文档文本内容
专题七 平面向量
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
．理解平面向量的概念 向量相等及几 ．从近几年高考情况来看 考题难度以中低
一、平面向量 １ ， １ ， ．结合图形理解平面向量的概念
何表示 理解向量的加 减法 数乘向量 档为主 题型主要以选择题或填空题的形式 １ 、
的概念、 ， 、 ， ， 向量的线性运算 熟练掌握平行四
的运算及其几何意义 理解两向量共线 出现 分值为 分． ，
线性运算 ， ， ５ 边形法则与三角形法则．
的意义及表示． ．本专题内容在 年的高考试题中多以
及 基 本 ２ ２０２０ ．理解平面向量基本定理的实质
．熟练掌握向量的线性运算 能进行准 平面向量的线性运算 平面向量的数量积为 ２ ，
定理 ２ ， 、 会用给定的基底表示向量．
确 快捷的向量计算． 考查点 如 新高考 卷第 题是以正
、 （ ２０２０ Ⅰ ７ ．通过建立平面直角坐标系能求出向
六边形为背景考查向量数量积的运算 ３
１
．理解平面向量数量积的含义及其几
课标 卷理数第 题考查了单位向量
，
与
２０
用
２０ 量的坐标
，
会进行平面向量的和
、
差
、
何意义 了解平面向量的数量积与向量 Ⅰ １４ 数乘向量及数量积的坐标运算．
； 数量积求向量的模 天津卷第 题以
二、平面向量 投影的关系 掌握数量积的坐标表达 ，２０２０ １５ ．掌握用数量积的定义 几何意义
； 四边形为载体考查用基底表示平面向量及 ４ 、
的数量积 式
，
会进行平面向量数量积的运算．
求数量积 同时与最值问题相联系 近几年
求两向量的数量积并能用数量积
及向量的
２
．掌握求向量长度的方法
；
能运用数量
的高考试
，
题都注重学生对平面向量
），
的基本
求两向量夹角
，
判断或证明向量垂
综合应用 积表示两个向量的夹角 会用数量积判 直 求向量的模．
； 知识和基本解题方法的考查． 、
断两个平面向量的垂直关系．
．本专题重点考查的核心素养为数学运算 ５
．利用数形结合的方法和函数的思
３
．了解平面向量基本定理及其意义． ３
和逻辑推理．
想解决最值等综合问题．
求夹角问题 利用夹角公式 θ
命题立意 （４） ： ｃｏｓ ＝
ａ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ
本题以正六边形为背景 考查求两个向量 · １ ２＋ １ ２ 其中 ａ ｘ
数量积的取值范围问题． ， ｜ ａ ｜｜ ｂ ｜ ＝ ｘ２ １＋ ｙ２ １ ｘ２ ２＋ ｙ２ ２ （ ＝（ １，
ｙ ｂ ｘ ｙ ．
解题过程
１）， ＝（ ２， ２））
用向量方法解决几何问题的步骤
：
如图 过点Ｐ作ＰＰ 直线ＡＢ于Ｐ 过点 建立平面几何与向量的联系 用向量
， １⊥ １， （１） ，
Ｃ作ＣＣ 直线ＡＢ于Ｃ 过点Ｆ作ＦＦ 拓展延伸 表示问题中涉及的几何元素 将平面几何
１⊥ １， １⊥ ，
直线ＡＢ 于Ｆ １， →ＡＰ · →ＡＢ ＝｜ →ＡＰ ｜·｜ →ＡＢ ｜· 利用
证
向
明
量
线
常
线
解
平
决
行
的几
或
何
判
问
断
题
两
：
直线 或线
问题
通
转
过
化
向
为
量
向
运
量
算
问
研
题
究
；
几何元素之间的关系
ＰＡＢ 当 ＰＡＢ 为锐角时 →ＡＰ （１） ， （ （２） ， ；
ｃｏｓ∠ ， ∠ ，｜ ｜ · 段 是否平行 常运用向量平行 共线 的 把运算结果 翻译 成几何关系．
ｃｏｓ∠
ＰＡＢ
＝ ｜
Ａ→Ｐ
１｜，
当
∠
ＰＡＢ 为钝角时
， 条件
）
，
ａ
∥
ｂ
⇔
ａ
，
＝
λｂ
⇔
ｘ
１
ｙ
２－
ｘ
２
ｙ
１＝
（
０（
ｘ
２≠
）
０，
（３） “ ”
→ＡＰ ＰＡＢ Ａ→Ｐ 所以当点Ｐ与 ｙ 其中ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ ．
｜ ｜·ｃｏｓ∠ ＝－｜ １｜， ２≠０）（ ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２））
Ｃ重合时
，
→ＡＰ
·
→ＡＢ最大
，
此时→ＡＰ
·
→ＡＢ
＝ （２）
求向量的模
｜
ａ
｜＝
ａ２
＝
ｘ２
＋
ｙ２
（
其
｜
Ａ→Ｃ
１｜｜
→ＡＢ
｜＝６，
当点Ｐ与Ｆ重合时
，
→ＡＰ
·
中ａ
证
＝（
明
ｘ
，
垂
ｙ
）
直
）
．
问题 常用向量垂直的充要
→ＡＢ最小 此时→ＡＰ →ＡＢ Ａ→Ｆ →ＡＢ （３） ，
， · ＝－｜ １｜·｜ ｜＝ 条件 ａ ｂ ａ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ 其
又因为点Ｐ是正六边形ＡＢＣＤＥＦ内的 ， ⊥ ⇔ · ＝０⇔ １ ２＋ １ ２＝０（
－２， 中ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ ．
一点 所以 →ＡＰ →ＡＢ ．故选 ． ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２））
， －２＜ · ＜６ Ａ
３８８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）专题七 平面向量 ３８９
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
数量积的定义及
２０２０课标Ⅰ理，１４ 填空题 易 求向量的模 定义法 数学运算
５ 夹角与模问题
单项 逻辑推理
２０２０新高考Ⅱ，３ 易 向量的线性运算 向量的线性运算 定义法
５ 选择题 数学运算
数学运算
单项
２０２０新高考Ⅰ，７ 中 数量积的综合应用 求数量积的取值范围 分类讨论法 逻辑推理
５ 选择题
直观想象
数学运算
２０２０北京，１３ 填空题 中 数量积的综合应用 求向量的模、数量积 定义法
５ 逻辑推理
数学运算
２０２０天津，１５ 填空题 难 数量积的综合应用 建立函数模型求数量积最值 定义法 逻辑推理
５
直观想象
数量积的定义及
２０２０课标Ⅰ文，１４ 填空题 易 向量的坐标运算、数量积 公式法 数学运算
５ 夹角与模问题
命题规律与探究
．从近几年高考情况来看 本专题内容的考题难度以中 低档为主 题型主要以选择题或填空题的形式出现 分值为 分．
１ ， 、 ， ， ５
．本专题内容在高考试题中以平面向量的线性运算 平面向量的数量积为主要考查点 考查学生对平面向量的基本知识和基本
２ 、 ，
解题方法的掌握情况．
．在处理与平面向量有关的问题时 注意坐标法和基底法在解题中的应用．
３ ，
．本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理．
４
命题变化与趋势
．高考对本专题内容的考查较为稳定 考查方式及题目难度在近两年中变化不大 延续此前的考试风格．
１ ， ，
．考查内容主要体现在以下方面 以平面几何为背景考查平面向量的线性运算以及共线问题 以平面向量的夹角 模长等内
２ ：① ；② 、
容为入手点 考查平面向量的坐标运算以及数量积等问题 以平面向量的数量积为载体 考查向量数量积的坐标运算 几何
， ；③ ， 、
意义及取值范围问题 从而体现向量的工具性．同时注意方程思想 数形结合思想以及整体意识在解决平面向量问题中的应用．
， 、３９０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
７．１ 平面向量的概念、线性运算及基本定理
§
性质定理 若向量ｂ与非零向量ａ共线 则存在唯一一
（２） ： ，
个实数λ 使得ｂ λａ．
， ＝
Ａ Ｂ Ｃ是平面上三点 且Ａ与Ｂ不重合 Ｐ是平面内任
（３） ， ， ， ，
考点一 平面向量的概念及线性运算
意一点 若点Ｃ在直线ＡＢ上 则存在实数λ 使得Ｐ→Ｃ λ →ＰＡ
１．向量的有关概念及表示法 ， ， ， ＝（１－ ）
λＰ→Ｂ 如图．
＋ ，
名称 定义 表示法
既有大小又有方向的量叫向
向量 →ＡＢ
向量 量 向量的大小叫做向量的长 ： ；
度 ； 或模 模 ：① ｜ →ＡＢ ｜
（ ）
长度为 的向量叫零向量 其
零向量 ０ ， 记作０
方向是任意的 ２．平面向量基本定理
单位向量 长度等于 个单位的向量 常用ｅ表示 如果ｅ ｅ 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平
１ １、 ２ ，
平行向量 方向相同或相反的非零向量 ａ 与 ｂ 共 线 可 记 面内的任意向量ａ ， 有且只有一对实数λ １、 λ ２， 使ａ ＝ λ １ ｅ １＋ λ ２ ｅ ２ ．
为 ａ ｂ 其中 不共线 的向量ｅ ｅ 叫做表示这一平面内所有向
共线向量 平行向量又叫做共线向量 ０与 ② 任 一 ∥ 向 ； 量共线 量的一组 ， 基 ⑥ 底 ． １、 ２
相等向量 长度相等且方向相同的向量 ａ ｂ 温馨提示 构成基底的两向量不共线
＝ （１） ；
ａ与ｂ互为相反向量 则 基底给定 同一向量的分解形式唯一
， （２） ， ；
相反向量 长度相等且方向相反的向量 ａ ｂ ０ 的相反向量 若λ ｅ λ ｅ ０ 则λ λ ．
＝ － ； （３） １ １＋ ２ ２＝ ， １＝ ２＝０
为０ ３．平面向量的坐标表示
２．平面向量的线性运算 在平面直角坐标系中 分别取与ｘ轴 ｙ轴方向相同的两
（１） ， 、
向量
个单位向量ｉ ｊ作为基底．对于平面内的一个向量ａ 由平面向
运算
定义 法则（或几何意义） 运算律
量基本定理知
、
有且只有一对实数ｘ ｙ 使得ａ ｘｉ ｙｊ
，
这样 平面
， 、 ， ＝ ＋ ， ，
内的任一向量 ａ 都可由 ｘ ｙ 唯一确定 我们把有序数对
、 ，
（ｘ，ｙ） 叫做向量ａ的坐标 记作ａ ｘ ｙ 其中ｘ叫做ａ在ｘ
⑦ ， ＝（ ， ），
轴上的坐标 ｙ叫做ａ在ｙ轴上的坐标 显然０ ｉ
交换律 ， ， ＝（０，０）， ＝（１，
（１） ： ｊ （ ， ） ．
求两个向量和 ａ ｂ ｂ ａ ０）， ＝⑧ ０ １
加法 的运算 三角形法则 ＋ 结 ＝③ 合 律 ＋ ； （２） 设Ｏ→Ａ ＝ ｘｉ ＋ ｙｊ ， 则向量Ｏ→Ａ的坐标 （ ｘ ， ｙ ） 就是终点Ａ的坐
（２） ：
ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ 标 即若Ｏ→Ａ ｘ ｙ 则Ａ点坐标为 （ｘ，ｙ） 反之亦成立 Ｏ是
（ ＋ ）＋ ＝ ＋（ ＋ ） ， ＝（ ， ）， ⑨ ， （
坐标原点 ．
）
平行四边形法则 ４．向量的坐标运算
平面向量运算的坐标表示
（１）
坐标表示
求 ａ 与 ｂ 的相
减法 反向量 ｂ的和 加法 已知ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则ａ ｂ （ｘ ｘ ，ｙ ｙ ）
－ ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２）， ＋ ＝⑩ １＋ ２ １＋ ２
的运算
减法 已知ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则ａ ｂ （ｘ ｘ ，ｙ ｙ ）
三角形法则 ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２）， － ＝ １－ ２ １－ ２
数乘 已知ａ ｘ ｙ 则λａ （λｘ ，λｙ ） 其中λ是实数
＝（ １， １）， ＝ １ １ ，
λａ λ ａ
（１）｜ ｜＝｜ ｜｜ ｜； 任一向量
当λ 时 λａ与ａ λ μａ λμ ａ 已知Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则→ＡＢ （ｘ ｘ ，ｙ ｙ ）
求实数 λ 与向 （２） ＞０ ， （ ）＝（ ） ； 的坐标 （ １， １）， （ ２， ２）， ＝ ２－ １ ２－ １
的方向相同 λ μ ａ λａ μａ
数乘 量 ａ 的 积 的 ； （ ＋ ） ＝ ＋ ；
当λ 时 λａ与ａ的 λ ａ ｂ 温馨提示 向量相等 则坐标相同 向量的坐标与表示
运算 ＜０ ， （ ＋ ） ａ． ， ；ｂ．
方向相反 λａ λｂ 该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对位
； ＝④ ＋ 、 ，
当λ ＝０ 时 ， λａ ＝ ０ 置有关．
平面向量共线的坐标表示 若ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ
（２） ： ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２），
考点二 平面向量基本定理及坐标运算 则ａ ｂ ｘ ｙ ｘ ｙ ． ．
∥ ⇔ １ ２－ ２ １＝０
１．共线向量定理 温馨提示 若ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则ａ ｂ的充要条
ａ． ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２）， ∥
判定定理 ａ是一个非零向量 若存在一个实数λ使得 ｘ ｙ
（１） ： ， 件不能表示成 １ １．因为ｘ ｙ 有可能等于 所以应表示为
ｂ λａ 则向量ｂ与ａ共线． ｘ ＝ ｙ ２， ２ ０，
⑤ ＝ ， ２ ２
专题七 平面向量 ３９１
ｘ ｙ ｘ ｙ ．同时 ａ ｂ的充要条件也不能错记为ｘ ｘ ｙ ｙ ｂ ０ 这与ｘ ｙ ｘ ｙ 在本质上是没有差异的 只是形式上
１ ２－ ２ １＝０ ， ∥ １ ２－ １ ２＝ （ ≠ ）， １ ２－ ２ １＝０ ，
ｘ ｙ ｘ ｙ 等． 不同．
０， １ １－ ２ ２＝０
若ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则ａ ｂ的充要条件是ａ λｂ
ｂ． ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２）， ∥ ＝
考点一 平面向量的概念及线性运算
１．下列命题中 正确的个数是
， （ ）
单位向量都相等 模相等的两个平行向量是相等向量
① ；② ；
若ａ ｂ满足 ａ ｂ 且ａ与ｂ同向 则ａ ｂ Ａ． １ Ｂ．１ Ｃ． １ Ｄ． ３
③ ， ｜ ｜＞｜ ｜ ， ＞ ； ４ ２ ２
若两个向量相等 则它们的起点和终点分别重合 答案 Ｃ
④ ， ；
若ａ ｂ ｂ ｃ 则ａ ｃ．
⑤ ∥ ， ∥ ， ∥ ６．已知点Ａ Ｂ 则与向量→ＡＢ同方向的单位向量为
（１，３）， （４，－１），
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
答案 Ａ （ ）
( ) ( ) ( ) ( )
２．设Ｄ为 ＡＢＣ中ＢＣ边上的中点 且Ｏ为ＡＤ上靠近点Ａ的三 ３ ４ ４ ３ ３ ４ ４ ３
△ ， Ａ． ，－ Ｂ． ，－ Ｃ． － ， Ｄ． － ，
等分点 则 ５ ５ ５ ５ ５ ５ ５ ５
， （ ） 答案 Ａ
( )
Ａ．
Ｂ→Ｏ
＝－
１→ＡＢ
＋
１→ＡＣ
Ｂ．
Ｂ→Ｏ
＝
１→ＡＢ
－
１→ＡＣ
７．向量ａ １ α ｂ α 且ａ ｂ 则 α
６ ２ ６ ２ ＝ ，ｔａｎ ， ＝（ｃｏｓ ，１）， ∥ ， ｃｏｓ２ ＝ （ ）
３
Ｂ→Ｏ ５→ＡＢ １→ＡＣ Ｂ→Ｏ ５→ＡＢ １→ＡＣ
Ｃ． ＝ － Ｄ． ＝－ ＋ １ １ ７ ７
６ ６ ６ ６ Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
答案 Ｄ ３ ３ ９ ９
答案 Ｃ
３．设Ｍ为平行四边形 ＡＢＣＤ 对角线的交点 Ｏ 为平行四边形
， ８．已知向量ａ ｂ ｘ 若 ａ ｂ ｂ ａ 则实数ｘ
＝（１，１）， ＝（２， ）， （ ＋ ）∥（４ －２ ），
ＡＢＣＤ所在平面内任意一点 则Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｄ等于 的值是
， ＋ ＋ ＋ （ ） （ ）
Ａ．
Ｏ→Ｍ
Ｂ．２
Ｏ→Ｍ
Ｃ．３
Ｏ→Ｍ
Ｄ．４
Ｏ→Ｍ
１
答案 Ｄ Ａ．－２ Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．２
２
答案 Ｄ
４． １ ａ ｂ ａ ｂ ．
（２ －３ ）－３（ ＋ ）＝ ９．向量ａ ｂ ｃ在正方形网格中的位置如图所示．若ｃ λａ μｂ λ
３ ， ， ＝ ＋ （ ，
λ
答案 ７ ａ ｂ μ Ｒ 则 ．
－ －４ ∈ ）， μ ＝
３
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
５．如图 在 ＡＢＣ中 Ａ→Ｎ １ →ＡＣ Ｐ是ＢＮ的中点 若→ＡＰ ｍ→ＡＢ
， △ ， ＝ ， ， ＝ ＋
２
答案
１→ＡＣ 则实数ｍ的值是 ４
， （ ）
４
２．（２０１６青海西宁二诊，７）已知点Ｐ为 ＡＢＣ所在平面内一点
△ ，
边ＡＢ的中点为Ｄ 若 Ｐ→Ｄ λ →ＰＡ Ｃ→Ｂ 其中λ Ｒ 则Ｐ点
， ２ ＝（１－ ） ＋ ， ∈ ，
一定在
考点一 平面向量的概念及线性运算 （ ）
ＡＢ边所在的直线上 ＢＣ边所在的直线上
１．（２０１９天津耀华中学统练（２），２）已知Ａ
、
Ｂ
、
Ｃ
、
Ｄ是平面内任 Ａ． ＡＣ边所在的直线上 Ｂ． ＡＢＣ的内部
意四点 现给出下列式子 Ｃ． Ｄ．△
， ： 答案 Ｃ 因为 Ｐ→Ｄ λ →ＰＡ Ｃ→Ｂ 所以 →ＰＡ Ａ→Ｄ →ＰＡ
２ ＝（１－ ） ＋ ， ２（ ＋ ）＝ －
→ＡＢ Ｃ→Ｄ Ｂ→Ｃ Ｄ→Ａ →ＡＣ Ｂ→Ｄ Ｂ→Ｃ Ａ→Ｄ →ＡＣ Ｂ→Ｄ Ｄ→Ｃ →ＡＢ．其
① ＋ ＝ ＋ ；② ＋ ＝ ＋ ；③ － ＝ ＋ λ→ＰＡ Ｃ→Ｂ →ＰＡ Ａ→Ｄ →ＰＡ λ→ＰＡ Ｃ→Ｂ →ＰＡ Ａ→Ｄ Ｃ→Ｂ λ→ＰＡ 因
中正确的有 ＋ ，２ ＋２ ＝ － ＋ ， ＋２ － ＝－ ，
个 个 个 个
（ ） 为Ｄ为边ＡＢ的中点
，
所以Ｐ→Ｃ
＝－
λ→ＰＡ
，
所以Ｐ点一定在ＡＣ边
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 所在的直线上．
答案 Ｃ
①
式的等价式是→ＡＢ
－
Ｄ→Ａ
＝
Ｂ→Ｃ
－
Ｃ→Ｄ
，
左边
＝
→ＡＢ
＋
Ａ→Ｄ
， 思路分析 利用向量的线性运算化简后 结合共线向量定理
，
右边 Ｂ→Ｃ Ｄ→Ｃ 不一定相等 求解．
＝ ＋ ， ；
式的等价式是→ＡＣ Ａ→Ｄ Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｄ 即Ｄ→Ｃ Ｄ→Ｃ成立 解题关键 由向量的线性运算得Ｐ→Ｃ λ→ＰＡ是求解关键．
② － ＝ － ， ＝ ； ＝－
③
式的等价式是→ＡＣ
＝
Ｂ→Ｄ
＋
Ｄ→Ｃ
＋
→ＡＢ
＝
→ＡＣ成立． ３．（２０１８江西师大附中１２月模拟，１０）设Ｄ
，
Ｅ
，
Ｆ分别为
△
ＡＢＣ
综上可知正确的是 ．故选 ． 三边ＢＣ ＣＡ ＡＢ的中点 则Ｄ→Ａ Ｅ→Ｂ Ｆ→Ｃ
②③ Ｃ ， ， ， ＋２ ＋３ ＝ （ ）
３９２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
λ μ λ μ
１ Ａ→Ｄ ３ Ａ→Ｄ Ｃ． － ＝１ Ｄ． ＋ ＝２
Ａ． Ｂ．
２ ２ 答案 Ａ 若Ａ Ｂ Ｃ共线 则→ＡＣ →ＡＢ 即存在实数ｋ 使得→ＡＣ
， ， ， ∥ ， ，
１ →ＡＣ ３ →ＡＣ ｋ→ＡＢ．
Ｃ． Ｄ． ＝
２ ２
答案 Ｄ 因为Ｄ Ｅ Ｆ分别为 ＡＢＣ的三边ＢＣ ＡＣ ＡＢ的 →ＡＣ ａ μｂ →ＡＢ λａ ｂ ａ μｂ ｋ λａ ｂ
， ， △ ， ， ∵ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，∴ ＋ ＝ （ ＋ ），
即 ｋλ ａ μ ｋ ｂ ０．
中点 ， 所以Ｄ→Ａ ＋２ Ｅ→Ｂ ＋３ Ｆ→Ｃ ＝ １ （ →ＢＡ ＋ →ＣＡ ）＋２× １ （ →ＡＢ ＋ Ｃ→Ｂ ）＋３× （１－ ） ＋（ － ） ＝ { ｋλ
２ ２ ａ ｂ是不共线的非零向量 １－ ＝０，解得λμ ．
∵ ， ，∴ μ ｋ ＝１
１ →ＡＣ Ｂ→Ｃ １ →ＢＡ １ →ＣＡ →ＡＢ Ｃ→Ｂ ３ Ｂ→Ｃ ３ →ＡＣ １ →ＡＢ － ＝０，
×（ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ 故Ａ Ｂ Ｃ三点共线的充要条件为λμ ．故选 ．
