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第十章 圆锥曲线
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
椭圆的定义和 椭圆的定义、椭圆中的 定义法 直观想象
２０２１新高考 ５ ５ 单项选择题 中
Ⅰ， 标准方程 线段之积的最大值 转化法 数学运算
抛物线的定义和 数学运算
２０２１新高考 １４ ５ 填空题 中 抛物线的标准方程 直接法
Ⅰ， 标准方程 直观想象
２０２１新高考 １３ ５ 填空题 中 双曲线的几何性质 双曲线的渐近线方程 定义法 数学运算
Ⅱ，
双曲线的标准方程、直线 定义法 直观想象
２０２１新高考 ２１ １２ 解答题 中 双曲线的几何性质
Ⅰ， 与双曲线的位置关系 转化法 数学运算
直观想象
椭圆的标准方程、直线与 直接法
２０２１新高考 ２０ 解答题 难 圆锥曲线的综合问题 逻辑推理
Ⅱ， 椭圆的位置关系、定值问题 转化法
数学运算
２０２１全国乙理 １３ ５ 填空题 易 双曲线的几何性质 求双曲线的焦距 公式法 数学运算
，
直线与圆锥曲线 利用圆的性质求参数； 逻辑推理
２０２１全国乙理 ２１ １２ 解答题 难 直接法
， 的位置关系 求三角形面积的最值 数学运算
数学运算
圆锥曲线中的范围 代数法
２０２１全国乙文 １１ ５ 单项选择题 中 抛物线的几何性质、最值 直观想象
， 与最值问题 换元法
逻辑推理
抛物线的几何性质、圆 抛物线的准线、 数学运算
２０２１全国乙文 ２０ １２ 解答题 中 间接法
， 锥曲线中的最值问题 直线斜率的最值 逻辑推理
椭圆、双曲线的定 椭圆、双曲线的标准方程、
２０２０新高考 ９ ５ 多项选择题 中 定义法 数学运算
Ⅰ， 义和标准方程 双曲线的渐近线
圆锥曲线的 直线与椭圆的位置关系、 定义法 数学运算
２０２０新高考 ２２ １２ 解答题 难
Ⅰ， 综合问题 定值（点）问题 分类讨论法 逻辑推理
直线与圆锥曲线 求抛物线过焦 逻辑推理
２０２０新高考 １３ ５ 填空题 易 公式法
Ⅰ， 的位置关系 点的弦长 数学运算
圆锥曲线的 椭圆的标准方程、直线与 等价法 直观想象
２０２０新高考 ２１ １２ 解答题 难
Ⅱ， 综合问题 椭圆的位置关系、最值问题 转化法 数学运算
命题规律与备考策略
考查内容 以圆锥曲线方程为背景考查标准方程的应用 以直线 心率 直线与双曲线的位置关系上 关于抛物线的有关性质考查多侧
① ；② 、 ，
与圆锥曲线的位置关系为背景考查弦长公式与应用 以直线与圆锥 重于抛物线定义在求解与距离相关的最值问题中的转化．试题情境主
；③
曲线的位置关系为载体 考查相关轨迹方程 定值 定点 取值范围及 要为课程学习情境 主要考查的核心素养为逻辑推理和数学运算．
， 、 、 、 ，
存在性问题 以平面几何知识或圆锥曲线相关内容为背景考查数形 复习建议 结合本章的命题特点 复习过程中需注意以下几点 求
；④ ， ：①
结合与化归思想的应用． 解圆锥曲线方程时 需关注待定系数法与定义法的应用 求解有关
， ；②
题型赋分 高考对本章内容的考查方式及难易度变化不大 预计将延 弦中点问题时 需关注点差法和根与系数的关系的应用 求解定值
， ， ；③ 、
续以往考查方式 题型涵盖选择题 填空题和解答题 分值约为 分． 定点问题时 需注意求解思路与转化方法．
， 、 ， ２０ ，
命题特点 本章内容命题形式多样 选择填空题主要考查圆锥曲线的 备考策略 本章内容是高考必考内容 考查重点与热点明确 备考时
， ， ， ，
定义 方程和几何性质 解答题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系 需对照本章重点考查内容逐一落实 同时在备考时还需加强对数形结
、 ， 、 ，
弦长 弦中点 定点 定值和取值范围等问题 常与函数 不等式等知识 合思想 分类讨论思想 函数与方程思想在解决圆锥曲线综合问题中
、 、 、 ， 、 、 、
综合考查．对于双曲线的有关性质考查多集中在双曲线的渐近线和离 的应用．第十章 圆锥曲线 ４ ８５
§１０．１ 椭圆
椭圆的定义和标准方程 学生用书Ｐ１６６
由ｂ２
＝
ａ２
－
ｃ２
，
得ｂ２
＝３
．
ｘ２ ｙ２
因此 椭圆Ｃ的标准方程为 ．
ｘ２ ｙ２ ， ＋ ＝１
１．（２０２１新高考 ，５，５分）已知Ｆ Ｆ 是椭圆Ｃ 的两 ４ ３
Ⅰ １， ２ ：
９
＋
４
＝１
解法一 由 知 椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ．
个焦点 点Ｍ在Ｃ上 则 ＭＦ ＭＦ 的最大值为 （２） ： （１） ， ： ＋ ＝１， ＝２
， ， ｜ １｜·｜ ２｜ （ ） ４ ３
因为ＡＦ ｘ轴 所以点Ａ的横坐标为 ．
Ａ．１３ Ｂ．１２ Ｃ．９ Ｄ．６ ２⊥ ， １
１
２
．
．（２
答
０１
案
９课 标
Ｃ
理，１０，５ 分）已知椭圆 Ｃ 的焦点为 Ｆ
将
因为
ｘ
＝ 点 １ Ａ
代
在
入圆
ｘ轴
Ｆ
上 ２
的
方
方
所
程
以 （
ｘ
Ａ －１）
２
＋
ｙ
．
２
＝１６，
解得ｙ
＝±４
．
Ⅰ １（－１，０）， ， （１，４）
Ｆ 过Ｆ 的直线与Ｃ交于Ａ Ｂ两点．若 ＡＦ Ｆ Ｂ 又Ｆ 所以直线ＡＦ ｙ ｘ ．
Ａ
｜ Ａ ２
．
（ Ｂ
ｘ
１
２
｜ ，
＋
＝ ０
ｙ
） ｜
２
Ｂ ，
＝
Ｆ
１
１｜， ２ 则
Ｂ．
Ｃ
ｘ２
的
＋
方
ｙ２
程
＝
为
１ Ｃ． ｘ
，
２ ＋ ｙ２ ＝１
｜
Ｄ． ｘ
２
２
｜
＋
＝
ｙ
２
２
（ ｜
＝ １
２ ｜ ） ， 由 {ｙ
（
１ ＝ （
ｘ －
－ ２
１
ｘ １
）
＋ ，０
２
２
＋
） ，
ｙ
，
２ ＝１６，
得
５
ｘ２
＋
１
６
： ｘ
－
＝
１
２
１＝
＋２
０，
解得
(
ｘ
＝１
或ｘ
＝ ) －
１
５
１．
２ ３ ２ ４ ３ ５ ４
２． 答案 Ｂ 将ｘ １１代入ｙ ｘ 得ｙ １２．因此Ｂ １１ １２ ．
＝－ ＝２ ＋２， ＝－ － ，－
３．（多选题）（２０２０新高考 ，９，５分）已知曲线Ｃ ｍｘ２ ｎｙ２ ． ５ ５ ５ ５
Ⅰ ： ＋ ＝１
又Ｆ 所以直线ＢＦ ｙ ３ ｘ ．
（ ）
２（１，０）， ２： ＝ （ －１）
４
若ｍ ｎ 则Ｃ是椭圆 其焦点在ｙ轴上
Ａ． ＞ ＞０， ， ì ïｙ ３ ｘ
若ｍ ｎ 则Ｃ是圆 其半径为 ｎ ï ＝ （ －１），
Ｂ． ＝ ＞０， ， 由í ４ 得 ｘ２ ｘ 解得ｘ 或ｘ １３．
ｍ ïｘ２ ｙ２ ７ －６ －１３＝０， ＝－１ ＝
若ｍｎ 则Ｃ是双曲线 其渐近线方程为ｙ ｘ ï ７
Ｃ． ＜０， ， ＝± － ｎ î ＋ ＝１，
４ ３
若ｍ ｎ 则Ｃ是两条直线 又因为Ｅ是线段ＢＦ 与椭圆的交点 所以ｘ ．
Ｄ． ＝０， ＞０， ２ ， ＝－１
３． 答案 ＡＣＤ ( )
将ｘ 代入ｙ ３ ｘ 得ｙ ３ ．因此Ｅ ３ ．
４．（２０１９课标 理，１５，５分）设Ｆ Ｆ 为椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
的两
＝－１ ＝
４
（ －１）， ＝－
２
－１，－
２
Ⅲ １， ２ ： ＋ ＝１ ｘ２ ｙ２
３６ ２０ 解法二 由 知 椭圆Ｃ ．
个焦点 Ｍ为Ｃ上一点且在第一象限．若 ＭＦ Ｆ 为等腰三角 ： （１） ， ： ＋ ＝１
， △ １ ２ ４ ３
形 则Ｍ的坐标为 ． 如图 连接ＥＦ ．因为 ＢＦ ａ ＥＦ ＥＦ ａ 所以 ＥＦ
， ， １ ｜ ２｜＝２ ，｜ １｜＋｜ ２｜＝２ ， ｜ １｜
４． 答案 ＥＢ 从而 ＢＦ Ｅ Ｂ．
（３， １５） ＝｜ ｜， ∠ １ ＝∠
５．（２０１９江苏，１７，１４分）如图 在平面直角坐标系ｘＯｙ中 椭圆 因为 Ｆ Ａ Ｆ Ｂ 所以 Ａ Ｂ．
， ， ｜ ２ ｜＝｜ ２ ｜， ∠ ＝∠
Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的焦点为Ｆ Ｆ ．过Ｆ 作ｘ
所以
∠
Ａ
＝∠
ＢＦ
１
Ｅ
，
从而ＥＦ
１∥
Ｆ
２
Ａ．
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） １（－１，０）， ２（１，０） ２ 因为ＡＦ
２⊥
ｘ轴
，
所以ＥＦ
１⊥
ｘ轴．
轴 Ａ 的 与 垂 椭 线 圆 ｌ Ｃ ， 在 交于 ｘ轴 点 的 Ｄ 上 ．连 方 接 ， ｌ Ａ 与 Ｆ 圆 并 Ｆ 延 ２：（ 长 ｘ － 交 １ 圆 ） ２ ＋ Ｆ ｙ２ 于 ＝４ 点 ａ２ Ｂ 交 连 于点 接 因 { 为 ｘ Ｆ １（－１，０）， 所以直线Ｆ １ Ｅ ： ｘ ＝－１，
， １ ２ ， ＝－１，
ＢＦ 交椭圆Ｃ于点Ｅ 连接ＤＦ ．已知ＤＦ ５ ．
由 ｘ２ ｙ２ 解得ｙ
＝±
３ ．
２ ， １ １＝ ＋ ＝１， ２
２ ４ ３
求椭圆Ｃ的标准方程
（１） ； 又因为Ｅ是线段ＢＦ 与椭圆的交点 所以ｙ ３ ．
求点Ｅ的坐标． ２ ， ＝－
（２） ２
( )
因此Ｅ ３ ．
－１，－
２
５． 解析 设椭圆Ｃ的焦距为 ｃ．
（１） ２
因为Ｆ Ｆ 所以Ｆ Ｆ ｃ ．
１（－１，０）， ２（１，０）， １ ２＝２， ＝１
ｘ２ ｙ２
又因为 ＤＦ ５ ＡＦ ｘ 轴 所以 ＤＦ ＤＦ２ Ｆ Ｆ２ ６．（２０２０课标 ，文２１，理２０，１２分）已知椭圆Ｃ
１ ＝ ， ２ ⊥ ， ２ ＝ １－ １ ２ ＝ Ⅲ ： ＋ｍ２ ＝１（０＜
２ ２５
( )
２
５ ２ ３ ．因此 ａ ＤＦ ＤＦ 从而ａ ． ｍ 的离心率为 １５ Ａ Ｂ分别为Ｃ的左 右顶点．
－２ ＝ ２ ＝ １＋ ２＝４， ＝２ ＜５） ， ， 、
２ ２ ４
４ ８６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
求Ｃ的方程
（１） ；
若点Ｐ在Ｃ上 点Ｑ在直线ｘ 上 且 ＢＰ ＢＱ ＢＰ
（２） ， ＝６ ， ｜ ｜＝｜ ｜， ⊥
ＢＱ 求 ＡＰＱ的面积．
， △
ｍ２
６． 解析 由题设可得 ２５－ １５ 得ｍ２ ２５ 所以Ｃ
（１） ＝ ， ＝ ，
５ ４ １６
ｘ２ ｙ２
的方程为 ．
＋ ＝１
２５ ２５
评析 本题考查了椭圆的定义和方程，考查了数形结合的思
１６
设Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｙ 根据对称性可设ｙ 由题意知 想．连接ＰＦ 、ＰＦ 利用椭圆的定义是求解的关键．
（２） （ Ｐ， Ｐ）， （６， Ｑ）， Ｑ＞０， １ ２
ｙ ．由已知可得Ｂ 直线ＢＰ的方程为ｙ １ ｘ
Ｐ＞０ （５，０）， ＝－ｙ （ －５）， 椭圆的几何性质 学生用书Ｐ１６６
Ｑ
所以
｜
ＢＰ
｜＝
ｙ
Ｐ １＋
ｙ２Ｑ，｜ ＢＱ
｜＝ １＋
ｙ２Ｑ ．
１．（２０１８课标 文，４，５分）已知椭圆Ｃ ｘ２ ｙ２ 的一个焦点
因为
｜
ＢＰ
｜＝｜
ＢＱ
｜，
Ⅰ ：ａ２ ＋
４
＝１
所以ｙ Ｐ＝１， 将ｙ Ｐ＝１ 代入Ｃ的方程 ， 解得ｘ Ｐ＝３ 或 －３ ． 为 （２，０）， 则Ｃ的离心率为 （ ）
由直线ＢＰ的方程得ｙ 或 ．
Ｑ＝２ ８
所以点Ｐ Ｑ 的坐标分别为 Ｐ Ｑ Ｐ １ １ ２ ２ ２
， １（３，１）， １（６，２）； ２（－３，１）， Ａ．
３
Ｂ．
２
Ｃ．
２
Ｄ．
３
Ｑ ２（６，８） ． １． 答案 Ｃ
｜ Ｐ １ Ｑ １｜＝ １０， 直线Ｐ １ Ｑ １ 的方程为ｙ ＝ ３ １ ｘ ， 点Ａ （－５，０） 到直 ２．（２０１９北京理，４，５分）已知椭圆 ａ ｘ２ ２ ＋ ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 的离心率
线Ｐ Ｑ 的距离为 １０ 故 ＡＰ Ｑ 的面积为 １ １０ 为 １ 则
１ １ ， △ １ １ × × １０ ， （ ）
２ ２ ２ ２
５ ． Ｐ Ｑ 直线Ｐ Ｑ 的方程为ｙ ７ ｘ １０ 点Ａ到 Ａ．
ａ２
＝２
ｂ２
Ｂ．３
ａ２
＝４
ｂ２
Ｃ．
ａ
＝２
ｂ
Ｄ．３
ａ
＝４
ｂ
＝ ｜ ２ ２｜＝ １３０， ２ ２ ＝ ＋ ， ２． 答案 Ｂ
２ ９ ３
３．（２０１８课标 文，１１，５分）已知Ｆ Ｆ 是椭圆Ｃ的两个焦点 Ｐ
直线Ｐ Ｑ 的距离为 １３０ 故 ＡＰ Ｑ 的面积为 １ １３０ Ⅱ １， ２ ，
２ ２ ， △ ２ ２ × × 是Ｃ上的一点．若 ＰＦ ＰＦ 且 ＰＦ Ｆ ° 则 Ｃ 的离心
２６ ２ ２６ １⊥ ２， ∠ ２ １ ＝６０ ，
率为
５ ．综上 ＡＰＱ的面积为 ５ ． （ ）
１３０＝ ，△
２ ２
３ ３－１
以下为教师用书专用（１—３） Ａ．１－
２
Ｂ．２－ ３ Ｃ．
２
Ｄ． ３－１
３． 答案 Ｄ
ｘ２ ｙ２
１．（２０１５广东文，８，５分）已知椭圆
＋ｍ２ ＝１（
ｍ
＞０）
的左焦点为
４．（２０１８课标 理，１２，５分）已知Ｆ Ｆ 是椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ
Ｆ 则ｍ
２５ Ⅱ １， ２ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞
１（－４，０）， ＝ （ ）
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．９ ｂ 的左 右焦点 Ａ是Ｃ的左顶点 点Ｐ在过Ａ且斜率为 ３
＞０） 、 ， ，
答案 Ｂ 依题意有 ｍ２ ｍ ｍ ．选 ． ６
２５－ ＝１６，∵ ＞０，∴ ＝３ Ｂ 的直线上 ＰＦ Ｆ 为等腰三角形 Ｆ Ｆ Ｐ ° 则Ｃ的离
２．（２０１３广东文，９，５分）已知中心在原点的椭圆Ｃ的右焦点为 ，△ １ ２ ，∠ １ ２ ＝１２０ ，
心率为
（ ）
Ｆ 离心率等于 １ 则Ｃ的方程是
（１，０）， ， （ ） ２ １ １ １
２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ３ ２ ３ ４
４． 答案 Ｄ
Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１
３ ４ ４ ３ ｘ２ ｙ２
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ５．（２０１７课标 文，１２，５分）设Ａ Ｂ是椭圆Ｃ 长轴的
Ⅰ ， ： ＋ｍ ＝１
Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１ ３
４ ２ ４ ３ 两个端点．若Ｃ上存在点Ｍ满足 ＡＭＢ ° 则ｍ的取值范
答案 Ｄ 由右焦点为Ｆ 可知ｃ 因为离心率等于 ∠ ＝１２０ ，
（１，０） ＝１， 围是
ｃ （ ）
１ 即 １ 故ａ 由ａ２ ｂ２ ｃ２ 知ｂ２ 故椭圆Ｃ的方程
， ａ ＝ ， ＝２， ＝ ＋ ＝３，
２ ２ Ａ．（０，１］∪［９，＋∞） Ｂ．（０， ３］∪［９，＋∞）
