1.1 空间向量及其线性运算
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：空间向量的有关概念....................................................... 2
考点二：空间向量的加法、减法运算...............................................2
考点三：空间向量的数乘运算....................................................... 3
考点四：共线向量......................................................................3
考点五：共面向量......................................................................4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：空间向量的有关概念....................................................... 4
题型二：空间向量加减运算及几何表示............................................9
题型三：空间向量数乘运算及几何表示..........................................12
题型四：空间向量共线的判定......................................................16
题型五：空间向量共线求参数......................................................19
题型六：向量共面的判定........................................................... 21
题型七：空间向量共面求参数......................................................25
题型八：空间共面向量推论及其应用.............................................28
模块三：综合巩固....................................................................... 32
1.1 空间向量及其线性运算
模块一：基础知识
考点一：空间向量的有关概念
1.空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或
模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0 的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1 的向量称为单位向量
相反向量
与向量a
长度相等而方向相反的向量，称为a
的相反向量，记为a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
2.空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段AB
来表示，A 叫向量的起点，B 叫向量的终点；
（2）字母表示法：用, ,
a b c
表示．向量a
的起点是A ，终点是B ，则向量a
也可以记作AB
，其模记为a
或AB
.
考点二：空间向量的加法、减法运算
1.空间向量的位置
已知空间向量,a b
，可以把它们平移到同一平面内，以任意点O 为起点，作向量OA
a
，OB
b
2.空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量AC
b
，则向量OC
叫做向量,a b
的和．记作a
b
，
即OC
AC
a
b
3.空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量BA
叫做a
与b
的差，记作a
b
，即
BA
OA OB
a
b
4.空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：a
b
b
a
（2）加法结合律：
a
b
c
a
b
c
考点三：空间向量的数乘运算
1.定义：与平面向量一样，实数与空间向量a
的乘积a
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2.数乘向量a
与向量a
的关系
的范围
a
的方向
a
的模
0
a
与向量a
的方向相同
|
| |
||
|
a
a
0
0
a
，其方向是任意的
0
a
与向量a
的方向相反
3.对数乘向量a
与向量a
的关系的进一步理解：
（1）可以把向量a
的模扩大（当|
| 1
时），也可缩小（当|
| 1
时）；可以不改变向量a
的方向（当
0
时），也可以改变向量a
的方向（当
0
时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当
0
时，
0
a
；当
0
时，若
0
a
，则
0
a
．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，
a
，
a
没有意义，无法运算．
考点四：共线向量
1.共线（平行）向量的定义
若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若a
与b
是共线向量，则记为
/ /
a
b
．
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如
/ / , / /
a
b b
c
，那么
/ /
a
c
不一定成立，因为当
0
b
时，虽然
/ / , / /
a
b b
c
，
但a
不一定与c
共线（特别注意0
，0
与任何向量共线）．
2.共线向量定理
对空间任意两个向量, (
0)
a b b
，a b
的充要条件是存在实数，使a
b
．
3.共线向量定理推论
如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a
的直线,那么对于空间任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存
在实数t ,使OP
OA
ta
①，若在l 上取AB
a
，则①可以化作：OP
OA
t AB
4.证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P、A、B 可通过证明下列结论来证明三点共线
（1）存在实数�，使��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ成立.
（2）对空间任一点O，有��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�∈�).
（3）对空间任一点O，有��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�+ �= 1).
考点五：共面向量
1.共面向量定义
如图，如果表示向量�Ԧሬ的有向线段��Ԧ
ሬሬሬሬ所在的直线OA 与直线l 平行或重合，
那么称向量�Ԧሬ平行与直线l.
如果直线OA 平行于平面�或在平面�内，那么称向量�Ԧሬ平行于平面�.
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
2.共面向量定理
如果两个向量,a b
不共线，那么向量p
与向量,a b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对( , )
x y ，使
p
xa
yb
3.空间共面向量的表示
如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对( , )
x y ，使AP
xAB
yAC
．
或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（
, , ,
P A B C 四点共面）的充要条件是存
在有序实数对( , )
x y ，使OP
OA
xAB
yAC
，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
4.向量共面证明
（1）证明点P 在平面ABC 内，可以用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，也可以用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，
若用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，则必须满足�+ �+ �= 1.
（2）判断三个向量共面一般用�Ԧሬ= ��Ԧሬ+ ��Ԧሬ，
证明三线共面常用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，
证明四点共面常用��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ（其中�+ �+ �= 1）
模块二：题型分类
题型一：空间向量的有关概念
1.（多选）下列说法正确的是（
）
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【答案】BD
【分析】利用空间向量的相关定义进行判断即可.
【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A 错误；
对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B 正确；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C 中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C 错误；D 符合定义，正确.
故选：BD.
2.已知a为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（
）
A．与a共面的单位向量有无数个
B．与a垂直的单位向量有无数个
C．与a平行的单位向量只有一个
D．与a同向的单位向量只有一个
【答案】C
【详解】解：与a共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A 正确；
与a垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B 正确；
与a平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C 错误；
与a同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D 正确．
故选：C．
3.在正方体����−�1�1�1�1中，与向量��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ相反的向量是（
）
A．�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ
B．��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ
C．�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ
D．��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ
【答案】A
【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可.
【详解】
如图所示，可知���Ԧ
ሬሬሬሬሬ是���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ的相反向量.
故选：A
4.下列命题中是假命题的是（
）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果
0
a
，则
0
a
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【答案】A
【解析】对于A，零向量0
的相反向量是它本身，A 错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B 正确；
对于C，如果
0
a
，则
0
a
，C 正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D 正确.故选：A.
5.下列命题中为真命题的是（
）
A．空间向量AB
与BA
的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【解析】对于A，因为空间向量AB
与BA
互为相反向量，
所以空间向量AB
与BA
的长度相等，所以A 正确，
对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，
则它们的终点构成一个球面，所以B 错误，
对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，
但空间向量不是有向线段，所以C 错误，
对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，
如向量AB
与BA
的模相等，所以D 错误，故选：A
6.对于空间任意两个非零向量�Ԧሬ，�Ԧሬ，“�Ԧሬ//�Ԧሬ”是“ �Ԧሬ,�Ԧሬ
= 0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由向量共线与向量夹角的关系，判断
【详解】空间任意两个非零向量�Ԧሬ，�Ԧሬ，
�Ԧሬ//�Ԧሬ，包括向量�Ԧሬ和�Ԧሬ同向共线和反向共线两种情况，
即当�Ԧሬ//�Ԧሬ时，有�Ԧሬ,�Ԧሬ
= �或�Ԧሬ,�Ԧሬ
= π，不能得到�Ԧሬ,�Ԧሬ
= �，充分性不成立.
�Ԧሬ,�Ԧሬ
= �，则�Ԧሬ和�Ԧሬ方向相同，有�Ԧሬ//�Ԧሬ，必要性成立；
故“�Ԧሬ//�Ԧሬ”是“ �Ԧሬ,�Ԧሬ
= �”的必要不充分条件.
故选：B
7.（多选）下列说法，错误的为（
）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ满足��Ԧ
ሬሬሬሬ
> ��Ԧ
ሬሬሬሬ，且��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ同向，则��Ԧ
ሬሬሬሬ> ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．若两个非零向量��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ满足��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ为相反向量
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ的充要条件是�与�重合，�与�重合
【答案】ABD
【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判
定C.
【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，
而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的，
故相等向量的起点和终点不必相同，
对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D 错误；
向量的模长可比大小，但向量不可以，故B 错误；
由相反向量的定义可知C 正确.
故选：ABD.