２ ２ ２ ２ ２ ２ ， ， ＝１ Ａ
７．如图 在直角梯形 ＡＢＣＤ 中 ＡＢ ＡＤ ＤＣ Ｅ 为 ＢＣ 边上一
１ Ｂ→Ｃ →ＡＣ １→ＡＣ →ＡＣ ３→ＡＣ 故选 ． ， ， ＝２ ＝２ ，
２ ＋ ＝ ２ ＋ ＝ ２ ， Ｄ 点 Ｂ→Ｃ Ｅ→Ｃ Ｆ为ＡＥ的中点 则Ｂ→Ｆ
４．（２０１８福建高三４月质检，３）庄严美 ， ＝３ ， ， ＝ （ ）
丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光
明的象征．正五角星是一个非常优美的几
何图形 且与黄金分割有着密切的联系
， ：
在如图所示的正五角星中 以Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
， ， ， ， ， ２ →ＡＢ １ Ａ→Ｄ １ →ＡＢ ２ Ａ→Ｄ
ＰＴ Ａ． － Ｂ． －
Ｅ为顶点的多边形为正五边形 且 ３ ３ ３ ３
， ＡＴ＝
２→ＡＢ １ Ａ→Ｄ １→ＡＢ ２ Ａ→Ｄ
Ｃ．－ ＋ Ｄ．－ ＋
３ ３ ３ ３
５－１．下列关系中正确的是 答案 Ｃ 如图 取ＡＢ的中点Ｇ 连接ＤＧ ＣＧ 易知四边形
（ ） ， ， ， ，
２
ＤＣＢＧ为平行四边形 所以Ｂ→Ｃ Ｇ→Ｄ Ａ→Ｄ →ＡＧ Ａ→Ｄ １→ＡＢ
Ｂ→Ｐ →ＴＳ ５＋１→ＲＳ Ｃ→Ｑ →ＴＰ ５＋１→ＴＳ ， ＝ ＝ － ＝ － ，
Ａ． － ＝ Ｂ． ＋ ＝ ２
( )
２ ２
→ＡＥ →ＡＢ Ｂ→Ｅ →ＡＢ ２ Ｂ→Ｃ →ＡＢ ２ Ａ→Ｄ １→ＡＢ ２ →ＡＢ
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － ＝ ＋
→ＥＳ →ＡＰ ５－１Ｂ→Ｑ →ＡＴ Ｂ→Ｑ ５－１Ｃ→Ｒ ３ ３ ２ ３
Ｃ． － ＝ Ｄ． ＋ ＝
２ ２ ２ Ａ→Ｄ
→ＲＳ ，
答案 Ａ 由题意得
，
Ｂ→Ｐ
－
→ＴＳ
＝
→ＴＥ
－
→ＴＳ
＝
→ＳＥ
＝ ＝
５＋１→ＲＳ
，
３
( )
５－１ ２ 于是Ｂ→Ｆ
＝
→ＡＦ
－
→ＡＢ
＝
１→ＡＥ
－
→ＡＢ
＝
１ ２ →ＡＢ
＋
２ Ａ→Ｄ
－
→ＡＢ
２ ２ ３ ３
２
所以
Ａ
正确
； ＝－
２→ＡＢ
＋
１ Ａ→Ｄ
，
故选
Ｃ．
３ ３
Ｃ→Ｑ →ＴＰ →ＰＡ →ＴＰ →ＴＡ ５＋１→ＳＴ 所以 错误
＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ， Ｂ ；
２
→ＥＳ →ＡＰ Ｒ→Ｃ Ｑ→Ｃ Ｒ→Ｑ ５－１Ｑ→Ｂ 所以 错误
－ ＝ － ＝ ＝ ， Ｃ ；
２
→ＡＴ Ｂ→Ｑ Ｓ→Ｄ Ｒ→Ｄ ５－１Ｃ→Ｒ →ＲＳ Ｒ→Ｄ Ｓ→Ｄ 若→ＡＴ Ｂ→Ｑ ５－１Ｃ→Ｒ
解题关键 选定向量→ＡＢ
、
Ａ→Ｄ为基底
，
正确利用向量的线性运
＋ ＝ ＋ ，
２
＝ ＝ － ， ＋ ＝
２
， 算是求解关键．
则Ｓ→Ｄ ０ 不合题意 所以 错误． ８．（２０１８吉林长春模拟，６）在 ＡＢＣ中 Ｄ为三角形所在平面内
＝ ， ， Ｄ △ ，
故选 Ｓ
Ａ． 一点 且Ａ→Ｄ １→ＡＢ １→ＡＣ 则 △ ＢＣＤ
５．（２０１９湖南顶级名校摸底考试，４）如图 ， 已知→ＡＢ ＝ ａ ， →ＡＣ ＝ ｂ ， Ｂ→Ｃ ， ＝ ３ ＋ ２ ， Ｓ △ ＡＢＤ ＝ （ ）
Ｂ→Ｄ →ＣＡ Ｃ→Ｅ 则Ｄ→Ｅ １ １ １ ２
＝４ ， ＝３ ， ＝ （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６ ３ ２ ３
答案 Ｂ 设直线ＡＤ与ＢＣ交于点Ｅ →ＡＥ ｘＡ→Ｄ．
， ＝
ｘ ｘ
Ａ→Ｄ １→ＡＢ １→ＡＣ →ＡＥ →ＡＢ →ＡＣ．
∵ ＝ ＋ ，∴ ＝ ＋
３ ２ ３ ２
Ｅ Ｂ Ｃ三点共线
∵ 、 、 ，
３ ｂ １ ａ ５ ａ ３ ｂ ｘ ｘ
Ａ． － Ｂ． － ｘ ６ →ＡＥ ６ Ａ→Ｄ
４ ３ １２ ４ ∴ ＋ ＝１，∴ ＝ ，∴ ＝ ，
３ ２ ５ ５
３ ａ １ ｂ ５ ｂ ３ ａ
Ｃ． － Ｄ． － →ＡＥ Ａ→Ｄ Ｄ→Ｅ Ａ→Ｄ Ｄ→Ｅ ６ Ａ→Ｄ Ａ→Ｄ Ｄ→Ｅ．
４ ３ １２ ４ ∵ ＝ ＋ ，∴ ＋ ＝ ，∴ ＝５
５
答案 Ｄ Ｄ→Ｅ Ｄ→Ｃ Ｃ→Ｅ ３ Ｂ→Ｃ １ →ＣＡ ３ →ＡＣ →ＡＢ １ →ＡＣ
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ （ － ）－ →ＡＥ ２→ＡＢ ３→ＡＣ ２ →ＡＥ →ＡＢ ３ →ＡＣ →ＡＥ
４ ３ ４ ３ ∵ ＝ ＋ ，∴ （ － ）＝ （ － ），
５ ５ ５ ５
＝
５→ＡＣ
－
３→ＡＢ
＝
５ ｂ
－
３ ａ．选
Ｄ
．
Ｂ→Ｅ ３ Ｅ→Ｃ．
１２ ４ １２ ４ ∴ ＝
２
６．（２０１８吉林调研，８）已知ａ ｂ是不共线的非零向量 →ＡＢ λａ 设Ｓ ｘ 则Ｓ ｘ
， ， ＝ ＋ △ ＤＥＣ＝２ ， △ ＤＢＥ＝３ ，
ｂ
，
→ＡＣ
＝
ａ
＋
μｂ
（
λ
，
μ
∈
Ｒ
），
若Ａ
，
Ｂ
，
Ｃ三点共线
，
则λ
，
μ的关系一
∵
Ａ→Ｄ
＝５
Ｄ→Ｅ
，∴
Ｓ
△ ＡＢＤ＝５×３
ｘ
＝１５
ｘ
，
定成立的是 Ｓ Ｓ Ｓ ｘ ｘ
（ ） △ ＢＣＤ △ ＤＢＥ＋ △ ＤＥＣ ３ ＋２ １ ．
λμ λμ ∴ Ｓ ＝ Ｓ ＝ ｘ ＝
Ａ． ＝１ Ｂ． ＝－１ △ ＡＢＤ △ ＡＢＤ １５ ３
专题七 平面向量 ３９３
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
( )
１．（２０１８辽宁丹东五校协作体联考，４）向量ａ １ α ｂ
＝ ，ｔａｎ ， ＝
３
α 且ａ ｂ 则 α
（ｃｏｓ ，１）， ∥ ， ｃｏｓ２ ＝ （ ）
１ １ ７ ７ ６．（２０１９湖北重点中学第一次联考，５）已知向量ａ ｂ
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ＝（－２，１）， ＝
３ ３ ９ ９ 则
( ) （－１，３）， （ ）
答案 Ｃ ａ ｂ ａ １ α ｂ α ａ ｂ ａ ｂ
∵ ∥ ， ＝ ，ｔａｎ ， ＝（ｃｏｓ ，１）， Ａ． ∥ Ｂ． ⊥
３ ａ ａ ｂ ａ ａ ｂ
Ｃ． ∥（ － ） Ｄ． ⊥（ － ）
１ α α 即 α １ 答案 Ｄ 根据题意 依次分析选项
∴ －ｔａｎ ｃｏｓ ＝０， ｓｉｎ ＝ ， ， ：
３ ３ 对于 向量ａ ｂ 有 则
( ) Ａ， ＝（－２，１）， ＝（－１，３）， １×（－１）≠（－２）×３，
∴ ｃｏｓ２
α
＝１－２ｓｉｎ
２α
＝１－２×
１ ２
＝
７ ．故选
Ｃ
． ａ
∥
ｂ不成立
，
故
Ａ
错误
；
３ ９ 对于 向量ａ ｂ 有ａ ｂ
２．（２０１８河北衡水中学五调，８）已知平面直角坐标系内的两个 Ｂ， ＝（－２，１）， ＝（－１，３）， · ＝（－２）×（－１）＋１
则ａ ｂ不成立 故 错误
向量ａ ｂ ｍ ｍ 且平面内的任一向量ｃ都可以 ×３＝５， ⊥ ， Ｂ ；
＝（１，２）， ＝（ ，３ －２）， 对于 向量ａ ｂ 有 ａ ｂ 且
唯一地表示成ｃ ＝ λａ ＋ μｂ （ λ ， μ为实数 ）， 则ｍ的取值范围是 Ｃ， ＝（－２，１） 则 ， ａ ＝（－ ａ １， ｂ ３） 不 ， 成立 － 故 ＝（－ 错 １ 误 ，－２），
（－２）×（－２）≠１×（－１）， ∥（ － ） ， Ｃ ；
（ ） 对于 向量ａ ｂ 则ａ ｂ
Ｄ， ＝（－２，１）， ＝（－１，３）， － ＝（－１，－２），
Ａ．（－∞，２） Ｂ．（２，＋∞） 有ａ
·（
ａ
－
ｂ
）＝（－１）×（－２）＋１×（－２）＝ ０，
则ａ
⊥（
ａ
－
ｂ
），
故
Ｄ
Ｃ．（－∞，＋∞） Ｄ．（－∞，２）∪（２，＋∞） 正确．故选
Ｄ
．
答案 Ｄ 根据题意知 向量ａ ｂ是不共线的两个向量 ａ ７．（２０１８辽宁大连期末，８）在平行四边形ＡＢＣＤ中 Ｅ Ｆ分别是
， ， ，∵
， ，
ｍ ｍ
ｂ ｍ ｍ ３ －２ 解得ｍ ． ｍ的取值 边ＣＤ和ＢＣ的中点 若→ＡＣ λ→ＡＥ μ→ＡＦ 其中 λ μ Ｒ 则 λ
＝（１，２）， ＝（ ，３ －２），∴ ≠ ， ≠２ ∴ ， ＝ ＋ ， ， ∈ ， ＋
１ ２ μ
范围是 ．故选 ． ＝ （ ）
（－∞，２）∪（２，＋∞） Ｄ
３．（２０１９安徽合肥第一次质检，５）设向量ａ 向量ｂ与 １ ４
＝（－３，４）， Ａ． Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．１
向量ａ方向相反 且 ｂ 则向量ｂ的坐标为 ３ ３
， ｜ ｜＝１０， （ ） 答案 Ｃ 在平行四边形ＡＢＣＤ中 Ｅ Ｆ分别是边ＣＤ和
( ) ∵ ， ，
６ ８ ＢＣ的中点
Ａ． － ， Ｂ．（－６，８） ，
５ ５
( ) →ＡＣ Ａ→Ｄ →ＡＢ →ＡＥ Ａ→Ｄ Ｄ→Ｅ Ａ→Ｄ １→ＡＢ
６ ８ ∴ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ，
Ｃ． ，－ Ｄ．（６，－８） ２
５ ５
答案 Ｄ 因为向量ｂ与向量ａ方向相反 所以可设ｂ λａ →ＡＦ →ＡＢ Ｂ→Ｆ →ＡＢ １ Ａ→Ｄ．
， ＝ ＝ ＝ ＋ ＝ ＋
２
（－３ λ ，４ λ ）， λ ＜０， 则 ｜ ｂ ｜＝ ９ λ２ ＋１６ λ２ ＝ ２５ λ２ ＝５｜ λ ｜＝－５ λ ＝ →ＡＣ λ→ＡＥ μ→ＡＦ 其中λ μ Ｒ
∵ ＝ ＋ ， ， ∈ ，
所以λ 所以ｂ ．故选 ( ) ( ) ( )
１０， ＝－２， ＝（６，－８） Ｄ．
４．（２０１９ 浙江温州高三适应性测试，４）在 ＡＢＣ 中 Ｄ 是线段 ∴ →ＡＣ ＝ Ａ→Ｄ ＋ →ＡＢ ＝ λ Ａ→Ｄ ＋ １→ＡＢ ＋ μ →ＡＢ ＋ １ Ａ→Ｄ ＝ λ ＋ １ μ Ａ→Ｄ ＋
△ ， ２ ２ ２
ＢＣ
λ
上一点 （ 不包括端点 ）， Ａ→Ｄ ＝ λ→ＡＢ ＋（１
λ
－ λ ） →ＡＣ ， 则 （ ） ( ) ì ï ï λ ＋ １ μ ＝１，
Ａ． ＜－１ Ｂ．－１＜ ＜０ １ λ μ →ＡＢ í ２ ３ λ μ
λ λ ２ ＋ ，∴ ï ï１ λ μ ∴ ２ （ ＋ ）＝２，
Ｃ．０＜ ＜１ Ｄ． ＞１ î ＋ ＝１，
答案 Ｃ 由已知可得Ｂ→Ｄ →ＢＡ λ→ＢＡ λ Ｂ→Ｃ →ＢＡ 即 ２