ｘ２ ｙ２
为 ．故选 ． Ｃ．（０，１］∪［４，＋∞） Ｄ．（０， ３］∪［４，＋∞）
＋ ＝１ Ｄ ５． 答案 Ａ
４ ３
３．（２０１４辽宁，理１５，文１５，５分）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
点Ｍ与 ６．（２０２１全国甲，理１５，文１６，５分）已知Ｆ Ｆ 为椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
： ＋ ＝１， １， ２ ： ＋ ＝
９ ４ １６ ４
Ｃ的焦点不重合．若Ｍ关于Ｃ的焦点的对称点分别为Ａ Ｂ 线 的两个焦点 Ｐ Ｑ为Ｃ上关于坐标原点对称的两点 且 ＰＱ
， ， １ ， ， ， ｜ ｜＝
段ＭＮ的中点在Ｃ上 则 ＡＮ ＢＮ ． Ｆ Ｆ 则四边形ＰＦ ＱＦ 的面积为 ．
， ｜ ｜＋｜ ｜＝ ｜ １ ２｜， １ ２
答案 ６． 答案
１２ ８
解析 根据已知条件画出图形 如图．设ＭＮ的中点为Ｐ Ｆ 解题指导 利用椭圆的定义并结合其对称性，判断四边形
， ， １、
Ｆ 为椭圆Ｃ的焦点 连接ＰＦ ＰＦ ．显然ＰＦ 是 ＭＡＮ的中位 ＰＦ ＱＦ 为矩形，进而结合勾股定理与椭圆定义求解其面积．
２ ， １、 ２ １ △ １ ２
线
，
ＰＦ
２
是
△
ＭＢＮ的中位线
，∴ ｜
ＡＮ
｜＋｜
ＢＮ
｜＝２｜
ＰＦ
１｜＋２｜
ＰＦ
２｜ ７．（２０２１北京，２０）已知椭圆Ｅ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 过点Ａ
＝２（｜
ＰＦ
１｜＋｜
ＰＦ
２｜）＝２×６＝１２
． ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） （０，－２），
第十章 圆锥曲线 ４ ８７
以四个顶点围成的四边形面积为 ４ ５ ． ８．（２０２０课标 理，１９，１２分）已知椭圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ
求椭圆Ｅ的标准方程 Ⅱ １：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
（１） ；
过点Ｐ 的直线ｌ的斜率为ｋ 交椭圆Ｅ于不同的两 的右焦点Ｆ与抛物线Ｃ 的焦点重合 Ｃ 的中心与Ｃ 的顶点
（２） （０，－３） ， ２ ， １ ２
点Ｂ Ｃ 直线ＡＢ交ｙ 于点Ｍ 直线ＡＣ交ｙ 于点 重合．过Ｆ且与ｘ轴垂直的直线交Ｃ 于Ａ Ｂ两点 交Ｃ 于Ｃ
， ， ＝－３ ， ＝－３ １ ， ， ２ ，
Ｎ 若 ＰＭ ＰＮ 求ｋ的取值范围．
， ｜ ｜＋｜ ｜≤１５， Ｄ两点 且 ＣＤ ４ ＡＢ ．
７． 解析 将Ａ 代入椭圆方程得ｂ 由椭圆四个顶 ， ｜ ｜＝ ３ ｜ ｜
（１） （０，－２） ＝２，
求Ｃ 的离心率
点围成的四边形面积为 ａｂ 解得ａ （１） １ ；
２ ＝４ ５， ＝ ５， 设Ｍ是Ｃ 与Ｃ 的公共点．若 ＭＦ 求Ｃ 与Ｃ 的标准方程．
ｘ２ ｙ２ （２） １ ２ ｜ ｜＝５， １ ２
所以椭圆Ｅ的标准方程为
５ ＋ ４ ＝１
． ８． 解析
（１）
由已知可设 Ｃ
２
的方程为 ｙ２
＝ ４
ｃｘ
，
其中
由题意得直线ｌ的方程为ｙ ｋ ｘ 即ｙ ｋｘ ｃ ａ２ ｂ２．
（２） ＋３＝ （ －０）， ＝ －３， ＝ －
将ｙ ｋｘ 代入椭圆方程并化简得 ｋ２ ｘ２ ｋｘ ｂ２
＝ －３ （４＋５ ） －３０ ＋２５＝０， 不妨设Ａ Ｃ在第一象限 由题设得Ａ Ｂ的纵坐标分别为
由Δ ｋ ２ ｋ２ 解得ｋ 或ｋ ， ， ， ａ ，
＝（－３０ ） －４×２５（４＋５ ）＞０， ＜－１ ＞１，
设Ｂ ｘ ｙ Ｃ ｘ ｙ 不妨设点Ｂ位于第一象限 点Ｃ位于 ｂ２ ｂ２
第四 （ 象 １ 限 ， １ 如 ）， 图 （ 所 ２ 示 ， ． ２）， ， － ａ ； Ｃ ， Ｄ的纵坐标分别为 ２ ｃ ，－２ ｃ ， 故 ｜ ＡＢ ｜＝ ２ ａ ，｜ ＣＤ ｜＝４ ｃ．
， ｂ２ ｃ ( ｃ ) ２ ｃ
由 ＣＤ ４ ＡＢ 得 ｃ ８ 即 解得
｜ ｜＝ ｜ ｜ ４ ＝ ａ， ３× ａ ＝２－２ ａ ， ａ ＝－
３ ３
ｃ
舍去 或 １ ．
２（ ） ａ ＝
２
所以Ｃ 的离心率为 １ ．
１
２
ｘ２ ｙ２
ｋ 由 知ａ ｃ ｂ ｃ 故Ｃ ．
则ｘ
１＋
ｘ
２＝
３０
ｋ２，
ｘ
１
ｘ
２＝
２５
ｋ２，
（２） （１） ＝２ ， ＝ ３ ， １：
４
ｃ２ ＋
３
ｃ２ ＝１
４＋５ ４＋５ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｘ
直线ＡＢ的方程为 ｙ ｙ １ ＋ ＋ ２ ２ ＝ｘ ｘ １ － － ０ ０ ， 设 由于 Ｍ （ Ｃ ｘ ０， 的 ｙ ０ 准 ）， 线 则 为 ４ ｃ ０ ｘ ２ ＋ ３ ｃ ０ ｃ ２ ＝ 所 １， 以 ｙ２ ０＝ Ｍ ４ Ｆ ｃｘ ０， ｘ 故 ４ ｃ ｃ ０ ２ 而 ＋ ４ ３ ｃ Ｍ ０ ＝ Ｆ １ ． ① 故ｘ
令ｙ ＝－３， 解
æ
得ｘ
ｘ
＝－ｙ
１
ｘ
＋
１
２ ö
， 得Ｍ æ è ç －ｙ
１
ｘ
＋
１
２
，－３ ö ø ÷ ，
５－ ｃ ， 代
２
入 ① 得（５ ４ － ｃ
ｃ
２ ）
＝ ２ －
＋ ４
，
（５ ３ － ｃ
ｃ
）
｜
＝１，
｜
即
＝
ｃ
０
２
＋
－
，
２ ｃ －３
｜
＝０，
｜
解
＝５
得
，
ｃ ＝
０
－
＝
１
同
∴
理
｜ Ｐ
可
Ｍ
得
｜＋｜
Ｎ
Ｐ
è ç
Ｎ
－
｜
ｙ
＝
２＋
ｙ
２ ２
ｘ １
，－
＋
３
ｙ
ø ÷
ｘ
，
２ ＝ ｘ １（ ｙ ｙ ２＋２）＋ ｘ ｙ ２（ ｙ １＋２）
（
所
舍
以
去
Ｃ
）
１
或
的
ｃ
标
＝
准
３ ．
方程为 ３ ｘ ６ ２ ＋ ２ ｙ ７ ２ ＝１， Ｃ ２ 的标准方程为ｙ２ ＝１２ ｘ．
１＋２ ２＋２ （ １＋２）（ ２＋２） ９．（２０２０江苏，１８，１６分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知椭圆Ｅ
ｘ ｋｘ ｘ ｋｘ ， ：
＝ ｋｘ
１（ ２－１）＋ ２（
ｋｘ
１－１） ｘ２ ｙ２
的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ａ在椭圆Ｅ上且在第
［（ １－３）＋２］［（ ２－３）＋２］ ＋ ＝１ ， １， ２，
ｋｘ ｘ ｘ ｘ ４ ３
２ １ ２－（ １＋ ２） 一象限内 ＡＦ Ｆ Ｆ 直线ＡＦ 与椭圆Ｅ相交于另一点Ｂ．
＝ ｋｘ ｋｘ ， ２⊥ １ ２， １
（ １－１）（ ２－１） 求 ＡＦ Ｆ 的周长
ｋｘ ｘ ｘ ｘ （１） △ １ ２ ；
２ １ ２－（ １＋ ２） 在ｘ轴上任取一点Ｐ 直线ＡＰ与椭圆Ｅ的右准线相交于
＝ｋ２ｘ ｘ ｋ ｘ ｘ （２） ，
１ ２－ （ １＋ ２）＋１
ｋ
点Ｑ 求Ｏ→Ｐ Ｑ→Ｐ的最小值
ｋ ２５ ３０ ， · ；
２ ·
４＋５
ｋ２ －
４＋５
ｋ２
（３）
设点Ｍ在椭圆Ｅ上
，
记
△
ＯＡＢ与
△
ＭＡＢ的面积分别为Ｓ
１，
＝ ｋ Ｓ 若Ｓ Ｓ 求点Ｍ的坐标．
ｋ２ ２５ ｋ ３０ ２， ２＝３ １，
· ｋ２ － · ｋ２ ＋１
４＋５ ４＋５
ｋ ｋ
５０ －３０ ｋ
＝ ｋ２ ｋ２ ｋ２ ＝５ ≤１５，
２５ －３０ ＋４＋５
解得ｋ 又ｋ 所以 ｋ ．
≤３， ＞１， １＜ ≤３
由椭圆的对称性知 当点Ｂ位于第二象限 点Ｃ位于第三象限
， ，
时 ｋ ．
，－３≤ ＜－１
综上 ｋ的取值范围为 ． ９． 解析 设椭圆Ｅ
ｘ２ ｙ２
的长轴长为 ａ 短轴长为
， ［－３，－１）∪（１，３］ （１） ： ＋ ＝１ ２ ，
解题指导 （ ）首先根据椭圆过Ａ点，确定ｂ的值，然后结 ４ ３
１ ｂ 焦距为 ｃ 则ａ２ ｂ２ ｃ２ ．
合四边形面积为 ，得到ａ的值；（ ）先写出直线ｌ的方程， ２ ， ２ ， ＝４， ＝３， ＝１
４ ５ ２ 所以 ＡＦ Ｆ 的周长为 ａ ｃ ．
然后设出Ｂ、Ｃ两点坐标，再分别写出直线ＡＢ、ＡＣ的方程，从而 △ １ ２ ２ ＋２ ＝６
椭圆Ｅ的右准线为ｘ ．设Ｐ ｘ Ｑ ｙ
确定点Ｍ、Ｎ的坐标，再结合 ＰＭ ＰＮ ，建立不等式求 （２） ＝４ （ ，０）， （４， ），
｜ ｜＋｜ ｜≤１５ 则Ｏ→Ｐ ｘ Ｑ→Ｐ ｘ ｙ
解ｋ的取值范围． ＝（ ，０）， ＝（ －４，－ ），
方法总结 处理直线与椭圆的位置关系问题，首先设出直 Ｏ→Ｐ Ｑ→Ｐ ｘ ｘ ｘ ２
· ＝ （ －４）＝（ －２） －４≥－４，
线方程，然后联立直线方程与椭圆方程，再依据根与系数的关 在ｘ
＝２
时取等号．
系列出所需的关系式求解． 所以Ｏ→Ｐ Ｑ→Ｐ的最小值为 ．
· －４
４ ８８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
所以 ＰＦ ｃ ＰＦ ｃ．
｜ ２｜＝ ，｜ １｜＝ ３
由椭圆的定义得 ＰＦ ＰＦ ａ
｜ １｜＋｜ ２｜＝２ ，
即 ｃ ｃ ａ
３ ＋ ＝２ ，
ｃ
所以椭圆的离心率ｅ ２ ．故选 ．
＝ ａ ＝ ＝ ３－１ Ｄ
３＋１
ｘ２ ｙ２
因为椭圆Ｅ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ａ在
（３） ： ＋ ＝１ ， １， ２，
４ ３
椭圆 Ｅ 上且在第一象限内 ＡＦ Ｆ Ｆ 则 Ｆ
， ２⊥ １ ２， １（－１，０），
( )
Ｆ Ａ ３ 所以直线ＡＢ ｘ ｙ ．
２（１，０）， １， ， ：３ －４ ＋３＝０
２
设Ｍ ｘ ｙ 因为Ｓ Ｓ
（ ， ）， ２＝３ １，
所以点 Ｍ 到直线 ＡＢ 的距离等于点 Ｏ 到直线 ＡＢ 的距离的 疑难突破 利用椭圆的定义 ＰＦ ＰＦ ａ，结合题意得
３
倍．
到ａ与ｃ的等 量关系是求解的关
｜
键，
１
也
｜＋
是
｜
难
２
点
｜＝
的
２
突破口．
ｘ ｙ
由此得｜３ －４ ＋３｜
＝３×
｜３×０－４×０＋３｜
， ３．（２０１７课标 文，１２，５分）设Ａ Ｂ是椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
长轴的
５ ５ Ⅰ ， ： ＋ｍ ＝１
则 ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ． ３
３ －４ ＋１２＝０ ３ －４ －６＝０ 两个端点．若Ｃ上存在点Ｍ满足 ＡＭＢ ° 则ｍ的取值范
{ ｘ ｙ ∠ ＝１２０ ，
３ －４ ＋１２＝０， 围是
由 ｘ２ ｙ２ 得
７
ｘ２
＋２４
ｘ
＋３２＝０，
此方程无解
；
（ ）
＋ ＝１， Ａ．（０，１］∪［９，＋∞） Ｂ．（０， ３］∪［９，＋∞）
４ ３
{ ３ ｘ －４ ｙ －６＝０， Ｃ．（ 答 ０， 案 １］∪ Ａ ［４， 本 ＋ 题 ∞ 考 ） 查圆锥曲线 Ｄ． 的 （０ 几 ， 何 ３］ 性 ∪ 质 ［ ． ４，＋∞）
由 ｘ２ ｙ２ 得
７
ｘ２
－１２
ｘ
－４＝０，
所以ｘ
＝２
或ｘ
＝－
２ ．
＋ ＝１， ７ 当 ｍ 时 椭圆Ｃ的长轴在ｘ轴上 如图 Ａ
４ ３ ０＜ ＜３ ， ， （１）， （－ ３，０），
Ｂ Ｍ ．
代入直线ｌ ｘ ｙ 对应分别得ｙ 或ｙ １２． （ ３，０）， （０，１）
：３ －４ －６＝０， ＝０ ＝－
７
( )
因此点Ｍ的坐标为 或 ２ １２ ．
（２，０） － ，－
７ ７
以下为教师用书专用（１—１６）
ｘ２ ｙ２
１．（２０１８课标 文，４，５分）已知椭圆Ｃ 的一个焦点 图
Ⅰ ：ａ２ ＋ ＝１ （１）
４ 当点Ｍ运动到短轴的端点时 ＡＭＢ取最大值 此时 ＡＭＢ
为 则Ｃ的离心率为 ，∠ ， ∠ ≥
（２，０）， （ ） ° 则 ＭＯ 即 ｍ
１２０ ， ｜ ｜≤１， ０＜ ≤１；
１ １ ２ ２ ２ 当ｍ 时 椭圆 Ｃ 的长轴在 ｙ 轴上 如图 Ａ ｍ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ＞３ ， ， （２）， （０， ），
３ ２ ２ ３
答案 Ｃ 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质． Ｂ ｍ Ｍ ．
（０，－ ）， （ ３，０）
由题意可知ｃ ｂ２
＝２， ＝４，
ａ２ ｂ２ ｃ２ ２ 则ａ
∴ ＝ ＋ ＝４＋２ ＝８， ＝２ ２，
ｃ
ｅ ２ ２ 故选 ．
∴ ＝ ａ ＝ ＝ ， Ｃ
２ ２ ２
方法总结 求椭圆离心率的常用方法：
ｃ
（ ）求得ａ，ｃ的值，直接代入ｅ 求解．
１ ＝ ａ 图
（２）
（ ）列出关于ａ，ｂ，ｃ的齐次方程，结合ｂ２ ａ２ ｃ２ 消去ｂ，从而 当点Ｍ运动到短轴的端点时 ＡＭＢ取最大值 此时 ＡＭＢ
２ ＝ － ，∠ ， ∠ ≥
转化为关于ｅ的方程求解．
° 则 ＯＡ 即 ｍ 即ｍ ．
２．（２０１８课标 文，１１，５分）已知Ｆ Ｆ 是椭圆Ｃ的两个焦点 Ｐ １２０ ， ｜ ｜≥３， ≥３， ≥９
是Ｃ上的一 Ⅱ 点．若ＰＦ ＰＦ 且 １， ＰＦ ２ Ｆ ° 则Ｃ的离心率 ， 为 综上 ， ｍ ∈（０，１］∪［９，＋∞）， 故选 Ａ ．
１⊥ ２， ∠ ２ １＝６０ ， 易错警示 在求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标
（ ） 轴，题目中只说Ａ、Ｂ为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长
轴所在的坐标轴，因此，要根据ｍ与 的大小关系，讨论椭圆
Ａ．１－ ３ Ｂ．２－ ３ ３
２
长轴所在的坐标轴．
４．（２０１６课标 文，５，５分）直线ｌ经过椭圆的一个顶点和一个焦
３－１ Ⅰ
Ｃ． Ｄ． ３－１
２ 点 若椭圆中心到ｌ的距离为其短轴长的 １ 则该椭圆的离心
答案 Ｄ 本题主要考查椭圆的定义和几何性质． ， ，
４
ｘ２ ｙ２ 率为
不妨设椭圆方程为 ａ ｂ ． （ ）
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
１ １ ２ ３
在 Ｆ ＰＦ 中 因为 ＰＦ Ｆ ° Ｆ Ｆ ｃ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ｒｔ△ １ ２ ， ∠ ２ １＝６０ ，｜ １ ２｜＝２ ， ３ ２ ３ ４
第十章 圆锥曲线 ４ ８９
答案 Ｂ 如图 ＯＢ 为椭圆中心到 ｌ 的距离 则 ＯＡ ｂ ｂ２
，｜ ｜ ， ｜ ｜· 由斜率公式得ｋ ｋ ．
ｂ ｃ ＡＢ＝－ ａ ， ＯＰ＝－ａｃ
ＯＦ ＡＦ ＯＢ 即ｂｃ ａ 所以ｅ １ ．故选 ．
｜ ｜＝｜ ｜·｜ ｜， ＝ · ， ＝ ａ ＝ Ｂ ｂ ｂ２
２ ２ ＡＢ ＯＰ ｋ ｋ ｂ ｃ．
∵ ∥ ，∴ ＡＢ＝ ＯＰ⇒－ ａ ＝－ａｃ⇒ ＝
ｃ２ ｃ
ａ２ ｂ２ ｃ２ ｃ２ １ ｅ ２．故选 ．
∵ ＝ ＋ ＝２ ，∴ ａ２ ＝ ⇒ ＝ ａ ＝ Ｃ
