文档文本内容
押上海高考 13-16 题
集合、不等式、函数、数列、立体几何、圆锥曲线、
概率与统计
考点 4年考题 考情分析
近三年考查方向元素与集合关系的判断、集合的包含关
集合 2021年~2023年
系的判断及应用、交集及其运算。
2021年、2022年、2024年春 近四年考查方向等式与不等式性质、不等关系与不等
不等式
考 式、基本不等式及其应用
近四年考查方向函数的定义域及其求法、函数奇偶性的
2020年、2021年、2023年、
函数 性质与判断、反函数、三角函数的最值、同角三角函数
2024年春考
的基本关系、函数与方程的综合应用
近四年考查方向数列的应用、数列的极限、等差数列与
数列 2020年、2022年、2023年
等比数列的综合
2022年、2023年、2024年春 近四年考查方向异面直线的判定、空间中直线与直线的
立体几何
考 位置关系、空间中直线与平面之间的位置关系
近四年考查方向直线与圆的位置关系、曲线与方程、圆
圆锥曲线 2020年、2022年、2023年
锥曲线的轨迹问题
近两年考查互斥事件与对立事件、散点图、统计图表获
概率与统计 2023年、2024年春考
取信息
一．元素与集合关系的判断（共1小题）
1．（2023•上海）已知 ， ， ， ，若 ， ，则
A． B． C． D． ，2，
二．集合的包含关系判断及应用（共1小题）
2．（2021•上海）已知集合 ， ， ， ，则下列关系中，正确的是
A． B． C． D．
三．交集及其运算（共1小题）
3．（2022•上海）若集合 ， ， ，则
A． ， ，0， B． ，0， C． ， D．
四．等式与不等式的性质（共1小题）
4．（2022•上海）若 ，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
五．不等关系与不等式（共2小题）
5．（2024•上海） ， ， ， ，下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
6．（2021•上海）已知两两不相等的 ， ， ， ， ， ，同时满足① ， ， ；
② ；③ ，以下哪个选项恒成立
A． B． C． D．
六．基本不等式及其应用（共1小题）
7．（2022•上海）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
七．函数的定义域及其求法（共1小题）
8．（2022•上海）下列函数定义域为 的是
A． B． C． D．
八．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）9．（2023•上海）下列函数是偶函数的是
A． B． C． D．
10．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数
A． B． C． D．
九．反函数（共1小题）
11．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是
A． B． C． D．
一十．三角函数的最值（共2小题）
12．（2023•上海）已知 ，记 在 ， 的最小值为 ，在 ， 的最小值为 ，则下列
情况不可能的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
13．（2021•上海）已知 ，对任意的 ， ，都存在 ， ，使得
成立，则下列选项中， 可能的值是
A． B． C． D．
一十一．同角三角函数间的基本关系（共1小题）
14．（2020•上海）“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
一十二．函数与方程的综合运用（共1小题）
15．（2024•上海）现定义如下：当 时 ，若 ，则称 为延展函数．现有，当 时， 与 均为延展函数，则以下结论
（1）存在 ， ； ， 与 有无穷个交点
（2）存在 ， ； ， 与 有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立
一十三．数列的应用（共1小题）
16．（2022•上海）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列选项判断正确的是
A．若 ，则数列 是递增数列
B．若 ，则数列 是递增数列
C．若数列 是递增数列，则
D．若数列 是递增数列，则
一十四．数列的极限（共1小题）
17．（2020•上海）计算：
A．3 B． C． D．5
一十五．等差数列与等比数列的综合（共1小题）
18．（2023•上海）已知无穷数列 的各项均为实数， 为其前 项和，若对任意正整数 都有
，则下列各项中可能成立的是
A． ， ， ， ， ， 为等差数到， ， ， ， ， ， 为等比数列
B． ， ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， ， 为等差数列
C． ， ， ， ， 为等差数列， ， ， ， ， 为等比数列D． ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， 为等差数列
一十六．异面直线的判定（共1小题）
19．（2023•上海）如图所示，在正方体 中，点 为边 上的动点，则下列直线中，始
终与直线 异面的是
A． B． C． D．
一十七．空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）
20．（2022•上海）如图正方体 中， 、 、 、 分别为棱 、 、 、 的中
点，连接 ， ．空间任意两点 、 ，若线段 上不存在点在线段 、 上，则称 两点
可视，则下列选项中与点 可视的为
A．点 B．点 C．点 D．点
21．（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为
A．0 B．2 C．4 D．12
一十八．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）
22．（2024•上海）空间中有两个不同的平面 ， 和两条不同的直线 ， ，则下列说法中正确的是
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
一十九．直线与圆的位置关系（共1小题）
23．（2022•上海）设集合 ， ，
①存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在 两侧；
②存在直线 ，使得集合 中存在无数点在 上；
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
二十．曲线与方程（共1小题）
24．（2023•上海）已知 ， 是曲线 上两点，若存在 点，使得曲线 上任意一点 都存在 使得
，则称曲线 是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②
存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
二十一．圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）
25．（2020•上海）已知椭圆 ，作垂直于 轴的垂线交椭圆于 、 两点，作垂直于 轴的垂线
交椭圆于 、 两点，且 ，两垂线相交于点 ，则点 的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
二十二．互斥事件与对立事件（共1小题）
26．（2024•上海）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼
品都有，现从中任选一个盒子，设事件 ：所选盒中有中国结，事件 ：所选盒中有记事本，事件 ：所
选盒中有笔袋，则
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 互斥 D．事件 与事件 相互独立
二十三．散点图（共1小题）
27．（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是
A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关
二十四．统计图表获取信息（共1小题）
28．（2023•上海）如图为 年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
一．元素与集合关系的判断
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，
b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：
a A或a A．
2∈、集合中∉元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属
于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的
总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个
特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．二．集合的包含关系判断及应用
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B； 如果集合A
是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，⊆即A B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A⊂的元素，那
么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义
域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
三．交集及其运算
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝（⊆ A）∪（ B）⇔． ⊆
U U U U
∅【解题方法点拨】解答交集问题，需要∁注意交集∅中：“∁ 且”与“所有”∁的理解．∁不能把“或”与“且”混
用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联
合命题．
四．等式与不等式的性质
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b a﹣b＞0；
⇔②a＜b a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等⇔式的基本性质