－ ＝－ ＋（１－ ）（ － ），
解得λ μ ４ ．故选 ．
Ｂ→Ｄ λ Ｂ→Ｃ 因为Ｄ是线段ＢＣ上一点 不包括端点 所以 ＋ ＝ Ｃ
＝（１－ ） ， （ ）， ３
λ 解得 λ ．
０＜１－ ＜１， ０＜ ＜１
５．（２０１８河北唐山二模，４）已知Ｏ是正方形ＡＢＣＤ的中心．若Ｄ→Ｏ
λ
λ→ＡＢ μ→ＡＣ 其中λ μ Ｒ 则
＝ ＋ ， ， ∈ ， μ ＝ （ ）
１
Ａ．－２ Ｂ．－ 思路分析 以→ＡＢ Ａ→Ｄ为基底 利用向量加法 减法和数乘的运
２ ， ， 、
算 解方程组求解．
，
Ｃ．－ ２ Ｄ． ２
解题关键 把→ＡＥ →ＡＦ用→ＡＢ Ａ→Ｄ表示是求解关键．
答案 Ａ
∵
Ｄ→Ｏ
＝
Ｄ→Ａ
＋
Ａ→Ｏ
＝
Ｃ→Ｂ
＋
Ａ→Ｏ
＝
→ＡＢ
－
→ＡＣ
＋
１ →ＡＣ
＝
→ＡＢ
－ ８．（２０１９河 北３月质
，
检，６）
，
在 ＡＢＣ 中 Ｏ 为 ＡＢＣ 的重心．若
２ △ ， △
Ｂ→Ｏ λ→ＡＢ μ→ＡＣ 则λ μ
１→ＡＣ Ｄ→Ｏ λ→ＡＢ μ→ＡＣ ＝ ＋ ， －２ ＝ （ ）
， ＝ ＋ ，
２ １ ４ ４
Ａ．－ Ｂ．－１ Ｃ． Ｄ．－
λ μ １ ２ ３ ３
∴ ＝１， ＝－ ， 答案 Ｄ 如图 连 ＢＯ 并延长交 ＡＣ 于点 Ｍ 点 Ｏ 为
２ ， ，∵
λ
．故选 ＡＢＣ 的重心 Ｍ 为 ＡＣ 的中点 Ｂ→Ｏ ２ Ｂ→Ｍ
∴ μ ＝－２ Ａ． △ ， ∴ ， ∴ ＝ ＝
３
３９４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( ) Ａ Ｂ Ｃ三点共线
２ １ →ＢＡ １ Ｂ→Ｃ １ →ＡＢ １ Ｂ→Ｃ １ →ＡＢ １ →ＡＣ →ＡＢ ∵ ， ， ，
＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋ （ － ）＝
３ ２ ２ ３ ３ ３ ３ →ＡＢ λ→ＡＣ 即 ａ λ ｂ
∴ ＝ ， （ －１，１）＝ （－ －１，２），
－
２→ＡＢ
＋
１→ＡＣ
，
又知Ｂ→Ｏ
＝
λ→ＡＢ
＋
μ→ＡＣ
，∴
λ
＝－
２
，
μ
＝
１
，∴
λ
－２
μ {ａ
－１＝
λ
（－
ｂ
－１），可得 ａ ｂ
３ ３ ３ ３ ∴ λ ２ ＋ ＝１，
１＝２ ，
２ １ ４ 故选 ． ａ ｂ
＝－ －２× ＝－ ， Ｄ ∵ ＞０， ＞０，
３ ３ ３ ( )
１ ２ １ ２ ａ ｂ
∴ ａ ＋ ｂ ＝ ａ ＋ ｂ （２ ＋ ）
ｂ ａ ｂ ａ
４ ４
＝２＋２＋ ａ ＋ ｂ ≥４＋２ ａ · ｂ ＝８，
ｂ ａ
当且仅当 ４ 即ａ １ ｂ １ 时取等号
９．（２０１７福建福州３月质检，６）设向量Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ａ ａ ＝ ｂ ， ＝ ， ＝ ，
＝（１，－２）， ＝（ ， ４ ２
－１）， Ｏ→Ｃ ＝（－ ｂ ，０）， 其中Ｏ为坐标原点 ， ａ ＞０， ｂ ＞０， 若Ａ ， Ｂ ， Ｃ三 故 １ ２ 的最小值为 故选 ．
ａ ＋ ｂ ８， Ｃ
点共线 则 １ ２ 的最小值为
， ａ ＋ ｂ （ ） 规律总结 三点共线常用的处理办法有 转化为向量共
：（１）
线 再利用向量共线的坐标表示求解 利用直线的斜率相
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．９ ， ；（２）
等求解．
答案 Ｃ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ａ Ｏ→Ｃ ｂ
∵ ＝（１，－２）， ＝（ ，－１）， ＝（－ ，０），
→ＡＢ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ａ ａ →ＡＣ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ ｂ
∴ ＝ － ＝（ －１，１）， ＝ － ＝（－ －１，２），
ｘ ｙ
ｘ→ＢＡ ｙＢ→Ｃ，所以Ｂ→Ｐ →ＢＡ Ｂ→Ｃ．
＋ ＝ｘ ＋ｘ
＋１ ＋１
考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略
由已知得→ＢＡ
＝３
Ｂ→Ｍ，Ｂ→Ｎ
＝
３ Ｂ→Ｃ，
４
例１ （２０２０浙江金华十校期末，１４）在 ＡＢＣ 中 Ｍ Ｎ
△ ， ， ４ ｙ
ｘ ｙ ｘ
分别在ＡＢ ＢＣ上 且Ａ→Ｍ Ｍ→Ｂ Ｂ→Ｎ Ｎ→Ｃ ＡＮ交ＣＭ于点Ｐ 若 则Ｂ→Ｐ ３ Ｂ→Ｍ Ｂ→Ｃ →ＢＡ ３ Ｂ→Ｎ．
， ， ＝２ ， ＝３ ， ， ＝ｘ ＋ｘ ＝ｘ ＋ｘ
＋１ ＋１ ＋１ ＋１
Ｂ→Ｐ ｘ→ＰＡ ｙＢ→Ｃ 则ｘ ｙ ． 因为Ｍ，Ｐ，Ｃ共线，Ｎ，Ｐ，Ａ共线，
＝ ＋ ， ＝ ， ＝
ì ｘ ｙ
ï３ ， ì
ïï ｘ ＋１ ＋ｘ ＋１ ＝１ ï ï ｘ ＝ １ ，
所以í 解得í ８
ï ４ ｙ ï
ｘ ïｙ ３ ．
ïï ３ ， î ＝
îｘ ＋ｘ ＝１ ４
＋１ ＋１
解析 解法一：由已知Ａ→Ｍ Ｍ→Ｂ，Ｂ→Ｎ Ｎ→Ｃ可得， 答案 １ ；３
＝２ ＝３
８ ４
Ｂ→Ｍ ＝ １→ＢＡ，Ｂ→Ｎ ＝ ３ Ｂ→Ｃ． 方法总结 １．若Ａ ， Ｂ ， Ｐ三点共线 ， 则可设成→ＡＢ ＝ λ→ＡＰ的形
３ ４
由Ｍ，Ｐ，Ｃ三点共线可得，存在实数 ｍ，使Ｂ→Ｐ ｍ Ｂ→Ｍ （ 式 也可以设成Ｏ→Ｐ ｔＯ→Ａ ｔ Ｏ→Ｂ的形式 两种设法因题而异
＝ ＋ １－ ， ＝ ＋（１－ ） ， ，
ｍ 如例 的解法一就用到了第二种设法 ２．用几个基本向量表示某
ｍ）Ｂ→Ｃ →ＢＡ （ ｍ）Ｂ→Ｃ．由Ａ，Ｐ，Ｎ三点共线可得，存在实数ｎ， １ ；
＝ ＋ １－ 个向量问题的基本技巧 观察各向量的位置 寻找相应
３ ：（１） ；（２）
的三角形或多边形 运用法则找关系 化简结果．
使得Ｂ→Ｐ ｎ→ＢＡ （ ｎ）Ｂ→Ｎ ｎ→ＢＡ ３ （ ｎ）Ｂ→Ｃ． ；（３） ；（４）
＝ ＋ １－ ＝ ＋ １－
４
ｍ 考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略
则有 →ＢＡ （ ｍ）Ｂ→Ｃ ｎ→ＢＡ ３ （ ｎ）Ｂ→Ｃ．
３
＋ １－ ＝ ＋
４
１－ 例２ （２０２０浙江台州期末）如图 已知正方形ＡＢＣＤ 点
， ，
ìｍ ì
ï ï ＝ ｎ， ï ï ｍ ＝ １ ， Ｅ ， Ｆ分别为ＢＣ ， ＣＤ 上的动点 ， 且 ｜ ＢＥ ｜ ＝２｜ ＣＦ ｜， 设→ＡＣ ＝ ｘ →ＡＥ ＋
í３ í ３ Ｂ→Ｐ １→ＢＡ ２ Ｂ→Ｃ．
∴ ï ∴ ï ∴ ＝ ＋ ｙ→ＡＦ ｘ ｙ Ｒ 则ｘ ｙ的最大值为 ．
ï ｍ ３ （ ｎ）， ïｎ １ ． ９ ３ （ ， ∈ ）， ＋
î１－ ＝ １－ î ＝
４ ９
再由已知Ｂ→Ｐ ｘ→ＰＡ ｙＢ→Ｃ及→ＰＡ →ＢＡ Ｂ→Ｐ，得Ｂ→Ｐ ｘ（→ＢＡ Ｂ→Ｐ）
＝ ＋ ＝ － ＝ － ＋
ì ｘ ì
ï １ ， ïｘ １ ，
ｘ ｙ ïｘ ＝ ï ＝
ｙＢ→Ｃ， Ｂ→Ｐ →ＢＡ Ｂ→Ｃ， í ＋１ ９ í ８
∴ ＝ｘ ＋ｘ ∴ ï ｙ ∴ ï
＋１ ＋１ ï ２ ， ïｙ ３ ．
îｘ ＝ î ＝
＋１ ３ ４
解法二：Ｂ→Ｐ ｘ→ＰＡ ｙＢ→Ｃ ｘ（→ＢＡ Ｂ→Ｐ） ｙＢ→Ｃ，即（ ｘ）Ｂ→Ｐ 解题导引 分别以ＡＢ ＡＤ所在直线为ｘ ｙ轴建立平面直
＝ ＋ ＝ － ＋ １＋ ＝ ， ，
专题七 平面向量 ３９５
角坐标系 设正方形的边长为 ＢＥ ｍ ｍ １ 然后写
， １，｜ ｜＝２ ，０≤ ≤ ，
２
出Ａ Ｅ Ｆ Ｃ的坐标 求出向量→ＡＣ →ＡＥ →ＡＦ的坐标 再由→ＡＣ ｘ→ＡＥ
， ， ， ， ， ， ， ＝ ＋
ｙ→ＡＦ 将ｘ ｙ分别用ｍ表示出来 将ｘ ｙ表示成关于ｍ的函数
， ， ， ＋ ，
求出其最大值．
解析 不妨设正方形的边长为 ， ＢＥ ＣＦ ｍ，其中
１ ｜ ｜＝２｜ ｜＝２ ０
ｍ １ ．分别以ＡＢ，ＡＤ所在直线为ｘ轴和ｙ轴建立平面直角坐
≤ ≤
２
标系，
则Ａ（ ， ），Ｂ（ ， ），Ｅ（ ， ｍ），Ｆ（ ｍ， ），Ｃ（ ， ）． ０ ０ １ ０ １ ２ １－ １ １ １
因为→ＡＣ ｘ→ＡＥ ｙ→ＡＦ，即（ ， ） ｘ（ ， ｍ） ｙ（ ｍ， ），
＝ ＋ １ １ ＝ １ ２ ＋ １－ １
ì ｍ ïｘ ，
{ ｘ ｙ（ ｍ）， ï ＝ ｍ２ ｍ
所以有 １＝ ＋ １－ 解得í ２ －２ ＋１
ｍｘ ｙ， ï ｍ
１＝２ ＋ ïｙ １－２ ，
î ＝ ｍ２ ｍ
２ －２ ＋１
ｍ 因而ｘ ｙ １－ １ ．
＋ ＝ ｍ２ ｍ ＝
２ －２ ＋１ （ ｍ） １
２ １－ ＋ ｍ－２
１－
[ ]
设ｔ ｍ，ｔ １ ， ，则ｘ ｙ １ １ ２＋１，
＝１－ ∈ １ ＋ ＝ ≤ ＝
２ ｔ １ ２ ２－２ ２
２ ＋ ｔ －２
当且仅当 ｔ ２，即 ｍ ２时取等号，故 ｘ ｙ 的最大值
＝ ＝１－ ＋
２ ２
是 ２＋１．
２
答案 ２＋１
２
例３ 给定两个长度为 的平面向量Ｏ→Ａ和Ｏ→Ｂ 它们的夹
１ ，
角为 ２ 点Ｃ在以Ｏ为圆心的圆弧ＡＢ上运动 若Ｏ→Ｃ ｘＯ→Ａ
π， ， ＝ ＋
３
ｙＯ→Ｂ 则ｘ ｙ的最大值是
， ＋ （ ）
１ ３
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．２
２ ２
解题导引 由于点 Ｃ 在ＡＢ (
ｘ ｙ １ θ θ ２ θ θ θ
∴ ＋ ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ＝ ３ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝
３ ３
( ) ( ) [ ]
θ π ．又 θ ２π， θ π １ ， ， 当θ π
２ｓｉｎ ＋ ０≤ ≤ ∴ ｓｉｎ ＋ ∈ １ ∴ ＝
６ ３ ６ ２ ３
时，ｘ ｙ取最大值 ，故选 ．
＋ ２ Ｄ
答案 Ｄ
方法总结 在解决圆 直角三角形 矩形等特殊图形中的向
、 、
量问题时 建立合适的平面直角坐标系可以快速打开思路．
，
例 （２０１８ 河北武邑中学期中，８）已知在 ＡＢＣ 中
Ｒｔ△ ，
ＢＡＣ ° ＡＢ ＡＣ Ｄ是 ＡＢＣ内一点 且 ＤＡＢ °
