文档文本内容
押上海高考 13-16 题
集合、不等式、函数、数列、立体几何、圆锥曲线、
概率与统计
考点 4年考题 考情分析
近三年考查方向元素与集合关系的判断、集合的包含关
集合 2021年~2023年
系的判断及应用、交集及其运算。
2021年、2022年、2024年春 近四年考查方向等式与不等式性质、不等关系与不等
不等式
考 式、基本不等式及其应用
近四年考查方向函数的定义域及其求法、函数奇偶性的
2020年、2021年、2023年、
函数 性质与判断、反函数、三角函数的最值、同角三角函数
2024年春考
的基本关系、函数与方程的综合应用
近四年考查方向数列的应用、数列的极限、等差数列与
数列 2020年、2022年、2023年
等比数列的综合
2022年、2023年、2024年春 近四年考查方向异面直线的判定、空间中直线与直线的
立体几何
考 位置关系、空间中直线与平面之间的位置关系
近四年考查方向直线与圆的位置关系、曲线与方程、圆
圆锥曲线 2020年、2022年、2023年
锥曲线的轨迹问题
近两年考查互斥事件与对立事件、散点图、统计图表获
概率与统计 2023年、2024年春考
取信息
一．元素与集合关系的判断（共1小题）
1．（2023•上海）已知 ， ， ， ，若 ， ，则
A． B． C． D． ，2，
【分析】根据题意及集合的概念，即可得解．
【解答】解： ， ， ， ， ， ，．
故选： ．
【点评】本题考查集合的基本概念，属基础题．
二．集合的包含关系判断及应用（共1小题）
2．（2021•上海）已知集合 ， ， ， ，则下列关系中，正确的
是
A． B． C． D．
【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解答】解：已知集合 ， ， ， ，
解得 或 ， ，
， ， ；
则 ， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
三．交集及其运算（共1小题）
3．（2022•上海）若集合 ， ， ，则
A． ， ，0， B． ，0， C． ， D．
【分析】根据集合的运算性质计算即可．
【解答】解： ， ， ，
，0， ，
故选： ．
【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．四．等式与不等式的性质（共1小题）
4．（2022•上海）若 ，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于 ，令 ， ， ， ，满足 ，但 ，故 错误，
对于 ， ，即 ， ，
由不等式的可加性可得， ，故 正确，
对于 ，令 ， ， ， ，满足 ，但 ，故 错误，
对于 ，令 ， ， ， ，满足 ，但 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
五．不等关系与不等式（共2小题）
5．（2024•上海） ， ， ， ，下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于 ，若 ，则 ，选项不成立，故 错误；
对于 ， ， ，
由不等式的可加性可知， ，故 正确．
对于 、 ，若 ，则选项不成立，故 、 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
6．（2021•上海）已知两两不相等的 ， ， ， ， ， ，同时满足① ， ， ；
② ；③ ，以下哪个选项恒成立
A． B． C． D．【 分 析 】 设 ， ， ， 根 据 题 意 ， 则 有 ， 可 得
，通过求解 ，可得 ，可得 正确，
错误；利用作差法可得 ，而上面已证 ，因无法知道 的
正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断 ，即可得解．
【解答】解：设 ，
， ， ，
根据题意，应该有 ，
且 ，
则有 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 项正确， 错误．
， 而 上 面 已 证
，
因为不知道 的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选： ．【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．
六．基本不等式及其应用（共1小题）
7．（2022•上海）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．
【解答】解：因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，故 正确， 错误，
，当且仅当 ，即 时取等号，故 错误，
故选： ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
七．函数的定义域及其求法（共1小题）
8．（2022•上海）下列函数定义域为 的是
A． B． C． D．
【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
【解答】解： ，定义域为 ，
，定义域为 ，
，定义域为 ，
，定义域为 ．
定义域为 的是 ．
故选： ．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．八．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）
9．（2023•上海）下列函数是偶函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．
【解答】解：对于 ，由正弦函数的性质可知， 为奇函数；
对于 ，由正弦函数的性质可知， 为偶函数；
对于 ，由幂函数的性质可知， 为奇函数；
对于 ，由指数函数的性质可知， 为非奇非偶函数．
故选： ．
【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题．
10．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数
A． B． C． D．
【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
【解答】解： 在 上单调递减且为奇函数， 符合题意；
因为 在 上是增函数， 不符合题意；
， 为非奇非偶函数， 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
九．反函数（共1小题）
11．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据反函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．
【解答】解：选项 ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数， 错误，
选项 ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数， 错误，
选项 ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数， 正确，
选项 ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数， 错误，
故选： ．
【点评】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．
一十．三角函数的最值（共2小题）
12．（2023•上海）已知 ，记 在 ， 的最小值为 ，在 ， 的最小值为 ，则下列
情况不可能的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】由题意可知 ，对 分别求值，排除 ，即可得答案．
【解答】解：由给定区间可知， ．