２ ２
ｘ２ ｙ２
８．（２０１３辽宁文，１１，５分）已知椭圆Ｃ ａ ｂ 的左
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
ｂ
易错警示 椭圆中心到直线ｌ的距离为 １ ｂ ，容易将 焦点为Ｆ Ｃ与过原点的直线相交于Ａ Ｂ两点 连接ＡＦ ＢＦ．若
×２ ＝ ， 、 ， ，
４ ２
短轴长误认为ｂ． ＡＢ ＢＦ ＡＢＦ ４ 则Ｃ的离心率为
｜ ｜＝１０，｜ ｜＝８，ｃｏｓ∠ ＝ ， （ ）
评析 本题考查椭圆的基本知识，利用三角形的面积建立等 ５
量关系是求解的关键． ３ ５ ４ ６
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
ｘ２ ｙ２ ５ ７ ５ ７
５．（２０１５福建文，１１，５分）已知椭圆Ｅ ａ ｂ 的右 ２ ２ ｘ２
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 答案 Ｂ 如图
，
设
｜
ＡＦ
｜＝
ｘ
，
则
ｃｏｓ∠
ＡＢＦ
＝
８ ＋１０ －
＝
４ ．
焦点为Ｆ 短轴的一个端点为Ｍ 直线ｌ ｘ ｙ 交椭圆Ｅ于 ２×８×１０ ５
， ， ：３ －４ ＝０
Ａ Ｂ两点．若 ＡＦ ＢＦ 点Ｍ到直线ｌ的距离不小于 ４
， ｜ ｜＋｜ ｜＝４， ，
５
则椭圆Ｅ的离心率的取值范围是
（ ）
æ ù ( ] é ö [ )
ç ３úú ３ êê ３ ÷ ３
Ａ．è０， û Ｂ． ０， Ｃ．ë ，１ø Ｄ． ，１ 解得ｘ ＡＦＢ ° 由椭圆及直线关于原点对称可知
２ ４ ２ ４ ＝６，∴∠ ＝９０ ，
答案 Ａ 直线ｌ ｘ ｙ 过原点 从而Ａ Ｂ两点关于原 ＡＦ 且 ＦＡＦ ＦＡＢ ＦＢＡ ° ＦＡＦ 是直角三
：３ －４ ＝０ ， ， ｜ １｜＝８， ∠ １＝∠ ＋∠ ＝９０ ，△ １
点对称 于是 ＡＦ ＢＦ ａ 所以ａ ．不妨令Ｍ ｂ ｃ
， ｜ ｜＋｜ ｜＝２ ＝４， ＝２ （０， ）， 角形 Ｆ Ｆ 故 ａ ｃ ５ ．故选 ．
ｂ ，∴ ｜ １ ｜＝１０， ２ ＝８＋６＝１４，２ ＝１０，∴ ａ ＝ Ｂ
则由点Ｍ ｂ 到直线 ｌ 的距离不小于 ４ 得 ４ ７
（０， ） ， ≥ 评析 本题考查余弦定理，椭圆的几何性质，考查了数形结合
５ ３ ２ ＋（－４） ２ 思想 及运算求解能力．
ｃ２ ａ２ ｂ２ ｂ２
４
５ æ ，
即ｂ
≥ ù １
．所以ｅ２
＝ａ２ ＝ ａ
－
２ ＝
４－
４ ≤
３
４ ，
又
０＜
ｅ
＜１，
所以ｅ
９．（２０１２课标理，４，５分）设Ｆ １， Ｆ ２ 是椭圆Ｅ ：ａ ｘ２ ２ ＋ ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０）
ç ３úú 故选 ． ａ
∈è０， û， Ａ 的左 右焦点 Ｐ为直线ｘ ３ 上一点 Ｆ ＰＦ 是底角为 °
２ ， ， ＝ ，△ ２ １ ３０
评析 本题考查了椭圆的定义及性质．考查数形结合的思想． ２
的等腰三角形 则Ｅ的离心率为
解题关键在于发现Ａ，Ｂ 两点关于原点对称，从而得出 ＡＦ ， （ ）
｜ ｜＋
ＢＦ ａ． １ ２ ３ ４
｜ ｜＝２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
ｘ２ ｙ２ ２ ３ ４ ５
６．（２０１３课标 文，５，５分）设椭圆Ｃ ａ ｂ 的左
Ⅱ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 答案 Ｃ 设直线 ｘ ３ ａ 与 ｘ 轴交于点 Ｑ 由题意得
＝ ，
右焦点分别为 Ｆ Ｆ Ｐ 是 Ｃ 上的点 ＰＦ Ｆ Ｆ ＰＦ Ｆ ２
１， ２， ， ２⊥ １ ２，∠ １ ２＝
° 则Ｃ的离心率为 ＰＦ Ｑ ° Ｆ Ｐ Ｆ Ｆ ｃ Ｆ Ｑ ３ ａ ｃ ３ ａ ｃ
３０ ， （ ） ∠ ２ ＝６０ ，｜ ２ ｜＝｜ １ ２｜＝２ ，｜ ２ ｜＝ － ，∴ － ＝
２ ２
ｃ
３ １ １ ３ １ ｃ ｅ ３ 故选 ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ×２ ，∴ ＝ ａ ＝ ， Ｃ
６ ３ ２ ３ ２ ４
答案 Ｄ 在 ＰＦ Ｆ 中 令 ＰＦ 因为 ＰＦ Ｆ 评析 本题考查了椭圆的基本性质，考查了方程的思想，灵活
Ｒｔ△ ２ １ ， ｜ ２｜ ＝１， ∠ １ ２＝
ｃ Ｆ Ｆ 解三角形对求解至关重要．
° 所以 ＰＦ Ｆ Ｆ ．所以ｅ ２ ｜ １ ２｜
３０ ， ｜ １｜＝２，｜ １ ２｜＝ ３ ＝
２
ａ＝
｜
ＰＦ
１｜＋｜
ＰＦ
２｜
＝
１０．（２０１１课标全国文，４，５分）椭圆
ｘ２ ｙ２
的离心率为
＋ ＝１
３．故选 ． １６ ８
Ｄ
３ （ ）
ｘ２ ｙ２
７．（２０１３四川文，９，５分）从椭圆 ａ ｂ 上一点Ｐ向 １ １ ３ ２
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ２ ３ ２
ｘ
点
轴
Ｂ
作
是
垂
椭
线
圆
，
垂
与
足
ｙ
恰
轴
为
正
左
半
焦
轴
点
的
Ｆ
交
１，
点
Ａ是
且
椭
Ａ
圆
Ｂ
与
Ｏ
ｘ
Ｐ
轴
Ｏ
正
是
半
坐
轴
标
的交
原
答案 Ｄ 在
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
中
，
ａ２
＝１６，
ｂ２
＝８，
ｃ２
＝
ａ２
－
ｂ２
＝１６－８
， ， ∥ （ １６ ８
点 则该椭圆的离心率是
）， （ ） ＝８，
ｃ
２ １ ２ ３ ｃ ｅ ２ ２ ２ 故选 ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ∴ ＝２ ２，∴ ＝ ａ ＝ ＝ ， Ｄ
４ ２ ２ ２ ４ ２
答案 Ｃ 左焦点为Ｆ
１（－
ｃ
，０），
ＰＦ
１⊥
ｘ轴
， １１．（２０１６课标 ，１１，５分）已知Ｏ为坐标原点 Ｆ是椭圆Ｃ
ｘ２
当ｘ
＝－
ｃ时
，ａ
ｃ２
２ ＋
ｙ
ｂ
２Ｐ
２ ＝１⇒
ｙ２Ｐ＝ ｂ２
æ
è
ç
１－ａ
ｃ２
２
ö
ø
÷
＝ａ
ｂ４
２⇒
ｙ
Ｐ＝
ｂ
ａ
２
（
负值不
ｙ２ ａ ｂ
Ⅲ
的左焦点 Ａ Ｂ分别为Ｃ的左
，
右顶点．Ｐ
：
为
ａ２
Ｃ
＋
( ｂ２ ) ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ， ，
合题意 已舍去 点Ｐ ｃ
， ）， － ， ａ ， 上一点 且ＰＦ ｘ轴．过点Ａ的直线ｌ与线段ＰＦ交于点Ｍ 与
， ⊥ ，
４ ９０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｙ轴交于点Ｅ．若直线ＢＭ经过ＯＥ的中点 则Ｃ的离心率为 ｘ２ ｙ２
， １３．（２０１５浙江文，１５，４ 分）椭圆 ａ ｂ 的右焦点
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
（ ）
ｂ
１ １ ２ ３ Ｆ ｃ 关于直线ｙ ｘ的对称点Ｑ在椭圆上 则椭圆的离
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （ ，０） ＝ ｃ ，
３ ２ ３ ４
答案 Ａ 由题意知过点Ａ的直线ｌ的斜率存在且不为 心率是 ．
０，
故可设直线ｌ的方程为ｙ ｋ ｘ ａ 当ｘ ｃ时 ｙ ｋ ａ ｃ
＝ （ ＋ ）， ＝－ ， ＝ （ － ）， 答案 ２
当ｘ 时 ｙ ｋａ 所以Ｍ ｃ ｋ ａ ｃ Ｅ ｋａ ．如图 设ＯＥ
＝０ ， ＝ ， （－ ， （ － ））， （０， ） ， ２
( ｋａ)
æｘ ｃ ｙ ö
的中点为Ｎ ， 则Ｎ ０， ２ ， 由于Ｂ ， Ｍ ， Ｎ三点共线 ， 所以ｋ ＢＮ＝ 解析 令Ｑ的坐标为 （ ｘ ０， ｙ ０）， ＦＱ的中点为Ｍ è ç ０＋ ， ０ ø ÷ ，
２ ２
ｋａ
ｂ
ｋ ａ ｃ ａ ｃ 由点Ｍ在直线ｙ ｘ上得ｂｘ ｃｙ ｂｃ ．又因为直线ＦＱ
ｋ 即 ２ （ － ） 所以 １ － 即 ａ ｃ 所以 ｅ １ ．故 ＝ ｃ ０－ ０＋ ＝０①
ＢＭ， ａ＝ ｃ ａ ， ＝ａ ｃ， ＝３ ， ＝
－ － － ２ ＋ ３ ｂ ｙ ｃ
选 ． 垂直于直线ｙ ｘ 所以 ０ 即ｃｘ ｂｙ ｃ２ 联
Ａ ＝ ｃ ， ｘ ｃ＝－ ｂ ， ０＋ ０－ ＝０②，
０－
æ ｃ３ ａ２ｃ ｂｃ２ö ｘ２ ｙ２
立 得点Ｑç２ － ２ ÷ 把点Ｑ的坐标代入
①② è ａ２ ， ａ２ ø， ａ２ ＋ｂ２ ＝１
并化简得ａ６ ｃ６ ａ４ｃ２ 两边同除以ａ６ 得 ｅ６ ｅ２ 令ｔ
＝４ ＋ ， ４ ＋ －１＝０， ＝
ｅ２ 则 ｔ 则 ｔ３ ｔ ｔ 则 ｔ ｔ ｔ 解
， ０＜ ＜１， ４ － ＋２ －１＝０， ［ （２ ＋１）＋１］（２ －１）＝０，
思路分析 根据题意设出过点Ａ的直线ｌ的方程，从而求 得ｔ １ 因为 ｅ 所以ｅ ２．
＝ ， ０＜ ＜１， ＝
出点Ｍ和点Ｅ的坐标，进一步写出线段ＯＥ中点的坐标，利 ２ ２
用三点共线建立关于ａ，ｃ的方程，得到ａ，ｃ的关系式，从而求 １４．（２０１４江西文，１４，５分）设椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的左 右
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ，
出椭圆的离心率．求解本题的关键在于写出各对应点的坐标，
焦点为Ｆ Ｆ 过Ｆ 作ｘ轴的垂线与Ｃ相交于Ａ Ｂ两点 Ｆ Ｂ
难点在于参数的选择． １， ２， ２ ， ， １
与ｙ轴相交于点Ｄ 若ＡＤ Ｆ Ｂ 则椭圆Ｃ的离心率等于
方法点拨 求解圆锥曲线的离心率问题的关键是要通过 ， ⊥ １ ，
．
ｃ
其几何性质找到ａ，ｃ所满足的关系式，从而利用ｅ 求得离
＝ ａ 答案 ３
心率．
３
解析 不妨设Ａ在ｘ轴上方 由于ＡＢ过Ｆ 且垂直于ｘ轴
１２．（２０１８浙江，１７，４分）已知点Ｐ
（０，１），
椭圆 ｘ２
＋
ｙ２
＝
ｍ
（
ｍ
＞１） ( ｂ２ ) ( ｂ２ )
， ２ ，
４ 因此可得Ａ ｃ Ｂ ｃ 由ＯＤ Ｆ Ｂ Ｏ为Ｆ Ｆ 的中
， ａ ， ，－ ａ ， ∥ ２ ， １ ２
上两点Ａ Ｂ满足→ＡＰ Ｐ→Ｂ 则当ｍ 时 点Ｂ横坐标
的绝对值
，
最大．
＝２ ， ＝ ，
点可得Ｄ
( ｂ２ )
所以Ａ→Ｄ
(
ｃ ３
ｂ２ )
Ｆ→Ｂ
(
ｃ
ｂ２ )
０，－ ａ ， ＝ － ，－ ａ ， １ ＝ ２ ，－ ａ ，
答案 ２ ２
５ ｂ４
解析 本小题考查椭圆的标准方程 向量的坐标运算 二次 又ＡＤ Ｆ Ｂ 所以Ａ→Ｄ Ｆ→Ｂ ｃ２ ３ 即 ｂ４ ａ２ｃ２ 又
， ， ⊥ １ ， · １ ＝－２ ＋ ａ２ ＝０， ３ ＝４ ，
函数的最值． ２
ｂ２ ａ２ ｃ２ 所以可得 ａ２ ｃ２ ａｃ 两边同时除以ａ２ 得
设Ｂ ｔ ｕ 由→ＡＰ Ｐ→Ｂ 易得Ａ ｔ ｕ ． ＝ － ， ３（ － ）＝２ ， ， ３
（ ， ）， ＝２ ， （－２，３－２ ）
ì ï ï ｔ２ ＋ ｕ２ ＝ ｍ ， ｅ２ ＋２ ｅ － ３＝０， 解得ｅ ＝ ３ ３或 － ３， 又ｅ ∈（０，１）， 故椭圆Ｃ的离
点Ａ Ｂ都在椭圆上 í４
∵ ， ，∴ î ï ï４ ｔ２ ＋（３－２ ｕ ） ２ ＝ ｍ ， 心率为 ３．
４ ３
从而有３
ｔ２
＋３
ｕ２
－１２
ｕ
＋９＝０，
即
ｔ２
＋
ｕ２
＝４
ｕ
－３
．
评
学生
析
的 运
本
算
题
求
考
解
查
能
椭
力
圆
以
的
及
几
知
何
识
性
的
质
转
、两
化
直
应
线
用
垂
能
直
力
的
．根
充
据
要
已
条
知
件
条
．考
件
查
建
４ ４
ｍ 立起关于ａ、ｂ、ｃ的等量关系式是求解本题的关键．
即有 ｕ ｍ ｕ ＋３
４ －３＝ ⇒ ＝ ， ｘ２ ｙ２
４ １５．（２０１３福建理，１４，４分）椭圆Γ ａ ｂ 的左 右
ｔ２ ｍ ２ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、
（ ＋３） ｍ ｔ２ １ ｍ２ ５ ｍ ９ １ ｍ ２ ．
∴ ＋ ＝ ，∴ ＝－ ＋ － ＝－ （ －５） ＋４
４ １６ ４ ２ ４ ４ 焦点分别为Ｆ Ｆ 焦距为 ｃ．若直线ｙ ｘ ｃ 与椭圆Γ
∴ 即
当
当
ｍ
ｍ ＝５
时
时 ，（ 点
ｔ２
Ｂ ）ｍ 横 ａｘ＝ 坐 ４ 标 ，
即
的 ｜ 绝
ｔ
｜ｍ 对 ａｘ 值 ＝２ 最 ， 大． 的一个交点Ｍ
１，
满足
２，
∠ ＭＦ １ Ｆ ２
２
＝２∠ ＭＦ ２ Ｆ １
＝
， 则
３
该
（
椭
＋
圆
）
的离心率
＝５ ， 等于 ．
思路分析 （ ）设出点Ｂ的坐标，利用向量的坐标运算得
１ 答案
点Ａ的坐标． ３－１
解析 由已知得直线ｙ ｘ ｃ 过Ｍ Ｆ 两点 所以直线
（ ２ ）利用点Ａ，Ｂ都在椭圆上得方程组，求得点Ｂ的横、纵坐标 ＝ ３（ ＋ ） 、 １ ，
满足的关系式． ＭＦ 的斜率为 所以 ＭＦ Ｆ ° 则 ＭＦ Ｆ °
１ ３， ∠ １ ２ ＝ ６０ ， ∠ ２ １ ＝ ３０ ，
（ ）利用（ ）中的关系式及点Ｂ在椭圆上，把点Ｂ的横坐标 Ｆ ＭＦ ° 如图 故ＭＦ ｃ ＭＦ ｃ 由点Ｍ在椭圆Γ
３ ２ ∠ １ ２＝９０ ， ， １＝ ， ２＝ ３ ，
的平方表示为关于ｍ的函数． ｃ
上知 ｃ ｃ ａ 故ｅ ．
（ ）利用二次函数的最值得结论． ： ＋ ３ ＝２ ， ＝ ａ ＝ ３－１
４
第十章 圆锥曲线 ４ ９１
答案 ５
５
解析 ＡＦ ａ ｃ ＢＦ ａ ｃ Ｆ Ｆ ｃ
∵ ｜ １｜＝ － ，｜ １｜＝ ＋ ，｜ １ ２｜＝２ ，
则有 ｃ２ ａ ｃ ａ ｃ
４ ＝（ － ）（ ＋ ），
ｃ
得ｅ ５．
ｘ２ ｙ２ ＝ ａ ＝
１６．（２０１２江西理，１３，５分）椭圆 ａ ｂ 的左 右顶点 ５
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 评析 本题考查了椭圆的离心率的概念，椭圆和等比数列的
分别是 Ａ Ｂ 左 右焦点分别是 Ｆ Ｆ ．若 ＡＦ Ｆ Ｆ 基本性质．
、 ， 、 １、 ２ ｜ １ ｜，｜ １ ２ ｜，
Ｆ Ｂ 成等比数列 则此椭圆的离心率为 ．
｜ １ ｜ ，
学生用书Ｐ１６７
1 续表
考点 椭圆的定义和标准方程
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
１．椭圆的定义
把平面内与两个定点 Ｆ Ｆ 的距离的和等于常数 大于
Ｆ Ｆ 的点的轨迹叫做椭圆 １ ． ， ２ （ 顶点坐标 Ａ １（－ ａ ，０）， Ａ ２（ ａ ，０）， Ａ １（０，－ ａ ）， Ａ ２（０， ａ ），
｜ １ 椭 ２｜ 圆 ） 定义中的常数 ａ Ｆ Ｆ 即对椭圆上任意一点Ｍ都 Ｂ １（０，－ ｂ ）， Ｂ ２（０， ｂ ） Ｂ １（－ ｂ ，０）， Ｂ ２（ ｂ ，０）
２ ＞｜ １ ２｜， 长轴 长轴Ａ Ａ ａ ａ是长半轴的长