∠ ＝９０ ， ＝１， ＝２， △ ， ∠ ＝６０ ，
λ 设Ａ→Ｄ λ→ＡＢ μ→ＡＣ λ μ Ｒ 则
＝ ＋ （ ， ∈ ）， μ ＝ （ ）
２ ３ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ．３ Ｄ．２ ３
３ ３
解析 如图，以Ａ为原点，ＡＢ所在直
线为ｘ轴，ＡＣ所在直线为ｙ轴建立平面直
角坐标系，则Ｂ点的坐标为（ ， ），Ｃ点的
１ ０
坐标为（ ， ）．
０ ２
因为 ＤＡＢ °，所以设Ｄ点的坐标
∠ ＝６０
为（ｍ， ｍ）（ｍ ）．
３ ≠０
Ａ→Ｄ （ｍ， ｍ） λ→ＡＢ μ→ＡＣ λ（ ， ）
＝ ３ ＝ ＋ ＝ １ ０
μ（ ， ） （λ， μ） λ ｍ，μ ３ｍ，
＋ ０ ２ ＝ ２ ⇒ ＝ ＝
２
λ
则 ２ ３．故选
μ ＝ Ａ．
３
答案 Ａ
技巧归纳 解决直角三角形、等边三角形、矩形等特殊
图形中的向量问题时，建立合适的平面直角坐标系可以快速打
开思路．
例 平面内给定三个向量ａ ｂ ｃ ．
＝（３，２）， ＝（－１，２）， ＝（４，１）
求满足ａ ｍｂ ｎｃ的实数ｍ ｎ
（１） ＝ ＋ 、 ；
若 ａ ｋｃ ｂ ａ 求实数ｋ
上运动 故可设 ＡＯＣ θ （２） （ ＋ ）∥（２ － ）， ；
， ∠ ＝ 设ｄ ｘ ｙ 满足 ｄ ｃ ａ ｂ 且 ｄ ｃ 求ｄ．
( ) （３） ＝（ ， ）， （ － ）∥（ ＋ ） ｜ － ｜＝１，
θ ２π 再通过建系 求点Ａ Ｂ Ｃ的坐标 结合Ｏ→Ｃ ｘＯ→Ａ 解析 （ ）由题意得（ ， ） ｍ（ ， ） ｎ（ ， ），所以
０≤ ≤ ， ， ， ， ， ＝ ＋ １ ３ ２ ＝ －１ ２ ＋ ４ １
３ ì
ｙＯ→Ｂ ， 将ｘ ， ｙ用θ表示出来 ， 进而求出ｘ ＋ ｙ的最大值． { ｍ ｎ ， ï ï ｍ ＝ ５ ，
－ ＋４ ＝３ 解得í ９
解析 以Ｏ为原点，ＯＡ所在直线为ｘ轴建立平面直角坐标
２
ｍ
＋
ｎ
＝２
， ï
ïｎ ８ ．
系，如图所示， î ＝
９
（ ）由题意知ａ ｋｃ （ ｋ， ｋ）， ｂ ａ （ ， ），
２ ＋ ＝ ３＋４ ２＋ ２ － ＝ －５ ２
（ａ ｋｃ） （ ｂ ａ），
∵ ＋ ∥ ２ －
（ ｋ） （ ） （ ｋ） ， ｋ １６．
∴２× ３＋４ － －５ × ２＋ ＝０ ∴ ＝－
１３
（ ）由题意知ｄ ｃ （ｘ ，ｙ ），ａ ｂ （ ， ），因为（ｄ ｃ）
３ － ＝ －４ －１ ＋ ＝ ２ ４ －
{ （ｘ ） （ｙ ） ，
（ａ ｂ） 且 ｄ ｃ ， ４ －４ －２ －１ ＝０ 解得
( )
∥ ＋ ｜ － ｜ ＝ １ ∴ （ｘ
－４
）２
＋
（ｙ
－１
）２
＝１
，
设 ＡＯＣ θ θ ２ ， { {
∠ ＝ ０≤ æ ≤ ３ π ö ( ) ｘ ＝４＋ ５ ５，ｙ ＝１＋ ２ ５ ５ 或 ｘ ＝４－ ５ ５，ｙ ＝１－ ２ ５ ５， ∴ ｄ ＝
易知，Ａ（ １ ， ０ ），Ｂ è ç － ２ １ ， ２ ３ ø ÷，Ｃ（ ｃｏｓ θ， ｓｉｎ θ） ０≤ θ ≤ ２ ３ π ． æ è ç２０＋ ５，５＋２ ５ ö ø ÷或 æ è ç２０－ ５，５－２ ５ ö ø ÷．
ì ï θ ｘ １ ｙ， ì ïｘ １ θ θ， ５ ５ ５ ５
ïｃｏｓ ＝ － ï ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
Ｏ→Ｃ ｘＯ→Ａ ｙＯ→Ｂ， í ２ í ３
∵ ＝ ＋ ∴ ï ∴ ï
ï θ ３ｙ， ïｙ ２ θ，
îｓｉｎ ＝ î ＝ ｓｉｎ
２ ３
３９６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略
１．（２０２０ 河北邯郸一模，４）在平行四边形 ＡＢＣＤ 中
，
若Ｃ→Ｅ
＝ ３ ２ ４ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ｅ→Ｄ 则Ｂ→Ｅ ４ ３ ５ ８
４ ， ＝ （ ） 答案 Ａ
４→ＡＢ Ａ→Ｄ ４ →ＡＢ Ａ→Ｄ
Ａ．－ ＋ Ｂ． ＋ 考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略
５ ５
→ＡＢ ４ Ａ→Ｄ ３→ＡＢ Ａ→Ｄ ６．（２０２０百校联考高考考前冲刺（二），２）已知向量ａ ｂ
Ｃ．－ ＋ Ｄ．－ ＋ ＝（１，０），
５ ４ 则与 ａ ｂ共线的单位向量为
答案 Ａ ＝（１， ３）， ２ － （ ）
æ ö æ ö
２．（２０２０河北廊坊第一次联考，６）在 ＡＢＣ中 Ｂ→Ｄ Ｄ→Ｃ Ｅ是 ç １ ３÷ ç １ ３÷
△ ， ＝２ ， Ａ．è ，－ ø Ｂ．è－ ， ø
ＡＤ的中点
，
则→ＡＥ
＝ （ ） æ
２ ２
ö æ ö æ
２ ２
ö æ ö
ç ３ １ ÷或ç ３ １ ÷ ç １ ３÷或ç １ ３÷
１ →ＡＢ １→ＡＣ １ →ＡＢ １→ＡＣ Ｃ．è ，－ ø è－ ， ø Ｄ．è ，－ ø è－ ， ø
Ａ． ＋ Ｂ． － ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
６ ３ ３ ６ 答案 Ｄ
１ →ＡＢ １→ＡＣ １ →ＡＢ １→ＡＣ
Ｃ． － Ｄ． ＋ ７．（２０２０河南开封二模，１１）在 ＡＢＣ中 Ａ π ＡＢ ＡＣ
６ ３ ３ ６ △ ， ＝ ， ＝３， ＝４，
答案 Ａ ２
３．（２０２０ 山东滨州三模，５）已知点Ｏ是 ＡＢＣ内一点 且满足
动点Ｐ在
△
ＡＢＣ的内切圆上
，
若→ＡＰ
＝
λ→ＡＢ
＋
μ→ＡＣ
，
则λ
＋
μ的最
△ ， 大值为
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ｍＯ→Ｃ ０ Ｓ △ ＡＯＢ ４ 则实数ｍ的值为 （ ）
＋２ ＋ ＝ ，Ｓ △ ＡＢＣ ＝ ７ ， （ ） Ａ． １ Ｂ． １ Ｃ．１ Ｄ．２
６ ２
Ａ．－４ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．４ 答案 Ｃ
答案 Ｄ
４．（２０１９安徽安庆调研，６）如图 直线ＥＦ与平行四边形ＡＢＣＤ ８．（２０１９北京西城月考，５）已知向量Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ
， ＝（３，－４）， ＝（６，
的两边ＡＢ ＡＤ分别交于Ｅ Ｆ两点 且交其对角线ＡＣ于Ｋ 其 Ｏ→Ｃ ｍ ｍ 若→ＡＢ Ｏ→Ｃ 则实数ｍ的值为
， 、 ， ， －３）， ＝（２ ， ＋１）， ∥ ， （ ）
中 →ＡＥ ２→ＡＢ →ＡＦ １ Ａ→Ｄ →ＡＫ λ→ＡＣ 则λ的值为 １ ３ ３
， ＝ ， ＝ ， ＝ ， （ ） Ａ．－ Ｂ．－３ Ｃ．－ Ｄ．
５ ２ ７ ５ ５
答案 Ｂ
９．（２０２０天津南开中学统练（２３），５）如图 在平行四边形ＡＢＣＤ中
， ，
ＢＡＤ π ＡＢ ＡＤ 若Ｍ Ｎ分别是边ＡＤ ＣＤ上的点 且满
∠ ＝ ， ＝２， ＝１， ， ， ，
２ ２ ２ ２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ＭＤ ＮＣ
９ ７ ５ ３ 足 λ 其中λ 则→ＡＮ Ｂ→Ｍ的取值范围是
答案 Ａ ＡＤ＝ＤＣ＝ ， ∈［０，１］， · （ ）
５．（２０１９福建泉州四校第二次联考，１１）如图 Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｐ →ＡＢ
， ＝２ ， ＝
→ＡＣ Ｏ→Ｍ ｍＯ→Ｂ Ｏ→Ｎ ｎＯ→Ａ 若ｍ ３ 则ｎ
２ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ （ ）
８
Ａ．［－３，－１］ Ｂ．［－３，１］ Ｃ．［－１，１］ Ｄ．［１，３］
答案 Ａ
( )
２
Ｃ． －∞，－ ∪（６，＋∞）
３
( ) ( )
２ ２
考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略 Ｄ． －∞，－ ∪ － ，６ ∪（６，＋∞）
３ ３
１．（２０１９江苏扬州质检，９）若向量ａ与ｂ既不平行也不垂直 则 { ｔ
， 答案 Ｂ 根据题中定义 有 １× －３×（－２）≠０，解得
称向量ａ与ｂ斜交．已知向量ｍ 与ｎ ｔ 斜交 则 ， ｔ
实数ｔ的取值范围是
＝（１，３） ＝（－２， ） ， {ｔ
≠－６，
１×（－２）＋３×
(
≠０，
)
( ) （ ） 故实数 ｔ 的取值范围是 ２
ｔ ２ ． （－∞，－６）∪ －６， ∪
Ａ．（－∞，－６）∪ ２ ，＋∞ ≠
３
３
３ ( )
( ) ( )
２ ．故选 ．
Ｂ．（－∞，－６）∪ －６，
２
∪
２
，＋∞ ３
，＋∞ Ｂ
３ ３ ２．（２０１８天津六校期中联考，１６）已知Ａ Ｂ Ｃ
（－１，０）， （０，２）， （－
专题七 平面向量 ３９７
Ｄ点在第二象限 Ｄ ．
３ ，１）， →ＡＢ · Ａ→Ｄ ＝５， Ａ→Ｄ２ ＝１０ ． （２）∵ ，∴ （－２，３）
求Ｄ点的坐标 Ａ→Ｄ ．
（１） ； ∴ ＝（－１，３）
若Ｄ点在第二象限 用→ＡＢ Ａ→Ｄ表示→ＡＣ 设→ＡＣ ｋ→ＡＢ ｎＡ→Ｄ →ＡＣ
（２） ， ， ； ＝ ＋ ，∵ ＝（－２，１），
（３ 解 ） 设 析 →ＡＥ ＝（ ｍ 设 ，２ Ｄ ）， 若 ｘ ｙ ３ →ＡＢ ＋ →ＡＣ与→ＡＥ垂直 ， 求→ＡＥ的坐标． ∴ { （ － － ２ ２， ＝ １ ｋ ） － ＝ ｎ ， ｋ （１， { ２ ｋ ） ＝ ＋ ｎ － （ １ － ， １，３）， （７ 分 ）
（１） （ ， ），
∴ ｋ ｎ ∴ ｎ
由题意得→ＡＢ Ａ→Ｄ ｘ ｙ １＝２ ＋３ ， ＝１，
＝（１，２）， ＝（ ＋１， ），
→ＡＣ →ＡＢ Ａ→Ｄ． 分
{ →ＡＢ Ａ→Ｄ ｘ ｙ ∴ ＝－ ＋ （９ ）
· ＝ ＋１＋２ ＝５， 分 →ＡＢ →ＡＣ与→ＡＥ垂直 →ＡＢ →ＡＣ →ＡＥ 分
∴ Ａ→Ｄ２ ｘ ２ ｙ２ （３ ） （３）∵３ ＋ ，∴ （３ ＋ ）· ＝０， （１１ ）
＝（ ＋１） ＋ ＝１０，
即 {ｘ ＋２ ｙ ＝４， 解得 {ｘ ＝－２，或 {ｘ ＝２， 又 ∵３ →ＡＢ ＋ →ＡＣ ＝３（１，２）＋（－２，１）＝（１，７）， →ＡＥ ＝（ ｍ ，２），
ｍ ｍ