8.给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量,a b
满足a
b
r
r
，
则a
b
；③在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，必有
1
1
AC
AC
；④若空间向量
, ,
m n p
满足m
n
，n
p
，则
m
p
．其中正确的个数为（
）．
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它
们的起点和终点都不一定相同，①错误；
对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a
与b
的方向不一定相同，②错误；
对于③，根据正方体的性质，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，向量AC
与向量
1
1
AC
的方向相同，模也相等，
则
1
1
AC
AC
，③正确；
对于④，由向量相等关系可知m
n
p
，④正确．
故选：C.
9.如图所示，已知
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与
1
BB
相等的向量；
（2）与
1
BC 相反的向量；
（3）与
1
BA
平行的向量．
【答案】（1）
1
1
1
,
,
AA CC DD
；（2）
1
1
,
C B D A
；（3）
1
1
1
,
,
A B CD D C
．
【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，
∴与
1
BB
相等的向量为
1
1
1
,
,
AA CC DD
；
（2）连接
1
AD ，由平行六面体的性质可得
1
1/ /
D C
AB ，
∴
1
1
ABC D 是平行四边形，
∴
1
1
//
BC
AD ，与
1
BC 相反的向量为
1
1
,
C B D A
．
（3）连接
1
CD ，由平行六面体的性质可得
1
1/ /
A D
BC ，
∴
1
1
BCD A 是平行四边形，
∴
1
1
//
BA
CD ，与
1
BA
平行的向量为
1
1
1
,
,
A B CD D C
．
题型二：空间向量加减运算及几何表示
1.如图E，F 分别是长方体����−�′�′�′�′的棱AB，CD 的中点，化简下列表达式：
(1)��′Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ；
(2)��′Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬ；
(3)��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬ；
(4)��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ.
【答案】(1)��′Ԧ
ሬሬሬሬሬ；
(2)��′Ԧ
ሬሬሬሬ；
(3)�Ԧሬ；
(4)��
→
.
【分析】（1）（2）（3）（4）根据空间向量的线性运算，结合长方体性质可得.
【详解】（1）��′Ԧ
ሬሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��′Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��′Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= ��′Ԧ
ሬሬሬሬሬ；
（2）��′Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��′Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��′Ԧ
ሬሬሬሬ；
（3）��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �′�′Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ；
（4）因为E，F 分别是棱AB，CD 的中点，
所以��
→
+ ��
→
= ��
→
+ ��
→
= ��
→
.
2.如图，在斜棱柱����−�1�1�1�1中，��与��的交点为点M，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则��1Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ=（
）
A．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
B．−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ
D．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本运算求解即可.
【详解】由题意，���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
+ ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ
=−
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ+ �Ԧሬ.
故选：B
3.已知在空间四边形ABCD中，
1
2
CG
CD
，则
2
BD
BC
AB
（
）
A．2AG
B．2GC
C．2BC
D．1
2
BC
【答案】A
【详解】因为
1
2
CG
CD
，故G 为CD 的中点，如图，
由平行四边形法则可得
2
BD
BC
BG
，
所以
2
2
2
AB
BD
BC
AB
BG
AG
.
故选：A.
4.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，化简
1
AB
BD
AC
（
）
A．
1
C B
B．
1
BC
C．
1
C D
D．
1
DC
【答案】C
【详解】
1
1
1
AB
BD
AC
AD
AC
C D
.
故选：C.
5.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，O为线段AC 的中点，则
1
OA
AD
AB
（
）
A．
1
AD
uuur
B．
1
OB
C．
1
OC
D．
1
OD
uuur
【答案】C
【详解】因为O为线段AC 的中点，所以
+
2
AB AD
AO
,
所以
1
1
1
2
OA
AD
AB
AO
OA
AO
AA
，
因为长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
=
,
AO OC AA
CC
，
所以
1
1
1
+
=
+
=
AO AA OC CC
OC
，即
1
1
OA
AD
AB
OC
.
故选：C.
6.如图，空间四边形����中，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，点�在��Ԧ
ሬሬሬሬ上，且��= 2��，2��= 3��，则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
（
）
A．−
1
3 �Ԧሬ−
2
5 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ
B．−
2
3 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ+
2
5 �Ԧሬ
C．−
2
3 �Ԧሬ+
2
5 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ
D．
2
3 �Ԧሬ+
3
5 �Ԧሬ−
2
5 �Ԧሬ
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算结合图象计算即可.
【详解】由��= ���，���= ���，
得��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ
= �
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
+ �
���Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
=−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ �
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ �
���Ԧ
ሬሬሬሬ=−�
��Ԧሬ+ �
��Ԧሬ+ �
��Ԧሬ
故选：C.
7.如图，四棱锥�−����的底面是平行四边形，若��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，�是��的中点，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
B．−�Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
C．−�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
D．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ
【答案】B
【分析】直接利用向量的运算法则计算得到答案.
【详解】�是��的中点，
��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �
���Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
=−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ �
���Ԧ
ሬሬሬሬ
=−�Ԧሬ−
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ.
故选：B.
题型三：空间向量数乘运算及几何表示
1.已知正方体ABCD
A B C D
，点E 是A C
的中点，点F 是AE 的三等分点，且
1
2
AF
EF
，则AF
等于
（
）．
A．
1
1
2
2
AA
AB
AD
B．1
1
1
2
2
2
AA
AB
AD
C．1
1
1
2
6
6
AA
AB
AD
D．1
1
1
3
6
6
AA
AB
AD
【答案】D
【详解】如图所示，
由于
1
2
AF
EF
，故
1
3
AF
AE
，AE
AA
A E
，
1
2
A E
A C
，
A C
A D
A B
，A D
AD
，A B
AB
，
∴
1
1
1
1
1 (
)
3
2
3
6
3
AA
AF
AE
A C
AA
A B
A D
1
1
1
3
6
1
1
3
6
6
AA
AB
AA
AB
AD
AD
，
故选：D．
2.如图，在四面体����中，�, �分别为��, ��的中点，�为△���的重心，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算，将��Ԧ
ሬሬሬሬ用��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ表示即可.
【详解】因为�, �分别为��, ��的中点，所以��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ.
因为�为△���的重心，所以��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
=−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ.
故选：B.
3.已知三棱锥�−���，点M，N 分别为AB，OC 的中点，且��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，用�Ԧሬ，�Ԧሬ，�Ԧሬ表示��Ԧ
ሬሬሬሬሬ，
则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ等于（
）
A．
1
2 (�Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ)
B．
1
2 (�Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ)
C．
1
2 (�Ԧሬ−�Ԧሬ−�Ԧሬ)
D．
1
2 (�Ԧሬ−�Ԧሬ+ �Ԧሬ)
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算计算即可.
【详解】
��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
=−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ �
���Ԧ
ሬሬሬሬ
=−
�
��Ԧሬ−
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ.
故选：C.
4.如图，在四棱锥�−����中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，点F 满足��Ԧ
ሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，若��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，
��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬ= �Ԧሬ，则��Ԧ
ሬሬሬ=（
）
A．
1
2 �Ԧሬ−
4
3 �Ԧሬ+
1
6 �Ԧሬ
B．
1
2 �Ԧሬ−
4
3 �Ԧሬ−
1
6 �Ԧሬ
C．
1
2 �Ԧሬ−
7
6 �Ԧሬ+
1
6 �Ԧሬ
D．
1
2 �Ԧሬ−
7
6 �Ԧሬ−
1
6 �Ԧሬ
【答案】C
【分析】先将��Ԧ
ሬሬሬሬ表示为��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ，然后通过空间向量的加减以及数乘运算逐步将��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ表示为
��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ的线性组合，由此可得结果.
