文档内容
押上海高考 13-16 题
集合、不等式、函数、数列、立体几何、圆锥曲线、
概率与统计
考点 4年考题 考情分析
近三年考查方向元素与集合关系的判断、集合的包含关
集合 2021年~2023年
系的判断及应用、交集及其运算。
2021年、2022年、2024年春 近四年考查方向等式与不等式性质、不等关系与不等
不等式
考 式、基本不等式及其应用
近四年考查方向函数的定义域及其求法、函数奇偶性的
2020年、2021年、2023年、
函数 性质与判断、反函数、三角函数的最值、同角三角函数
2024年春考
的基本关系、函数与方程的综合应用
近四年考查方向数列的应用、数列的极限、等差数列与
数列 2020年、2022年、2023年
等比数列的综合
2022年、2023年、2024年春 近四年考查方向异面直线的判定、空间中直线与直线的
立体几何
考 位置关系、空间中直线与平面之间的位置关系
近四年考查方向直线与圆的位置关系、曲线与方程、圆
圆锥曲线 2020年、2022年、2023年
锥曲线的轨迹问题
近两年考查互斥事件与对立事件、散点图、统计图表获
概率与统计 2023年、2024年春考
取信息
一．元素与集合关系的判断（共1小题）
1．（2023•上海）已知 ， ， ， ，若 ， ，则
A． B． C． D． ，2，
【分析】根据题意及集合的概念，即可得解．
【解答】解： ， ， ， ， ， ，．
故选： ．
【点评】本题考查集合的基本概念，属基础题．
二．集合的包含关系判断及应用（共1小题）
2．（2021•上海）已知集合 ， ， ， ，则下列关系中，正确的
是
A． B． C． D．
【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解答】解：已知集合 ， ， ， ，
解得 或 ， ，
， ， ；
则 ， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
三．交集及其运算（共1小题）
3．（2022•上海）若集合 ， ， ，则
A． ， ，0， B． ，0， C． ， D．
【分析】根据集合的运算性质计算即可．
【解答】解： ， ， ，
，0， ，
故选： ．
【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．四．等式与不等式的性质（共1小题）
4．（2022•上海）若 ，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于 ，令 ， ， ， ，满足 ，但 ，故 错误，
对于 ， ，即 ， ，
由不等式的可加性可得， ，故 正确，
对于 ，令 ， ， ， ，满足 ，但 ，故 错误，
对于 ，令 ， ， ， ，满足 ，但 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
五．不等关系与不等式（共2小题）
5．（2024•上海） ， ， ， ，下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于 ，若 ，则 ，选项不成立，故 错误；
对于 ， ， ，
由不等式的可加性可知， ，故 正确．
对于 、 ，若 ，则选项不成立，故 、 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
6．（2021•上海）已知两两不相等的 ， ， ， ， ， ，同时满足① ， ， ；
② ；③ ，以下哪个选项恒成立
A． B． C． D．【 分 析 】 设 ， ， ， 根 据 题 意 ， 则 有 ， 可 得
，通过求解 ，可得 ，可得 正确，
错误；利用作差法可得 ，而上面已证 ，因无法知道 的
正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断 ，即可得解．
【解答】解：设 ，
， ， ，
根据题意，应该有 ，
且 ，
则有 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 项正确， 错误．
， 而 上 面 已 证
，
因为不知道 的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选： ．【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．
六．基本不等式及其应用（共1小题）
7．（2022•上海）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．
【解答】解：因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，故 正确， 错误，
，当且仅当 ，即 时取等号，故 错误，
故选： ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
七．函数的定义域及其求法（共1小题）
8．（2022•上海）下列函数定义域为 的是
A． B． C． D．
【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
【解答】解： ，定义域为 ，
，定义域为 ，
，定义域为 ，
，定义域为 ．
定义域为 的是 ．
故选： ．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．八．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）
9．（2023•上海）下列函数是偶函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．
【解答】解：对于 ，由正弦函数的性质可知， 为奇函数；
对于 ，由正弦函数的性质可知， 为偶函数；
对于 ，由幂函数的性质可知， 为奇函数；
对于 ，由指数函数的性质可知， 为非奇非偶函数．
故选： ．
【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题．
10．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数
A． B． C． D．
【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
【解答】解： 在 上单调递减且为奇函数， 符合题意；
因为 在 上是增函数， 不符合题意；
， 为非奇非偶函数， 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
九．反函数（共1小题）
11．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据反函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．
【解答】解：选项 ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数， 错误，
选项 ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数， 错误，