ｘ ２ ｙ２ ｙ ｙ ． ∴ ＋１４＝０，∴ ＝－１４，
（ ＋１） ＋ ＝１０， ＝３ ＝１
Ｄ点的坐标为 或 ． 分 →ＡＥ的坐标为 ． 分
∴ （－２，３） （２，１） （５ ） ∴ （－１４，２） （１３ ）
考点一 平面向量的概念及线性运算
Ａ．３ Ｂ．２ ２ Ｃ． ５ Ｄ．２
１．（２０２０新高考Ⅱ，３，５ 分）若 Ｄ 为 ＡＢＣ 的边 ＡＢ 的中点 答案 Ａ
△ ，
则Ｃ→Ｂ
＝ （ ）
３．（２０１８课标Ⅲ，１３，５分）已知向量ａ
＝（１，２），
ｂ
＝（２，－２），
ｃ
＝
λ ．若ｃ ａ ｂ 则λ ．
Ｃ→Ｄ →ＣＡ →ＣＡ Ｃ→Ｄ Ｃ→Ｄ →ＣＡ →ＣＡ Ｃ→Ｄ （１， ） ∥（２ ＋ ）， ＝
Ａ．２ － Ｂ．２ － Ｃ．２ ＋ Ｄ．２ ＋
答案 Ａ 答案 １
２
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
４．（２０１９上海，９，５分）过曲线ｙ２
＝４
ｘ的焦点Ｆ并垂直于ｘ轴的
直线分别与曲线ｙ２ ｘ交于Ａ Ｂ Ａ在Ｂ上方 Ｍ为抛物线上
２．（２０１７课标Ⅲ，１２，５分）在矩形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＡＤ 动点 ＝４ 、 ， ，
， ＝１， ＝２，
一点 Ｏ→Ｍ λＯ→Ａ λ Ｏ→Ｂ 则λ ．
Ｐ在以点Ｃ为圆心且与ＢＤ相切的圆上．若→ＡＰ λ→ＡＢ μＡ→Ｄ 则 ， ＝ ＋（ －２） ， ＝
＝ ＋ ， 答案
λ μ的最大值为 ３
＋ （ ）
考点一 平面向量的概念及线性运算 λ
是λａ ｂ与ａ ｂ平行等价于 １ 即λ １ ．
＋ ＋２ ＝ ， ＝
１．（２０１５课标Ⅰ理，７，５分）设Ｄ为 ＡＢＣ所在平面内一点 Ｂ→Ｃ １ ２ ２
△ ， ４．（２０１５北京理，１３，５分）在 ＡＢＣ中 点Ｍ Ｎ满足Ａ→Ｍ Ｍ→Ｃ
Ｃ→Ｄ 则 △ ， ， ＝２ ，
＝３ ， （ ） Ｂ→Ｎ Ｎ→Ｃ．若Ｍ→Ｎ ｘ→ＡＢ ｙ→ＡＣ 则ｘ ｙ ．
＝ ＝ ＋ ， ＝ ， ＝
Ａ→Ｄ １→ＡＢ ４→ＡＣ Ａ→Ｄ １→ＡＢ ４→ＡＣ
Ａ． ＝－ ＋ Ｂ． ＝ － 答案 １ １
３ ３ ３ ３ ；－
２ ６
Ａ→Ｄ ４→ＡＢ １→ＡＣ Ａ→Ｄ ４→ＡＢ １→ＡＣ
Ｃ． ＝ ＋ Ｄ． ＝ － 解析 由Ａ→Ｍ Ｍ→Ｃ知Ｍ为ＡＣ上靠近Ｃ的三等分点 由Ｂ→Ｎ
３ ３ ３ ３ ＝２ ，
答案 Ａ Ａ→Ｄ →ＡＢ Ｂ→Ｄ →ＡＢ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｄ →ＡＢ ４ Ｂ→Ｃ →ＡＢ ＝
Ｎ→Ｃ知Ｎ为ＢＣ的中点
，
作出草图如下
：
＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
３
４ →ＡＣ →ＡＢ １→ＡＢ ４→ＡＣ．故选 ．
（ － ）＝－ ＋ Ａ
３ ３ ３
２．（２０１４课标Ⅰ文，６，５分）设Ｄ Ｅ Ｆ分别为 ＡＢＣ的三边ＢＣ
， ， △ ，
ＣＡ ＡＢ的中点 则Ｅ→Ｂ Ｆ→Ｃ
， ， ＋ ＝ （ ）
．Ａ→Ｄ ． １ Ａ→Ｄ ．Ｂ→Ｃ ． １ Ｂ→Ｃ
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
２ ２ 则有Ａ→Ｎ １ →ＡＢ →ＡＣ 所以Ｍ→Ｎ Ａ→Ｎ Ａ→Ｍ １ →ＡＢ →ＡＣ ２
＝ （ ＋ ）， ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ·
答案 Ａ 设→ＡＢ ａ →ＡＣ ｂ 则Ｅ→Ｂ １ ｂ ａ Ｆ→Ｃ １ ａ ｂ 从 ２ ２ ３
＝ ， ＝ ， ＝－ ＋ ， ＝－ ＋ ，
２ ２ →ＡＣ １→ＡＢ １→ＡＣ
( ) ( ) ＝ － ，
而Ｅ→Ｂ Ｆ→Ｃ １ ｂ ａ １ ａ ｂ １ ａ ｂ Ａ→Ｄ 故选 ． ２ ６
＋ ＝ － ＋ ＋ － ＋ ＝ （ ＋ ）＝ ， Ａ
２ ２ ２ 又因为Ｍ→Ｎ ｘ→ＡＢ ｙ→ＡＣ 所以ｘ １ ｙ １ ．
３．（２０１５课标Ⅱ理，１３，５分）设向量ａ ｂ不平行 向量λａ ｂ与 ＝ ＋ ， ＝ ， ＝－
， ， ＋ ２ ６
ａ ｂ平行 则实数λ ． ５．（２０１３江苏，１０，５分）设Ｄ Ｅ分别是 ＡＢＣ的边ＡＢ ＢＣ上的
＋２ ， ＝ ， △ ，
答案 １ 点 ＡＤ １ ＡＢ ＢＥ ２ ＢＣ．若Ｄ→Ｅ λ →ＡＢ λ →ＡＣ λ λ 为实
， ＝ ， ＝ ＝ １ ＋ ２ （ １， ２
２ ２ ３
解析 由于ａ ｂ不平行 所以可以以ａ ｂ作为一组基底 于 数 则λ λ 的值为 ．
， ， ， ， ）， １＋ ２
３９８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 １ ∵ Ｏ→Ｃ ＝ ｍＯ→Ａ ＋ ｎＯ→Ｂ ，｜ Ｏ→Ａ ｜＝｜ Ｏ→Ｂ ｜＝１，｜ Ｏ→Ｃ ｜＝ ２，
２ ｍ ｎＯ→Ａ Ｏ→Ｂ
２ ＋ ·
解析 Ｄ→Ｅ
＝
Ｄ→Ｂ
＋
Ｂ→Ｅ
＝
１ →ＡＢ
＋
２ Ｂ→Ｃ
＝
１ →ＡＢ
＋
２
（
→ＡＣ
－
→ＡＢ
）＝
∴
１０
＝
２
，①
２ ３ ２ ３
又 Ｏ→Ｂ与Ｏ→Ｃ的夹角为 °
∵ ４５ ，
１→ＡＢ ２→ＡＣ
－ ＋ ， Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ ｍＯ→Ａ Ｏ→Ｂ ｎ
６ ３ ２ · · ＋
∴ ＝ ＝ ，②
Ｄ→Ｅ λ →ＡＢ λ →ＡＣ λ １ λ ２ 故λ λ １ ． ２ ｜ Ｏ→Ｂ ｜｜ Ｏ→Ｃ ｜ ２
∵ ＝ １ ＋ ２ ，∴ １＝－ ， ２＝ ， １＋ ２＝ 又 ＡＯＢ ° α α ° α °
６ ３ ２ ｃｏｓ∠ ＝ｃｏｓ（４５ ＋ ）＝ｃｏｓ ｃｏｓ４５ －ｓｉｎ ｓｉｎ４５
考点二 平面向量的基本定理及坐标运算 ２ ２ ７ ２ ２ ３
＝ × － × ＝－ ，
１０ ２ １０ ２ ５
１．（２０１５课标Ⅰ文，２，５分）已知点Ａ Ｂ 向量→ＡＣ
（０，１）， （３，２）， ＝ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ＡＯＢ ３
∴ · ＝｜ ｜·｜ ｜·ｃｏｓ∠ ＝－ ，
则向量Ｂ→Ｃ ５
（－４，－３）， ＝ （ ）
． ． ． ． 将其代入 得ｍ ３ ｎ １
Ａ（－７，－４） Ｂ（７，４） Ｃ（－１，４） Ｄ（１，４） ①② － ＝ ，
５ ５
答案 Ａ 根据题意得→ＡＢ Ｂ→Ｃ →ＡＣ →ＡＢ
＝（３，１），∴ ＝ － ＝（－４，－３） ３ ｍ ｎ
．故选 ． － ＋ ＝１，
－（３，１）＝（－７，－４） Ａ ５
２．（２０１４ 北京文，３，５ 分）已知向量 ａ ｂ
＝（２，４）， ＝（－１，１）， 两式相加得 ２ ｍ ２ ｎ ６
则 ａ ｂ ＋ ＝ ，
２ － ＝ （ ） ５ ５ ５
所以ｍ ｎ ．
Ａ．（５，７） Ｂ．（５，９） ＋ ＝３
解法二 过Ｃ作ＣＭ ＯＢ ＣＮ ＯＡ 分别交线段ＯＡ ＯＢ的延长
Ｃ．（３，７） Ｄ．（３，９） ： ∥ ， ∥ ， ，
答案 Ａ 由ａ 知 ａ 所以 ａ ｂ 线于点Ｍ Ｎ
＝（２，４） ２ ＝（４，８）， ２ － ＝（４，８）－ ， ，
（－１，１）＝（５，７）
．故选
Ａ
． 则Ｏ→Ｍ
＝
ｍＯ→Ａ
，
Ｏ→Ｎ
＝
ｎＯ→Ｂ
，
３．（２０１４广东文，３，５分）已知向量ａ ｂ 则ｂ ａ
＝（１，２）， ＝（３，１）， － ＝ Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｎ
由正弦定理得 ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
°＝ ° α ＝ α，
（ ） ｓｉｎ４５ ｓｉｎ（１３５ － ） ｓｉｎ
Ａ．（－２，１） Ｂ．（２，－１） Ｃ．（２，０） Ｄ．（４，３）
答案 Ｂ ｂ － ａ ＝（３，１）－（１，２）＝（２，－１） ．故答案为 Ｂ ． ∵ ｜ Ｏ→Ｃ ｜＝ ２， 由解法一知 ，ｓｉｎ α ＝ ７ ２ ，ｃｏｓ α ＝ ２ ，
１０ １０
４．（２０１４福建理，８，５分）在下列向量组中 可以把向量ａ
， ＝（３， °
表示出来的是 Ｏ→Ｍ ２ｓｉｎ４５ １ ５
２） （ ） ∴ ｜ ｜＝ ° α ＝ ° α ＝ ，
ｓｉｎ（１３５ － ） ｓｉｎ（４５ ＋ ） ４
ｅ ｅ ｅ ｅ
Ａ． １＝（０，０）， ２＝（１，２） Ｂ． １＝（－１，２）， ２＝（５，－２）
ｅ ｅ ｅ ｅ ７ ２
Ｃ． 答 １ 案 ＝（３， Ｂ ５）， 设 ２＝ ａ （６ ｋ ，１ ｅ ０） ｋ ｅ Ｄ． １＝（２，－３）， ２＝（－２，３） ｜ Ｏ→Ｎ ｜＝ ２ｓｉｎ ° α α ＝ ２× ° １０ α ＝ ７ ，
＝ １ １＋ ２ ２， {ｋ ｓｉｎ（１３５ － ） ｓｉｎ（４５ ＋ ） ４
Ａ 选项 ，∵ （３，２）＝（ ｋ ２，２ ｋ ２），∴ ２ ｋ ＝３， 无解． 又Ｏ→Ｃ ＝ ｍＯ→Ａ ＋ ｎＯ→Ｂ ＝ Ｏ→Ｍ ＋ Ｏ→Ｎ ，｜ Ｏ→Ａ ｜＝｜ Ｏ→Ｂ ｜＝１，
２ ２＝２，
ｍ ５ ｎ ７
选项 ｋ ｋ ｋ ｋ ∴ ＝ ， ＝ ，
Ｂ ，∵ （３，２）＝（－ １＋５ ２，２ １－２ ２）， ４ ４
{ ｋ ｋ {ｋ ｍ ｎ ．
－ １＋５ ２＝３，解之得 １＝２， ∴ ＋ ＝３
∴ ｋ ｋ ｋ ． ６．（２０１７山东文，１１，５分）已知向量ａ ｂ λ ．若ａ
２ １－２ ２＝２， ２＝１ ＝（２，６）， ＝（－１， ）
故 中的ｅ ｅ 可把ａ表示出来． ｂ 则λ ．
Ｂ １， ２ ∥ ， ＝
同理 选项同 选项 无解． 答案
，Ｃ、Ｄ Ａ ， －３
解析 本题考查向量平行的条件．
５．（２０１７江苏，１２，５ 分）如图 在同一个平面内 向量Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ
， ， ， ， ａ ｂ λ ａ ｂ
Ｏ→Ｃ的模分别为 Ｏ→Ａ与Ｏ→Ｃ的夹角为α 且 α Ｏ→Ｂ与 ∵ ＝（２，６）， ＝（－１， ）， ∥ ，
１，１， ２， ， ｔａｎ ＝７， λ λ ．
∴２ －６×（－１）＝０，∴ ＝－３
Ｏ→Ｃ的夹角为 °．若Ｏ→Ｃ ｍ Ｏ→Ａ ｎ Ｏ→Ｂ ｍ ｎ Ｒ 则 ｍ ｎ ７．（２０１６课标Ⅱ文，１３，５分）已知向量ａ ｍ ｂ