【详解】由题意知��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
−��Ԧ
ሬሬሬሬ−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ= �
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
−��Ԧ
ሬሬሬሬ−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ= �
���Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−�
���Ԧ
ሬሬሬሬ
=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
��Ԧሬ−
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ．
故选：C．
5.在三棱柱
1
1
1
A B C
ABC
中，D 是四边形
1
1
BB C C 的中心，且
1
AA
a
，AB
b
，AC
c
，则
1A D
（
）
A．1
1
1
2
2
2
a
b
c
B．1
1
1
2
2
2
a
b
c
C．1
1
1
2
2
2
a
b
c
D．
1
1
1
2
2
2
a
b
c
【答案】D
【详解】
1
1
1
1
1
2
A D
A A
AB
BD
AA
AB
BB
BC
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
AA
AB
AA
AC
AB
AA
AB
AC
a
b
c
.
故选：D.
6.如图：在平行六面体����−�1�1�1�1中，�为�1�1, �1�1的交点．若�1�1Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ, �1�1Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则
向量��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．−
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ
B．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
D．
1
2 �
→−
1
2 �
Ԧ
+ �
→
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
【详解】因为����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ, ����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ, ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ,
所以��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ �
��Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ+
�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ+
�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ+ ����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ
= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ+
�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ+
�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ
=
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ+ �Ԧሬ.
故选：B.
7.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点M 满足2AM
AC
．若
1
1
1
1
1
,
,
A B
a A D
b A A
c
，则下列向量中与
1B M
相等的是（
）
A．1
1
2
2
a
b
c
B．1
1
2
2
a
b
c
C．
1
1
2
2
a
b
c
D．
1
1
2
2
a
b
c
【答案】C
【详解】
由点M 满足2AM
AC
，所以M 为AC 中点，
因为四边形ABCD 为平行四边形，所以M 为BD 中点,
所以
1
1
1
(
)
(
)
2
2
2
BM
BD
BA
BC
a
b
，
所以
1
1
1
1
1
(
)
2
2
2
B M
B B
BM
c
a
b
a
b
c
.
故选：C
题型四：空间向量共线的判定
1.设,a b
是空间中两个不共线的向量，已知
9
AB
a
mb
，
2
BC
a
b
，
2
DC
a
b
，且
, ,
A B D 三点共
线，则实数m ______．．
【答案】3
2
BC
a
b
，
2
DC
a
b
，
2
2
3
BD
BC
CD
BC
DC
a
b
a
b
a
b
，
,
,
A B D
三点共线，存在实数，使得AB
BD
，即
9
3
a
mb
a
b
，
9
3
m
，解得：
3
m
．
故答案为：3
.
2.如图，已知
, , ,
,
,
,
,
,
O A B C D E F G H 为空间的9 个点，且OE
kOA
，OF
kOB
，OH
kOD
，
AC
AD
mAB
，EG
EH
mEF
，
0,
0
k
m
.
求证：（1）
/ /
AC
EG
；
（2）OG
kOC
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】证明：（1）
(
)
EG
EH
mEF
OH
OE
m OF
OE
(
)
(
)
k OD
OA
km OB
OA
k AD
kmAB
k AD
mAB
k AC
∴
/ /
AC
EG
.
（2）
OG
OE
EG
kOA
k AC
k OA
AC
kOC
.
3.如图所示，在正方体����−�1�1�1�1中，点�在�1�1上，且�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ，点�在体对角线�1�上，且�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ．求证：�，�，�三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】把��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ用基底����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ, ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ, ����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ表示后证明它们共线，再由共顶点�可得三点共线．
【详解】连接��，��，
∵��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ−���Ԧ
ሬሬሬሬሬ
=
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬ−
�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ
= �
����Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
−�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ
= �
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ+ ����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ
−�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ
=
�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬ−
�
������Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ，
��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ−���Ԧ
ሬሬሬሬሬ
= ����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ−
�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ+ ����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ
=
�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬ−
�
�����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬሬ，
∴��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ，∴��Ԧ
ሬሬሬሬ//��Ԧ
ሬሬሬሬ，
又��∩��= �，∴�，�，�三点共线．
4.如图，四边形ABCD ､ABEF 都是平行四边形且不共面，M , N 分别是AC ､BF 的中点，判断CE
与MN
是否共线？
【答案】共线.
【详解】因为M､N 分别是AC､BF 的中点，而四边形ABCD､ABEF 都是平行四边形，
所以
1
1
2
2
MN
MA
AF
FN
CA
AF
FB
.
又
1
1
2
2
MN
MC
CE
EB
BN
CA
CE
AF
FB
，
所以1
1
1
1
2
2
2
2
CA
AF
FB
CA
CE
AF
FB
.
所以
2
2
2
CE
CA
AF
FB
MA
AF
FN
MN
，
即
2
CE
MN
，即CE
与MN
共线.
5.A 是
BCD
△
所在平面外一点，G 是
BCD
△
的重心，M、E 分别是BD、AG 的中点，点F 在线段AM 上，
2
5
AF
AM
，判断三点C、E、F 是否共线．
【答案】C、E、F 三点共线
解：设AD
a
，AC
b
，AB
c
，
1
1 2
1
2
2 3
2
CE
CG
b
CM
b
，
1
1
1 1
1
3
2
3 2
2
AM
b
b
a
c
b
b
，
1
5
1
6
6
6
a
b
c
，
2
1
1
1
5
5
5
5
CF
AF
b
AM
b
a
c
b
a
b
c
，
因为
5
6
CE
CF
，
所以CE
CF
∥
，
又因为CE
、CF
有公共点C，
所以C、E、F 三点共线．
题型五：空间向量共线求参数
1.设�1Ԧ
ሬሬ, �2Ԧ
ሬሬ是空间两个不共线的非零向量，已知��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ 3�2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ−�2Ԧ
ሬሬ，且A，B，
D 三点共线，求实数k 的值．
【答案】−�.
【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.
【详解】因为��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬ，则有��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= (��Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ) −(���Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬ) =−��Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，
又A，B，D 三点共线，于是��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ，即���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ= �( −��Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ)，而��Ԧ
ሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ不共线，
因此�=−�
�= ��，解得�=−�，
所以实数k 的值是−�.
2.设
1e
，
2e
是两个不共线的空间向量，若
1
2
2
A
e
e
B
，
1
2
3
3
BC
e
e
，
1
2
CD
e
ke
uuur
ur
ur
，且A ，C ，D 三点
共线，则实数k 的值为______.
【答案】2
5 /0.4
【详解】∵
1
2
2
A
e
e
B
，
1
2
3
3
BC
e
e
，
1
2
CD
e
ke
uuur
ur
ur
，
∴
1
2
5
2
AC
AB
BC
e
e
，又∵A，C，D 三点共线，∴
//
AC CD
，
∴2
5
0
k
，∴
2
5
k
.
故答案为：2
5 .
3.已知�1Ԧ
ሬሬ、�2Ԧ
ሬሬ、�3Ԧ
ሬሬ为空间三个不共面的向量，向量�Ԧሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ+ 4�3Ԧ
ሬሬ，�Ԧሬ= 3�1Ԧ
ሬሬ+ 9�2Ԧ
ሬሬ+ ��3Ԧ
ሬሬ，若�Ԧሬ与�Ԧሬ共线，
则�+ �=（
）
A．−3
B．3
C．−15
D．15
【答案】D
【分析】设�Ԧሬ= ��Ԧሬ�∈�，根据空间向量共线的基本定理可得出关于�、�、�的方程组，解出这三个量
的值，即可得解.
【详解】因为��Ԧ
ሬሬሬ、��Ԧ
ሬሬሬ、��Ԧ
ሬሬሬ为空间三个不共面的向量，向量�Ԧሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，�Ԧሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，
若�Ԧሬ与�Ԧሬ共线，设�Ԧሬ= ��Ԧሬ�∈�，即��Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ= ����Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，
可得
�= ��
�= ��
�= ��
，解得
�=
�
�
�= ��
�= �
，故�+ �= ��.
故选：D.