区间 ， 与区间 ， 相邻，且区间长度相同．
取 ，则 ， ，区间 ， ，可知 ， ，故 可能；
取 ，则 ， ， ，区间 ， ， ，可知 ， ，故 可能；
取 ，则 ， ， ，区间 ， ， ，可知 ， ，故 可能．
结合选项可得，不可能的是 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题．
13．（2021•上海）已知 ，对任意的 ， ，都存在 ， ，使得成立，则下列选项中， 可能的值是
A． B． C． D．
【分析】由题意可知， ， ，即 ， ，可得 ， ，将存在任意的 ， ，
都存在 ， ，使得 成立，转化为 ， ，又由
，可得 ， ，再将选项中的值，依次代入验证，即可求
解．
【解答】解： ， ，
， ，
， ，
都存在 ， ，使得 成立，
， ，
，
， ，
在 上单调递减，
当 时， ，
，故 选项错误，
当 时， ，
，，故 选项正确，
当 时， ，
，故 选项错误，
当 时， ，
，故 选项错误．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．
一十一．同角三角函数间的基本关系（共1小题）
14．（2020•上海）“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】容易看出，由 可得出 ，而反之显然不成立，从而可得出“ ”是“
”的充分不必要条件．
【解答】解：（1）若 ，则 ，
“ “是“ “的充分条件；
（2）若 ，则 ，得不出 ，
“ ”不是“ ”的必要条件，
“ ”是“ ”的充分非必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义， ，正弦函数的图象，
考查了推理能力，属于基础题．一十二．函数与方程的综合运用（共1小题）
15．（2024•上海）现定义如下：当 时 ，若 ，则称 为延展函数．现
有，当 时， 与 均为延展函数，则以下结论
（1）存在 ， ； ， 与 有无穷个交点
（2）存在 ， ； ， 与 有无穷个交点
A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立
【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得 是周期为1的周期函数，结合一次函
数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，当 时， 与 均为延展函数，
对于①，对于 ， ，
则 是周期为1的周期函数，其值域为 ，
因为 ， 与 不会有无穷个交点，所以（1）错；
对于②，当 时，存在 使得直线 可以与 在区间 的函数部分重合，因而有无穷个
交点，所以（2）正确．
故选： ．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题．
一十三．数列的应用（共1小题）
16．（2022•上海）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列选项判断正确的是
A．若 ，则数列 是递增数列
B．若 ，则数列 是递增数列C．若数列 是递增数列，则
D．若数列 是递增数列，则
【分析】反例判断 ；反例判断 ；构造等比数列，结合等比数列的性质判断 ；推出数列公比以及数列
项的范围，即可判断 ．
【解答】解：如果数列 ，公比为 ，满足 ，但是数列 不是递增数列，所以 不正
确；
如果数列 ，公比为 ，满足 ，但是数列 不是递增数列，所以 不正确；
如果数列 ，公比为 ， ，数列 是递增数列，但是 ，所以 不
正确；
数列 是递增数列，可知 ，可得 ，所以 ，可得 正确，所以 正确；
故选： ．
【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．
一十四．数列的极限（共1小题）
17．（2020•上海）计算：
A．3 B． C． D．5
【分析】把 分子分母同时除以 ，则答案可求．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题．
一十五．等差数列与等比数列的综合（共1小题）18．（2023•上海）已知无穷数列 的各项均为实数， 为其前 项和，若对任意正整数 都有
，则下列各项中可能成立的是
A． ， ， ， ， ， 为等差数到， ， ， ， ， ， 为等比数列
B． ， ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， ， 为等差数列
C． ， ， ， ， 为等差数列， ， ， ， ， 为等比数列
D． ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， 为等差数列
【分析】由对任意正整数 ，都有 ，可以知道 ， ， ， ， 不可能为等差
数列，若 ， ，则 ，矛盾；若 ， ，当 ， ， 使得
，矛盾；若 ， ，当 ， ，必有 使得 ，矛盾；若 ，
当 ， ， 必有 使得 ，矛盾；若 ，当 ， ，
，必有 使得 ，矛盾；即可判断．
【解答】解：由对任意正整数 ，都有 ，可以知道 ， ， ， ， 不可能为
等差数列，
因为若 ，当 ， ， ，必有 使得 ，矛盾；若 ， ，则
，矛盾；
若 ， ，当 ， ， 使得 ，矛盾；若 ， ，当 ，
，必有 使得 ，矛盾；若 ，当 ， ， 必有 使得 ，矛盾；
所以选项 中的 ， ， ， ， 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项 中的 ， ， ， ， 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项 中的 ， ， ， ， 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
由排除法可得 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
一十六．异面直线的判定（共1小题）
19．（2023•上海）如图所示，在正方体 中，点 为边 上的动点，则下列直线中，始
终与直线 异面的是
A． B． C． D．
【分析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．
【解答】解：对于 ，当 是 的中点时， 与 是相交直线；
对于 ，根据异面直线的定义知， 与 是异面直线；
对于 ，当点 与 重合时， 与 是平行直线；
对于 ，当点 与 重合时， 与 是相交直线．
故选： ．
【点评】本题考查了两条直线间的位置关系应用问题，是基础题．
一十七．空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）20．（2022•上海）如图正方体 中， 、 、 、 分别为棱 、 、 、 的中
点，连接 ， ．空间任意两点 、 ，若线段 上不存在点在线段 、 上，则称 两点
可视，则下列选项中与点 可视的为
A．点 B．点 C．点 D．点
【分析】线段 上不存在点在线段 、 上，即直线 与线段 、 不相交，因此所求与
可视的点，即求哪条线段不与线段 、 相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断．
【解答】解：线段 上不存在点在线段 、 上，即直线 与线段 、 不相交，
因此所求与 可视的点，即求哪条线段不与线段 、 相交，
对 选项，如图，连接 、 、 ，因为 、 分别为 、 的中点，
易证 ，故 、 、 、 四点共面， 与 相交， 错误；对 、 选项，如图，连接 、 ，易证 、 、 、 四点共面，
故 、 都与 相交， 、 错误；
对 选项，连接 ，由 选项分析知 、 、 、 四点共面记为平面 ，
平面 ， 平面 ，且 平面 ，点 ，
与 为异面直线，
同理由 ， 选项的分析知 、 、 、 四点共面记为平面 ，
平面 ， 平面 ，且 平面 ，点 ，
与 为异面直线，
故 与 ， 都没有公共点， 选项正确．故选： ．