有 就不 ｜ Ｍ 是 Ｆ １ 椭 ｜＋ 圆 ｜ Ｍ ．事 Ｆ 实 ２｜ 上 ＝２ ， ａ 若 ＞｜ ２ Ｆ ａ １ ＝ Ｆ ｜ ２ Ｆ ｜ １ ．这 Ｆ ２ 个 ｜， 则 条 其 件 轨 是 迹 必 是 要 ① 的 ， 线 否 段 则 Ｆ 其 １ Ｆ 轨 ２ 迹 ； 短轴 短轴Ｂ １ １ Ｂ ２ ２ ＝ ＝ ２ ２ ｂ ， ， ｂ是短半轴的长
若 ａ Ｆ Ｆ 则其轨迹 不存在 ． 焦距 焦距Ｆ Ｆ ｃ ｃ是半焦距
２ ＜｜ １ ２｜， ② １ ２＝２ ，
２．椭圆的标准方程 范围 ｘ ａ， ｙ ｂ ｘ ｂ ｙ ａ
③ ｜ ｜≤ ｜ ｜≤ ｜ ｜≤ ，｜ ｜≤
焦点在ｘ轴上
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ ｃ ｂ２
（１） ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）； 离心率 ｅ ＝ ａ ＝ １－ａ２ （④ ０＜ ｅ ＜１ ）
ｙ２ ｘ２ ｅ越接近 椭圆越 扁 ｅ越接近 椭圆越 圆
焦点在ｙ轴上 ａ ｂ ． １， ⑤ ； ０， ⑥
（２） ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
-@
2
考点 椭圆的几何性质 常用的一些结论
（ ）设Ｐ，Ａ，Ｂ是中心在原点的椭圆上不同的三点，其中Ａ，Ｂ
１
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上 两点关于原点对称，且直线ＰＡ、ＰＢ的斜率都存在，则ｋ ＰＡ ·ｋ ＰＢ＝
标准方程 ａ
ｘ２
２＋
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） ａ
ｙ２
２＋
ｘ
ｂ
２
２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） －ａ
ｂ２
２
（适用于焦点在ｘ轴上的椭圆）；
（ ）Ｐ是椭圆上一点，Ｆ为椭圆的焦点，则 ＰＦ ［ａ ｃ，ａ
一般方程 Ａｘ２ ＋ Ｂｙ２ ＝１（ Ａ ＞０， Ｂ ＞０， Ａ ≠ Ｂ ） ｃ］，即椭 ２ 圆上的点到焦点距离的最大值为ａ ｃ，最 ｜ 小值 ｜∈ 为ａ － ｃ； ＋
＋ －
ｂ２
（ ）椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为２ ，通
３ ａ
径是最短的焦点弦；
图形
（ ）Ｐ是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，Ｆ ，Ｆ 为
４ １ ２
θ
椭圆的两焦点，则Ｓ
△ ＰＦ １ Ｆ ２ ＝
ｂ２
ｔａｎ
，其中θ
＝∠
Ｆ
１
ＰＦ
２
；
２
焦点坐标 Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｆ ｃ （ ）Ｐ是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，Ｆ ，Ｆ 为
１（－ ，０）， ２（ ，０） １（０，－ ）， ２（０，） ５ １ ２
椭圆的两焦点，则 ＰＦ Ｆ 的周长为 （ａ ｃ）．
△ １ ２ ２ ＋
４ ９２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
学生用书Ｐ１６８
一、应用椭圆定义解题的策略
Ａ．２（ ２＋ ３） Ｂ．４＋２ ３
椭圆定义的应用主要有两种 一是判断曲线的轨迹并求解
：
Ｃ． ２＋ ３ Ｄ． ２＋２ ３
其轨迹方程 ， 需注意条件 “ 与两定点的距离的和等于的常数大于 １－１． 答案 Ａ
这两定点之间的距离 二是根据定义进行计算 常结合正弦定
理 余弦定理等知识解
”
焦
；
点三角形．
， １－２ 已知点Ｐ为椭圆 ｘ２
＋
ｙ２
＝１
上的动点
，
ＥＦ为圆Ｎ
：
ｘ２
＋（
ｙ
－
、 １６ １２
ｘ２ ｙ２
例１ （２０２０ 湖南长沙一模，８）设椭圆 Ｃ ２ 的任一直径 则→ＰＥ →ＰＦ的最大值和最小值分别是
（１） ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１ １） ＝１ ， · （ ）
ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｅ ｔ ｔ ｂ ．已知动 Ａ．１６，１２－４ ３ Ｂ．１７，１３－４ ３
（ ＞ ＞０） 、 １、 ２， （０， ）（０＜ ＜ ）
点 值为 Ｐ在 ｂ 椭 则 圆 椭 上 圆 ， 且 Ｃ的 Ｐ ， 离 Ｅ ， 心 Ｆ ２ 率 三 为 点不共线 ， 若 △ ＰＥＦ ２ 的周长的最小 １－２． Ｃ．１ 答 ９， 案 １２－４ Ｃ ３ Ｄ．２０，１３－４ ３
３ ， （ ）
ｘ２ ｙ２
１－３ （２０２１广东二模，８）已知椭圆Ｃ ａ ｂ 的
Ａ．
３
Ｂ．
２ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
２ ２
短轴长为 焦距为 ．过椭圆Ｃ的上顶点Ｂ作圆ｘ２ ｙ２ 的
４， ２ ２ ＋ ＝２
１ ５ 两条切线 与椭圆 Ｃ 分别交于另外两点 Ｍ Ｎ．则 ＢＮＭ 的面
Ｃ． Ｄ．
， ， △
２ ３
积为
（２） 已知圆Ｃ ：（ ｘ ＋１） ２ ＋ ｙ２ ＝３６ 与定点Ｍ （１，０）， 动圆Ｎ过点 （ ）
Ｍ且与圆Ｃ相切 则动圆圆心Ｎ的轨迹方程为 ． １４４
， Ａ．６ Ｂ．
解题思路 ２５
由 ＰＥＦ 的周长得其三边之和 然后结合椭圆的定义 １２ １５
（１） △ ２ ， Ｃ． Ｄ．
和对称性及三角形的三边关系进行转化 ５ ２
； １－３． 答案 Ｂ
结合圆与圆的位置关系和椭圆的定义建立方程．
（２） 二、离心率的取值（或范围）的求解策略
解析 如图 连接ＥＦ Ｆ Ｐ
（１） ， １， １ ，
１．若给定椭圆的方程 则根据椭圆方程确定ａ２ ｂ２ 进而求出
， ， ，
ｃ
ａ ｃ的值 从而利用公式ｅ 直接求解．
， ， ＝ ａ
２．若椭圆的方程未知 则根据已知条件及几何图形建立关
，
于ａ ｂ ｃ的齐次等式 或不等式 化为关于ａ ｃ的齐次方程 或
， ， （ ）， ， （
不等式 进而化为关于ｅ的方程 或不等式 进行求解．
）， （ ）
ｘ２ ｙ２
例２ 已知Ｆ Ｆ 分别为椭圆 ａ ｂ 的左 右焦
１、 ２ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、
易知 ＥＦ ＥＦ ＰＥＦ 的周长为 ＰＥ ＰＦ ＥＦ
｜ １｜＝｜ ２｜，△ ２ ｜ ｜＋｜ ２｜＋｜ ２｜＝ 点 Ｐ为椭圆上一点 Ｏ 为坐标原点 且 Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｆ Ｆ→Ｐ
｜ ＰＥ ｜＋２ ａ －｜ ＰＦ １｜＋｜ ＥＦ ２｜＝２ ａ ＋｜ ＥＦ ２｜＋｜ ＰＥ ｜－｜ ＰＦ １｜≥２ ａ ＋｜ ＥＦ ２｜－ ， ， ， （ ＋ ２）· ２ ＝０，
ＥＦ ａ ｂ 所以ｅ
ｃ ( ｂ ) ２
４ ５ 故选
｜ Ｐ→Ｆ １｜＝２｜ Ｐ→Ｆ ２｜， 则该椭圆的离心率为 （ ）
｜ １｜＝２ ＝３ ， ＝ ａ ＝ １－ ａ ＝ １－ ＝ ， Ｄ．
９ ３ ５ ５ ５ ５
设圆Ｎ的半径为Ｒ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（２） ， ５ ４ ３ ２
由题意可知 动圆圆心Ｎ满足 ＮＣ Ｒ 解题思路
， ：｜ ｜＝６－ ①，
ＮＭ Ｒ 由 可得 ＮＣ ＮＭ ＭＣ 由数量积为 可联想到垂直关系 由焦点三角形及垂直关
｜ ｜＝ ②， ①② ｜ ｜＋｜ ｜＝６＞｜ ｜＝２， ０ ，
由题意可知 点Ｎ的轨迹是以Ｃ Ｍ为焦点的椭圆 系可考虑用椭圆的定义及勾股定理 建立等式关系 从而得解．
， ， ， ， ，
且 ａ ｃ
２ ＝６，２ ＝２， 解析 Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｆ Ｆ→Ｐ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｆ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｆ
∵ （ ＋ ２）· ２ ＝０，∴ （ ＋ ２）·（ － ２）
又知ｂ２
＝
ａ２
－
ｃ２
，
所以ｂ
＝２ ２， Ｏ→Ｐ２ Ｏ→Ｆ ２ 即 Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｆ ｃ 易知Ｐ→Ｆ Ｐ→Ｆ ．在
ｘ２ ｙ２ ＝０，∴ ＝ ２ ， ｜ ｜ ＝ ｜ ２ ｜ ＝ ， １⊥ ２
故动圆圆心Ｎ的轨迹方程为 ９ ＋ ８ ＝１ ． Ｒｔ△ ＰＦ １ Ｆ ２ 中 ， 设 ｜ Ｐ→Ｆ ２ ｜ ＝ ｍ ， 则 ｜ Ｐ→Ｆ １ ｜ ＝ ２ ｍ ， 由 ｜ Ｐ→Ｆ １｜ ２ ＋
ｘ２ ｙ２ Ｐ→Ｆ ２ Ｆ→Ｆ ２知 ｃ２ ｍ２ ｃ ｍ．又知 Ｐ→Ｆ Ｐ→Ｆ ａ
答案 Ｄ ｜ ２｜ ＝｜ １ ２｜ ４ ＝５ ，∴２ ＝ ５ ｜ １｜＋｜ ２｜＝２
（１） （２） ＋ ＝１
ｃ ｍ
９ ８ ｍ 离心率ｅ ２ ５ ５ 故选 ．
ｘ２ ＝３ ，∴ ＝ ａ＝ ｍ ＝ ， Ｃ
１－１ 椭圆Ｃ ｙ２ ａ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ Ｐ ２ ３ ３
：ａ２ ＋ ＝１（ ＞１） 、 １、 ２， 答案 Ｃ
为椭圆上异于顶点的任意一点 ＰＦ ＰＦ 的中点分别为Ｍ Ｎ Ｏ ２－１ （２０２０华大新高考联盟１月教学质量测评，１０）已知椭
， １， ２ ， ，
为坐标原点 四边形ＯＭＰＮ的周长为 则 ＰＦ Ｆ 的周长是 ｘ２ ｙ２
， ２ ３， △ １ ２ 圆Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点分别为 Ｆ Ｆ 点Ｐ ｘ
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 １、 ２， （ １，
（ ）
ｙ Ｑ ｘ ｙ 在椭圆 Ｃ 上 其中 ｘ ｙ 若 ＰＱ
１）， （－ １，－ １） ， １＞０， １＞０， ｜ ｜ ＝
第十章 圆锥曲线 ４ ９３
ＱＦ ａ ｂ 长轴的端点分别为Ａ Ｂ．点Ｃ为椭圆上异于Ａ Ｂ的一
ＯＦ ｜ １｜ ３ 则椭圆Ｃ的离心率的取值范围为 １（ ＞ ＞０） ， ，
２｜ ２｜，
｜
ＰＦ
１｜
≥
３
， （ ） 点
，
若将
△
ＡＢＣ 的三内角记为 Ａ
，
Ｂ
，
Ｃ
，
且满足
３ｔａｎ
Ａ
＋３ｔａｎ
Ｂ
＋
æ ù Ｃ 则椭圆的离心率为
ç ６－１úú ｔａｎ ＝０， （ ）
Ａ．è０， û Ｂ．（０， ６－２］
２ ３ １ ６ ２
æ ù Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
ç ２ úú ３ ３ ３ ３
Ｃ．è ， ３－１û Ｄ．（０， ３－１］ ２－２． 答案 Ａ
２
２－１． 答案 Ｃ
ｘ２ ｙ２
２－２ （２０１９河南顶级名校第四次联考，１２）设椭圆
ａ２ ＋ｂ２ ＝
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１６９
４． 答案 Ｂ
椭圆的定义和标准方程
ｘ２ 椭圆的几何性质
１．（２０２０广东东莞４月模拟，６）已知 Ｆ Ｆ 分别为椭圆 Ｃ
１、 ２ ：ａ２ ＋
ｙ２ １．（２０２１江苏盐城伍佑中学期末，８）已知Ｆ Ｆ 为椭圆
ｘ２ ｙ２
ｂ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 的左 、 右焦点 ， 过Ｆ １ 且垂直于ｘ轴的直线ｌ交 １， ２ ８ ＋ ４ ＝
的左 右焦点 Ｐ 是椭圆上一点 若 Ｓ 则 Ｆ ＰＦ
椭圆Ｃ于Ａ ， Ｂ两点 ， 若 △ ＡＦ ２ Ｂ是边长为 ４ 的等边三角形 ， 则 等 １ 于 、 ， ， △ Ｆ １ ＰＦ ２ ＝４， ∠ １ ２
椭圆Ｃ的方程为 （ ）
（ ） ° ° ° °
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ Ａ．３０ Ｂ．４５ Ｃ．６０ Ｄ．９０
Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１ Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１ １． 答案 Ｄ
４ ３ ９ ６ １６ ４ １６ ９
１
２
．
．（多
答
选
案
题 ）
Ｂ
（ ２０２０山东菏泽期中，８）某颗人造地球卫星的运行
２．（２０１９广东深圳一模，１１）已知Ｆ
１，
Ｆ
２
是椭圆
ａ
ｘ２
２ ＋
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（
ａ
＞
ｂ
＞
轨道是以地球的中心Ｆ为一个焦点的椭圆 如图所示 已知它 的左 右焦点 过 Ｆ 的直线与椭圆交于 Ｐ Ｑ 两点 ＰＱ
， ， ０） ， ， ２ ， ， ⊥
的近地点Ａ
（
离地面最近的点
）
距地面ｍ千米
，
远地点Ｂ
（
离地 ＰＦ
１，
且
｜
ＱＦ
１｜＝２｜
ＰＦ
１｜，
则
△
ＰＦ
１
Ｆ
２
与
△
ＱＦ
１
Ｆ
２
的面积之比为
面最远的点 距地面ｎ千米 并且Ｆ Ａ Ｂ三点在同一直线上
） ， 、 、 ， （ ）
地球半径约为Ｒ千米 设该椭圆的长轴长 短轴长 焦距分别
， 、 、 Ａ．２－ ３ Ｂ． ２－１ Ｃ． ２＋１ Ｄ．２＋ ３
为 ａ ｂ ｃ 则 ２． 答案 Ｄ
２ 、２ 、２ ， （ ）
ｙ２
３．（２０２１山东省实验中学阶段考，７）已知双曲线ｘ２ 的左
－ ＝１ 、
４
右顶点分别为Ａ Ｂ 焦点在ｙ轴上的椭圆以Ａ Ｂ为顶点 且离
、 ， 、 ，
心率为 ３ 过Ａ作斜率为ｋ的直线ｌ交双曲线于另一点Ｍ 交
， ，
２
椭圆于另一点Ｎ 若Ａ→Ｎ Ｎ→Ｍ 则ｋ的值为
， ＝ ， （ ）
ａ ｃ ｍ Ｒ ａ ｃ ｎ Ｒ
Ａ． － ＝ ＋ Ｂ． ＋ ＝ ＋ ２ ３ ３ ２ ２
ａ ｍ ｎ ｂ ｍ Ｒ ｎ Ｒ Ａ．± Ｂ．±１ Ｃ．± Ｄ．±
Ｃ．２ ＝ ＋ Ｄ． ＝ （ ＋ ）（ ＋ ） ３ ３ ３
２． 答案 ＡＢＤ ３． 答案 Ａ
３．（多选题）（２０２１湖北九师联盟２月质检，１０）若方程
ｘ２ ｙ２
４．（２０２１湖南岳阳一模，１５）设椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的焦点为
ｔ＋ｔ ＝ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
５－ －１
所表示的曲线为Ｃ 则下面四个命题中正确的是
１ ， （ ） Ｆ Ｆ Ｐ是椭圆上一点 且 Ｆ ＰＦ π 若 Ｆ ＰＦ 的外接圆
若 ｔ 则Ｃ为椭圆 １， ２， ， ∠ １ ２＝ ， △ １ ２