4.已知{
}
, ,
a b c
是空间的一个基底，若
2
3
m
a
b
c
，
(
)
(
) 3(
)
n
x a b
y b c
a c
，若m
n
∥，则x
y
（
）
A．3
B．
1
3
C．3
D．1
3
【答案】C
【详解】
2
3
m
a
b
c
，
(
)
(
)
3(
)
(
3)
(
)
(3
)
n
x a
b
y b
c
a
c
x
a
x
y b
y c
，
因为m
n
∥，所以存在实数，使n
λm
，
所以(
3)
(
)
(3
)
(
2
3 )
x
a
x
y b
y c
a
b
c
，
所以
3
2
3
3
x
x
y
y
，
所以
2(
3)
3
3(
3)
x
y
x
y
x
，得2
2
3
x
y
x
y
，
3
x
y
，
所以
3
x
y
，
故选：C
5.设,a b
是空间中两个不共线的向量，已知
9
AB
a
mb
，
2
BC
a
b
，
2
DC
a
b
，且
, ,
A B D 三点共线，
则实数m ______．．
【答案】3
【详解】
2
BC
a
b
，
2
DC
a
b
，
2
2
3
BD
BC
CD
BC
DC
a
b
a
b
a
b
，
,
,
A B D
三点共线，存在实数，使得AB
BD
，即
9
3
a
mb
a
b
，
9
3
m
，解得：
3
m
．
故答案为：3
.
6.下列命题中，正确命题的个数为（
）
①若//
a b
r r ，则a
与b
方向相同或相反；
②若AB
CD
，则A，B，C，D 四点共线；
③若a
，b
不共线，则空间任一向量p
a
b
( ,
R
).
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】举特例否定①；利用向量共线的定义否定②；依据共面向量基本定理否定③.
【详解】当
0
a
，
0
b
r
r 时，//
a b
r r ，不能说a
与b
方向相同或相反，①不正确；
当AB
CD
时，A，B，C，D 四点共面不一定共线，故②不正确；
当a
，b
不共线时，当且仅当, ,
p a b
共面时才满足p
a
b
( ,
R
).
故③不正确.
故选：A
7.已知向量
1e
，
2e
不共线，
1
2
AB
e
e
，
1
2
2
8
AC
e
e
，
1
2
3
5
AD
e
e
，则（
）
A．AB
与AC
共线
B．AB
与CD
共线
C．A ，B ，C ，D 四点不共面
D．A ，B ，C ，D 四点共面
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，
1
1
2
8
，不存在实数，使得AB
AC
成立，AB
与AC
不共线，A 错误；
对于B，
1
2
2
8
AC
e
e
，
1
2
3
5
AD
e
e
，
1
2
13
CD
AD
AC
e
e
，
又1
1
1
13
，不存在实数，使得AB
CD
成立，AB
与CD
不共线，B 错误；
对于C、D，若A ，B ，C ，D 四点共面，
则有
1
2
1
2
(
2 )
(
8 )
3
5
AD
xAB
yAC
x
y e
x
y e
e
e
，
2
3
8
5
x
y
x
y
，即
17
3
4
3
x
y
，故
17
4
3
3
AD
AB
AC
，
故A ，B ，C ，D 四点共面，C 错误，D 正确.
故选：D.
题型六：向量共面的判定
1.如图，在长方体ABCD
A B C D
中，向量
AB ，AD
，BD
是
向量(填“共面”或“不共面”)．
【答案】共面
【分析】根据空间向量的运算法则化简得到AB
BD
AD
，即可得到
,
,
A
AB
D BD
是共面向量.
【详解】由空间向量的运算法则，可得AB
B D
AD
，
又由BD
B D
，可得AB
BD
AD
，
所以
,
,
A
AB
D BD
是共面向量.
故答案为：共面.
2.对于空间一点O 和不共线三点A，B，C，且有6��Ԧ
ሬሬሬሬ=��Ԧ
ሬሬሬሬ+2��Ԧ
ሬሬሬሬ+3��Ԧ
ሬሬሬሬ，则（
）
A．O，A，B，C 四点共面
B．P，A，B，C 四点共面
C．O，P，B，C 四点共面
D．O，P，A，B，C 五点共面
【答案】B
【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得��Ԧ
ሬሬሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ三个向量共面，可得答案.
【详解】由6��Ԧ
ሬሬሬሬ=��Ԧ
ሬሬሬሬ+2��Ԧ
ሬሬሬሬ+3��Ԧ
ሬሬሬሬ，得��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ=2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ，
即��Ԧ
ሬሬሬሬ=2��Ԧ
ሬሬሬሬ+3��Ԧ
ሬሬሬሬ，故��Ԧ
ሬሬሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ,��Ԧ
ሬሬሬሬ共面.
又因为三个向量有同一公共点�，所以�,�,�,�共面.
故选：B.
3.设空间任意一点O和不共线的三点A ，B ，C ，若点P 满足向量关系OP
xOA
yOB
zOC
（其中
1
x
y
z
），试问：P ，A ，B ，C 四点是否共面？
【答案】共面
【详解】解：P ，A ，B ，C 四点共面．
理由如下：OP
xOA
yOB
zOC
，
1
x
y
z
，
(1
)
OP
y
z OA
yOB
zOC
OA
yOA
zOA
yOB
zOC
OA
y OB
OA
z OC
OA
OA
yAB
z AC
，
即AP
y AB
z AC
，由A ，B ，C 三点不共线，可知AB
和AC
不共线，
由共面定理可知向量AP
，AB
，AC
共面，
P
，A ，B ，C 四点共面．
4.已知, ,
i j k
是不共面向量，
2
,
3
2 ,
3
7
a
i
j
k b
i
j
k c
i
j，证明这三个向量共面.
【答案】证明见解析
【详解】由, ,
i j k
是不共面向量，得a
与b
不共线，
设a
xb
yc
，则
2
3
2
3
7
i
j
k
x
i
j
k
y
i
j ，
所以
1
3
2
3
7
1
2
x
y
x
y
x
，解得
1
2
1
2
x
y
，所以
1
1
2
2
a
b
c，
所以这三个向量共面.
5.（多选）空间四点
, ,
,
A B C D 及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出
, ,
,
A B C D 四点共面的有
A．
2
3
AB
AC
AD
B．
3
OA
OB
OC
DO
C．AB
AC
∥
D．OC
3
5
BO
AO
DO
【答案】ACD
【详解】对A：
2
3
AB
AC
AD
，定有
,
,
AB AC AD
共面，且有公共顶点A ，
故
,
,
,
A B C D 四点共面，故A 正确；
对B：
3
OA
OB
OC
DO
3OB
OC
OD
，3 1 1
1
，
故
,
,
,
A B C D 四点不共面，故B 错误；
对C：AB
AC
∥
，可得
,
,
A B C 三点共线，
则
,
,
,
A B C D 四点一定共面，故C 正确；
对D：OC
3
5
BO
AO
DO
3
5
OB
OA
OD
，1 3
5
1
，
故
,
,
,
A B C D 四点一定共面，故D 正确.
故选：ACD.
6.下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C 共面的是（
）
A．OA
OB
OC
OP
uur
uuur
uuur
uuur
B．OA
OB
OC
OP
uur
uuur
uuur
uuur
C．
2
OA
OB
OC
OP
uur
uuur
uuur
uuur
D．
3
OA
OB
OC
OP
【答案】D
【详解】对于A 选项，OP
OA
OB
OC
uuur
uur
uuur
uuur，
( 1)
1
1
3
1
，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；
对于B 选项，OP
OA
OB
OC
，1 1 1
3
1
，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；
对于C 选项，
1
1
1
2
2
2
OP
OA
OB
OC
，1
1
1
3
1
2
2
2
2
，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；
对于D 选项，
1
1
1
3
3
3
OP
OA
OB
OC
，1
1
1
1
3
3
3
,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.