【点评】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题．
21．（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧
面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为
A．0 B．2 C．4 D．12
【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．
【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，
每天0点至12点（包含0点，不含12点），
相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，
故选： ．
【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证
能力，是中档题．
一十八．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）
22．（2024•上海）空间中有两个不同的平面 ， 和两条不同的直线 ， ，则下列说法中正确的是
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【分析】根据题意，由直线与平面平行、垂直的性质分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，若 ， ，则 或 ，又 ，所以 ，故 正确；
对于 ，若 ， ，则 或 ，由 ，则 与 斜交、垂直、平行均有可能，故 错
误；
对于 ，若 ， ，则 或 ，由 ，则 与 相交、平行、异面均有可能，故 错
误；
对于 ，若 ， ，则 或 ，又 ，则 或 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查空间直线与平面间的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的判断，属于基础题．
一十九．直线与圆的位置关系（共1小题）
23．（2022•上海）设集合 ， ，
①存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在 两侧；
②存在直线 ，使得集合 中存在无数点在 上；
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【分析】分 ， ， ，求出动点的轨迹，即可判定．
【解答】解：当 时，集合 ， ， ，
当 时，集合 ， ， ，
表示圆心为 ，半径为 的圆，
圆的圆心在直线 上，半径 单调递增，
相邻两个圆的圆心距 ，相邻两个圆的半径之和为，
因为 有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当 时，同 的情况，故存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在 两侧，故①正确，
若直线 斜率不存在，显然不成立，
设直线 ，若考虑直线 与圆 的焦点个数，
， ，
给定 ， ，当 足够大时，均有 ，
故直线 只与有限个圆相交，②错误．
故选： ．
【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．
二十．曲线与方程（共1小题）
24．（2023•上海）已知 ， 是曲线 上两点，若存在 点，使得曲线 上任意一点 都存在 使得
，则称曲线 是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②
存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【分析】根据定义结合图象，验证 是否恒成立即可．
【解答】解： 椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的 点，使得 成立，故①正确，
在双曲线中， ， ，当 时， 点不存在；
当 ， 时， ，
但当 ，此时 ，这与 矛盾，故②错误．
故选： ．【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证 是否成立是解决
本题的关键，是中档题．
二十一．圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）
25．（2020•上海）已知椭圆 ，作垂直于 轴的垂线交椭圆于 、 两点，作垂直于 轴的垂线
交椭圆于 、 两点，且 ，两垂线相交于点 ，则点 的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可．
【解答】解： ， ，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，
设 ， ，
所以 ，
因为 ， ，消去 可得： ，
故选： ．
【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题．
二十二．互斥事件与对立事件（共1小题）
26．（2024•上海）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼
品都有，现从中任选一个盒子，设事件 ：所选盒中有中国结，事件 ：所选盒中有记事本，事件 ：所
选盒中有笔袋，则
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 互斥 D．事件 与事件 相互独立【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．
【解答】解：选项 ，事件 和事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事
件 与事件 不互斥， 错误；
选项 ， （A） ， （B） ， ， （A） （B） ， 正确；
选项 ，事件 与事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋， 错
误；
选项 ， （A） ， ， ， （A） ，
与 不独立，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，考查互斥事件的定义，属于基础题．
二十三．散点图（共1小题）
27．（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是
A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关
【分析】根据散点图的分布情况，即可得解．
【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．
故选： ．
【点评】本题考查线性相关的概念，属基础题．
二十四．统计图表获取信息（共1小题）28．（2023•上海）如图为 年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额
描述错误的是
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
【分析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．
【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大， 对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故 对；
2020年相对于2019的进口总额是减少的，故 错；
显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，
且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查统计图的识图问题，以及增长率的计算，属于中档题．
