证明 ∵AC为直径，点D在圆上且不同于A，C两点，
∴AD⊥DC，
又∵PD为圆柱的母线，∴PD⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，
又DC∩PD＝D，且PD，DC⊂平面PDC，
∴AD⊥平面PDC，
又PC⊂平面PDC，∴AD⊥PC.
(2)解 由PQ＝2QB得V ＝2V ＝2V ，
P－QAC B－QAC Q－ABC
∵B为 的中点，AC＝2，∴AB＝BC＝，
又在Rt△PDA中，PD＝3，
则V ＝2V ＝2V ＝2××PD×××＝.
P－QAC B－QAC Q－ABC
[周三]
3.(2022·渭南模拟)中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场成功着
陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．三位航天员在为期半年的任务期间，进行了
两次太空行走，完成了20多项不同的科学实验，并开展了两次“天宫课堂”，在空间站进
行太空授课．神舟十三号的成功引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两
个班级所有学生中分别随机抽取8名学生，对他们的航天知识进行评分调查(满分100分)，被抽取的学生的评分结果如茎叶图所示，计算得甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平
均数都是84.
(1)分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的方差，并据此估计两个班级学生航天
知识的整体水平的差异；
(2)若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观市教育局举办的航天摄影展，求这两名
学生均来自于乙班级的概率．
解 (1)s＝×(64＋25＋16＋9＋1＋16＋36＋81)＝31，
s＝×(121＋16＋9＋4＋1＋25＋36＋100)＝39，
∵s<s，∴估计甲班级学生航天知识水平更加均衡一些，乙班级学生航天知识水平差异略大．
(2)甲班级得分不低于85分的有4名同学，记为A，B，C，D，乙班级得分不低于85分的有
3名同学，记为a，b，c，
从这7名同学中随机选取2人有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，
C)，(B，D)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，D)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(D，a)，(D，
b)，(D，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共21个基本事件，其中这两名学生均来自于乙班级的
有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个基本事件，
所以这两名学生均来自于乙班级的概率P＝＝.
[周四]
4．(2022·梅州模拟)已知动点P到点F(0,1)和直线l：y＝－1的距离相等．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为曲线C，点Q在直线l上，过Q的两条直线QA，QB与曲线C相切，切
点分别为A，B，以AB为直径作圆M，判断直线l和圆M的位置关系，并证明你的结论．
解 (1)由抛物线定义可知点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线l：y＝－1为准线的抛物线，
所以动点P的轨迹方程为x2＝4y.
(2)直线l与圆M相切，理由如下：
依题可设Q(x，－1)，A，B，
0
M，由x2＝4y，即y＝x2，
求导得y′＝，
所以切线QA，QB的斜率分别是k＝，k＝，所以QA的方程是y－＝(x－x)，
1 2 1
将点Q(x，－1)的坐标代入QA的方程，
0
得－1－＝(x－x)，即x－2xx－4＝0，
0 1 0 1
同理可得x－2xx－4＝0，
0 2
于是x，x 是方程x2－2xx－4＝0的两根，
1 2 0所以x＋x＝2x，xx＝－4，
1 2 0 1 2
由x＋x＝2x，得＝x，即MQ⊥l，
1 2 0 0
由xx＝－4，kk＝·＝－1，
1 2 1 2
所以QA⊥QB，即点Q在圆M上，
所以直线l和圆M相切．
[周五]
5．(2022·许昌模拟)已知函数f(x)＝mxln x＋x2，m≠0.
(1)若m＝－2，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)＝f(x)＝0，且x≠x，证明：ln x＋ln x>2.
1 2 1 2 1 2
(1)解 依题意f(x)＝－2xln x＋x2，
f′(x)＝－2ln x－2＋2x＝2(x－ln x－1)．
令g(x)＝x－ln x－1，
则g′(x)＝1－＝(x>0)，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故函数g(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
则g(x)≥g(1)＝0，即f′(x)≥0，
故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)证明 要证ln x＋ln x>2，即证ln(xx)>2.
1 2 1 2
依题意，x，x 是方程mxln x＋x2＝0的两个不相等的实数根，不妨令x>x，
1 2 1 2
因为x>0，故
两式相加可得m(ln x＋ln x)＋(x＋x)＝0，
1 2 1 2
两式相减可得m(ln x－ln x)＋(x－x)＝0，
1 2 1 2
消去m，整理得＝，
故ln(xx)＝ln·＝ln·，
1 2
令＝t>1，故只需证明ln t·>2，
即证明ln t>，
设h(t)＝ln t－，
故h′(t)＝－＝>0，
故h(t)在(1，＋∞)上单调递增，从而h(t)>h(1)＝0，
因此ln t>.故原不等式得证．
[周六]
6．[坐标系与参数方程](2022·合肥模拟)在平面直角坐标系中，已知曲线E经过点P，其参数方程为 (α为参数)，以
原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线E的极坐标方程；
(2)若直线l交曲线E于A，B两点，且OA⊥OB，求＋ 的值．
解 (1)将点P代入曲线E的参数方程，得解得a2＝4，
所以曲线E的普通方程为＋＝1，
极坐标方程为ρ2＝1.
(2)不妨设点A，B的极坐标分别为A(ρ，θ)，
1
B，ρ>0，ρ>0，
1 2
则
即
则＋＝＋＝，即＋＝.
6．[不等式选讲]
(2022·宿州模拟)已知f(x)＝|x＋4|－|x－m|.
(1)若m＝2，求f(x)<m的解集；
(2)若a>0，b>0，c>0，abc＝1，对于∀x∈R，(a＋b)2＋(a＋c)2＋(b＋c)2≥f(x)恒成立，求实
数m的取值范围．
解 (1)若m＝2，则f(x)＝|x＋4|－|x－2|<2，
当x≥2时，f(x)＝(x＋4)－(x－2)<2，无解；
当－4<x<2时，f(x)＝(x＋4)－(2－x)<2，解得－4<x<0；
当x≤－4时，f(x)＝(－x－4)－(2－x)＝－6<2，解得x≤－4.
综上所述，当m＝2时，f(x)<m的解集为{x|x<0}．
(2)因为(a＋b)2＋(a＋c)2＋(b＋c)2≥4ab＋4ac＋4bc＝4(ab＋ac＋bc)，
又因为abc＝1，所以4(ab＋ac＋bc)≥4×3×＝12，
当且仅当a＝b＝c，ab＝bc＝ac，即a＝b＝c＝1时，等号成立，
所以(a＋b)2＋(a＋c)2＋(b＋c)2的最小值为12；
因为对于∀x∈R，(a＋b)2＋(a＋c)2＋(b＋c)2≥f(x)恒成立，
即f(x)＝|x＋4|－|x－m|≤|4＋m|≤12.
当且仅当(x＋4)(x－m)≥0时，等号成立，
解得－16≤m≤8，
故实数m的取值范围为[－16,8]．