故选：D.
7.（多选）以下能判定空间四点P、M、A、B 共面的条件是（
）
A．
2
3
MP
MA
MB
B．
1
1
1
2
3
6
OP
OA
OB
OM
C．
0
PM AB
uuur uuur
D．PM
AB
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.
【详解】对A：若
2
3
MP
MA
MB
，结合向量基本定理知：
,
,
MP MA MB
uuur uuur uuur
为共面向量，故四点P、M、A、
B 共面，A 正确；
对B：若
1
1
1
2
3
6
OP
OA
OB
OM
，且1
1
1
1
2
3
6
，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B 共面，
B 正确；
对C：若
0
PM AB
uuur uuur
，则PM
AB
，可知直线
,
PM AB 的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B 不
一定共面，C 错误；
对D：若PM
AB
，可知直线
,
PM AB 的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B 共面，D 正确；
故选：ABD.
8.在四棱柱����−�1�1�1�1中，�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ, �1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ，�1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬ, �1�Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= ��1�Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ．
(1)当�=
3
4时，试用��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ表示��Ԧ
ሬሬሬሬ；
(2)证明：�, �, �, �四点共面；
【答案】(1)��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ
(2)证明见解析
【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解；
（2）设��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ（�, �不为0），推导出��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，进而证明出四点共面.
【详解】（1）四棱柱����−��������中，���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ，
因为�=
�
�，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ−���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ=
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ−
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ=
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ
=
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ；
（2）设��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ（�, �不为0），
��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ−���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= ����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ−����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ= ����Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ
= ����Ԧ
ሬሬሬሬ+ ����Ԧ
ሬሬሬሬ
= �����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ−���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ
+ �����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ−���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ
= ����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
+ ����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ−���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ
= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，
则��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ共面且有公共点�，则�, �, �, �四点共面；
题型七：空间向量共面求参数
1.�为空间任意一点，若��Ԧ
ሬሬሬሬ=−
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
8 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，若�，�，�，�四点共面，则�=（
）
A．1
B．
9
8
C．
1
8
D．
1
4
【答案】C
【分析】将��Ԧ
ሬሬሬሬ=−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ化简为：��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，利用四点共面定理可得
�
�+
�
�+
�= �，即可求解.
【详解】因为��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ，所以��Ԧ
ሬሬሬሬ=−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，可化简为：��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ=−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，
即��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，
由于�，�，�，�四点共面，则
�
�+
�
�+ �= �，解得：�=
�
�；
故选：C
2.已知
, ,
A B C 三点不共线，O是平面ABC 外任意一点，若
2
1
2
5
6
OM
OA
OB
OC
，则
, ,
,
A B C M 四点
共面的充要条件是（
）
A．
13
60
B．
17
60
C．
17
60
D．
13
60
【答案】A
【详解】
, ,
,
A B C M 四点共面的充要条件是AM
xBM
yCM
，
OM
OA
x OM
OB
y OM
OC
，
整理可得
1
x
y OM
OA
xOB
yOC
，
由
2
1
2
5
6
OM
OA
OB
OC
，则
1
1
2
2
5
1
6
x
y
z
z
x
z
y
z
，解得
13
60
，
故选：A.
3.已知O为空间中一点，
, ,
,
A B C D 四点共面且任意三点不共线，若2BD
xOA
OB
OC
，则x 的值为
______．
【答案】2
【详解】依题意，
, ,
,
A B C D 四点共面且任意三点不共线，
所以BD
mBA
nBC
，
所以2
2
mBA
nBC
xOA
OB
OC
，
2
2
2
2
mOA
mOB
nOC
nOB
xOA
OB
OC
，
2
2
2
2
mOA
m
n OB
nOC
xOA
OB
OC
，
所以
2
2
2
1
2
1
m
x
m
n
n
，解得
2
x .
故答案为：2
4.已知O，A，B，C 为空间中不共面的四点，且��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�∈�)，若P，A，B，C 四点共
面，则�=（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
5
12
D．−
7
12
【答案】C
【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解.
【详解】因为P，A，B，C 四点共面，所以
�
�+
�
�+ �= �，所以�=
�
��.
故选:C．
5.在四面体����中，点�, �满足��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，若��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，则�+ �+ �=（
）
A．−
1
3
B．
1
3
C．
1
2
D．1
【答案】B
【分析】根据题意，化简得到��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ，进而求得�, �, �的值，即可求解.
【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则，
可得��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ=−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ，
因为��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，可得�=−
�
�, �=
�
�, �=
�
�，
所以�+ �+ �=
�
�.
故选：B.
6.如图,平面ABC 内的小方格均为正方形,点P 为平面ABC 内的一点,O为平面ABC 外一点,设
2
OP
mOA
nOB
OC
,则m
n
的值为（
）
A．1
B．1
C．2
D．2
【答案】B
【详解】由题知OP
OA
AP
，
,
,
,
A P B C
四点共面,
根据平面向量基本定理,
不妨设AP
xAB
yAC
,
,
R
x y
，
则OP
OA
xAB
yAC
(
)
(
)
OA
x OB
OA
y OC
OA
1
x
y OA
xOB
yOC
,
2
OP
mOA
nOB
OC
，
1
2
x
y
m
x
n
y
,
1
m
n
x
y
x
1
1
y
.
故选:B
7.
, ,
a b c
是空间向量的一组基底，
2
OA
a
mb
c
，
2
OB
a
b
，OC
a
b
c
，已知点O在平面ABC 内，
则m ______.
【答案】3
【详解】因为点O在平面ABC 内，所以OA
，OB
，OC
共面，
所以存在与使得OC
OA
OB
,
即
2
2
2
2
a
b
c
a
mb
c
a
b
a
m
b
c
，
所以
2
1
2
1
1
m
，解得
1
1
3
m
.
故
3
m
.
故答案为:3.
题型八：空间共面向量推论及其应用
1.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C 共面的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
1
5 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ
【答案】C
【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可.
【详解】A 选项：�−�−�= �≠�，所以A 错；
B 选项：
�
�+
�
�+
�
�=
��
��≠�，所以B 错；
C 选项：原式可整理为��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=−���Ԧ
ሬሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬሬ，所以C 正确；
D 选项：原式可整理为��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ，−�−�−�=−�≠�，故D 错.
故选：C.
2.已知
, ,
A B C 三点不共线，O是平面ABC 外任意一点，若由
1
1
5
3
OP
OA
OB
OC
确定的一点P 与
,
,
A B C 三点共面，则等于（
）
A．
2
3
B．2
3
C．7
15
D．
7
15
【答案】C
【详解】由P 与
, ,
A B C 三点共面以及
1
1
5
3
OP
OA
OB
OC
，
可得，1
1
1
5
3
，所以
7
15
.
故选：C.
3.已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且
4
1
3
6
PA
x P
DB
PB
C
，则实数x 的值为_________.
【答案】1
3
【详解】
4
1
4
1
3
1
(
)
3
6
3
6
2
6
PA
PC
PC
P
PB x
DB
PB x
PB PD
P
P
C
B x
D
，
又∵P 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，
∴3
1
1
2
6
x
，
解得x= 1
3 ，
故答案为：1
3
【点睛】方法点睛：设P 是平面上任一点，, ,
A B C 是平面上的三点，PC
x PA
PB
y
（
, ,
P A B 不共线），
则
, ,
A B C 三点共线
1
x
y
，把此结论类比到空间上就是：
,
,
PA PB PC不共面，若PD
x
y PB
A
PC
z
P
，
则
, ,
,
A B C D 四点共面
1
x
y
z
．
4.在三棱锥
P
ABC 中，M 是平面ABC 上一点，且5
2
PM
PA
tPB
PC
，则t （
）
A．1
B．2
C．1
7
D．
1
2
【答案】B
【详解】因为5
2
PM
PA
tPB
PC
，
所以
2
1
5
5
5
t
PM
PA
PB
PC
，
因为M 是平面ABC 上一点，即
, ,
,
A B C M 四点共面，
所以2
1
1
5
5
5
t
，所以
2
t
．
故选：B.