一．元素与集合关系的判断
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，
b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：
a A或a A．
2∈、集合中∉元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属
于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的
总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个
特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
二．集合的包含关系判断及应用
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B； 如果集合A
是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，⊆即A B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A⊂的元素，那
么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义
域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
三．交集及其运算
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝（⊆ A）∪（ B）⇔． ⊆
U U U U
∅ ∁ ∅ ∁ ∁ ∁【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混
用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联
合命题．
四．等式与不等式的性质
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等⇔式的基本性质
①对称性：a＞b b＜a；
②传递性：a＞b⇔，b＞c a＞c；
③可加性：a＞b a+c＞⇒b+c．
④同向可加性：⇒a＞b，c＞d a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0 ac＞⇒bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞⇒b＞0，c＞d＞0 ac＞⇒bd；
⑦平方法则：a＞b＞0 an＞bn（n N，且⇒n＞1）；
⇒ ∈
⑧开方法则：a＞b＞0 （ n N，且n＞1）．
五．不等关系与不等式⇒ ∈
不等式定理
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；⇔如果a＜b，那么b⇒＞a． ⇔
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
六、基本不等式及其应用
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)≥ (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
七．函数的定义域及其求法
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅
要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一
函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解
集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则 f 下的量
“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域
应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
八．函数单调性的性质与判断
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x ，x ，
1 2
当x ＜x 时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x ＞x 时，都有f
1 2 1 2 1 2
（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
1 2若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区
间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考
虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选
择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，
主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思
想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取
值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
九．函数奇偶性的性质与判断
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
十．反函数
定义
一般地，设函数y＝f（x）（x A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g
（y）．若对于y在中的任何一∈个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）
就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y C）叫做函数y＝f（x）（x A）的
反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分∈别是函数y＝f（x）的值域、∈定义域．
性质
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对
称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则
函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，
被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是
奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
十一、三角函数的最值
形如 (或 )型
可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论
2、形如 (或 型
（1）先由定义域求得 的范围
（2）求得 (或 )的范围，最后求得最值
3、形如 型
引入辅助角转化为 ，其中 ，再利用三角函数的单调性求最值。4、形如 或 型，
可利用换元思想，设 或 ，转化为二次函数 求最值，
t的范围需要根据定义域来确定．
5、形如 型
利用 和 的关系，通过换元法转换成二次函数求值域
6、分式型三角函数值域
（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；
（2）判别式法
十二．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝±.