①对称性：a＞b b＜a；
②传递性：a＞b⇔，b＞c a＞c；
③可加性：a＞b a+c＞⇒b+c．
④同向可加性：⇒a＞b，c＞d a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0 ac＞⇒bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞⇒b＞0，c＞d＞0 ac＞⇒bd；
⑦平方法则：a＞b＞0 an＞bn（n N，且⇒n＞1）；
⇒ ∈
⑧开方法则：a＞b＞0 （ n N，且n＞1）．
五．不等关系与不等式⇒ ∈
不等式定理
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；⇔如果a＜b，那么b⇒＞a． ⇔
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
六、基本不等式及其应用
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)≥ (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
七．函数的定义域及其求法
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅
要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一
函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解
集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则 f 下的量
“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域
应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
八．函数单调性的性质与判断
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x ，x ，
1 2
当x ＜x 时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x ＞x 时，都有f
1 2 1 2 1 2
（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
1 2
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区
间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考
虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选
择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，
主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思
想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取
值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
九．函数奇偶性的性质与判断
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确
率．
十．反函数
定义
一般地，设函数y＝f（x）（x A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g
（y）．若对于y在中的任何一∈个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）
就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y C）叫做函数y＝f（x）（x A）的
反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分∈别是函数y＝f（x）的值域、∈定义域．
性质反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对
称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则
函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，
被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是
奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
十一、三角函数的最值
形如 (或 )型
可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论
2、形如 (或 型
（1）先由定义域求得 的范围
（2）求得 (或 )的范围，最后求得最值
3、形如 型
引入辅助角转化为 ，其中 ，再利用三角函数的单调性求最值。
4、形如 或 型，
可利用换元思想，设 或 ，转化为二次函数 求最值，
t的范围需要根据定义域来确定．
5、形如 型
利用 和 的关系，通过换元法转换成二次函数求值域
6、分式型三角函数值域
（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；
（2）判别式法
十二．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝±.
(2)商的关系：＝tan α.
十三．函数与方程的综合运用
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系
入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后
通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决
问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式
和不等式．
十四．数列的应用
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
十五．数列的极限
1、数列极限的定义：对于数列 ，如果存在一个常数 ，无论预先指定多么小的正数 ，都能在数列
找到一项 ，使得 时， 恒成立，则 ；
2、三个最基本的极限：（1）常数数列的极限就是其本身，即： ；（2） ；（3）当
时， ；当 时，若 ，则 ；若 ，则 不存在；
当 时， 不存在。这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。
【注意】：它们是极限运算的基础，但是要区别，如果 是收敛的等比数列的公比时， 。
lim
3 、 极 限 的 运 算 法 则 ： 如 果 ， n→∞b
n
＝ B ， 那 么 ，
，
；
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况；例如，若 ， ， 有极限，则： ；
特别地，如果 是常数，那么
十六．等差数列与等比数列的综合
(1)等差、等比数列{a}的常用性质
n
等差数列 等比数列
①若m，n，p，q∈N*，且m
①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝
＋n＝p＋q，则a ＋ a ＝ a＋
m n p
s＋t，则a · a ＝ a · a ；
m n s t
a；
q
性质 ②a＝a · q n － m ；
n m
②a＝a ＋ ( n － m ) d；
n m
③S ，S －S ，S －S ，…仍成
m 2m m 3m 2m
③S ，S －S ，S －S ，…
m 2m m 3m 2m
等比数列(S ≠0)
m
仍成等差数列
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
a
n＋1
－a
n
＝d(常数)(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
②通项公式法
a＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列；
n n
③中项公式法
2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
④前n项和公式法
S＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列．
n n
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法
＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n
②通项公式法
a＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n n
③中项公式法
a＝a
n
·a
n＋2
(a
n
≠0，n∈N*)⇔{a
n
}是等比数列．
十七．异面直线的判定
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
十八．空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
直线在平面内 有无数个公共点 a
⊂α
直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩ ＝A
α
直线和平面平行 无 a∥
α
十九、直线与圆的位置关系
(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d<r
二十．曲线与方程
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f
（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐
标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键
是要找到各变量的等量关系．
【命题方向】
这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、
抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．