5.已知点D 在ABC
确定的平面内，O是空间任意一点，实数,x y 满足
2
OD
xOA
yOB
OC
，则
2
2
x
y
的
最小值为（
）
A．4
5
B．2 5
5
C．1
D．2
【答案】A
【详解】由题意因为
, ,
,
A B C D 四点共面且平面唯一确定，
2
OD
xOA
yOB
OC
，
所以
2
1 1
x
y
，即
2
2
x
y
，
所以
2
2
2
2
2
(2
2 )
5
8
4
x
y
y
y
y
y
，
由一元二次函数的图像和性质可得当
8
4
2 5
5
y
时，
2
5
8
4
y
y
取得最小值，
所以
2
2
2
min
4
4
4
(
)
5
8
4
5
5
5
x
y
，
故选：A
6.已知点D 在ABC
确定的平面内，O是平面ABC 外任意一点，实数,x y 满足OD
xOA
yOB
OC
，则
2
2
x
y
的最小值为（
）
A．4
5
B．2 5
5
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】因为OD
xOA
yOB
OC
，点D 在ABC
确定的平面内，
所以
1
1
x
y
，即
2
x
y
，所以
2
2
2
2
2
2
(2
)
2
4
4
2(
1)
2
2
x
y
y
y
y
y
y
，
所以当
1
y 时，
2
2
x
y
的有最小值2．
故选：D
7.四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若AE
xAB
yAD
z AP
，则
x
y
z
等于（
）
A．3
2
B．1
C．5
2
D．2
【答案】A
【分析】运用向量的线性运用表示向量
1
1
1
2
2
2
AE
AB
AD
AP
，对照系数，求得, ,
x y z ，代入可得选项.
【详解】因为
AE
AB
BC
CE
AB
AD
EP
AB
AD
AP
AE
，
所以2AE
AB
AD
AP
，所以
1
1
1
2
2
2
AE
AB
AD
AP
，所以
1
1
1
,
,
2
2
2
x
y
z
，
所以
1
1
1
3
+
+
2
2
2
2
x
y
z
，
故选：A.
8.如图，在四面体ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，点M 是EG 和FH 的交点，
对空间任意一点О都有OA
OB
OC
OD
kOM
，则k （
）
A．1
4
B．1
2
C．2
D．4
【答案】D
【分析】证明出四边形EFGH 为平行四边形，M 为EG 中点，利用空间向量基本定理求解即可.
【详解】E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，
故
/ /
EH
BD ，
/ /
EF
GH ，
所以
,
,
,
E F G H 四点共面，且四边形EFGH 为平行四边形，
故M 为EG 中点，
因为
2
OA
OB
OE
，
2
OC
OD
OG
，
所以
2
4
OA
OB
OC
OD
OE
OG
OM
，
故
4
k
.
故选：D
9.如图，在正方体����−�1�1�1�1中，点M 是��1上靠近点C 的三等分点，点N 满足��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ，若N
为AM 与平面���1的交点，则t＝（
）
A．
1
3
B．
2
5
C．
3
7
D．
3
8
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得.
【详解】在正方体����−��������中，由点M 是���上靠近点C 的三等分点，
得��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬ，于是��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬ，
由N 为AM 与平面����的交点，得点�, �, �, ��共面，则�+ �+
�
�= �，所以�=
�
�.
故选：C
模块三：综合巩固
1.下列说法正确的是（
）
A．若�Ԧሬ
< �Ԧሬ，则�Ԧሬ< �Ԧሬ
B．若�Ԧሬ，�Ԧሬ互为相反向量，则�Ԧሬ+ �Ԧሬ= 0
C．空间中两平行向量相等
D．在四边形ABCD 中，��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ
【答案】D
【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D.
【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A 错误；
对于B, 若�Ԧሬ，�Ԧሬ互为相反向量，则�Ԧሬ+ �Ԧሬ= �Ԧሬ，故B 错误；
对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C 错误；
对于D，四边形ABCD 中，��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ，故D 正确.
故选：D
2.下列各式计算正确的是（
）
A．
(
)
2
a
b
a
b
a
B．2(
)
2
a
b
c
a
b
c
C．3(
)
3(
)
0
a
b
a
b
D．
(
3 )
3
a
b
b
c
a
c
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算求解即可判断各选项．
【详解】对于A，
0
a
b
a
b
，故A 不正确；
对于B，2(
)
2
2
a
b
c
a
b
c
，故B 不正确；
对于C，3(
)
3(
)
6
a
b
a
b
a
，故C 不正确；
对于D，
(
3 )
3
a
b
b
c
a
c
，故D 正确．
故选：D．
3.给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量,a b
满足a
b
，则a
b
；
④若空间向量
, ,
m n p
满足
,
m
n n
p
，则m
p
；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案.
【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相
同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a
与b
的方
向不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
故选：D.
4.在下列条件中，一定能使空间中的四点�, �, �, �共面的是（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
4 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0Ԧሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
1
6 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及推论逐项判断即得.
【详解】对于A，��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ中，�+ ( −�) + ( −�) = �≠�，A 不是；
对于B，��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ中，
�
�+
�
�+
�
�=
�
�≠�，B 不是；
对于C，��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ化为��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ，−�+ ( −�) + ( −�) =−�≠�，C 不是；
对于D，��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ中，
�
�+
�
�+
�
�= �，D 是.
故选：D
5．空间四边形����中，点�在��上，且��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，�为��中点，则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ等于（
）
A．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
2
3 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ−
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ+
1
3 ��Ԧ
ሬሬሬሬ
【答案】C
【分析】作出空间四边形，即可得出��Ԧ
ሬሬሬሬሬ的表达式.
【详解】由题意，在空间四边形����中，��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬሬ，�为��中点，
∴��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ,
∴��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ=−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
=−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ,
故选：C.
6.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点E 满足
1
1
1
1
1
3
3
AE
AA
AB
AD
，则（
）
A．
1
1
1
3B E
B C
B．
1
1
1
3
2
B E
B C
C．
1
1
1
3
B E
B C
D．
1
1
1
2
3
B E
B C
【答案】A
【详解】由
1
1
1
1
1
3
3
AE
AA
AB
AD
得
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
B E
B A
B A
B A
B A
B D
B A
，
整理得
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3B E
B D
B A
A D
B C
.
故选：A.
7.如图，在四面体����中，�是��的中点．设��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，用�Ԧሬ，�Ԧሬ，�Ԧሬ表示��Ԧ
ሬሬሬሬ，则（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算直接得解.
【详解】由�是��的中点，
可知��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ=−��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ=−�Ԧሬ+
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ，
故选：D.
8.已知三棱锥O-ABC 中，点M、N 分别为AB、OC 的中点，且��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=（
）
A．
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ−�Ԧሬ
B．
1
2 �Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ
C．
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ+ �Ԧሬ
D．
1
2 �Ԧሬ−�Ԧሬ−�Ԧሬ
【答案】D
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】如图所示，连接��，可得��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) =
�
��Ԧሬ−
�
�(�Ԧሬ+ �Ԧሬ) =
�
�(�Ԧሬ−�Ԧሬ−�Ԧሬ).
故选：D.