选项 ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数， 正确，
选项 ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数， 错误，
故选： ．
【点评】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．
一十．三角函数的最值（共2小题）
12．（2023•上海）已知 ，记 在 ， 的最小值为 ，在 ， 的最小值为 ，则下列
情况不可能的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】由题意可知 ，对 分别求值，排除 ，即可得答案．
【解答】解：由给定区间可知， ．
区间 ， 与区间 ， 相邻，且区间长度相同．
取 ，则 ， ，区间 ， ，可知 ， ，故 可能；
取 ，则 ， ， ，区间 ， ， ，可知 ， ，故 可能；
取 ，则 ， ， ，区间 ， ， ，可知 ， ，故 可能．
结合选项可得，不可能的是 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题．
13．（2021•上海）已知 ，对任意的 ， ，都存在 ， ，使得成立，则下列选项中， 可能的值是
A． B． C． D．
【分析】由题意可知， ， ，即 ， ，可得 ， ，将存在任意的 ， ，
都存在 ， ，使得 成立，转化为 ， ，又由
，可得 ， ，再将选项中的值，依次代入验证，即可求
解．
【解答】解： ， ，
， ，
， ，
都存在 ， ，使得 成立，
， ，
，
， ，
在 上单调递减，
当 时， ，
，故 选项错误，
当 时， ，
，，故 选项正确，
当 时， ，
，故 选项错误，
当 时， ，
，故 选项错误．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．
一十一．同角三角函数间的基本关系（共1小题）
14．（2020•上海）“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】容易看出，由 可得出 ，而反之显然不成立，从而可得出“ ”是“
”的充分不必要条件．
【解答】解：（1）若 ，则 ，
“ “是“ “的充分条件；
（2）若 ，则 ，得不出 ，
“ ”不是“ ”的必要条件，
“ ”是“ ”的充分非必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义， ，正弦函数的图象，
考查了推理能力，属于基础题．一十二．函数与方程的综合运用（共1小题）
15．（2024•上海）现定义如下：当 时 ，若 ，则称 为延展函数．现
有，当 时， 与 均为延展函数，则以下结论
（1）存在 ， ； ， 与 有无穷个交点
（2）存在 ， ； ， 与 有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立
【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得 是周期为1的周期函数，结合一次函
数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，当 时， 与 均为延展函数，
对于①，对于 ， ，
则 是周期为1的周期函数，其值域为 ，
因为 ， 与 不会有无穷个交点，所以（1）错；
对于②，当 时，存在 使得直线 可以与 在区间 的函数部分重合，因而有无穷个
交点，所以（2）正确．
故选： ．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题．
一十三．数列的应用（共1小题）
16．（2022•上海）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列选项判断正确的是
A．若 ，则数列 是递增数列
B．若 ，则数列 是递增数列C．若数列 是递增数列，则
D．若数列 是递增数列，则
【分析】反例判断 ；反例判断 ；构造等比数列，结合等比数列的性质判断 ；推出数列公比以及数列
项的范围，即可判断 ．
【解答】解：如果数列 ，公比为 ，满足 ，但是数列 不是递增数列，所以 不正
确；
如果数列 ，公比为 ，满足 ，但是数列 不是递增数列，所以 不正确；
如果数列 ，公比为 ， ，数列 是递增数列，但是 ，所以 不
正确；
数列 是递增数列，可知 ，可得 ，所以 ，可得 正确，所以 正确；
故选： ．
【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．
一十四．数列的极限（共1小题）
17．（2020•上海）计算：
A．3 B． C． D．5
【分析】把 分子分母同时除以 ，则答案可求．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题．
一十五．等差数列与等比数列的综合（共1小题）18．（2023•上海）已知无穷数列 的各项均为实数， 为其前 项和，若对任意正整数 都有
，则下列各项中可能成立的是
A． ， ， ， ， ， 为等差数到， ， ， ， ， ， 为等比数列
B． ， ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， ， 为等差数列
C． ， ， ， ， 为等差数列， ， ， ， ， 为等比数列
D． ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， 为等差数列
【分析】由对任意正整数 ，都有 ，可以知道 ， ， ， ， 不可能为等差
数列，若 ， ，则 ，矛盾；若 ， ，当 ， ， 使得
，矛盾；若 ， ，当 ， ，必有 使得 ，矛盾；若 ，
当 ， ， 必有 使得 ，矛盾；若 ，当 ， ，
，必有 使得 ，矛盾；即可判断．
【解答】解：由对任意正整数 ，都有 ，可以知道 ， ， ， ， 不可能为
等差数列，
因为若 ，当 ， ， ，必有 使得 ，矛盾；若 ， ，则
，矛盾；
若 ， ，当 ， ， 使得 ，矛盾；若 ， ，当 ，
，必有 使得 ，矛盾；若 ，当 ， ， 必有 使得 ，矛盾；
所以选项 中的 ， ， ， ， 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项 中的 ， ， ， ， 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项 中的 ， ， ， ， 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
由排除法可得 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
一十六．异面直线的判定（共1小题）
19．（2023•上海）如图所示，在正方体 中，点 为边 上的动点，则下列直线中，始
终与直线 异面的是
A． B． C． D．
【分析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．
【解答】解：对于 ，当 是 的中点时， 与 是相交直线；
对于 ，根据异面直线的定义知， 与 是异面直线；
对于 ，当点 与 重合时， 与 是平行直线；