二十一．圆锥曲线的轨迹问题
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．
（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定
义直接探求．
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参
数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．
2、求轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；
（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；
（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．
二十二．互斥事件与对立事件
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A ，A ，…，A 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A ，A ，…A 彼此互斥．
1 2 n 1 2 n
（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A ，A ，…，A 彼此互斥，那么事件发生（即A ，A ，…，A 中有一个发生）的
1 2 n 1 2 n
概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A +A +…+A ）＝P（A ）+P（A ）+…+P（A ）
1 2 n 1 2 n
2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件 A的对立事件记做 ．
注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A与 只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（ ）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必
须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对
立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
二十三．散点图
1．散点图的概念：
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这
些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
2．曲线拟合的概念：
从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用
一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．
3．正相关和负相关：
（1）正相关：对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，
这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到右上角的区域内．
（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关
时散点图的点散布在从左上角到右下角的区域．
3、注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找
出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条
直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变
量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系．
4、散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形
态反映变量统计关系的一种图形．特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势．优点是
能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的
关系．散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度．
二十四．统计图表获取信息
统计图表反映了被描述对象的重要内容和数据情况，它简单明了，有利于我们把握数据的特点，统计图还
能直观、生动地传递信息．
【解题方法点拨】
由统计图表获取信息的步骤：
一、看统计图表特征；
二、读统计图表数据信息并进行分析；
三、寻找出统计图表中数据的变化趋势或规律；
四、对统计图表的数据与信息作分析、推测，为对解决问题作出合理的判断提供依据．
注意：①要避免统计图的误导，首先要仔细观察统计图，其次要关注数据的来源、收集方式及描述形式，
这样才能获得准确的信息；
②对数据的收集、整理等一定要重视它的普遍性、代表性、公正性，不能以点带面，以偏概全，夸大局部
的作用．
【命题方向】
能正确解读统计图表，从中获取必要、准确的信息，并进站简单的决策；处理生活中常见的不规范统计图
带来的错误信息，提高对统计图表的认识能力．
一．集合的包含关系判断及应用（共3小题）
1．（2024•浦东新区校级模拟）函数 ，其中 、 为实数集 的两个非空子集，又规
定 ， ， ， ．给出下列四个判断，其中正确判断有①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024•徐汇区校级模拟）已知集合 ， ，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
3．（2024•闵行区校级二模）已知集合 ， ， ， ，
， ，若 ，则 、 之间的关系是
A． B． C． D．
二．交集及其运算（共1小题）
4．（2024•松江区二模）已知集合 ， ， ，则
A． ， B． ， C． ，1， D． ，2，
三．等式与不等式的性质（共2小题）
5．（2024•浦东新区校级模拟）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
6．（2024•崇明区二模）若 ， ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．四．不等关系与不等式（共1小题）
7．（2024•杨浦区二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是
A． B． C． D．
五．基本不等式及其应用（共3小题）
8．（2024•黄浦区校级模拟）若 ， ，且 ，则下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
9．（2024•青浦区二模）函数 的最小值是
A．4 B．5 C． D．
10．（2024•浦东新区二模）已知 ，则下列结论不恒成立的是
A． B．
C． D．
六．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）
11．（2024•闵行区二模）已知 ， 为奇函数，当 时， ，则集合
可表示为
A． B．
C． ， ， D． ， ，
12．（2024•徐汇区模拟）在下列函数中，值域为 的偶函数是
A． B． C． D．
七．三角函数的最值（共1小题）13．（2024•崇明区二模）设函数 ，若对于任意 ，在区间 ， 上总存在
唯一确定的 ，使得 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
八．空间中直线与平面之间的位置关系（共5小题）
14．（2024•宝山区二模）已知直线 、 、 与平面 、 ，下列命题正确的是
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， 则 D．若 ， ，则
15．（2024•静安区二模）设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中真命题是
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ， ，则
16．（2024•浦东新区校级模拟）已知 ， 是不同的平面， ， 是不同的直线，则下列命题不正确的
是
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则 ，
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
17．（2024•长宁区二模）已知直线 ， 和平面 ，则下列判断中正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
18．（2024•金山区二模）如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面， 是线段 的中点，则以下命题中正确的是
A． B．
C． 、 、 三点共线 D．直线 与 相交
九．曲线与方程（共1小题）
19．（2024•嘉定区校级模拟）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数
学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线 为四叶玫瑰线，下列结论正确的有
（1）方程 ，表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线 上任一点到坐标原点 的距离都不超过2；
（3）曲线 构成的四叶玫瑰线面积大于 ；
（4）曲线 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）．
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4）
一十．散点图（共1小题）
20．（2024•浦东新区二模）通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）
与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．若去掉图中右下方的点 后，下列说法正确的是A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