9.已知�Ԧሬ, �Ԧሬ, �Ԧሬ是不共面的空间向量，若�Ԧሬ= 3�Ԧሬ−2�Ԧሬ−4�Ԧሬ与�Ԧሬ= (�+ 1)�Ԧሬ+ 8�Ԧሬ+ ��Ԧሬ（�, �是实数）是平行向
量，则�+ �的值为（
）
A．16
B．-13
C．3
D．-3
【答案】C
【分析】根据�Ԧሬ∥�Ԧሬ，结合�Ԧሬ= ��Ԧሬ，列出方程组，求解即可.
【详解】因为�Ԧሬ, �Ԧሬ, �Ԧሬ是不共面的空间向量且�Ԧሬ∥�Ԧሬ，
故�Ԧሬ= ��Ԧሬ，则
�+ �= ��
�=−��
�=−��
，
解得�=−��, �= ��，所以�+ �= �.
故选：C.
10.（多选）已知四面体ABCD，E，F 分别是BC，CD 的中点，则��Ԧ
ሬሬሬ=（
）
A．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ−
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ+
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
【答案】AC
【分析】根据空间向量的线性运算逐项判断即可.
【详解】对于A，因为E，F 分别是BC，CD 的中点，所以��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ)，正确；
对于B，��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) =
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ)，错误；
对于C，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ)，正确；
对于D，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) = ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) = ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ) −
�
�(��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ)，错误.
故选：AC
11.如图，三棱柱���−�1�1�1中，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬ= �Ԧሬ，��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ= �Ԧሬ，点�为四边形���1�1的中心点，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=
（
）
A．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
B．�Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ
C．
1
2 �Ԧሬ+
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ
D．�Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ−
1
2 �Ԧሬ
【答案】A
【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】根据题意，��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
�(���Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ)，
又��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ，所以��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ，
故选：A.
12.对于空间任一点�和不共线的三点�，�，�，有��
→
= ���
→
+ ���
→
+ ���
→
，则�+ �+ �= 1 是�，�，�，
�四点共面的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据共面向量定理判断点�满足��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，且�+ �+ �= �，向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ
共面，得到�，�，�，�四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案．
【详解】解：若�+ �+ �= �，则��Ԧ
ሬሬሬሬ= �−�−���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，即��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，
由共面定理可知向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ共面，所以�，�，�，�四点共面；
反之，若�，�，�，�四点共面，当�与四个点中的一个(比如�点)重合时，
��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，�可取任意值，不一定有�+ �+ �= �，
所以�+ �+ �= �是�，�，�，�四点共面的充分不必要条件．
故选：B．
13.如图，在四面体ABCD中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过EF 的平面分别交棱DA 、BC 于G 、H
（不同于A 、B 、C 、D ），P 、Q 分别是棱BC 、CD 上的动点，则下列命题错误的是（
）
A．存在平面和点P ，使得
//
AP 平面
B．存在平面和点Q ，使得AQ// 平面
C．对任意的平面，线段EF 平分线段GH
D．对任意的平面，线段GH 平分线段EF
【答案】D
【详解】对于A 选项，当
//
AP EH 时，因为AP 平面，EH 平面，此时
//
AP 平面，A 对；
对于B 选项，当
//
AQ FG 时，因为AQ 平面，FG 平面，此时AQ// 平面，B 对；
对于C 选项，取AC 的中点O，GH 的中点为M ，设AG
AD
，CH
CB
，
则有
1
1
1
2
2
2
OE
OA
AE
OA
AB
OA
OB
OA
OA
OB
，
同理可得
1
1
2
2
OF
OC
OD
OA
OD
，
1
2
OM
OG
OH
，
2
OG
OA
AG
OA
AD
OA
OF
，
2
2
OH
OC
CH
OC
CB
OC
OE
OE
OA
，
所以
2
2
OG
OH
OF
OE
，所以，
2
2
OG
OH
OF
OE
，
因为E 、F 、G 、H 四点共面，则2
2
1 1
，所以，
1
，
所以，2
2
2
OM
OG
OH
OF
OE
，则
+ 1
OM
OF
OE
OF
OE
，
所以，
OM
OE
OF
OE
，可得EM
EF
，
即M 、E 、F 三点共线，即GH 的中点在EF 上，即线段EF 平分线段GH ，C 对；
对于D 选项，若线段GH 平分线段EF ，又因为线段EF 平分线段GH ，则四边形EGFH 为平行四边形，
事实上，四边形EGFH 不一定为平行四边形，故假设不成立，D 错.
故选：D.
14.四面体O
ABC
中，
3
OP
PA ，Q 是BC 的中点，M 是PQ的中点，设OA
a
，OB
b
，OC
c
，则OM
（
）
A．1
1
1
4
6
6
a
b
c
B．3
1
1
4
4
4
a
b
c
C．3
1
1
8
4
4
a
b
c
D．1
1
1
3
4
4
a
b
c
【答案】C
【详解】因为
3
OP
PA ，所以
3
4
OP
OA
，
因为Q 是BC 的中点，所以
1 (
)
2
OQ
OB
OC
，
因为M 为PQ 的中点，所以
1 (
)
2
OM
OP
OQ
1
1
2
2
OP
OQ
3
1 (
)
8
4
OA
OB
OC
4
3
1
1
8
4
a
b
c
，
故选：C.
15.已知�, �, �, �四点共面且任意三点不共线，平面����外一点�，满足��Ԧ
ሬሬሬሬ=−2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 5��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，则
�=
．
【答案】−�
【分析】根据空间向量共面的推论求解即可.
【详解】∵�, �, �, �四点共面且任意三点不共线，��Ԧ
ሬሬሬሬ=−���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，
∴�=−�+ �+ �，∴�=−�．
故答案为：−�
16.已知长方体����−�1�1�1�1中，点Q 为线段��1的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���1Ԧ
ሬሬሬሬሬ，则
�+ �+ �=
.
【答案】
�
�/2.5
【分析】根据向量的加法运算及向量的相等求值即可.
【详解】如图，
因为��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ����Ԧ
ሬሬሬሬሬ,
所以�+ �+ �= �+ �+
�
�=
�
�.
故答案为：
�
�
17.设�1Ԧ
ሬሬ, �2Ԧ
ሬሬ是空间两个不共线的非零向量，已知��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ+ ��2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �1Ԧ
ሬሬ+ 3�2Ԧ
ሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2�1Ԧ
ሬሬ−�2Ԧ
ሬሬ，且�, �, �
三点共线，则实数k 的值为
．
【答案】−�
【分析】根据题意，化简得到��Ԧ
ሬሬሬሬ=−��Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，由�, �, �三点共线，可设��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ，利用空间向量共线
的充要条件，列出方程，即可求解.
【详解】因为��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬ，
可得��
Ԧ
= ��
Ԧ
+ ��
Ԧ
=
��
Ԧ
+ ���
Ԧ
−
���
Ԧ
−��
Ԧ
=−��
Ԧ
+ ���
Ԧ
，
又因为�, �, �三点共线，可设��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ，即���Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ= �( −��Ԧ
ሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬ)，
因为��Ԧ
ሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ不共线，可得�=−�
�= ��，解得�=−�，
所以实数�的值为−�.
故答案为：−�.
18.如图，三棱锥O－ABC 中，M 是BC 的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 2��Ԧ
ሬሬሬሬ，设��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，用�Ԧሬ, �Ԧሬ, �Ԧሬ表示
向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=
【答案】−�Ԧሬ+
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
【详解】��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ
−��Ԧ
ሬሬሬሬ=−�Ԧሬ+
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ，
故答案为：−�Ԧሬ+
�
��Ԧሬ+
�
��Ԧሬ.