对于 ，当点 与 重合时， 与 是相交直线．
故选： ．
【点评】本题考查了两条直线间的位置关系应用问题，是基础题．
一十七．空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）20．（2022•上海）如图正方体 中， 、 、 、 分别为棱 、 、 、 的中
点，连接 ， ．空间任意两点 、 ，若线段 上不存在点在线段 、 上，则称 两点
可视，则下列选项中与点 可视的为
A．点 B．点 C．点 D．点
【分析】线段 上不存在点在线段 、 上，即直线 与线段 、 不相交，因此所求与
可视的点，即求哪条线段不与线段 、 相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断．
【解答】解：线段 上不存在点在线段 、 上，即直线 与线段 、 不相交，
因此所求与 可视的点，即求哪条线段不与线段 、 相交，
对 选项，如图，连接 、 、 ，因为 、 分别为 、 的中点，
易证 ，故 、 、 、 四点共面， 与 相交， 错误；对 、 选项，如图，连接 、 ，易证 、 、 、 四点共面，
故 、 都与 相交， 、 错误；
对 选项，连接 ，由 选项分析知 、 、 、 四点共面记为平面 ，
平面 ， 平面 ，且 平面 ，点 ，
与 为异面直线，
同理由 ， 选项的分析知 、 、 、 四点共面记为平面 ，
平面 ， 平面 ，且 平面 ，点 ，
与 为异面直线，
故 与 ， 都没有公共点， 选项正确．故选： ．
【点评】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题．
21．（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧
面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为
A．0 B．2 C．4 D．12
【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．
【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，
每天0点至12点（包含0点，不含12点），
相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，
故选： ．
【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证
能力，是中档题．
一十八．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）
22．（2024•上海）空间中有两个不同的平面 ， 和两条不同的直线 ， ，则下列说法中正确的是
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【分析】根据题意，由直线与平面平行、垂直的性质分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，若 ， ，则 或 ，又 ，所以 ，故 正确；
对于 ，若 ， ，则 或 ，由 ，则 与 斜交、垂直、平行均有可能，故 错
误；
对于 ，若 ， ，则 或 ，由 ，则 与 相交、平行、异面均有可能，故 错
误；
对于 ，若 ， ，则 或 ，又 ，则 或 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查空间直线与平面间的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的判断，属于基础题．
一十九．直线与圆的位置关系（共1小题）
23．（2022•上海）设集合 ， ，
①存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在 两侧；
②存在直线 ，使得集合 中存在无数点在 上；
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【分析】分 ， ， ，求出动点的轨迹，即可判定．
【解答】解：当 时，集合 ， ， ，
当 时，集合 ， ， ，
表示圆心为 ，半径为 的圆，
圆的圆心在直线 上，半径 单调递增，
相邻两个圆的圆心距 ，相邻两个圆的半径之和为，
因为 有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当 时，同 的情况，故存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在 两侧，故①正确，
若直线 斜率不存在，显然不成立，
设直线 ，若考虑直线 与圆 的焦点个数，
， ，
给定 ， ，当 足够大时，均有 ，
故直线 只与有限个圆相交，②错误．
故选： ．
【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．
二十．曲线与方程（共1小题）
24．（2023•上海）已知 ， 是曲线 上两点，若存在 点，使得曲线 上任意一点 都存在 使得
，则称曲线 是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②
存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【分析】根据定义结合图象，验证 是否恒成立即可．
【解答】解： 椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的 点，使得 成立，故①正确，
在双曲线中， ， ，当 时， 点不存在；
当 ， 时， ，
但当 ，此时 ，这与 矛盾，故②错误．
故选： ．【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证 是否成立是解决
本题的关键，是中档题．
二十一．圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）
25．（2020•上海）已知椭圆 ，作垂直于 轴的垂线交椭圆于 、 两点，作垂直于 轴的垂线
交椭圆于 、 两点，且 ，两垂线相交于点 ，则点 的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可．
【解答】解： ， ，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，
设 ， ，
所以 ，
因为 ， ，消去 可得： ，
故选： ．
【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题．
二十二．互斥事件与对立事件（共1小题）
26．（2024•上海）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼
品都有，现从中任选一个盒子，设事件 ：所选盒中有中国结，事件 ：所选盒中有记事本，事件 ：所
选盒中有笔袋，则
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 互斥 D．事件 与事件 相互独立【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．