Ａ． １＜ ＜５， ３
若ｔ 则Ｃ为双曲线 和内切圆的半径分别为 Ｒ ｒ 当 Ｒ ｒ 时 椭圆的离心率为
Ｂ． ＜１， ， ， ＝４ ，
若Ｃ为双曲线 则焦距为 ．
Ｃ． ， ４
若Ｃ为焦点在ｙ轴上的椭圆 则 ｔ
Ｄ． ， ３＜ ＜５ ４． 答案 ２
３． 答案 ＢＤ
３
４．（２０２１山东济南十一学校联考，３） ｍ 是 方程 ｘ２ ｙ２ ５．（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，２１）已知椭圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ
“２＜ ＜６” “ ｍ ＋ ｍ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞
－２ ６－
表示的曲线为椭圆 的 ( )
＝１ ” （ ） 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 离心率为 ２ 且点 ２ ３ ３
充分不必要条件 必要不充分条件 ＞０） 、 １、 ２， ， ，－
Ａ． Ｂ． ２ ３ ３
充要条件 既不充分也不必要条件 在Ｃ上．
Ｃ． Ｄ．
４ ９４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
求椭圆Ｃ的标准方程
（１） ； １０ 故直线ｌ的斜率存在．
设过Ｆ 的直线ｌ与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 若 ＡＦ ＢＦ ≠ ，
（２） ２ ， ， ｜ １｜·｜ １｜＝ ３
已知Ｆ 设直线ｌ ｙ ｋ ｘ 交点Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
１０ 求 ＡＢ ． ２（１，０）， ： ＝ （ －１）， （ １， １）， （ ２， ２），
， ｜ ｜ ｘ ｘ
３
æ ö
１， ２{ ∈
ｙ
［－
ｋ ｘ
２， ２］，
５． 解析 因为椭圆Ｃ过点ç２ ３ ３÷ ＝ （ －１），
（１） è
３
，－
３
ø， 联立 ｘ２
ｙ２
消去ｙ
，
整理得
（２
ｋ２
＋１）
ｘ２
－４
ｋ２ｘ
＋２
ｋ２
－２＝０，
＋ ＝１，
所以 ４ １ ２
ａ２ ＋ ｂ２ ＝１，① 因为Δ ｋ２ ２ ｋ２ ｋ２ ｋ２
３ ３ ＝（－４ ） －４×（２ ＋１）（２ －２）＝８（ ＋１）＞０，
又椭圆Ｃ的离心率为 ２ 所以
ｃ２
１ 则ｘ ｘ ４
ｋ２
ｘ ｘ ２
ｋ２
－２．
２
， ａ２ ＝
２
， １＋ ２＝
２
ｋ２
＋１
， １ ２＝
２
ｋ２
＋１
故 ａ ｂ２ ２ ＝ ａ２ ａ － ２ ｃ２ ＝１－ａ ｃ２ ２ ＝ ２ １ ，② 又 ｜ ＡＦ １ ｜ ＝ （ ｘ １＋１） ２ ＋ ｙ２ １ ＝ （ ｘ １＋１） ２ ＋１－ ｘ２ １ ＝ （ ｘ １＋２） ２ ＝
２ ２
联立 得 ì í ï ï ３ ４ ａ２ ＋ ３ １ ｂ２ ＝１， 解得 {ａ２ ＝２， ２＋ ｘ １ ， 同理 ｜ ＢＦ １｜＝ ２＋ ｘ ２ ，
①②
î
ï
ï ａ
ｂ２
２ ＝ ２ １ ，
ｂ２
＝１， 则
２
｜ ＡＦ １｜·｜ ＢＦ １｜＝ ４＋
２
２（ ｘ １＋ ｘ ２）＋ ｘ １ ｘ ２ ＝ ９ ｋ ｋ ２ ２ ＋１ ＝ １０ ， 解得ｋ２ ＝１，
ｘ２ ２ ２ ＋１ ３
故椭圆Ｃ的标准方程为 ｙ２ ． ｘ ｘ
＋ ＝１ 所以 ＡＦ ＢＦ ４＋ １＋ ２ ８ ２
２ ｜ １｜＋｜ １｜＝ ＝ ，
ｂ２ ２ ３
当直线ｌ的斜率不存在时 易得 ＡＦ ＢＦ ２ 所
（２） ， ｜ ２｜＝｜ ２｜＝ ａ ＝
２
，
又因为 ＡＦ ＢＦ ＡＢ 所以 ＡＢ ４ ２．
｜ １｜＋｜ １｜＋｜ ｜＝４ ２， ｜ ｜＝
æ ö２ ３
以 ＡＦ ＢＦ ２ ç ２÷ ３ ２ 则 ＡＦ ＢＦ ９
｜ １｜＝｜ １｜ ＝ ２ ＋è ø ＝ ， ｜ １｜·｜ １｜ ＝
２ ２ ２
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１７０ ６０分钟 ６５分
一、单项选择题（每小题５分，共１５分） Ｆ ＰＦ 的内切圆半径ｒ ａ ｃ
Ｃ．△ １ ２ ＝ －
１．（２０２０广东深圳统测，１０）已知动点Ｍ在以Ｆ Ｆ 为焦点的椭 ＰＦ ａ ｃ
１， ２ Ｄ．｜ １｜ｍａｘ＝ ＋
圆ｘ２
ｙ２
上 动点Ｎ在以Ｍ为圆心 半径长为 ＭＦ 的圆
４． 答案 ＡＢＣ
＋ ＝１ ， ， ｜ １｜ ｘ２
４ ５．（２０２１山东淄博二模，１０）设椭圆 Ｃ ｙ２ 的焦点为 Ｆ
上 则 ＮＦ 的最大值为 ： ＋ ＝１ １，
， ｜ ２｜ （ ） ４
Ｆ Ｐ是Ｃ上的动点 则下列结论正确的是
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．１６ ２， ， （ ）
１． 答案 Ｂ
离心率ｅ ３
２．（２０２１山东日照一模，５）函数ｙ ａ３－ ｘ ａ 且ａ Ａ． ＝
＝ （ ＞０， ≠ ２
的图象恒过定点Ａ 若点Ａ在椭圆
ｘ２ ｙ２
ｍ Ｐ→Ｆ 的最大值为
１） ， ｍ＋ ｎ ＝１（ Ｂ．｜ ２｜ ３
ＰＦ Ｆ 面积的最大值为
ｎ 上 则ｍ ｎ的最小值为 Ｃ．△ １ ２ ２ ３
＞０， ＞０） ， ＋ （ ）
Ｐ→Ｆ Ｐ→Ｆ 的最小值为
Ａ．１２ Ｂ．１４ Ｃ．１６ Ｄ．１８ Ｄ．｜ １＋ ２｜ ２
２． 答案 Ｃ ５． 答案 ＡＤ
ｘ２
３．（２０２１湖北十一校第二次联考，７）直线ｘ ｙ 经过椭圆 ６．（２０２１江苏泰州二模，１２）数学家称 ５－１为黄金比 记为ω 定
－ ＋１＝０ ａ２ ， ，
２
ｙ２ 义 若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω 则称该椭圆为 黄金
ａ ｂ 的左焦点Ｆ 交椭圆于Ａ Ｂ两点 交ｙ轴于Ｃ ： ， “
＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ， ， 椭圆 以椭圆中心为圆心 半焦距长为半径的圆称为焦点圆．
”， ，
点 若Ｆ→Ｃ →ＡＣ 则该椭圆的离心率是 ｘ２ ｙ２
， ＝２ ， （ ） 若黄金椭圆 ａ ｂ 与它的焦点圆在第一象限的交
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
１０－ ２ ３－１
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ ２－２ Ｄ． ２－１ 点为Ｑ 则下列结论正确的有
２ ２ ， （ ）
３． 答案 Ａ ω２ ω
Ａ． ＋ ＝１
黄金椭圆离心率ｅ ω
二、多项选择题（每小题５分，共１５分） Ｂ． ＝
设直线ＯＱ的倾斜角为θ 则 θ ω
ｘ２ ｙ２ Ｃ． ， ｓｉｎ ＝
４．（２０２１广东韶关一模，９）设Ｐ是椭圆 ａ ｂ 上一 交点Ｑ的坐标为 ｂ ωｂ
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） Ｄ． （ ， ）
６． 答案 ＡＣ
点 Ｆ Ｆ 是椭圆的左 右焦点 焦距为 ｃ ｃ 若 Ｆ ＰＦ 是
， １， ２ ， ， ２ （ ＞０）， ∠ １ ２
直角 则 三、填空题（每小题５分，共１０分）
， （ ）
Ａ．｜
ＯＰ
｜＝
ｃ
（
Ｏ为原点
） ７．（２０２０山东济宁第一中学质量检测，１５）如图 椭圆
ｘ２ ｙ２
Ｂ． Ｓ △ Ｆ １ ＰＦ ２ ＝ ｂ２ ， ａ２ ＋ｂ２ ＝１
第十章 圆锥曲线 ４ ９５
（
ａ
＞
ｂ
＞０）
的右焦点为Ｆ
，
过Ｆ的直线交椭圆于Ａ
，
Ｂ两点
，
点Ｃ
则Ｓ １ ＡＢ ＣＤ １ ２ ２（
ｋ２
＋１） ２ ２（
ｋ２
＋１）
是点Ａ关于原点Ｏ的对称点
，
若ＣＦ
⊥
ＡＢ且ＣＦ
＝
ＡＢ
，
则椭圆的 ＝
２
｜ ｜ ·｜ ｜ ＝
２
·
１＋２
ｋ２ · ｋ２
＋２
＝
离心率为 ． ( )
ｋ １
２
ｋ２ ２ ４ ＋ ｋ [ )
４（ ＋１） ２ １６
ｋ４ ｋ２ ＝ ( ) ２ ＝２－ ( ) ２ ∈ ，２ ，
２ ＋２＋５ ｋ １ ｋ １ ９
２ ＋ ｋ ＋１ ２ ＋ ｋ ＋１
当ｋ 时 Ｓ １６．
＝±１ ， ＝
９
７． 答案 [ ]
６－ ３ 综上所述 四边形面积的取值范围是 １６ ．
８．（２０２１湖南娄底仿真模拟，１５）如图所示 椭圆有这样的光学性 ， ，２
， ９
质 从椭圆的一个焦点出发的光线 经椭圆反射后 反射光线
： ， ， ｃ
经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题 已知 思路分析 （ ）利用椭圆的离心率 ２，以及ｃ ，求出
： １ ａ ＝ ＝１
２
曲线Ｃ的方程为
ｘ２ ｙ２
其左 右焦点分别是Ｆ Ｆ 直线ｌ ａ，然后求出ｂ，即可求椭圆的方程；
４
＋
３
＝１， ， １， ２，
（ ） 当两条直线一条斜率为 ，另一条斜率不存在时，直接求
２ ① ０
与椭圆Ｃ切于点Ｐ 且 ＰＦ ３ 过点Ｐ且与直线ｌ垂直的直 出面积．
， ｜ １｜＝ ，
２ 当两直线斜率均存在且不为 时，设Ａ（ｘ ，ｙ ），Ｂ（ｘ ，ｙ ），
线ｌ′与椭圆长轴交于点Ｍ 则 Ｆ Ｍ Ｆ Ｍ ． ② ０ １ １ ２ ２
， ｜ １ ｜ ∶ ｜ ２ ｜＝ 且设直线ＡＢ的方程为ｙ ｋ（ｘ ），与椭圆方程联立，利用根与
＝ －１
系数的关系以及弦长公式，求出 ＡＢ ， ＣＤ 即可得到面积的表
｜ ｜ ｜ ｜
达式，通过基本不等式求出面积的最值．
ｘ２ ｙ２
１０．（２０２１广东揭阳一模，２２）已知椭圆Ｃ ａ ｂ 的
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
æ ö
８． 答案 离心率为 １ 且经过点Ａç ６÷．设椭圆Ｃ的左 右焦点分
３ ∶ ５ ， è ２， ø ，
２ ２
四、解答题（共２５分）
别为Ｆ Ｆ Ｐ是椭圆Ｃ上的一个动点 异于椭圆Ｃ的左 右
１， ２， （ 、
９．（２０２０重庆育才中学３月月考，２０）已知椭圆 ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 顶点 ） ．
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞ 求椭圆Ｃ的方程
（１） ；
过点Ｐ作椭圆Ｃ的切线ｌ 过点Ｆ 作ｌ的垂线 垂足为Ｑ
右焦点Ｆ 离心率为 ２ 过 Ｆ 作两条互相垂直的弦 （２） ， １ ， ，
０） （１，０）， ， 求 ＱＦ Ｆ 面积的最大值．
ＡＢ ＣＤ． ２ △ １ ２
， ｃ ｃ２
（１） 求椭圆的标准方程 ； １０． 解析 （１） 由椭圆Ｃ的离心率为 ａ ＝ ２ １ ， 可得 ａ２ ＝ ４ １ ， 即
求以Ａ Ｂ Ｃ Ｄ为顶点的四边形的面积的取值范围．
（２） ， ， ， 有ａ２ ｃ２ 再结合ａ ｂ ｃ三者的关系可得ｂ２ ｃ２．
＝４ ， ， ， ＝３
ｘ２ ｙ２ æ ö
椭圆Ｃ的方程可化为 将点Ａç ６÷代入上述椭
ｃ２ ＋ ｃ２ ＝１， è ２， ø
４ ３ ２
圆方程可得 １ １ 解得ｃ２ 所以ｃ ａ ｂ 所
ｃ２ ＋ ｃ２ ＝１， ＝１， ＝１， ＝２， ＝ ３，
２ ２
ｘ２ ｙ２
以椭圆Ｃ的方程为 ．
＋ ＝１
４ ３
ｘ ｘ ｙ ｙ
ｃ 设Ｐ ｘ ｙ 则切线ｌ的方程为 ０ ０
９． 解析 由题意得ｃ ２ ａ 则ｂ ｃ （２） （ ０， ０）， ＋ ＝１①，
（１） ＝１， ａ ＝ ，∴ ＝ ２， ＝ ＝１， ４ ３
２ ｙ
ｘ２ 因为Ｆ Ｑ ｌ 所以直线Ｆ Ｑ的斜率为４ ０ 故直线Ｆ Ｑ的方程
则椭圆的标准方程为 ｙ２ ． １ ⊥， １ ｘ ， １
＋ ＝１ ３ ０
２ ｙ
当两直线一条斜率不存在 一条斜率为 时 为ｙ ４ ０ ｘ ．
（２）① 、 ０ ， ＝ ｘ （ ＋１）②
３ ０
Ｓ １ ＡＢ ＣＤ １ ． ｙ ｘ ｙ
＝ ２ ｜ ｜·｜ ｜＝ ２ ×２ ２× ２＝２ 设Ｑ ｓ ｔ 联立 解得ｔ ４８ ０＋１２ ０ ０
当两直线斜率存在且都不为 时 （ ，）， ①②， ＝ ｙ２ ｘ２ ，
② ０ ， １６ ０＋９ ０
设直线ＡＢ的方程为ｙ ｋ ｘ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ｘ２ ｙ２
＝ （ －１）， （ １， １）， （ ２， ２）， 又 ０ ０ ｘ 所以 ｙ２ ｘ２ ｘ２ 从而 ｔ
将其代入椭圆方程整理得
（１＋２
ｋ２
）
ｘ２
－４
ｋ２ｘ
＋２
ｋ２
－２＝０， ４
＋
３
＝１，－２＜ ０＜２， １６ ０＋９ ０ ＝４８－３ ０， ＝
则ｘ ｘ ４
ｋ２
ｘ ｘ ２
ｋ２
－２ ４８
ｙ
０＋１２
ｘ
０
ｙ
０ ４
ｙ
０ 变形得 ｙ ｔ ｘ 由
ｘ２
０
ｙ２
０ 得
１＋ ２＝
１＋２
ｋ２， １ ２＝
１＋２
ｋ２，
４８－３
ｘ２
０
＝
４－
ｘ
０
， ４ ０＝ （４－ ０）③，
４
＋
３
＝１
则 ＡＢ ｋ２ ｘ ｘ ２ ２（
ｋ２
＋１） １２
ｘ２
０＋（４
ｙ
０）
２
＝４８④
．
｜ ｜＝ １＋ ｜ １－ ２｜＝ ｋ２ ， 代入 并化简 得 ｔ２ ｘ２ ｔ２ｘ ｔ２
１＋２ ③ ④ ， （１２＋ ） ０－８ ０＋１６ －４８＝０，
同理 ＣＤ ２ ２（
ｋ２
＋１）
Δ
＝６４
ｔ４
－６４（１２＋
ｔ２
）（
ｔ２
－３）＝－６４×９（
ｔ２
－４）≥０，
，｜ ｜＝ ｋ２ ， 解得 ｔ
＋２ －２≤≤２，
４ ９６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
所以 ＱＦ Ｆ 面积的最大值为 ．
则Ｓ △ ＱＦ １ Ｆ ２ ＝ １ ·｜ Ｆ １ Ｆ ２｜·｜ ｙ Ｑ｜＝｜ ｔ ｜≤２， △ １ ２ ２
２
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 则Ｄ ｘ ｘ ｃ
（ １，－ １－ ），
１．（２０２１北京东城一模，９）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的右 直线ＤＢ的方程为ｙ ｘ ｃ
ｘ
１＋
ｘ
２＋２
ｃ
ｘ ｘ
１：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） － ２－ ＝ ｘ ｘ （ － ２），
２－ １
焦点Ｆ与抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点重合 Ｐ为椭圆Ｃ 与 ｘ ｘ ｘ ｃ ｘ ｘ ｃ ｘ ｘ
２： ＝２ （ ＞０） ， １ 令ｙ 则ｘ －（ ２－ １）（ ２＋ ） ｘ ２ １ ２＋ （ １＋ ２） ．
抛物线Ｃ 的公共点 且ＰＦ ｘ轴 那么椭圆Ｃ的离心率为 ＝０， Ｅ＝ ｘ ｘ ｃ ＋ ２＝ ｘ ｘ ｃ ②
２ ， ⊥ ， {ｘ２ ｙ２ １＋ ２＋２ １＋ ２＋２
（ ）