19.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，
2
AB
AD
，
1
4
AA
，M 是
1
BB 的中点，点P 满足
1
BP
BC
BB
，
其中
0,1
，
0,1
，且MP∥平面
1
1
AB D ，则动点P 的轨迹所形成的轨迹长度是（
）
A．5
B．4 2
C．2 2
D．2
【答案】A
【详解】如图所示，E，F，G，H，N 分别为
1
1
B C ，
1
1
C D ，
1
DD ，DA，AB 的中点，
则
1
1
EF
B D
NH
∥
∥
，
1
MN
B A
FG
∥
∥
，
所以平面MEFGHN ∥平面
1
1
AB D ，
所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部.
又因为
1
BP
BC
BB
，所以点P 在侧面
1
1
BCB C ，
所以点P 的轨迹为线段EM ，
因为AB=AD=2，
1
4
AA
，
所以
1
1
5
2
EM
AD
.
故选：A.
20.在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
AB
AA
，点P 满足
1
BP
mBC
nBB
，其中
1,
[0,1]
m
n
，则三角形
1
AB P 周长最小值是___________.
【答案】
2
5
/
5
2
【详解】根据题意，因为
1
1
BP
mBC
nBB
mBC
C
n C
，其中
1,
[0,1]
m
n
，
所以点P 在线段
1
CC 上.
如图所示，沿
1
AA 展开正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧面，
故三角形
1
AB P 周长为
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
5
AB
AP
B P
AP
B P
，
当
1
B 、P 、A 三点共线时，取等号.
故答案为：
2
5
.
21.（多选）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，P 为空间一点，且满足
1
BP
BC
BB
，
,
0,1
，则（
）
A．当
1
时，点P 在棱
1
BB 上
B．当
1
时，点P 在棱
1
1
B C 上
C．当
1
时，点P 在线段
1B C 上
D．当
时，点P 在线段
1
BC 上
【答案】BCD
【详解】当
1
时，
1
BP
BC
BB
，所以
1
CP
BB
，
则
1
/ /
CP
BB
，即P 在棱
1
CC 上，故A 错误；
同理当
1
时，则
1
/ /
B P
BC
，故P 在棱
1
1
B C 上，故B 正确；
当
1
时，
1
，所以
1
1
BP
BC
BB
，即
1
1
B P
B C
，
故点P 在线段
1
B C 上，故C 正确；
当
时，
1
1
BP
BC
BB
BC
，故点P 在线段
1
BC 上，故D 正确．
故选：BCD．
22.如图所示的平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，已知
1
AB
AA
AD
，
1
60
BAD
DAA
，
1
30
BAA
，N
为
1
1
A D 上一点，且
1
1
1
A N
A D
．若BD
AN
，则的值为__；若M 为棱
1
DD 的中点，
/ /
BM
平面
1
AB N ，
则的值为__．
【答案】
3 1
2
3
【详解】解：①BD
AN
，不妨取
1
1
AB
AA
AD
，
1
1
1
1
3
1
(
) (
)
cos60
cos30
cos60
0
2
2
2
BD AN
AD
AB
AA
AD
AD AA
AD AD
AB AA
AD AB
．
3
1
．
②连接
1A B ，与
1
AB 交于点E ．连接
1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．
/ /
BM
平面
1
AB N ，
/ /
BM
EF
．
E
点为
1A B 的中点，
F
点为
1A M 的中点．延长AN 交线段
1
DD 的延长线于点P ．
1
1
/ /
AA
DD
，
1A F
FM
．
1
1
2
AA
MP
D P
．
1
1
1
1
2
A N
AA
ND
D P
，
1
1
1
2
3
A N
A D
．则
2
3
．
故答案为：
3 1
，2
3 ．
23．如图，在四面体PABC 中，点M 、N 分别为PA 、PB 的中点，问：MN
与BC
、AC
是否共面？
【答案】共面，理由见解析.
AB
AC
CB
AC
BC
，且M 、N 分别为PA 、PB 的中点，
所以，
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
MN
PN
PM
PB
PA
PB
PA
AB
AC
BC
.
因此，MN
与BC
、AC
共面.
24．如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，O为AC 的中点.
（1）化简：
1
1
1
2
2
AO
AB
AD
；
（2）设E 是棱
1
DD 上的点，且
1
2
3
DE
DD
，若
1
EO
xAB
y AD
zAA
，试求实数x ，y ，z 的值.
【答案】（1）
1A A
；（2）
1
2
x
、
1
2
y
、
2
3
z
.
（1）
1
1
1
1
1 (
)
2
AO
AB
AD
AO
AO
OA
OA
A A
（2）
1
1
2
(
)
2
3
EO
AO
AE
AB
AD
AD
AA
1
1
1
2
2
2
3
AB
AD
AA
，
1
2
x
、
1
2
y
、
2
3
z
.
25.如图，在棱长为4 的正四面体����中，�是��的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬ= 3��Ԧ
ሬሬሬ，记��Ԧ
ሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ.
(1)求�+ �+ �的值；
(2)求��Ԧ
ሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ.
【答案】(1)�+ �+ �=
�
�
(2)��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= �
【分析】（1）利用空间向量的线性运算和向量基本定理求解；
（2）利用空间向量的线性运算和向量数量积求解.
【详解】（1）因为�是��的中点，��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ，所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ，
又��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ，所以�=−
�
�, �=
�
�, �=
�
�，
则�+ �+ �=
�
�.
（2）因为��Ԧ
ሬሬሬሬ=
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= −
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ
⋅
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ
==−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ−
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬ�+
�
���Ԧ
ሬሬሬሬ⋅
��Ԧ
ሬሬሬሬ+
�
����Ԧ
ሬሬሬሬ�由正四面体����的棱长为4，
可得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= �× �×
�
�= �, ��Ԧ
ሬሬሬሬ�= ��Ԧ
ሬሬሬሬ�= ��，
26．如图，在三棱锥P
ABC
中，点G 为ABC
的重心，点M 在PG 上，且
3
PM
MG
，过点M 任意作
一个平面分别交线段PA ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD
m PA
，PE
n PB
，PF
t PC
，求证：1
1
1
m
n
t
为定值，并求出该定值.
【答案】为定值4；证明见解析；
联结AG 并延长交BC 于H，由题意，令
,
,
PA PB PC
为空间向量的一组基底，
则
3
3
3
3
2
(
)
4
4
4
4
3
PM
PG
PA
AG
PA
AH
3
1
3
1
1
(
)
(
)
4
2
2
4
4
4
AB
AC
PA
PA
PB PA
PC
PA
1
1
1
4
4
4
PA
PB
PC
.
联结DM，点D ，E ，F ，M 共面，故存在实数,
，
满足DM
DE
DF
，即
(
)
(
)
PM
PD
PE
PD
PF
PD
，
因此
(1
)
(1
)
PM
PD
PE
PF
m PA
n PB
t PC
，
由空间向量基本定理知，
1
(1
)
4
m
n
t
，
故1
1
1
4(1
)
4
4
4
m
n
t
，为定值.
27．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，O为其中心．
（1）化简
1
1
1
AB
CC
B D
；
（2）若
1
1
1
1
0
AA
x
BC
C D
D A
，则x
r 可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个）
【答案】（1）
1
AD
；（2）x
r 可以是
1
1
1
1
,
,
,
A B AB DC D C
中的任一个．
解：（1）
1
1
1
1
1
1
AB
CC
B D
AB
BB
B D
1
1
1
1
AB
B D
AD
，
（2）因为
1
1
1
1
,
BC
B C D A
DA
，所以
1
1
1
1
AA
x
BC
C D
D A
1
1
1
1
0
AA
x
B C
C D
DA
．
所以
1
1
0
AA
x
B A
，所以
1
1
x
A B
．
又因为
1
1
1
1
A B
AB
DC
D C
，
所以x
可以是
1
1
1
1
,
,
,
A B AB DC D C
中的任一个．