４５ ＝ ＋ （ ， ∈ ）， ＋ ＝（ ，４）， ＝（３，－２），
． 且ａ ｂ 则ｍ ．
＝ ∥ ， ＝
答案
－６
ｍ
解析 因为ａ ｂ 所以 ４ 解得ｍ ．
∥ ， ＝ ， ＝－６
３ －２
易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆．
评析 本题考查了两个向量平行的充要条件．
答案
３ ８．（２０１４陕西，１３，５分）设 θ π 向量ａ θ θ ｂ
解析 解法一 α α ０＜ ＜ ， ＝（ｓｉｎ２ ，ｃｏｓ ）， ＝
：∵ ｔａｎ ＝７， ∈［０，π］， ２
θ 若ａ ｂ 则 θ ．
α ２ α ７ ２ （ｃｏｓ ，１）， ∥ ， ｔａｎ ＝
∴ ｃｏｓ ＝ ，ｓｉｎ ＝ ，
１０ １０ 答案 １
Ｏ→Ａ与Ｏ→Ｃ的夹角为α ２
∵ ， 解析 ａ ｂ θ ２θ θ θ ２θ
∵ ∥ ，∴ ｓｉｎ２ ×１－ｃｏｓ ＝０，∴２ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ＝０，
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｃ
２ ·
∴ ＝ ， θ π θ θ θ θ １ ．
１０ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｃ ∵０＜ ＜ ，∴ ｃｏｓ ＞０，∴２ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ，∴ ｔａｎ ＝
｜ ｜｜ ｜ ２ ２
专题七 平面向量 ３９９
时间： 分钟 分值： 分
４０ ６０
一、单项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ３５ ）
１．（２０２１届山东济宁鱼台第一中学第一次月考，５）在 ＡＢＣ中
△ ，
→ＡＢ ｃ →ＡＣ ｂ．若点Ｄ满足Ｂ→Ｄ Ｄ→Ｃ 则Ａ→Ｄ
＝ ， ＝ ＝２ ， ＝ （ ）
２ ｂ １ ｃ ５ ｃ ２ ｂ
Ａ． ＋ Ｂ． －
３ ３ ３ ３
２ ｂ １ ｃ １ ｂ ２ ｃ ４
Ｃ． － Ｄ． ＋ Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．３ Ｄ．
３ ３ ３ ３ ３
答案 Ａ 答案 Ｂ
２．（２０２１届湖南长沙长郡中学月考（一），４）在 ＡＢＣ中 Ｂ→Ｄ 二、多项选择题 每题 分 共 分
△ ， ＝ （ ５ ， １０ ）
Ｄ→Ｃ →ＡＥ Ｅ→Ｄ 则Ｂ→Ｅ ８．（２０２１届重庆第一中学第二次月考，１０）下列关于平面向量的
２ ， ＝ ， ＝ （ ）
说法中 正确的是
Ａ．
１ →ＡＣ
－
５→ＡＢ
Ｂ．－
１→ＡＣ
＋
５→ＡＢ
已知
，
ａ ｂ均为非零向量 则ａ ｂ 存在唯一的实数
（
λ 使 得
）
３ ６ ３ ６ Ａ． ， ， ∥ ⇔ ，
ｂ λａ
１→ＡＣ １→ＡＢ １ →ＡＣ １→ＡＢ ＝
Ｃ．－
３
＋
６
Ｄ．
３
－
６
若向量→ＡＢ Ｃ→Ｄ共线 则点Ａ Ｂ Ｃ Ｄ必在同一直线上
Ｂ． ， ， ， ， ，
答案 Ａ 若ａ ｃ ｂ ｃ且ｃ ０ 则ａ ｂ
Ｃ． · ＝ · ≠ ， ＝
３．（２０２１届江苏苏州第一学期调研，５）在 △ ＡＢＣ 中 ， →ＡＢ ＋ →ＡＣ ＝ Ｄ． 若点Ｇ为 △ ＡＢＣ的重心 ， 则→ＧＡ ＋ Ｇ→Ｂ ＋ Ｇ→Ｃ ＝ ０
Ａ→Ｄ →ＡＥ Ｄ→Ｅ ０ 若Ｅ→Ｂ ｘ→ＡＢ ｙ→ＡＣ 则 答案 ＡＤ
２ ， ＋２ ＝ ， ＝ ＋ ， （ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ ９．（２０２１届福建三明第一中学第一次月考，１０）八卦是中国文化
Ａ． ＝２ Ｂ． ＝－２
ｘ ｙ ｘ ｙ 的基本哲学概念 如图 是八卦模型图 其平面图形记为图 中
Ｃ． ＝２ Ｄ． ＝－２ ， １ ， ２
答案 Ｄ 的正八边形ＡＢＣＤＥＦＧＨ 其中ＯＡ 则以下结论正确的是
， ＝１，
４．（２０２１届广东东华高级中学第二次联考，８）在平行四边形
（ ）
→ＢＡ Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｄ
ＡＢＣＤ中 →ＡＢ 若 则 →ＡＣ
，｜ ｜＝３， ＋ ＝ ， ｜ ｜＝ （ ）
→ＢＡ Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｄ
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
Ａ．２ ３ Ｂ．３ ３ Ｃ．４ ３ Ｄ．３
答案 Ｂ
( )
５．（２０２０九师联盟质量检测，６）已知向量→ＡＢ ５１ ６８ →ＡＣ
＝ ， ， ＝
７ ７
( )
６ ８ Ｄ Ｅ是线段ＢＣ上两点 且Ｂ→Ｄ １ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｅ １ Ｃ→Ｂ
， ， ， ， ＝ ， ＝ ，
７ ７ ５ ３
则向量Ａ→Ｄ与→ＡＥ的关系是
（ ） Ａ．
Ｈ→Ｄ
·
Ｂ→Ｆ
＝０ Ｂ．
Ｏ→Ａ
·
Ｏ→Ｄ
＝－
２
２
Ａ．
Ａ→Ｄ
＝２
→ＡＥ
Ｂ．
Ａ→Ｄ
＝
１→ＡＥ
Ｃ．
Ｏ→Ｂ
＋
Ｏ→Ｈ
＝－ ２
Ｏ→Ｅ
Ｄ．｜
Ａ→Ｈ
－
Ｆ→Ｈ
｜＝ ２－ ２
２ 答案 ＡＢＣ
Ａ→Ｄ →ＡＥ Ａ→Ｄ与→ＡＥ成 °夹角
Ｃ． ⊥ Ｄ． ６０
答案 Ａ 三、填空题 每题 分 共 分
（ ５ ， １５ ）
１０．（２０２１届海南一模）已知向量ａ ｂ ｍ 若ａ ｂ
６．（２０２０湖南衡阳八中模拟检测，６）在 ＯＡＢ中 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｂ ＝（２，１）， ＝（ ，２）， ＋３
△ ， ＝４ ， 与ａ ｂ共线 则实数ｍ ．
＝２
Ｏ→Ｄ
，
ＡＤ
，
ＢＣ的交点为Ｍ
，
过Ｍ作动直线ｌ分别交线段ＡＣ
， 答
－
案
， ＝
４
ＢＤ于Ｅ Ｆ两点 若Ｏ→Ｅ λＯ→Ａ Ｏ→Ｆ μＯ→Ｂ λ μ 则λ μ的 １１．（２０１９黑龙江大庆二模，１６）已知Ｗ为 ＡＢＣ的外心 ＡＢ
， ， ＝ ， ＝ （ ， ＞０）， ＋ △ ， ＝４，
最小值为
（ ） ＡＣ ＢＡＣ ° 设Ａ→Ｗ λ →ＡＢ λ →ＡＣ 则 λ λ
＝ ２，∠ ＝ １２０ ， ＝ １ ＋ ２ ， ２ １＋ ２ ＝
．
２＋ ３ ３＋ ３ ３＋２ ３ ４＋２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案
７ ７ ７ ７
３
答案 Ｄ １２．（２０２０福建泉州实验中学第一次月考，１５）设Ｏ为 ＡＢＣ内
△
７．（２０１９安徽黄山一模，１２）如图 在 ＡＢＣ中 ＢＡＣ π Ａ→Ｄ 一点 已知Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ →ＡＢ Ｂ→Ｃ →ＣＡ 则Ｓ Ｓ
， △ ，∠ ＝ ， ， ＋２ ＋３ ＝３ ＋２ ＋ ， △ ＡＯＢ ∶ △ ＢＯＣ
３ Ｓ ．
∶ △ ＣＯＡ＝
Ｄ→Ｂ Ｐ为ＣＤ上一点 且满足→ＡＰ ｍ→ＡＣ １ →ＡＢ 若 ＡＢＣ的 答案
＝２ ， ， ＝ ＋ ， △ ２ ∶ ３ ∶ １
２
面积为 则 →ＡＰ 的最小值为
２ ３， ｜ ｜ （ ）
４００ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．向量ａ ｂ 则与ａ ｂ同向的单位向量为
＝（２，－９）， ＝（－３，３）， －
（ ）
( ) ( )
５ １２ ５ １２
Ａ． ，－ Ｂ． － ，
１３ １３ １３ １３
( ) ( ) ５．（２０１８ 四川成都三诊，６）已知 Ｏ 为 ＡＢＣ 内一点 且Ａ→Ｏ
△ ， ＝
１２ ５ １２ ５
Ｃ． ，－ Ｄ． － ，
１３ １３ １３ １３ １ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ Ａ→Ｄ ｔ→ＡＣ 若Ｂ Ｏ Ｄ三点共线 则ｔ的值为
答案 Ａ 向量 ａ ｂ ａ ｂ （ ＋ ）， ＝ ， ， ， ，
∵ ＝（２，－９）， ＝（－３，３），∴ － ＝（５， ２
设与ａ ｂ同向的单位向量为ｅ ｘ ｙ 则ａ ｂ λｅ λ （ ）
－１２）， － ＝（ ， ）， － ＝ （ ＞
０），｜ ｅ ｜＝１，∴ ｘ ＝ λ ５ ， ｙ ＝ － λ １２ ， ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１， 解得λ ＝１３， ｘ ＝ ５ ， ｙ ＝ Ａ． １ ４ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ２ ３
１３
答案 Ｂ 以ＯＢ ＯＣ为邻边作平行四边形ＯＢＦＣ 连接ＯＦ
， ， ，
－
１２
，
故选
Ａ
． 与ＢＣ相交于点Ｅ 则Ｅ为ＢＣ的中点．
，
１３
２．（２０１７河北石家庄二中月考，７）Ｍ是 ＡＢＣ所在平面内一点
△ ，
Ｍ→Ｄ
２ Ｍ→Ｂ Ｍ→Ａ Ｍ→Ｃ ０ Ｄ为ＡＣ的中点 则｜ ｜的值为
＋ ＋ ＝ ， ， （ ）
３ Ｂ→Ｍ
｜ ｜
１ １
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．２
２ ３
答案 Ｂ 连接 ＭＤ．因为 ２ Ｍ→Ｂ Ｍ→Ａ Ｍ→Ｃ ０ Ｄ 为 ＡＣ 的
＋ ＋ ＝ ，
３
中点
，
所以
－
２ Ｍ→Ｂ
＝
Ｍ→Ａ
＋
Ｍ→Ｃ
＝２
Ｍ→Ｄ
，
所以Ｍ→Ｄ
＝－
１ Ｍ→Ｂ
， ∵
Ａ→Ｏ
＝
１
（
Ｏ→Ｂ
＋
Ｏ→Ｃ
），
３ ３ ２
故Ｍ在中线ＢＤ上 且为靠近Ｄ的一个四等分点
， ， Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ Ａ→Ｏ Ｏ→Ｅ
∴ ＋ ＝２ ＝２ ，
故｜
Ｍ→Ｄ
｜ １ ． ∴
点Ｏ是线段ＡＥ的中点．
＝
｜ Ｂ→Ｍ ｜ ３ Ａ→Ｄ ｔ→ＡＣ Ｂ Ｏ Ｄ三点共线
∵ ＝ ， ， ， ，
３．（２０１８辽宁丹东五校协作体联考，８）Ｐ是
△
ＡＢＣ所在平面上的
点Ｄ是ＢＯ与ＡＣ的交点．
∴
一点 满足→ＰＡ →ＰＢ →ＰＣ →ＡＢ 若Ｓ 则 ＰＡＢ的面积为 过点Ｏ作ＯＭ ＢＣ交ＡＣ于点Ｍ 则点Ｍ为ＡＣ的中点