联立得 ａ２ ＋ｂ２ ＝１，消去ｙ可知 ａ２ ｂ２ ｘ２ ａ２ｃｘ ａ２ｃ２ ａ２ｂ２
，（ ＋ ） ＋２ ＋ －
３ ２
Ａ． ２－１ Ｂ． ３ Ｃ． ２ Ｄ． ３－１ ｙ ＝ ｘ ＋ ｃ ，
( 答 ｐ 案 ) Ａ 由点 Ｐ 在抛物线 Ｃ ２ ( 上且 ｂ２ Ｐ ) Ｆ ⊥ ｘ 轴 ， 得 ＝０ ì ï ， ｘ ｘ －２ ａ２ｃ
Ｐ 圆Ｃ ２
１
， 与 ± ｐ 抛物 ， 又 线 由 Ｃ 点
２
的 Ｐ 公 在 共 椭 点 圆
，
Ｃ 所 １ 以 上 ｂ 得
ａ
２
＝
Ｐ
２
ｃ ｃ
，
， 即 ± ａ
２
ａｃ ，
＝
因 ａ２ 为
－
ｃ２ Ｐ
，
为 结 椭 合 则
î
í ï ï ïｘ １
１
ｘ ＋
２＝
２＝ ａ２ ａ
ａ
ｃ ２ ２
２
＋ －
＋
ｂ ａ
ｂ
２ ２
２
， ｂ２
，
将其代入 ②， 得ｘ Ｅ＝－ ａ ｃ ２ ，
ｃ ａ２ (ａ２ ) ２
离心率ｅ
＝ ａ ，
得 ｅ２
＋２
ｅ
－１＝０，
解得 ｅ
＝ ２－１，
或 ｅ
＝－ ２－１
由
①
得ｃ
· ｃ ＝ ｃ －
ｃ
⇒
ｃ２ａ２
＝（
ａ２
－
ｃ２
）
２
，
舍 故选 即ａ４ ｃ２ａ２ ｃ４
（ ）， Ａ． －３ ＋ ＝０，
思路分析 先分别由椭圆、抛物线的标准方程求得点Ｐ的
所以ｅ４ ｅ２ ｅ２ ３－ ５ 即ｅ ５－１．选 ．
坐标，再由点Ｐ是椭圆与抛物线的公共点，从而得
ｂ２
ｃ，最后
－３ ＋１＝０⇒ ＝
２
， ＝
２
Ｃ
ａ ＝２ ｘ２ ｙ２
４．（２０２１河南驻马店一模，７）已知椭圆Ｃ ａ ｂ 的
ｃ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
结合离心率的定义ｅ 与ａ２ ｂ２ ｃ２ 求解．
＝ ａ ＝ ＋ 一个焦点为Ｆ 点Ｐ是椭圆Ｃ上的一个动点 ＰＦ 的最小值为
， ，｜ ｜
２．（２０２１浙江“超级全能生”３月模拟，７）在直角坐标系中 已知 且存在点 Ｐ 使得 ＯＰＦ 点 Ｏ 为坐标原点 为正三角
， ３－１， ， △ （ ）
Ｏ为坐标原点
，
Ａ
（－１，０），
Ｂ
（１，０）
．点 Ｐ 满足 ｋ
ＰＡ·
ｋ
ＰＢ＝３
且 形
，
则椭圆Ｃ的焦距为
（ ）
ＰＡ ＰＢ 则 ＯＰ
｜ ｜＋｜ ｜＝４， ｜ ｜＝ （ ）
Ａ．２ Ｂ．２ ２
．７ １３ ． ８５ ．５ １３ ． １３
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ．２ ３ Ｄ．４
１３ ５ １３ ２ 答案 Ｄ 不妨设Ｆ为椭圆Ｃ的右焦点 Ｆ 为椭圆Ｃ的左
ｙ ｙ ， １
答案 Ｂ 设点Ｐ ｘ ｙ 由ｋ ｋ 得 焦点 如图 连接ＰＦ ．因为 ＯＰＦ为等边三角形 所以 ＯＦ
（ ， ）， ＰＡ· ＰＢ＝３ ｘ ·ｘ ＝３， ， ， １ △ ， ｜ ｜＝
＋１ －１ ＯＦ ＯＰ ＰＦ ｃ 所以 Ｆ ＰＦ 是直角三角形 所以
ｙ２ ｜ １｜＝｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝ ， △ １ ，
即ｘ２ ｘ ． ｃ
－ ＝１（ ≠±１）① ＰＦ ｃ．因为 ＰＦ ＰＦ ｃ ｃ ａ 所以ｅ ２
３ ｜ １｜＝ ３ ｜ ｜＋｜ １｜＝ ＋ ３ ＝２ ， ＝ ａ ＝
又 ＰＡ ＰＢ ＡＢ 所以点Ｐ在以Ａ Ｂ为焦点且长轴 ３＋１
｜ ｜＋｜ ｜＝４＞２＝｜ ｜， ，
．因为 ＰＦ 的最小值为 所以ａ ｃ 所以ｃ
长 ａ 的椭圆上 ＝ ３－１ ｜ ｜ ３－１， － ＝ ３－１， ＝
２ ＝４ ，
故椭圆Ｃ的焦距为 ．
ｘ２ ｙ２ ２， ４
所以点Ｐ的坐标满足椭圆方程
＋ ＝１②，
４ ３
ì
ï
ï
ｘ２
＝
８
，
联立 解得í ５ 所以 ＯＰ ｘ２ ｙ２ ８５ 故选 ．
①②， ï ｜ ｜＝ ＋ ＝ ， Ｂ
î
ïｙ２
＝
９
，
５
５
ｘ２ ｙ２
３．（２０２１浙江新高考研究卷（一），８）设椭圆 ａ ｂ
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ５．（２０２１云南昆明“三诊一模”高三复习教学质量检测，１０）已知
的左焦点为Ｆ Ｏ为坐标原点 过Ｆ且斜率为 的直线交椭圆 ｘ２ ｙ２
， ， １ Ｆ Ｆ 分别是椭圆Ｅ ａ ｂ 的左 右焦点 Ｍ是椭
于Ａ Ｂ两点 Ａ在ｘ轴上方 ．Ａ关于ｘ轴的对称点为Ｄ 连接 １， ２ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 ，
， （ ） ，
Ｄ
椭
Ｂ
圆
并
的
延
离
长
心
交
率
ｘ
ｅ
轴
的
于
值
点
为
Ｅ ， 若Ｓ △ ＤＯＦ， Ｓ △ ＤＥＦ， Ｓ △ ＤＯＥ 成等比数列 ， 则 圆
心
短
率
轴
为
的端点 ， 点Ｎ在椭圆上 ， 若Ｍ→Ｆ １＝３ Ｎ→Ｆ ２， 则椭圆Ｅ的离
（ ） （ ）
． ３－１ ． ２ ． ５－１ ． ３ １ １
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ． Ｂ．
２ ２ ２ ２ ３ ２
答案 Ｃ 由题意知Ｓ２
△
ＤＥＦ＝
Ｓ
△
ＤＯＦ·
Ｓ
△
ＤＯＥ，
２ ６
所以 ＥＦ ２ ＯＦ ＯＥ ． Ｃ． Ｄ．
｜ ｜ ＝｜ ｜·｜ ｜① ２ ３
易知ｌ ｙ ｘ ｃ 设Ａ ｘ ｘ ｃ Ｂ ｘ ｘ ｃ ｘ ｃ ｘ ｃ 答案 Ｃ 设Ｍ ｂ Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｎ ｘ ｙ 因为
ＡＢ： ＝ ＋ ， （ １， １＋ ）， （ ２， ２＋ ）， １＋ ＞０， ２＋ ＜０， （０， ）， １（－ ，０）， ２（ ，０）， （ ， ），
第十章 圆锥曲线 ４ ９７
ì
ï ï ｘ ＝ ４ ｃ ， 又 ０＜ ｅ ＜１， 解得ｅ ＝ １０－ ２ ， 即椭圆的离心率为 １０－ ２ ， 故
Ｍ→Ｆ Ｎ→Ｆ 所以 ｃ ｂ ｃ ｘ ｙ 所以í ３ 代入椭 ２ ２
１＝３ ２， （－ ，－ ）＝３（ － ，－ ）， ï ｂ 选 ．
î ïｙ ＝ ， Ｄ
３ 二、多项选择题
圆方程并化简得 １６ｅ２ １ 解得ｅ ２ 故选 ９．（２０２１届河北邯郸摸底考试，１１）如图 已知Ｆ Ｆ 分别是椭圆
， ９ ＋ ９ ＝１， ＝ ２ ， Ｃ． ， １， ２
６．（２０２１山西运城３ 月模拟，７）已知椭圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１ 上一点 Ｐ ， ａ ｘ２ ２ ＋ ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 的左 、 右焦点 ， 点Ｐ是该椭圆在第一象限内
４ ２
Ｆ Ｆ 分别为椭圆的左 右焦点 若 Ｆ ＰＦ 为直角三角形 则 的点 Ｆ ＰＦ 的平分线交ｘ轴于Ｑ点 且满足Ｏ→Ｆ Ｏ→Ｑ 则
１， ２ 、 ， △ １ ２ ， ，∠ １ ２ ， ２＝４ ，
满足条件的点Ｐ有 椭圆的离心率ｅ可能是
（ ） （ ）
个 个
Ａ．８ Ｂ．６
个 个
Ｃ．４ Ｄ．２
答案 Ｂ 由椭圆的方程可知ｃ ａ２ ｂ２ 所以当点Ｐ为
＝ － ＝ ２，
直角顶点时 点Ｐ只能在短轴端点处 所以满足条件的点Ｐ有
， ， ２
个 当Ｆ 或Ｆ 为直角顶点时 结合椭圆的对称性可知满足条件的
； １ ２ ，
点Ｐ有 个 综上可知符合条件的点Ｐ有 个 故选
４ ， ６ ， Ｂ．
ｘ２ ｙ２
知识拓展 已知点Ｐ是椭圆 （ａ ｂ ）上的一点，
ａ２ ＋ｂ２ ＝１ ＞ ＞０ １ １ １ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ｆ ，Ｆ 分别为椭圆的左、右焦点，满足 ＰＦ ＰＦ 的点 Ｐ 的个 ８ ４ ２ ４
１ ２ １⊥ ２
数： 当ｂ ｃ时，椭圆上不存在满足条件的点Ｐ； 当ｂ ｃ时， 答案 ＣＤ Ｏ→Ｆ Ｏ→Ｑ Ｑ→Ｆ ３ ｃ Ｏ→Ｑ １ ｃ Ｑ→Ｆ
① ＞ ② ＝ ∵ ２＝４ ，∴ ｜ ２｜＝ ，｜ ｜＝ ，｜ １
椭圆上有 个满足条件的点Ｐ； 当ｂ ｃ时，椭圆有 个满足 ４ ４
２ ③ ＜ ４ ＰＦ ＱＦ
条件的点Ｐ． ５ ｃ． ＰＱ是 Ｆ ＰＦ 的平分线 ｜ １｜ ｜ １｜ ５ 又
｜＝ ∵ ∠ １ ２ ，∴ ＰＦ ＝ ＱＦ ＝ ， ｜
ｘ２ ｙ２ ４ ｜ ２｜ ｜ ２｜ ３
７．（２０２１江西吉安重点高中４月模拟，９）已知椭圆 ａ ａ ａ
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＰＦ
１｜＋｜
ＰＦ
２｜＝２
ａ
，∴ ｜
ＰＦ
１｜＝
５
，｜
ＰＦ
２｜＝
３ ．在
△
ＰＦ
１
Ｆ
２
中
，
由
ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｐ为椭圆上不同于左 右顶 ４ ４
＞０） 、 １， ２， 、
点的任意一点 Ｉ为 Ｆ ＰＦ 的内心 且Ｓ λＳ Ｓ ． ２５ａ２ ９ ａ２ ｃ２
若椭圆的离心率 ， 为ｅ △ 则 １ λ ２ ， △ ＩＰＦ １ ＝ △ ＩＦ １ Ｆ ２ － △ ＩＰＦ ２ 余弦定理的推论得 Ｆ ＰＦ １６ ＋ １６ －４ １７ ３２ｅ２
， ＝ （ ） ｃｏｓ∠ １ ２＝ ａ ａ ＝ － ，∵
５ ３ １５ １５
２× ×
１ ２ ｅ ｅ ４ ４
Ａ． ｅ Ｂ． ｅ Ｃ． Ｄ．２
Ｆ ＰＦ １７ ３２ｅ２ 解得 １ ｅ ．所以
答案 Ａ 设 ＰＦ Ｆ 内切圆的半径为ｒ 则Ｓ １ ｒ －１＜ｃｏｓ∠ １ ２＜１，∴ －１＜ － ＜１， ＜ ＜１
△ １ ２ ， △ ＩＰＦ １ ＝ ２ · 选 ． １５ １５ ４
ＣＤ
ＰＦ Ｓ １ ｒ ＰＦ Ｓ １ ｒ Ｆ Ｆ 因为Ｓ ｘ２ ｙ２
｜ １｜， △ ＩＰＦ ２ ＝ ２ ·｜ ２｜， △ ＩＦ １ Ｆ ２ ＝ ２ ·｜ １ ２｜， △ ＩＰＦ １ ＝ １０．（２０２０山东泰安第五次模拟，１１）已知椭圆Ｃ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ
λ
λＳ △ ＩＦ １ Ｆ ２ － Ｓ △ ＩＰＦ ２， 所以 １ ｒ ·｜ ＰＦ １ ｜ ＝ · ｒ ·｜ Ｆ １ Ｆ ２ ｜－ １ ｒ · ＞０） 的右焦点为Ｆ ， 点Ｐ在椭圆Ｃ上 ， 点Ｑ在圆Ｅ ：（ ｘ ＋３） ２ ＋
２ ２ ２ ｙ ２ 上 且圆Ｅ上的所有点均在椭圆Ｃ外 若 ＰＱ
ＰＦ 整理得 λ Ｆ Ｆ ＰＦ ＰＦ 又因为点Ｐ为椭圆上 （ －４） ＝４ ， ， ｜ ｜－
｜ ２｜， ， ｜ １ ２｜＝｜ １｜＋｜ ２｜， ＰＦ 的最小值为 且椭圆Ｃ的长轴长恰与圆Ｅ的直径
的点 所以λ ｃ ａ 解得λ １ 故选 ． ｜ ｜ ２ ５－６，
， ·２ ＝２ ， ＝ ｅ ， Ａ 长相等 则下列说法正确的是
， （ ）
８．（２０２１黑龙江顶级名校４月联考，１０）已知椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ Ａ．
椭圆Ｃ的焦距为
２
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ 椭圆Ｃ的短轴长为
Ｂ． ３
的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｐ在椭圆上 Ｏ是坐标原点
＞０） 、 １， ２， ， ，
Ｃ．｜
ＰＱ
｜＋｜
ＰＦ
｜
的最小值为
２ ５
Ｆ ＰＦ Ｆ ＯＰ ２ 则椭圆的离心率为
∠ １ ２＝∠ １ ＝ π， （ ） 过点Ｆ的圆Ｅ的切线斜率为－４± ７
３ Ｄ．
３
３－ ２ ３－ ３ 答案 ＡＤ 圆Ｅ的圆心为Ｅ 半径长为
Ａ． Ｂ． （－３，４）， ２，
２ ２
１０－ ３ １０－ ２
Ｃ． Ｄ．
２ ２
答案 Ｄ 根据 Ｆ ＰＦ Ｆ ＯＰ ２ 以及 ＰＦ Ｆ
∠ １ ２ ＝∠ １ ＝ π ∠ １ ２ ＝
３
ＰＦ Ｆ Ｏ
ＯＦ Ｐ 得 ＰＦ Ｏ Ｆ Ｆ Ｐ 于是 ｜ １｜ ｜ １ ｜ 所以
∠ １ ， △ １ ∽△ ２ １ ， Ｆ Ｆ ＝ ＰＦ ，
｜ １ ２｜ ｜ １｜
ＰＦ ｃ 又 ＰＦ ＰＦ ａ 所以 ＰＦ ａ ｃ 在
｜ １｜＝ ２ ， ｜ １｜＋｜ ２｜ ＝２ ， ｜ ２｜ ＝２ － ２ ，
△ Ｆ ２ Ｆ １ Ｐ中 ， 由 ( 余弦 ) 定理 ， 得 ４ ｃ２ ＝（ ２ ｃ ） ２ ＋（２ ａ － ２ ｃ ） ２ －２× ２ ｃ 由 ａ 于椭圆Ｃ的长轴长恰与圆Ｅ的直径长相等 ， 则 ２ ａ ＝４， 可得
×（２
ａ
－ ２
ｃ
）× －
１
，
即ｃ２
＋ ２
ａｃ
－２
ａ２
＝０，
所以ｅ２
＋ ２
ｅ
－２＝０， 设
＝
椭
２，
圆的左焦点为点Ｆ
２ １，
４ ９８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
由椭圆的定义可得 ＰＦ ＰＦ ａ
｜ ｜＋｜ １｜＝２ ＝４，
ＰＦ ＰＦ
∴ ｜ ｜＝４－｜ １｜，
ＰＱ ＰＦ ＰＱ ＰＦ ＰＦ ＰＱ ＰＦ
∴ ｜ ｜－｜ ｜＝｜ ｜－（４－｜ １｜）＝ ｜ １｜＋｜ ｜－４≥｜ １｜
ＰＥ ＥＦ 当且仅当Ｐ Ｑ Ｅ Ｆ 四点共
＋｜ ｜－２－４≥｜ １｜－６＝２ ５－６， 、 、 、 １
线 且Ｐ Ｑ分别为线段 ＥＦ 与椭圆 Ｃ 圆 Ｅ 的交点时 等号
， 、 １ 、 ，
成立
，
则 ＥＦ ｃ ２ ２ ｃ ２ ａ ｃ ｍ Ｒ ａ ｃ ｎ Ｒ
｜ １｜＝ （－３＋ ） ＋（４－０） ＝ （ －３） ＋１６＝２ ５， Ａ． － ＝ ＋ Ｂ． ＋ ＝ ＋
ｃ ａ 解得ｃ ａ ｍ ｎ ｂ ｍ Ｒ ｎ Ｒ
∵０＜ ＜ ＝２， ＝１， Ｃ．２ ＝ ＋ Ｄ． ＝ （ ＋ ）（ ＋ ）
椭圆Ｃ的焦距为 ｃ 选项正确 {ｍ ａ ｃ Ｒ
∴ ２ ＝２，Ａ ； 答案 ＡＢＤ 由题设条件可得 ＝ － － ，①
椭圆Ｃ的短轴长为
２
ｂ
＝２
ａ２
－
ｃ２
＝２ ３，Ｂ
选项错误
；
ｎ
＝
ａ
＋
ｃ
－
Ｒ
，②
ＰＱ ＰＦ ＰＥ ＰＦ ＥＦ ａ ｃ ｍ Ｒ 故 正确 ａ ｃ ｎ Ｒ 故 正确
｜ ｜ ＋ ｜ ｜ ≥ ｜ ｜ ＋ ｜ ｜ － ２ ≥ ｜ ｜ － ２ ＝ ∴ － ＝ ＋ ， Ａ ； ＋ ＝ ＋ ， Ｂ ；
得ｍ ｎ ａ Ｒ 可得 ａ ｍ ｎ Ｒ 故 不正确
２ ２ ①＋② ＋ ＝２ －２ ， ２ ＝ ＋ ＋２ ， Ｃ ；
（－３－１） ＋（４－０） －２＝４ ２－２， {ｍ Ｒ ａ ｃ
当且仅当Ｐ
、
Ｑ
、
Ｅ
、
Ｆ四点共线
，
且Ｐ
、
Ｑ分别为线段ＥＦ与椭圆 由
ｎ
＋
Ｒ
＝
ａ
－
ｃ
，可得
（
ｍ
＋
Ｒ
）（
ｎ
＋
Ｒ
）＝
ａ２
－
ｃ２
，∵
ａ２
－
ｃ２
＝
ｂ２
，∴
ｂ２
Ｃ 圆Ｅ的交点时 等号成立 选项错误 ＋ ＝ ＋
、 ， ，Ｃ ；
若所求切线的斜率不存在 ｍ Ｒ ｎ Ｒ ｂ ｍ Ｒ ｎ Ｒ 故 正确．故选 ．
， ＝（ ＋ ）（ ＋ ）⇒ ＝ （ ＋ ）（ ＋ ）， Ｄ ＡＢＤ
则直线方程为ｘ 圆心Ｅ到该直线的距离为 三、填空题
＝１， ｜－３－１｜＝４＞２，
则直线ｘ 与圆Ｅ相离 不合题意
＝１ ， ； ｘ２ ｙ２