(2)商的关系：
＝tan α.
十三．函数与方程的综合运用
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系
入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后
通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决
问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式
和不等式．
十四．数列的应用
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
十五．数列的极限
1、数列极限的定义：对于数列 ，如果存在一个常数 ，无论预先指定多么小的正数 ，都能在数列
找到一项 ，使得 时， 恒成立，则 ；
2、三个最基本的极限：（1）常数数列的极限就是其本身，即： ；（2） ；（3）当
时， ；当 时，若 ，则 ；若 ，则 不存在；
当 时， 不存在。这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。【注意】：它们是极限运算的基础，但是要区别，如果 是收敛的等比数列的公比时， 。
lim
3 、 极 限 的 运 算 法 则 ： 如 果 ， n→∞b
n
＝ B ， 那 么 ，
，
；
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况；例如，若 ， ， 有极限，
则： ；
特别地，如果 是常数，那么
十六．等差数列与等比数列的综合
(1)等差、等比数列{a}的常用性质
n
等差数列 等比数列
①若m，n，p，q∈N*，且m
①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝
＋n＝p＋q，则a ＋ a ＝ a＋
m n p
s＋t，则a · a ＝ a · a ；
m n s t
a；
q
性质 ②a＝a · q n － m ；
n m
②a＝a ＋ ( n － m ) d；
n m
③S ，S －S ，S －S ，…仍成
m 2m m 3m 2m
③S ，S －S ，S －S ，…
m 2m m 3m 2m
等比数列(S ≠0)
m
仍成等差数列
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
a
n＋1
－a
n
＝d(常数)(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
②通项公式法
a＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列；
n n
③中项公式法
2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
④前n项和公式法
S＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列．
n n
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n
②通项公式法
a＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n n
③中项公式法
a＝a
n
·a
n＋2
(a
n
≠0，n∈N*)⇔{a
n
}是等比数列．
十七．异面直线的判定
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
十八．空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
直线在平面内 有无数个公共点 a
⊂α
直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩ ＝A
α
直线和平面平行 无 a∥
α
十九、直线与圆的位置关系
(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d<r
二十．曲线与方程
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐
标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键
是要找到各变量的等量关系．
【命题方向】
这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、
抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．
二十一．圆锥曲线的轨迹问题
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．
（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹
方程．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定
义直接探求．
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参
数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．
2、求轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；
（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；
（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．
二十二．互斥事件与对立事件
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A ，A ，…，A 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A ，A ，…A 彼此互斥．
1 2 n 1 2 n（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A ，A ，…，A 彼此互斥，那么事件发生（即A ，A ，…，A 中有一个发生）的
1 2 n 1 2 n
概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A +A +…+A ）＝P（A ）+P（A ）+…+P（A ）
1 2 n 1 2 n
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件 A的对立事件记做 ．