【解答】解：选项 ，事件 和事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事
件 与事件 不互斥， 错误；
选项 ， （A） ， （B） ， ， （A） （B） ， 正确；
选项 ，事件 与事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋， 错
误；
选项 ， （A） ， ， ， （A） ，
与 不独立，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，考查互斥事件的定义，属于基础题．
二十三．散点图（共1小题）
27．（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是
A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关
【分析】根据散点图的分布情况，即可得解．
【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．
故选： ．
【点评】本题考查线性相关的概念，属基础题．
二十四．统计图表获取信息（共1小题）28．（2023•上海）如图为 年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额
描述错误的是
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
【分析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．
【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大， 对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故 对；
2020年相对于2019的进口总额是减少的，故 错；
显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，
且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查统计图的识图问题，以及增长率的计算，属于中档题．
一．元素与集合关系的判断
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，
b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：
a A或a A．
2∈、集合中∉元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属
于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的
总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个
特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
二．集合的包含关系判断及应用
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B； 如果集合A
是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，⊆即A B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A⊂的元素，那
么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义
域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
三．交集及其运算
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝（⊆ A）∪（ B）⇔． ⊆
U U U U
∅ ∁ ∅ ∁ ∁ ∁【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混
用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联
合命题．
四．等式与不等式的性质
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等⇔式的基本性质
①对称性：a＞b b＜a；
②传递性：a＞b⇔，b＞c a＞c；
③可加性：a＞b a+c＞⇒b+c．
④同向可加性：⇒a＞b，c＞d a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0 ac＞⇒bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞⇒b＞0，c＞d＞0 ac＞⇒bd；
⑦平方法则：a＞b＞0 an＞bn（n N，且⇒n＞1）；
⇒ ∈
⑧开方法则：a＞b＞0 （ n N，且n＞1）．
五．不等关系与不等式⇒ ∈
不等式定理
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；⇔如果a＜b，那么b⇒＞a． ⇔
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
六、基本不等式及其应用
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)≥ (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
七．函数的定义域及其求法
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅
要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一
函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解
集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则 f 下的量
“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域
应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
八．函数单调性的性质与判断
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x ，x ，
1 2
当x ＜x 时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x ＞x 时，都有f
1 2 1 2 1 2
（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
1 2若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区