则所求切线的斜率存在 ， 可设切线的方程为ｙ ＝ ｋ （ ｘ －１）， 即ｋｘ １３．（２０２１浙江温州二模，１４）已知Ｆ １， Ｆ ２ 分别是椭圆 ａ２ ＋ｂ２ ＝１
ｙ ｋ
－ － ＝０， ａ ｂ 的左 右焦点 过Ｆ 的直线与椭圆交于Ｐ Ｑ两点
由题意可得｜－３ ｋ ｋ － ２ ４－ ｋ ｜ ＝ ４｜ ｋ ｋ ＋ ２ １｜ ＝２， 整理得 ３ ｋ２ ＋８ ｋ ＋３＝０， 解 （ 若 ｜ ＞ ＰＦ ＞ １ ０ ｜ ） ∶ ｜ 椭 Ｐ 、 Ｆ 圆 ２ 的 ｜ ∶ 离 ｜ ， 心 Ｑ 率 Ｆ １ 为 １ ｜ ＝ ２ ∶ ３ ∶ １ ． ， 则 ｃｏｓ∠ 、 Ｆ １ ＰＦ ２ ＝ ，
＋１ ＋１ ，
得ｋ －４± ７ 答案 １ １０５
＝ ， ；
３ ９ １５
选项正确．故选 ． { ＰＦ ＰＦ ＱＦ
Ｄ ＡＤ 解析 连接ＱＦ 由 ｜ １｜ ∶ ｜ ２｜ ∶ ｜ １｜＝２ ∶ ３ ∶ １，解
１１．（２０２０山东４月全真模拟，１１）已知Ｐ是椭圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
上 ２， ｜ ＰＦ １｜＋｜ ＰＦ ２｜＝２ ａ ，
６ ａ ａ ａ ａ
得 ＰＦ ４ ＰＦ ６ ＱＦ ２ 则 ＱＦ ８ ．
的动点 Ｑ是圆Ｄ ｘ ２ ｙ２ １ 上的动点 则
｜ １｜＝
５
，｜ ２｜＝
５
，｜ １｜＝
５
， ｜ ２｜＝
５
， ：（ ＋１） ＋ ＝ ， （ ）
５ 在 ＱＰＦ 中 由余弦定理得
△ ２ ，
Ａ． Ｃ的焦距为 ５ Ｂ． Ｃ的离心率为 ６ ３０ ｃｏｓ∠ ＱＰＦ ２ ＝ ｜ ＰＱ ｜ ２ ＋ ＰＱ ｜ ＰＦ ２｜ ２ Ｐ － Ｆ ｜ ＱＦ ２｜ ２ ＝ １ ， 在 △ Ｆ １ ＰＦ ２ 中 ，
２｜ ｜·｜ ２｜ ９
圆Ｄ在Ｃ的内部 ＰＱ 的最小值为２ ５ ５２ａ２ ｃ２
Ｃ． Ｄ．｜ ｜ －４ ｃ
５ Ｆ ＰＦ ２５ １ 解得ｅ １０５．
答案 ＢＣ 依题意可得ｃ ｃｏｓ∠ １ ２＝ ＝ ， ＝ ａ ＝
＝ ６－１＝ ５， ４８ａ２ ９ １５
２５
则Ｃ的焦距为 ｅ ５ ３０． １４．（２０２１河南顶级名校４月冲刺考试，１５）已知点Ｆ Ｆ 分别为
２ ５， ＝ ６ ＝ ６ ｘ２ ｙ２ １， ２
设Ｐ ｘ ｙ ｘ 椭圆Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点 点 Ａ为 Ｃ 的左顶
（ ， ）（－ ６≤ ≤ ６）， ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ，
由题意知Ｄ
（－１，０）， 点 Ｃ上的点到点Ｆ 的最小距离为 ．过原点Ｏ的直线ｌ交Ｃ
则 ｜ ＰＤ ｜ ２ ＝（ ｘ ＋１） ２ ＋ ｙ２ ＝（ ｘ ＋１） ２ ＋１－ ｘ２ ＝ ５ ( ｘ ＋ ６ ) ２ ＋ ４ ≥ ４ 于 ， Ｐ ， Ｑ两点 ， 直线Ｑ ２ Ｆ １ 交ＡＰ于点Ｂ ２ ， 且 ｜ ＡＢ ｜＝｜ ＢＰ ｜， 则椭圆
６ ６ ５ ５ ５ Ｃ的标准方程为 ．
１ 所以圆Ｄ在Ｃ的内部 且 ＰＱ 的最小值为 ４ １ 答案 ｘ２ ｙ２
＞
５
， ， ｜ ｜
５
－
５
＋ ＝１
９ ８
解析 如图
５．故选 ，
＝ ＢＣ．
５
１２．（２０２０山东菏泽期中，８）某颗人造地球卫星的运行轨道是以
地球的中心Ｆ为一个焦点的椭圆 如图所示 已知它的近地
， ，
点Ａ 离地面最近的点 距地面ｍ千米 远地点Ｂ 离地面最
（ ） ， （
远的点 距地面ｎ千米 并且Ｆ Ａ Ｂ三点在同一直线上 地球
） ， 、 、 ，
半径约为Ｒ千米 设该椭圆的长轴长 短轴长 焦距分别为
， 、 、
ａ ｂ ｃ 则
２ 、２ 、２ ， （ ） 连接ＯＢ ＡＱ 则ＯＢ是 ＰＡＱ的中位线 所以ＯＢ ＡＱ 所以
， ， △ ， ∥ ，
ＯＢ ＯＦ ｃ
｜ ｜ ｜ １｜ １ 即 １ 所以ａ ｃ．由Ｃ上的点到点
ＡＱ ＝ Ｆ Ａ ＝ ， ａ ｃ＝ ， ＝３
｜ ｜ ｜ １ ｜ ２ － ２
Ｆ 的最小距离为 得ａ ｃ 解得ａ ｃ 所以ｂ ．
２ ２， － ＝２， ＝３， ＝１， ＝２ ２
第十章 圆锥曲线 ４ ９９
ｘ２ ｙ２ Ｄ 椭圆Ｃ的右顶点为Ｂ 点Ｓ为椭圆Ｃ上位于ｘ轴上方的动
故椭圆Ｃ的标准方程为 ． ， ，
＋ ＝１
９ ８ 点 直线ＡＳ ＢＳ与直线ｌ ｘ １０分别交于Ｍ Ｎ两点．
ｘ２ ｙ２ ， ， ： ＝ ，
１５．（２０２１四川绵阳二模，１５）已知Ｆ 为椭圆Ｅ ３
（１，０） ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１ 求椭圆Ｃ的方程
（１） ；
ａ ｂ 的右焦点 过Ｅ的下顶点Ｂ和Ｆ的直线与Ｅ的另一 求证 直线ＡＳ与ＢＳ的斜率的乘积为定值
（ ＞ ＞０） ， （２） ： ；
个交点为Ａ ， 若 ４ Ｂ→Ｆ ＝５ →ＦＡ ， 则ａ ＝ ． （３）
求线段ＭＮ的长度的最小值．
答案
解析 ３ 如图 设椭圆的左焦点为 Ｆ′ 则 Ｆ′ 连接 解析 本题考查椭圆的标准方程 、 直线方程 、 基本不等式 ，
， ， （－１，０），
考查学生运用代数的方法分析与解决几何问题的能力 渗透
ａ ，
ＡＦ′
，
ＢＦ′
，
则
｜
ＢＦ
｜＝｜
ＢＦ′
｜＝
ａ
，
由
４
Ｂ→Ｆ
＝５
→ＦＡ
，
得
｜
ＡＦ
｜＝
４
，
由
逻辑推理与数学运算的核心素养 试题体现综合性．
５ ，
由已知得 椭圆Ｃ的左顶点为Ａ 上顶点为Ｄ
椭圆的定义可知 ＡＦ′ ａ ＡＦ ６ ａ 设 ＡＦＦ′ θ 则 （１） ， （－２，０）， （０，
，｜ ｜ ＝２ －｜ ｜ ＝ ， ∠ ＝ ， ａ ｂ
５ １），∴ ＝２， ＝１，
ＢＦＦ′ θ 则 θ ｜ ＡＦ ｜ ２ ＋｜ ＦＦ′ ｜ ２ －｜ ＡＦ′ ｜ ２ 故椭圆Ｃ的方程为 ｘ２ ｙ２ ．
∠ ＝ π － ， ｃｏｓ ＝ ＡＦ ＦＦ′ ＝ ＋ ＝１
２×｜ ｜×｜ ｜ ４
( )
２
( )
２
ｘ２
４ ａ ６ ａ ２０ａ２ 证明 设Ｓ ｘ ｙ 得 ０ ｙ２
＋４－ ４－ ａ２ （２） ： （ ０， ０）， ＋ ０＝１，
５ ５ ２５ ５－ 而 θ ４
＝ ＝ ａ ①， ｃｏｓ（π－ ） ＝ ｘ２
２×
５
４ ａ
×２
１
５
６ａ ４
∴
ｙ２
０＝１－
４
０
，
５ ｜ Ｂ － Ｆ ａ ２ ２ ｜ × ２ ＋ ｜ Ｂ ｜ Ｆ Ｆ 解 Ｆ ｜ 得 ′ × ｜ ｜ ２ Ｆ ａ － Ｆ ｜ ′ Ｂ ｜ Ｆ ． ′ ｜ ２ ＝ ａ ２ ２ × ＋ ａ ４ × － ２ ａ２ ＝ ａ １ ②， 由 ①＋② 得 １ ａ ＋ 故ｋ 设 ＡＳ· 直 ｋ 线 ＢＳ＝ Ａ ｘ Ｓ ０ ｙ 的 ＋ ０ ２ 斜 · 率 ｘ ０ ｙ － 为 ０ ２ ＝ ｋ ｘ ｋ ２ ０ ｙ － ２ ０ 显 ４ ＝ 然 － 存 ４ １ 在 ． 且 ｋ 故可设直线
４
ａ ＝０， ＝３ （３） ， ( ， ｋ) ＞０，
ＡＳ的方程为ｙ ｋ ｘ 从而Ｍ １０ １６ 由 知ｋ ｋ
＝ （ ＋２）， ， ， （２） ＡＳ· ＢＳ
３ ３
１ 因而有ｋ １ 所以直线ＢＳ的方程为ｙ １ ｘ
＝－ ， ＢＳ＝－ ｋ， ＝－ ｋ·（ －
４ ４ ４
( )
Ｎ １０ １
２），∴ ，－ ｋ ，
３ ３
ｋ
故 ＭＮ １６ １
１６．（２０２１安徽皖北协作体４月联考，１４） 天问一号 推开了我 ｜ ｜＝ ＋ ｋ ，
“ ” ３ ３
国行星探测的大门 通过一次发射 将实现火星环绕 着陆
， ， 、 、 又ｋ ＭＮ １６ ｋ １ １６ ｋ １ ８
巡视 是世界首创 也是我国真正意义上的首次深空探测． ＞０，∴ ｜ ｜＝ ＋ ｋ≥２ · ｋ ＝ ，
， ， ３ ３ ３ ３ ３
年 月 日 天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环 ｋ
２０２１ ２ １０ ， 当且仅当１６ １ 即ｋ １ 时等号成立
火轨道 将火星近似看成一个球体 球心为椭圆的一个焦 ＝ ｋ， ＝ ，
（ ， ３ ３ ４
点 ． 月 日 时 天问一号探测器成功实施捕获轨道 远
） ２ １５ １７ ， “ ｋ １ 时 线段ＭＮ的长度取最小值 ８ ．
火点 椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点 平面机动 同 ∴ ＝ ，
（ ） ”， ４ ３
时将近火点高度调整至约 公里．若此时远火点距离约为 思路分析 （ ）先求得椭圆Ｃ的左顶点Ａ和上顶点Ｄ的
２６５ １
公里 火星半径约为 公里 则调整后 天问一号 坐标，从而可得ａ，ｂ，然后可求椭圆Ｃ的方程；
１１９４５ ， ３４００ ， “ ”
的运行轨迹
（
环火轨道曲线
）
的离心率约为 ．
（
精确
（ ）设点Ｓ（ｘ ，ｙ ），可得 ｋ ·ｋ
ｙ
０ ·
ｙ
０
ｙ２
０ ，然后
到
答
０ ． １
案
）
． 由
２
点Ｓ在椭圆
０
上
０
可证明ｋ
Ａ
·
Ｓ
ｋ
Ｂ
为
Ｓ＝
定
ｘ
值
０－
；
２ ｘ ０＋２ ＝ｘ２ ０－４
０６ ＡＳ ＢＳ
ｘ２ ｙ２
解析 设椭圆的方程为 ａ ｂ 由椭圆的性质 （ ）设直线ＡＳ的方程得Ｍ的坐标，然后利用ｋ ·ｋ １ ，
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）， ３ ＡＳ ＢＳ＝－
４
可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ａ ｃ 最大值为ａ 进而得直线ＢＳ的方程，从而得Ｎ的坐标，求出 ＭＮ 后，利用
－ ， ＋ ｜ ｜
ｃ 根据题意可得近火点满足ａ ｃ 远火点 基本不等式求线段ＭＮ长度的最小值．
， － ＝３ ４００＋２６５＝３ ６６５，
满足ａ
＋
ｃ
＝３４００＋１１９４５＝１５３４５，
解得ａ
＝９５０５，
ｃ
＝５ ８４０，
所
１８．（２０２１天津和平二模，１８）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的右焦
以椭圆的离心率为ｅ
ｃ
５８４０ ． ．
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
＝ ａ ＝ ≈０６
９５０５ 点为Ｆ 点Ａ ａ 与点Ｂ ｂ 是椭圆的顶点 ＢＦ ２ ＡＦ ．
思路分析 设出椭圆方程，利用椭圆的几何性质得出ａ ， （－ ，０） （０， ） ，｜ ｜＝ ｜ ｜
－ ３
ｃ，ａ ｃ的几何意义，然后根据已知条件求出ａ，ｃ的值，进而求 求椭圆Ｃ的离心率ｅ
＋ （１） ；
出离心率． 设以离心率ｅ为斜率的直线ｌ经过点Ａ 与椭圆Ｃ相交于
（２） ，
点Ｐ 点Ｐ不在坐标轴上 ．
四、解答题 （ ）
证明 点Ｆ在以线段ＡＰ为直径的圆上
１７．（２０２１北京首师大二附中高三开学测试，１９）已知直线ｘ ｙ （ｉ） ： ；
－２ ＋
ｘ２ ｙ２ （ｉｉ）
若→ＡＰ
·
Ｂ→Ｆ
＋
→ＡＢ
·
Ｂ→Ｐ
＝８，
求椭圆Ｃ的方程．
经过椭圆Ｃ ａ ｂ 的左顶点 Ａ和上顶点
２＝０ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 解析 设点Ｆ的坐标为 ｃ 则 ＢＦ ｂ２ ｃ２ ａ
（１） （ ，０）， ｜ ｜＝ ＋ ＝ ，
５ ００ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ＡＦ ａ ｃ 若ｋ 且Ｎ为线段ＭＰ的中点 求椭圆Ｃ的离心率
｜ ｜＝ ＋ ， （１） ＝１， ， ；
ｃ 若椭圆长轴的一个端点为Ｑ 直线ＱＭ ＱＮ与ｙ轴
由 ＢＦ ２ ＡＦ 求得ａ ｃ 所以离心率ｅ １ ． （２） （２，０）， ，
｜ ｜＝ ｜ ｜， ＝２ ， ＝ ａ ＝
３ ２ 分别交于Ａ Ｂ两点 当→ＰＡ Ｐ→Ｂ 时 求椭圆Ｃ的方程．
， ， · ＝１ ，
（２）
设直线ｌ的方程为ｙ
＝
１
（
ｘ
＋２
ｃ
），
由
（１）
可知ｂ
＝
ａ２
－
ｃ２ 解析
（１）
由题意知直线ｌ
：
ｙ
＝
ｘ
＋
ａ与ｘ轴交于点
（－
ａ
，０），
２ 点Ｍ为椭圆Ｃ的左顶点 即Ｍ ａ ．
ｃ 所以椭圆Ｃ的方程可化为
ｘ２ ｙ２
．
∴
( ａ ａ ) ｘ２ ｙ２
， （－ ，０）
ａ２
＝ ３ ，
４
ｃ２ ＋
３
ｃ２ ＝１
∴
Ｎ
－ ， ，
代入
ａ２ ＋ｂ２ ＝１，
得 １
＋ ｂ２ ＝１，
证 明 将 直 线 ｌ 的 方 程 与 椭 圆 Ｃ 的 方 程 联 ２ ２ ４ ４
（ｉ） { ： 即 ｂ２ １ ． ｅ２ ｃ２ ｂ２ ２ ． ｅ ６
立
ｙ
＝
１ ｘ
＋
ｃ
，
ａ２ ＝
３
∴ ＝ａ２ ＝１－ａ２ ＝
３
∴ ＝
３
，
， ２
３ ｘ２ ＋４ ｙ２ ＝１２ ｃ２ ， 即椭圆Ｃ的离心率ｅ ＝ ６．
消去ｙ得ｘ２ ｃｘ ｃ２ 解得ｘ ｃ或ｘ ｃ ３
＋ － ( ２ ＝０， ) ＝－２ ＝ ， 由题意得ａ 椭圆Ｃ的方程为ｂ２ｘ２ ｙ２ ｂ２ ｂ ．
（２） ＝２，∴ ＋４ ＝４ （ ＞０）
结合题意可得Ｐ ｃ ， ３ ２ ｃ ， 由 {ｂ ｙ ２ｘ ｋ ２ ｘ ＋４ ｙ２ ＝４ ｂ２ ，消去ｙ ， 得 （４ ｋ２ ＋ ｂ２ ） ｘ２ ＋１６ ｋｘ ＋１６－４ ｂ２ ＝０ ．
因此ＡＦ ＦＰ 所以点Ｆ在以线段ＡＰ为直径的圆上． ＝ ＋２
⊥ ，
( ) ì ï Δ ＝１６ ｂ２ （４ ｋ２ ＋ ｂ２ －４）＞０，
（ ( ｃ ｉｉ ， ） (
→ＡＰ
３
２
＝ － ３ ３
ｃ
) ， ｃ
３
２ ) ，
ｃ
故 ， →Ａ
Ｂ→
Ｐ
Ｆ
· ＝ Ｂ→ （ Ｆ
ｃ
， ＋ － →ＡＢ ３ ·
ｃ
） Ｂ→ ， Ｐ
→Ａ
＝
Ｂ
３ ＝ ｃ （ ２ ２ －
ｃ
３ ，
２
３ ３ ｃ
ｃ
２ ） ＋ ， ２
Ｂ→
ｃ
Ｐ
２ ＋ ＝ ∴
î
í ï ï ï ïï ｘ ｘ Ｍ
Ｍ·
＋ ｘ ｘ Ｎ
Ｎ
＝
＝
－ １ ４ ６
ｋ
ｋ １ －
２
２ ６ ＋ ４ ｋ
ｂ
ｂ ｂ
２
２ ２ ， ．
４ ＋
３ ３ｃ２ ｃ２ ｃ２ 解得ｃ２ ． ｙ
－３ ＝２ ＝８， ＝４ 直线ＱＭ ｙ Ｍ ｘ
２ ∵ ： ＝ｘ （ －２），
ｘ２ ｙ２ Ｍ－２
所以椭圆Ｃ的方程为 １６ ＋ １２ ＝１ ． ∴ Ａ æ è ç ０，－ｘ ２ ｙ Ｍ ö ø ÷ ， →ＰＡ ＝ æ è ç ０， ２ ｙ Ｍ＋２ ｘ ｘ Ｍ－４ ö ø ÷．
１９．（２０２１四川顶级名校３月联考，１９）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ
Ｍ－２ ２－ Ｍ
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ｙ ｋｘ ｙ ｋｘ 即→ＰＡ æ ç ２（ ｋ ＋１） ｘ Ｍ ö ÷．
( ) ∵ Ｍ＝ Ｍ＋２，∴ Ｍ－２＝ Ｍ， ＝è０， ｘ ø
ｂ 的离心率是 １ 椭圆Ｃ过点 ３ ．
２－ Ｍ
＞ ＞０） ２ ， １， ２ 同理Ｐ→Ｂ æ ç ２（ ｋ ＋１） ｘ Ｎ ö ÷
（１）
求椭圆Ｃ的方程
；
＝è０，
２－
ｘ
Ｎ
ø，
（２）
已知Ｆ
１，
Ｆ
２
是椭圆Ｃ的左
、
右焦点
，
过点Ｆ