注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A与 只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（ ）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必
须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对
立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
二十三．散点图1．散点图的概念：
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这
些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
2．曲线拟合的概念：
从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用
一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．
3．正相关和负相关：
（1）正相关：对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，
这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到右上角的区域内．
（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关
时散点图的点散布在从左上角到右下角的区域．
3、注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找
出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，
如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条
直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变
量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系．
4、散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形
态反映变量统计关系的一种图形．特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势．优点是
能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的
关系．散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度．
二十四．统计图表获取信息
统计图表反映了被描述对象的重要内容和数据情况，它简单明了，有利于我们把握数据的特点，统计图还
能直观、生动地传递信息．
【解题方法点拨】
由统计图表获取信息的步骤：
一、看统计图表特征；
二、读统计图表数据信息并进行分析；
三、寻找出统计图表中数据的变化趋势或规律；
四、对统计图表的数据与信息作分析、推测，为对解决问题作出合理的判断提供依据．
注意：①要避免统计图的误导，首先要仔细观察统计图，其次要关注数据的来源、收集方式及描述形式，
这样才能获得准确的信息；②对数据的收集、整理等一定要重视它的普遍性、代表性、公正性，不能以点带面，以偏概全，夸大局部
的作用．
【命题方向】
能正确解读统计图表，从中获取必要、准确的信息，并进站简单的决策；处理生活中常见的不规范统计图
带来的错误信息，提高对统计图表的认识能力．
一．集合的包含关系判断及应用（共3小题）
1．（2024•浦东新区校级模拟）函数 ，其中 、 为实数集 的两个非空子集，又规
定 ， ， ， ．给出下列四个判断，其中正确判断有
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由函数的表达式知，可借助两个函数 与 图象来研究，分析可得答案．
【解答】解：由题意知函数 、 的图象如图所示，
设 ， ， ， ，
， ， ，
， ，则 ．
而 ， ，故①错误．对于②，若 ， ， ，则 ， ， ， ，
则 ，故②错误．
设 ， ， ， ，
，则 ．
， ， ， ，
， ，故③错误．
④由③的判断知，当 ，则 是正确的．故④对．
故选： ．
【点评】考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉
络，故研究时借用两个函数的图象，借助图形的直观来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题
常用的一种思路．
2．（2024•徐汇区校级模拟）已知集合 ， ，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
【分析】先求出集合 ，再根据交集和补集的定义结合集合间的关系逐一判断即可．
【解答】解： 或 ，
则集合 ， 不具有包含关系，故 错误；
，故 错误；， ，则 ， 不具有包含关系，故 错误；
，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的交集和补集的运算，属于基础题．
3．（2024•闵行区校级二模）已知集合 ， ， ， ，
， ，若 ，则 、 之间的关系是
A． B． C． D．
【分析】先设出复数 ，利用复数相等的定义得到集合 看成复平面上直线上的点，集合 可看成复平面
上圆的点集，若 即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．
【解答】解：设 ，则
化简整理得， 即，集合 可看成复平面上直线上的点，
集合 可看成复平面上圆的点集，若 即直线与圆没有交点，
，即
故选： ．
【点评】本题属于以复数为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．
二．交集及其运算（共1小题）
4．（2024•松江区二模）已知集合 ， ， ，则
A． ， B． ， C． ，1， D． ，2，
【分析】利用集合的交集运算求解．
【解答】解： 集合 ， ， ，，2， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
三．等式与不等式的性质（共2小题）
5．（2024•浦东新区校级模拟）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据 和 的关系，通过移项，化简，平方依次判断选项是否正确．