间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考
虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选
择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，
主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思
想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取
值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
九．函数奇偶性的性质与判断
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
十．反函数
定义
一般地，设函数y＝f（x）（x A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g
（y）．若对于y在中的任何一∈个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）
就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y C）叫做函数y＝f（x）（x A）的
反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分∈别是函数y＝f（x）的值域、∈定义域．
性质
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对
称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则
函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，
被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是
奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
十一、三角函数的最值
形如 (或 )型
可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论
2、形如 (或 型
（1）先由定义域求得 的范围
（2）求得 (或 )的范围，最后求得最值
3、形如 型
引入辅助角转化为 ，其中 ，再利用三角函数的单调性求最值。4、形如 或 型，
可利用换元思想，设 或 ，转化为二次函数 求最值，
t的范围需要根据定义域来确定．
5、形如 型
利用 和 的关系，通过换元法转换成二次函数求值域
6、分式型三角函数值域
（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；
（2）判别式法
十二．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝±.
(2)商的关系：
＝tan α.
十三．函数与方程的综合运用
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系
入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后
通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决
问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式
和不等式．
十四．数列的应用
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
十五．数列的极限
1、数列极限的定义：对于数列 ，如果存在一个常数 ，无论预先指定多么小的正数 ，都能在数列
找到一项 ，使得 时， 恒成立，则 ；
2、三个最基本的极限：（1）常数数列的极限就是其本身，即： ；（2） ；（3）当
时， ；当 时，若 ，则 ；若 ，则 不存在；
当 时， 不存在。这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。【注意】：它们是极限运算的基础，但是要区别，如果 是收敛的等比数列的公比时， 。
lim
3 、 极 限 的 运 算 法 则 ： 如 果 ， n→∞b
n
＝ B ， 那 么 ，
，
；
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况；例如，若 ， ， 有极限，
则： ；
特别地，如果 是常数，那么
十六．等差数列与等比数列的综合
(1)等差、等比数列{a}的常用性质
n
等差数列 等比数列
①若m，n，p，q∈N*，且m
①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝
＋n＝p＋q，则a ＋ a ＝ a＋
m n p
s＋t，则a · a ＝ a · a ；
m n s t
a；
q
性质 ②a＝a · q n － m ；
n m
②a＝a ＋ ( n － m ) d；
n m
③S ，S －S ，S －S ，…仍成
m 2m m 3m 2m
③S ，S －S ，S －S ，…
m 2m m 3m 2m
等比数列(S ≠0)
m
仍成等差数列
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
a
n＋1
－a
n
＝d(常数)(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
②通项公式法
a＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列；
n n
③中项公式法
2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
④前n项和公式法
S＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列．
n n
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n
②通项公式法
a＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n n
③中项公式法
a＝a
n
·a
n＋2
(a
n
≠0，n∈N*)⇔{a
n
}是等比数列．
十七．异面直线的判定
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
十八．空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
直线在平面内 有无数个公共点 a
⊂α
直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩ ＝A
α
直线和平面平行 无 a∥
α
十九、直线与圆的位置关系
(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d