２
的直线ｌ
（
不过坐
→ＰＡ Ｐ→Ｂ ４（
ｋ
＋１）
２ｘ
Ｍ
ｘ
Ｎ ｂ２ ． ｂ２ ．
∴ · ＝ｘ ｘ ｘ ｘ ＝４－ ＝１∴ ＝３
标原点 与椭圆Ｃ交于Ａ Ｂ两点 求Ｆ→Ａ Ｆ→Ｂ的取值范围． Ｍ Ｎ－２（ Ｍ＋ Ｎ）＋４
） ì ï ï ａ２ ａ － ２ ， ｂ２ ＝ １ ， ， １ { · ａ２ １ ∴ 椭圆Ｃ的标准方程为 ｘ ４ ２ ＋ ｙ ３ ２ ＝１ ．
解析
（１）
由条件知í
ï
４ 解得
ｂ２
＝４，
２１．（２０２１浙江百校３月联考，２１）如图 已知椭圆Ｅ
ｘ２ ｙ２
î
ï
ａ
１
２ ＋
９
ｂ２ ＝１，
＝３， ， ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１
４
因此椭圆Ｃ的方程为 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１ ． （ ａ ＞ ｂ ＞０）， 离心率为 ３ ， Ｆ １（－ ３，０）， Ｆ ２（ ３，０） 为椭圆的左 、
４ ３ ２
由 知Ｆ Ｆ ．设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 右焦点 Ｐ为椭圆上一动点 Ｑ为 ＰＦ Ｆ 的内心 连接ＰＱ并
（２） （１） １（－１，０）， ２（１，０） （ １， １）， （ ２， ２），
延长 交
，
ｘ轴于点Ｍ．
， △ １ ２ ，
则Ｆ→Ａ ｘ ｙ Ｆ→Ｂ ｘ ｙ ，
１ ＝（ １＋１， １）， １ ＝（ ２＋１， ２）， 求椭圆Ｅ的方程
设直线ｌ的方程为ｘ ｍｙ （１） ；
＝ ＋１， Ｓ
代入椭圆Ｃ的方程消去ｘ 得 ｍ２ ｙ２ ｍｙ 设 Ｆ ＱＭ Ｆ ＱＰ 的面积分别为 Ｓ Ｓ 求 １ 的取值
， （３ ＋４） ＋６ －９＝０， （２） △ １ ，△ ２ １， ２， Ｓ
ｍ ２
由根与系数的关系得ｙ ｙ －６ ｙ ｙ －９ 范围．
１＋ ２＝ ｍ２ ， １ ２＝ ｍ２ ，
３ ＋４ ３ ＋４
Ｆ→Ａ Ｆ→Ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ ｍｙ ｍｙ ｙ ｙ
１ · １ ＝（ １＋１）（ ２＋１）＋ １ ２＝（ １＋２）（ ２＋２）＋ １ ２
ｍ２ ｙ ｙ ｍ ｙ ｙ
＝（１＋ ） １ ２＋２ （ １＋ ２）＋４
ｍ ｍ２
ｍ２ －９ ｍ －６ －９ ＋７ １９
＝（１＋ ） ｍ２ ＋２ ｍ２ ＋４＝ ｍ２ ＝－３＋ ｍ２ ，
３ ＋４ ３ ＋４ ３ ＋４ ３ ＋４
ｃ
解析 因为离心率为 ３ 所以 ３．
ｍ２ １９ １９ １９ ７ （１） ， ａ ＝
∵３ ＋４≥４，∴０＜ ｍ２ ≤ ，∴ －３＜－３＋ ｍ２ ≤ ， ２ ２
３ ＋４ ４ ３ ＋４ ４
( ] 因为Ｆ Ｆ 为椭圆的左 右焦点
所以Ｆ→Ａ Ｆ→Ｂ ７ ． １（－ ３，０）， ２（ ３，０） 、 ，
１ · １ ∈ －３， 所以ｃ 所以ａ 则ｂ
４ ＝ ３， ＝２， ＝１，
２０．（２０２１河南３月适应性测试，２０）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 所以椭圆Ｅ的方程为
ｘ２
ｙ２ ． 分
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＋ ＝１ （６ ）
４
直线ｌ ｙ ｋｘ ａ 直线ｌ与椭圆Ｃ交于Ｍ Ｎ两点 与ｙ轴 因为Ｑ为 ＰＦ Ｆ 的内心 所以Ｑ为 ＰＦ Ｆ 各内角角
＞０）， ： ＝ ＋ ， ， ， （２） △ １ ２ ， △ １ ２
交于点Ｐ Ｏ为坐标原点． 平分线的交点
， ，
第十章 圆锥曲线 ５ ０１
ＰＱ ＰＦ ＰＱ ＰＦ
故根据角平分线定理可知 ｜ ｜ ｜ １｜ ｜ ｜ ｜ ２｜
， ＱＭ ＝ Ｆ Ｍ ， ＱＭ ＝ Ｆ Ｍ ，
｜ ｜ ｜ １ ｜ ｜ ｜ ｜ ２ ｜
ＰＱ ＰＦ ＰＦ ＰＦ ＰＦ ａ ａ
｜ ｜ ｜ １｜ ｜ ２｜ ｜ １｜＋｜ ２｜ ２ ２ ．
∴ ＱＭ ＝ Ｆ Ｍ ＝ Ｆ Ｍ ＝ Ｆ Ｍ Ｆ Ｍ ＝ ｃ＝ ｃ ＝
｜ ｜ ｜ １ ｜ ｜ ２ ｜ ｜ １ ｜＋｜ ２ ｜ ２ ３
分
（８ ）
设 Ｆ ＱＭ Ｆ ＱＰ中ＱＭ ＰＱ上的高分别为ｈ ｈ
△ １ ，△ ２ ， １， ２，
１ ＱＭ ｈ
Ｓ ｜ ｜· １ ＱＭ ｈ ｈ
则 １ ２ ｜ ｜· １ ３· １． 分
Ｓ ＝ ＝ ＰＱ ｈ ＝ ｈ （１０ ）
２ １ ＰＱ ｈ ｜ ｜· ２ ２· ２
｜ ｜· ２
２
ｈ Ｆ Ｍ ＰＦ
又 １ ｜ １ ｜ ｜ １｜ 设Ｐ ｘ ｙ
ｈ ＝ Ｆ Ｍ ＝ ＰＦ ， （ ０， ０），
２ ｜ ２ ｜ ｜ ２｜ {ａ ｃ
ＰＦ ａ ｅｘ ＰＦ ａ ｅｘ 分 解析 由 － ＝１，解得ａ ｃ 则ｂ
∴ ｜ １｜＝ ＋ ０，｜ ２｜＝ － ０， （１２ ） （１） ａ ｃ ＝２， ＝１， ＝ ３，
＋ ＝３，
３ｘ ３ｘ ｘ２ ｙ２
Ｓ ２＋ ０ －２＋ ０＋４ 所以椭圆的标准方程为 ．
１ ３ ２ ３ ２ ３ ＋ ＝１
∴ Ｓ ＝ · ＝ · ＝ ４ ３
２ ２ ２－ ３ｘ ０ ２ ２－ ３ｘ ０ ２ （２） 不妨设ｋ ＭＡ＝ ｋ １， ｋ ＭＢ＝ ｋ ２， Ａ （ ｘ １， ｙ １）， Ｂ （ ｘ ２， ｙ ２）， Ｍ （ ｔ２ ，２ ｔ ）， ｔ２
２ ２
æ ö ＞２，
ç－１＋
４
÷ ．
设过点Ｍ所作椭圆的切线方程为ｙ
＝
ｋ
（
ｘ
－
ｔ２
）＋２
ｔ
，
· ç ３ｘ ÷ {ｙ ｋｘ ｔ ｔ２ｋ
è ２－ ０ ø 由 ＝ ＋（２ － ），
２ ｘ２ ｙ２
Ｐ为椭圆上一动点 且Ｐ Ｆ Ｆ 能构成三角形 ３ ＋４ ＝１２，
∵ ， ， １， ２ ， 得 ｋ２ ｘ２ ｋ ｔ ｔ２ｋ ｘ ｔ ｔ２ｋ ２ ．
ｘ （３＋４ ） ＋８ （２ － ） ＋４（２ － ） －１２＝０
∴ ０∈（－２，２）， 由Δ 得 ｔ４ ｋ２ ｔ３ｋ ｔ２
æ ö ＝０ （ －４） －４ ＋４ －３＝０，
∴ Ｓ Ｓ １ ＝ ３ · ç ç －１＋ ４ ３ｘ ÷ ÷ ∈ æ è ç７ ３ －６， ７ ３ ＋６ ö ø ÷． （１５ 分 ） 所以ｋ １＋ ｋ ２＝ｔ４ ４ ｔ３ ， ｋ １· ｋ ２＝ ４ ｔ ｔ ４ ２ －３ ，
２ ２ è ２－ ０ ø ２ ２ －４ －４
２ 令ｘ 则 ＡＢ ｙ ｙ ｔ２ ｋ ｋ ．
２２．（２０２１ 浙江湖丽衢三地市４ 月联考，２１）已知Ｆ Ｆ 是椭圆 ＝－２， ｜ ｜＝｜ １－ ２｜＝（ ＋２）｜ １－ ２｜
１， ２ Δ ｔ４ ｔ２
ｘ２ ｙ２ 因为 ｋ ｋ ２ ３ ＋１６ －１２
Ｅ
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（
ａ
＞
ｂ
＞０）
的左
、
右焦点
，
动点 Ｐ 在椭圆上
，
且
｜
｜ １－ ２｜＝
｜
ａ
｜
＝
｜
ｔ４
－４｜
，
ＰＦ 的最小值和最大值分别为 和 ． ｔ４ ｔ２ ｔ２
１ 求 ｜ 椭圆的标准方程 １ ３ 所以 ｜ ＡＢ ｜＝（ ｔ２ ＋２） ２ ｔ２ ３ ＋１６ ｔ２ －１２ ＝２ ３＋ ４ ｔ４ （７ ｔ２ －６） ＝１０，
（１） ； ( ｜（ ) －２）（ ＋２）｜ －４ ＋４
（２）
如图
，
动点Ｍ在抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝４
ｘ上
，
且在直线ｘ
＝
ａ的右
解得ｔ２ ｔ２ １４舍去 所以点Ｍ的坐标为 ．
＝４ ＝ ， （４，±４）
侧 过点Ｍ作椭圆Ｅ的两条切线分别交直线ｘ ａ于Ａ
１１
， ＝－ ，
Ｂ两点 当 ＡＢ 时 求点Ｍ的坐标．
， ｜ ｜＝１０ ，
学生用书Ｐ１７１
１．（２０２１ ５·３原创题）已知椭圆 Ｃ 的焦点为 Ｆ Ｆ
１（－２，０）、 ２（２，
过Ｆ 的直线交椭圆 Ｃ 于 Ａ Ｂ 两点 若 ＡＦ ＢＦ
０）， １ 、 ， ｜ １｜ ＝３｜ １｜，
ＡＢ ＡＦ 则椭圆Ｃ的方程为
｜ ｜＝｜ ２｜， （ ）
ｘ２ ｘ２ ｙ２
ｙ２
Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１
５ ６ ２
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１
７ ３ ８ ４
１． 答案 Ｃ
３ １ １６
２．（２０２１ ５·３原创题）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
点Ｍ 是椭
Ａ． ３ Ｂ．
２
Ｃ．
２
Ｄ．
５
： ＋ ＝１， （－２，１） ２． 答案 Ｄ
１２ ３
圆内一点 过点Ｍ作两条斜率存在且互相垂直的动直线ｌ ｌ ｘ２ ｙ２
， １， ２， ３．（２０２１ ５·３原创题）椭圆Ｃ 过Ｐ 的直线ｌ交
设ｌ 与椭圆Ｃ相交于点Ａ Ｂ ｌ 与椭圆相交于点Ｄ Ｅ 如图 ： ＋ ＝１， （１，０）
１ ， ， ２ ， ， ， ９ ５
则Ａ→Ｄ
·
Ｅ→Ｂ的最小值为
（ ）
椭圆Ｃ于Ａ
、
Ｂ两点
，
则Ｆ→
１
Ａ
·
Ｆ→
１
Ｂ
（
Ｆ
１
为椭圆的左焦点
）
的取值
范围为 ．
[ ]
３． 答案 ４１
－５，
９
５ ０２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
４．（２０２１ ５·３原创题）过原点的直线ｌ与椭圆 ｘ２ ｙ２
：１６ ＋２５ ＝４００ ｔ ３
∵４ ＋３＞３，∴ －１＜－ ｔ ＜０，
交于Ａ Ｂ两点 若Ｐ 则 →ＰＡ Ｐ→Ｂ ． ４ ＋３
、 ， （６，８）， ｜ ＋ ｜＝ ｆ ｔ 的值域为
４． 答案 ∴ （ ） （－２，－１），
２０ 即Ｐ点横坐标的取值范围为 ．
５．（２０２１ ５·３原创题）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知Ａ Ｂ两点 （－２，－１）
， 、 解法二 ＰＤ ＡＤ 点Ｄ在以ＰＡ为直径的圆上．
ｘ２ ｙ２ ：∵ ⊥ ，∴
分别是椭圆Ｃ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 的右顶点和上顶点 ， Ｆ １、 Ｆ ２ 由Ｐ （ ｘ Ｐ，０） 和Ａ （２，０） 可得点Ｄ所在的圆的方程为 （ ｘ － ｘ Ｐ）·
ｘ ｙ２ ．
分别是椭圆Ｃ的左 右焦点． ＢＦ Ｆ 是一个面积为 的等边 （ －２）＋ ＝０
、 △ １ ２ ３ {ｘ２ ｙ２
三角形 Ｄ Ｅ是椭圆上异于左 右顶点的任意两点．
求椭
，
圆
、
Ｃ的标准方程
、 由
４
＋
３
＝１， 消去ｙ可得ｘ２
－（４
ｘ
Ｐ＋８）
ｘ
＋８
ｘ
Ｐ＋１２＝０
．
（１）
过Ｄ作弦ＡＤ的垂线
；
交ｘ轴于点Ｐ 求点Ｐ横坐标的取值 （
ｘ
－
ｘ
Ｐ）（
ｘ
－２）＋
ｙ２
＝０，
（２） ， ，
范围 ｘ ｘ ｘ ． ｘ ｘ ｘ ｘ １ ｘ ３ ．
； ∴ Ａ Ｄ＝８ Ｐ＋１２∵ Ａ＝２，∴ Ｄ＝４ Ｐ＋６，∴ Ｐ＝ Ｄ－
４ ２
（３） 是否存在实数 λ ， 使得Ｅ→Ｆ １＝ λ Ｄ→Ｆ １ 且Ａ→Ｄ · Ｅ→Ｆ ２＝０？ 若存 ∵ Ｄ是椭圆上异于左 、 右顶点的任意一点 ，∴ －２＜ ｘ Ｄ＜２，
在 求出λ的值 若不存在 请说明理由．
ｘ 即Ｐ点横坐标的取值范围为 ．
， ； ， ∴ －２＜ Ｐ＜－１， （－２，－１）
存在．设直线ＡＤ的斜率为ｋ．
（３）
æ ｋ２ ｋ ö
由 可知 点Ｄ的坐标为ç８ －６ １２ ÷．
（２） ， è ｋ２ ，－ ｋ２ ø
４ ＋３ ４ ＋３
ｋ
故直线ＤＦ 的方程为ｙ ４ ｘ ．
１ ＝－ ｋ２ （ ＋１）③
４ －１
ì
ï
ｘ２ ｙ２
ï ＋ ＝１，
由í４ ３
ï ｋ
５． 解析 （１） 由题意可知 ， Ｓ △ ＢＦ １ Ｆ ２ ＝ ３ ｜ Ｆ １ Ｆ ２｜ ２ ＝ ３ （２ ｃ ） ２ ＝ ３ ． î
ïｙ
＝－ ４ ｋ
４
２ －１ （
ｘ
＋１），
４ ４
ｃ ｃ ．
消去ｙ可得
（４８
ｋ４
＋４０
ｋ２
＋３）
ｘ２
＋１２８
ｋ２ｘ
－１９２
ｋ４
＋１６０
ｋ２
－１２＝０
．
∵ ＞０，∴ ＝１
ＢＦ Ｆ 是等边三角形 ａ ＢＦ Ｆ Ｆ ｃ ｘ ｘ １９２
ｋ４
－１６０
ｋ２
＋１２ （８
ｋ２
－６）（２４
ｋ２
－２）
∵ △ １ ２ ，∴ ＝｜ ２｜＝｜ １ ２｜＝２ ＝２， ∴ Ｄ Ｅ＝－ ｋ４ ｋ２ ＝－ ｋ２ ｋ２ ，
ｂ ＯＦ ＢＦ Ｆ ｃ ° ４８ ＋４０ ＋３ （４ ＋３）（１２ ＋１）
∴ ＝｜ １｜ｔａｎ∠ １ ２＝ ｔａｎ６０ ＝ ３， ｋ２ ｋ２
椭圆的标准方程为
ｘ２ ｙ２
． ∵
ｘ
Ｄ＝
８
ｋ２
－６
，∴
ｘ
Ｅ＝－
２４
ｋ２
－２
④
．
∴ ＋ ＝１ ４ ＋３ １２ ＋１
４ ３ ｋ
由 易知右顶点Ａ的坐标为 左 右焦点Ｆ Ｆ 的 将 代入 可得ｙ １２ ．
（２） （１） （２，０）， 、 １、 ２ ④ ③ Ｅ＝ ｋ２
坐标分别为 ． １２ ＋１
（－１，０），（１，０） æ ｋ２ ｋ ö
解法一 Ｄ是椭圆上异于左 右顶点的任意一点 点Ｅ的坐标为ç ２４ －２ １２ ÷．
：∵ 、 ， ∴ è－ ｋ２ ， ｋ２ ø
直线ＡＤ的斜率存在 设其为ｋ 则ｋ ． １２ ＋１ １２ ＋１
∴ ， ， ≠０
故直线ＡＤ的方程为ｙ ｋ ｘ ． Ａ→Ｄ Ｅ→Ｆ 直线ＥＦ 的斜率为 １ ．
＝ （ －２）① ∵ · ２＝０，∴ ２ － ｋ
{ｘ２ ｙ２
ｋ
由
４
＋
３
＝１，消去ｙ可得
（４
ｋ２
＋３）
ｘ２
－１６
ｋ２ｘ
＋１６
ｋ２
－１２＝０
． 由Ｅ
、
Ｆ
２
两点的坐标可知
，
直线ＥＦ
２
的斜率为
－
１
ｋ
２
２ ，
ｙ ｋ ｘ ３６ －１
＝ （ －２）， ｋ
ｘ ｘ １６
ｋ２
－１２． ｘ ｘ ８
ｋ２
－６ ． ∴ －
１
ｋ
２
２ ＝－
１
ｋ ，
解得ｋ２
＝
１ ．
∴ Ａ Ｄ＝ ｋ２ ∵ Ａ＝２，∴ Ｄ＝ ｋ２ ② ３６ －１ ２４
４ ＋３ ４ ＋３
ｋ 由椭圆的对称性可知 ｋ ６．
将 代入 可得ｙ １２ ， ＝±
② ① Ｄ＝－ ｋ２ ， １２
４ ＋３
æ ｋ２ ｋ ö 由题图 不妨取ｋ ６．
即点Ｄ的坐标为ç８ －６ １２ ÷． ， ＝－
è ｋ２ ，－ ｋ２ ø １２
４ ＋３ ４ ＋３
æ ö æ ö
∵ ＰＤ ⊥ ＡＤ ，∴ 直线ＰＤ的斜率为 － １ ｋ ， 此时Ｄ 、 Ｅ两点的坐标分别为 è ç － ３４ ， ６ ６ ø ÷ ，è ç ２ ，－ ２ ６ ø ÷ ，
１９ １９ ３ ３
∴ 直线ＰＤ的方程为ｙ － æ è ç － ４ ｋ １ ２ ２ ＋ ｋ ３ ö ø ÷ ＝－ １ ｋ æ è çｘ － ４ ８ ｋ ｋ ２ ２ ＋ － ３ ６ ö ø ÷． 则 ｜ ＤＦ １｜＝ １ ２ ９ １ ，｜ ＥＦ １｜＝ ３ ７ ，
ＥＦ
令ｙ 可求得ｘ ４
ｋ２
＋６． λ ｜ １｜ １９．
＝０， Ｐ＝－
４
ｋ２
＋３
∴ ＝
｜
ＤＦ
１｜
＝
９
ｔ
令ｔ ｋ２ ｔ 设ｆ ｔ ４ ＋６ ３ ．
＝ （ ＞０）， （ ）＝－ ｔ ＝－１－ ｔ
４ ＋３ ４ ＋３