【解答】解：由 ，且 知 ，则 ，故 错误；
，故 错误；
由 得 ，即 ，故 错误；
，即 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
6．（2024•崇明区二模）若 ， ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【解答】解： ， ，
， 与 大小关系不确定， ， 与 的大小关系不确定．
则下列不等式成立的是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
四．不等关系与不等式（共1小题）
7．（2024•杨浦区二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是A． B． C． D．
【分析】 可举出反例，可根据不等式的基本性质检验选项 ．
【解答】解：不妨设 ， ， ， ，此时 ， 错误，
， 错误；
因为 ， ，根据不等式的基本性质，同向可加性得到： ， 正确；
， ， ， 时， ， 显然错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
五．基本不等式及其应用（共3小题）
8．（2024•黄浦区校级模拟）若 ， ，且 ，则下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式 的使用条件是 ， ．
【解答】解：对于 ； （当且仅当 时，取得等号），所以 错误；
对于 ， ，虽然 ，只能说明 ， 同号，若 ， 都小于0时，所以 ， 错；
，
（当且仅当 时，取得等号）．
故选： ．
【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．
9．（2024•青浦区二模）函数 的最小值是
A．4 B．5 C． D．
【分析】利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：因为函数 ，
而 ，当且仅当 时，等号成立，此时 ，因为 ，
所以 时，函数 的最小值是 ．
故选： ．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
10．（2024•浦东新区二模）已知 ，则下列结论不恒成立的是
A． B．
C． D．
【分析】配方即可判断 的正误； 时， 不成立；根据绝对值不等式 可判断 的正
误；根据基本不等式可判断 的正误．
【解答】解： ， 恒成立；
时， ， 不恒成立；
， 恒成立；
，当且仅当 时取等号， 恒成立．
故选： ．
【点评】本题考查了配方求二次函数最值的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式 的应
用，是基础题．
六．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）
11．（2024•闵行区二模）已知 ， 为奇函数，当 时， ，则集合
可表示为
A． B．C． ， ， D． ， ，
【分析】根据函数的奇偶性求得 时， ，再分别求解不等式即可得到结论．
【解答】解：因为 ， 为奇函数，当 时， ，
当 时， ，可得 ，即 时， ，
所以 ，即 ，可得 ，
当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ．
故集合 ， ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
12．（2024•徐汇区模拟）在下列函数中，值域为 的偶函数是
A． B． C． D．
【分析】利用基本初等函数的奇偶性质判断即可．
【解答】解：由基本初等函数的性质，可得 为奇函数， 为奇函数， 错误；
又 （当且仅当 时取等号），故 的值域为 ， ， 错误；
又 为偶函数，当 时， ，故 的值域为 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
七．三角函数的最值（共1小题）
13．（2024•崇明区二模）设函数 ，若对于任意 ，在区间 ， 上总存在唯一确定的 ，使得 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【分析】由三角函数图象的单调性得：因为 ， ， ，所以 ，
所以 ， ，即 ， ，
由三角函数的最值得：在区间 ， 上总存在唯一确定的 ，使得 ，则在区间 ， 上
总存在唯一确定的 ，使得 ， ，由函数 在 ， 为增函数，值域为： ， ，又
，即 ，故 的最小值为： ，得解．
【解答】解：因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ， ，即 ， ，
由在区间 ， 上总存在唯一确定的 ，使得 ，
则在区间 ， 上总存在唯一确定的 ，使得 ， ，
由函数 在 ， 为增函数，值域为： ， ，又 ，
即 ，故 的最小值为： ，
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题．
八．空间中直线与平面之间的位置关系（共5小题）
14．（2024•宝山区二模）已知直线 、 、 与平面 、 ，下列命题正确的是
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则C．若 ， 则 D．若 ， ，则
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ， 与 可能平行，也可能异面， 错误；
对于 ， 与 可能平行、也能相交， 错误；
对于 ， 与 可以平行、也可以相交或异面， 错误；
对于 ，若 ， ，必有 ， 正确；
故选： ．
【点评】本题考查直线、平面的位置关系，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．
15．（2024•静安区二模）设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中真命题是
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ， ，则
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：若 ， ，则 或 与 相交或 与 异面，故 错误；
若 ， ， ，则 或 与 相交，故 错误；
若 ， ，由直线与平面垂直的性质可得 ，故 正确；
若 ， ， ， ，当 与 相交时，有 ，否则， 与 不一定平行，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思
维能力，是基础题．
16．（2024•浦东新区校级模拟）已知 ， 是不同的平面， ， 是不同的直线，则下列命题不正确的
是A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则 ，
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【分析】在 中，由面面垂直的判定定理得 ；在 中， ， 或 ，或 ；在 中，
由线面垂直的判定定理得 ；在 中，由面面平行的判定定理得 ．
【解答】解：由 ， 是不同的平面， ， 是不同的直线，知：
在 中，若 ， ， ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 正确；
在 中，若 ， ，则 ， 或 ，或 ，故 错误；
在 中，若 ， ，则由线面垂直的判定定理得 ，故 正确；
在 中，若 ， ，则由面面平行的判定定理得 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
17．（2024•长宁区二模）已知直线 ， 和平面 ，则下列判断中正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【分析】利用空间线面、面面位置关系，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于 ，若 ， ，则 或 ， 相交、异面，故 不正确；
对于 ，若 ， ，则 或 ，故 不正确；
对于 ，若 ，则经过 的平面与 交于 ， ， ， ， ， ，故 正确；
对于 ，若 ， ，则 与 相交、平行或 ，故 不正确．
故选： ．
【点评】本题考查空间线面、面面位置关系、简易逻辑的判定方法等基础知识，考查推理论证能力，是中
档题．
18．（2024•金山区二模）如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面， 是线段 的中点，则以下命题中正确的是
A． B．
C． 、 、 三点共线 D．直线 与 相交
【分析】对于 ，取 中点 ，连接 ， ，则 ， 平面 ，从而 平面 ，
，由此推导出 ；
对于 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
推导出 与 不垂直；
对于 ，推导出 ， ， ， ，1， ，从而 、 、 三点不共线；
对于 ，连接 ，则点 为 中点， ， 平面 ， 平面 ，同理可得 平面
，从而 与 相交．
【解答】解：对于 ，取 中点 ，连接 ， ，则 ，且 ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
， ，故 错误；
对于 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，
，0， ， ，1， ，
， 与 不垂直，故 错误；
对于 ， ，2， ， ， ， ， ，1， ，
、 、 三点不共线，故 错误；
对于 ，连接 ，则点 为 中点，
， 平面 ， 平面 ，
同理可得 平面 ，
与 平行， 与 相交，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、空间直角坐标系、三点共线等基础知识，考查运算求解能力，
是中档题．
九．曲线与方程（共1小题）
19．（2024•嘉定区校级模拟）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数
学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线 为四叶玫瑰线，下列结论正确的有
（1）方程 ，表示的曲线在第二和第四象限；（2）曲线 上任一点到坐标原点 的距离都不超过2；
（3）曲线 构成的四叶玫瑰线面积大于 ；
（4）曲线 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）．
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4）
【分析】因为 ，所以 与 异号，故其图象在第二和四象限，从而判断（1）；
利用基本不等即可判断（2）；
将以 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线 围成区域的面积进行比较即可判断（3）；
先确定曲线 经过点 ， ，再将第一象限内经过的整点 ， 和 逐一代入曲线 的方程
进行检验即可判断（4）；
【解答】解：对于（1），因为 ，所以 与 异号，故图象在第二和四象限，即（1）正确．
对 于 （ 2 ） ， 因 为 ， 所 以 ， 所 以
，
所以 ，即（2）正确；
对于（3）选项，以 为圆点，2为半径的圆 的面积为 ，显然曲线 围成的区域的面积小于圆 的面
积，即（3）错误；
把 ， 代入曲线 ，可知等号两边成立，所以曲线 在第一象限过点 ， ，由曲线的
对称性可知，该点的位置是图中的点 ，对于（4）选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把 ， 和 代入曲线 的方程
验证可知，等号不成立，所以曲线 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线 只
经过整点 ，即（4）错误；
故选： ．
【点评】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合
性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题．
一十．散点图（共1小题）
20．（2024•浦东新区二模）通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）
与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．若去掉图中右下方的点 后，下列说法正确的是
A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
【分析】根据相关系数的概念逐一判断．【解答】解：对于 ：去掉图中右下方的点 后，根据图象，两个变量还是负相关，故 错误；
对于 ：去掉图中右下方的点 后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，但因为是负相关，相关系
数会更接近 ，线性相关系数会变小，
故 正确， 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了散点图的应用，考查了相关系数的性质，属于基础题．