， ＋ ＋ ＝２ ， △ ＡＢＣ＝６， △ （ ） ∥ ， ，
ＤＭ
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．８ ＯＭ １ ＥＣ １ ＢＣ １
∴ ＝ ＝ ，ＤＣ＝ ，
答案 Ａ →ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ →ＡＢ Ｐ→Ｂ →ＰＡ ２ ４ ４
∵ ＋ ＋ ＝２ ＝２（ － ），
→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｃ→Ｂ →ＰＡ Ｃ→Ｂ 且方向相同． ∴ ＤＭ ＝ １ ＭＣ ，
∴３ ＝ － ＝ ，∴ ∥ ， ３
Ｓ
△ ＡＢＣ
ＢＣ
｜
Ｃ→Ｂ
｜ Ｓ
Ｓ
△ ＡＢＣ ．故选 ． ＡＤ ２ ＡＭ １ ＡＣ
∴ Ｓ △ ＰＡＢ ＝ＡＰ＝ ｜ →ＰＡ ｜ ＝３，∴ △ ＰＡＢ＝ ３ ＝２ Ａ ∴ ＝ ３ ＝ ３ ，
４．（２０１９广西名校高三联考，９）在 ＡＢＣ中 点Ｆ为ＡＢ边上靠
△ ， ｔ １ ．
近点Ａ的三等分点 点Ｅ为ＡＣ边上靠近点Ａ的三等分点 ＢＥ ∴ ＝ ３
， ，
６．（２０１８安徽淮南一模，８）已知Ｇ是 ＡＢＣ的重心 过点Ｇ作直
与ＣＦ相交于点Ｏ 则Ａ→Ｏ △ ，
， ＝ （ ） 线ＭＮ与ＡＢ ＡＣ交于点Ｍ Ｎ 且Ａ→Ｍ ｘ→ＡＢ Ａ→Ｎ ｙ→ＡＣ ｘ ｙ
， ， ， ＝ ， ＝ （ ， ＞０），
则 ｘ ｙ的最小值是
３ ＋ （ ）
８ ４ ２ ３ ５ ７
Ａ． Ｂ． ＋ Ｃ． Ｄ．
３ ３ ３ ２ ２
答案 Ｂ 设ＢＣ的中点为Ｄ
１ →ＡＢ １→ＡＣ １ →ＡＢ １→ＡＣ ，
Ａ． ＋ Ｂ． ＋
４ ３ ３ ４ 则→ＡＧ ２ Ａ→Ｄ １→ＡＢ １→ＡＣ １ Ａ→Ｍ １ Ａ→Ｎ
＝ ＝ ＋ ＝ ｘ ＋ ｙ ，
１ →ＡＢ １→ＡＣ １ →ＡＢ １→ＡＣ ３ ３ ３ ３ ３
Ｃ． ＋ Ｄ． ＋
３ ３ ４ ４ Ｍ Ｇ Ｎ三点共线 １ １ ．
答案 Ｄ 连接ＥＦ 由ＡＢ ＡＦ ＡＣ ＡＥ可得ＥＦ ＢＣ ∵ ， ， ，∴ ｘ＋ ｙ＝１
， ＝３ ， ＝３ ∥ ， ３ ３
ＯＥ ＥＦ 又ｘ ｙ
且ＢＣ ＥＦ 由 ＥＯＦ ＢＯＣ 得 则ＢＯ ＯＥ 故有 ＞０， ＞０，
＝３ ， △ ∽△ ， ＯＢ＝ＢＣ， ＝３ ， ( ) ｙ ｘ
ｘ ｙ ｘ ｙ １ １ ４ ４ １ ４
Ｂ→Ｏ Ｏ→Ｅ ∴３ ＋ ＝（３ ＋ ） ｘ＋ ｙ ＝ ＋ ｘ＋ ｙ ≥ ＋２ ＝
＝３ ， ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３
则Ａ→Ｏ →ＡＢ →ＡＥ Ａ→Ｏ 即Ａ→Ｏ １→ＡＢ ３→ＡＥ １→ＡＢ １→ＡＣ． ２ ３．
－ ＝３（ － ）， ＝ ＋ ＝ ＋ ＋
４ ４ ４ ４ ３
专题七 平面向量 ４０１
ｙ ｘ →ＡＰ
当且仅当 即ｘ １ ３时取等号 ｜ ｜ ．
ｘ＝ ｙ ， ＝ ＋ ， ＝
３ ３ ９ Ｐ→Ｍ
｜ ｜
ｘ ｙ的最小值是 ４ ２ ３．故选
∴３ ＋ ＋ Ｂ．
３ ３
答案
４
解析 设→ＡＢ ａ →ＡＣ ｂ Ｂ→Ｐ μＢ→Ｎ
＝ ， ＝ ， ＝ ，
Ａ Ｐ Ｍ共线
∵ 、 、 ，
７．（２０１８海南海口模拟，１０）点Ｏ为 ＡＢＣ内一点 且存在正数 ∴
存在唯一实数λ
，
使得→ＡＰ
＝
λＡ→Ｍ．
△ ，
λ
分 １， 别
λ
为 ２，
λ
Ｓ ３
使
Ｓ
λ
则 １
Ｏ→
Ｓ
Ａ
＋
λ
２ Ｓ
Ｏ→Ｂ
＋
λ
３
Ｏ→Ｃ
＝
０
，
设
△
ＡＯＢ
，△
ＡＯＣ的面积 又Ｍ为ＢＣ的中点
，∴
Ａ→Ｍ
＝ ２
１
（
→ＡＢ
＋
→ＡＣ
）＝ ２
１
（
ａ
＋
ｂ
）
．
λ λ
１， ２，
λ
１ ∶
λ
２＝
λ λ λ λ
（ ）
∴
→ＡＰ
＝
１ λ
（
ａ
＋
ｂ
）
．
Ａ． １ ∶ ２ Ｂ． ２ ∶ ３ Ｃ． ３ ∶ ２ Ｄ． ２ ∶ １ ２
答案 Ｃ 取λ １ λ １ λ １ ． 又→ＡＰ →ＡＢ Ｂ→Ｐ →ＡＢ μＢ→Ｎ →ＡＢ μ Ａ→Ｎ →ＡＢ
１＝ ， ２＝ ， ３＝ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）
６ ３ ２ ( )
→ＡＢ μ ２ →ＡＣ →ＡＢ μ ａ ２ μｂ．
λ Ｏ→Ａ λ Ｏ→Ｂ λ Ｏ→Ｃ ０ １ Ｏ→Ａ １ Ｏ→Ｂ １ Ｏ→Ｃ ０ ＝ ＋ － ＝（１－ ） ＋
∵ １ ＋ ２ ＋ ３ ＝ ，∴ ＋ ＋ ＝ ， ３ ３
６ ３ ２ 根据平面向量基本定理得
∴
Ｏ→Ａ
＋２
Ｏ→Ｂ
＋３
Ｏ→Ｃ
＝
０
，
设
２
Ｏ→Ｂ
＝
Ｏ→Ｂ
１，３
Ｏ→Ｃ
＝
Ｏ→Ｃ
１，
如图
， ì ï μ １ λ
ï１－ ＝ ，
í ２ 解得λ ４ μ ３ ． →ＡＰ ４ Ａ→Ｍ Ｐ→Ｍ １ Ａ→Ｍ．
ï ＝ ， ＝ ∴ ＝ ， ＝ ∴ ｜
ï２ μ １ λ ５ ５ ５ ５
î ＝ ，
３ ２
→ＡＰ
→ＡＰ Ｐ→Ｍ 即｜ ｜ ．
｜ ∶ ｜ ｜＝４ ∶ １， ＝４
Ｐ→Ｍ
｜ ｜
思路分析 选 →ＡＢ →ＡＣ 为一组基底 设→ＡＢ ａ →ＡＣ ｂ Ｂ→Ｐ
则Ｏ是三角形ＡＢ Ｃ 的重心 故三角形ＡＯＢ 和三角形ＡＯＣ ｛ ， ｝ ， ＝ ， ＝ ， ＝
的面积相等 １ １ ， １ １ μＢ→Ｎ 由Ａ Ｐ Ｍ共线得→ＡＰ １ λ ａ ｂ 同理得→ＡＰ μ ａ
， ， ， ， ＝ （ ＋ ）， ＝（１－ ） ＋
２
又Ｓ △ ＡＯＢ＝ １ Ｓ △ ＡＯＢ １， Ｓ △ ＡＯＣ＝ １ Ｓ △ ＡＯＣ １，∴ △ ＡＯＢ与 △ ＡＯＣ的面积 ２ μｂ ， 利用平面向量基本定理构造λ ， μ的方程组 ， 求得λ与μ
２ ３
３
之比是 １ １ ３ 即λ λ ．故选 ． →ＡＰ
∶ ＝ ， ３ ∶ ２ Ｃ 的值 从而得出｜ ｜的值．
２ ３ ２ ，
思路分析 利用特值法和数形结合的方法求解． ｜
Ｐ→Ｍ
｜
１０．（２０１８福建福州二模，１６）如图 在平面四边形 ＡＢＣＤ 中
疑难突破 抓住三角形重心Ｏ的几何意义 并灵活利用数形 ， ，
，
结合是突破难点的关键． ＡＢＣ ° ＤＣＡ ＢＡＣ 若Ｂ→Ｄ ｘ→ＢＡ ｙＢ→Ｃ ｘ ｙ Ｒ
∠ ＝９０ ，∠ ＝２∠ ， ＝ ＋ （ ， ∈ ），
８．（２０１８湖南湘东五校４月联考，１５）在正方形ＡＢＣＤ中 Ｍ Ｎ 则ｘ ｙ的值为 ．
， ， －
分别是ＢＣ ＣＤ 的中点 若 →ＡＣ λ Ａ→Ｍ μ Ａ→Ｎ 则实数 λ μ
， ， ＝ ＋ ， ＋ ＝
．
答案 ４
３
解析 如图
， 答案
－１
Ａ→Ｍ →ＡＢ Ｂ→Ｍ →ＡＢ １ Ｂ→Ｃ Ｄ→Ｃ １ Ｂ→Ｃ 解析 如图 延长ＤＣ ＡＢ 交于点Ｅ
∵ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，① ， ， ， ，
２ ２
Ａ→Ｎ Ａ→Ｄ Ｄ→Ｎ Ｂ→Ｃ １ Ｄ→Ｃ
＝ ＋ ＝ ＋ ，②
２
由 得Ｂ→Ｃ ４ Ａ→Ｎ ２ Ａ→Ｍ Ｄ→Ｃ ４ Ａ→Ｍ ２ Ａ→Ｎ
①② ＝ － ， ＝ － ，
３ ３ ３ ３ 因为 ＤＣＡ ＢＡＣ 所以 ＢＡＣ ＣＥＡ．
∠ ＝２∠ ， ∠ ＝∠
→ＡＣ →ＡＢ Ｂ→Ｃ Ｄ→Ｃ Ｂ→Ｃ
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ 又 ＡＢＣ ° 所以→ＢＡ Ｂ→Ｅ．
∠ ＝９０ ， ＝－
＝ ４ Ａ→Ｍ － ２ Ａ→Ｎ ＋ ４ Ａ→Ｎ － ２ Ａ→Ｍ ＝ ２ Ａ→Ｍ ＋ ２ Ａ→Ｎ ， 因为Ｂ→Ｄ ｘ→ＢＡ ｙＢ→Ｃ 所以Ｂ→Ｄ ｘＢ→Ｅ ｙＢ→Ｃ．
３ ３ ３ ３ ３ ３ ＝ ＋ ， ＝－ ＋
因为Ｃ Ｄ Ｅ三点共线 所以 ｘ ｙ 即ｘ ｙ ．
又
∵
→ＡＣ
＝
λＡ→Ｍ
＋
μＡ→Ｎ
，∴
λ
＝
２
，
μ
＝
２
，∴
λ
＋
μ
＝
４ ．
思路分
，
析
，
根据 ＡＢＣ
，
°
－ ＋
ＤＣ
＝
Ａ
１，
Ｂ
－
ＡＣ
＝－
可
１
延长ＤＣ ＡＢ
３ ３ ３ ∠ ＝９０ ，∠ ＝２∠ ， ， ，
９．（２０１８中原名校９月联考，１５）如图
，
在
△
ＡＢＣ中
，
点Ｍ是ＢＣ 交于点Ｅ
，
把→ＢＡ转化为
－
→ＢＥ
，
再利用Ｃ
、
Ｄ
、
Ｅ三点共线求解．
的中点 Ｎ在边ＡＣ上 且Ａ→Ｎ Ｎ→Ｃ ＡＭ与ＢＮ相交于点Ｐ 则 解题关键 作出适当的辅助线 将问题转化为三点共线的问
， ， ＝２ ， ， ，
题进行求解．
４０２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
规律总结 已知Ｏ→Ｃ ＝ ｘＯ→Ａ ＋ ｙＯ→Ｂ ， 若Ａ ， Ｂ ， Ｃ三点共线 ， 则ｘ ＋ ｙ 据平面向量基本定理 ， 得ｘλ ＝ ２ ，（１－ ｘ ） μ ＝ １ ， 所以ｘ ＝ ２ λ，１
反之亦成立． ３ ３ ３
＝１； ( )
１１．（２０１６甘肃天水校级期中）已知Ｏ是 ＡＢＣ的外心 且ＡＢ ｘ １ 所以 ２ １ 所以λ μ １ λ μ ２ １
△ ， ＝ － ＝ μ， λ＋ μ＝１， ＋ ＝ （ ＋ ）· λ＋ μ ＝
ＡＣ 存在非零实数ｘ ｙ 使Ａ→Ｏ ｘ→ＡＢ ｙ→ＡＣ 且ｘ ｙ ３ ３ ３ ３
５， ＝８， ， ， ＝ ＋ ， ＋２ ＝１， ( μ λ )
则 ＢＡＣ ． １ ２ ３＋２ ２ 当且仅当λ μ时等号成立 λ
ｃｏｓ∠ ＝ ３＋λ ＋ μ ≥ ， ＝ ２ ，∴
３ ３
答案 ４
μ的最小值为３＋２ ２．
５ ＋
解析 如图所示 取ＡＣ的中点Ｄ 则→ＡＣ Ａ→Ｄ ３
， ， ＝２ ， 思路分析 利用 Ｂ→Ｄ Ｃ→Ｄ ０ 及向量的线性运算可得 Ａ→Ｄ
Ａ→Ｏ ｘ→ＡＢ ｙＡ→Ｄ ２ ＋ ＝ ＝
∴ ＝ ＋２ ，
∵ ｘ ＋２ ｙ ＝１， ２→ＡＢ ＋ １→ＡＣ ， 然后利用Ｄ 、 Ｍ 、 Ｎ三点共线再次得到Ａ→Ｄ的表达
３ ３
∴ Ｏ ， Ｄ ， Ｂ三点共线 ， 连接ＢＯ． 式 从而利用平面向量基本定理得出 λ 与 μ的关系 最后利
， ，
∵
Ｏ是
△
ＡＢＣ的外心
，∴
ＯＤ
⊥
ＡＣ
，
用基本不等式求出λ
＋
μ的最小值．
∴ 在 ＢＤ ⊥ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ， 且 中 Ｄ Ａ 为 Ｂ ＡＣ Ａ 的 Ｄ 中点 ， 方法归纳 如果ａ ， ｂ不共线 ， 那么 “ λ １ ａ ＋ μ １ ｂ ＝ λ ２ ａ ＋ μ ２ ｂ ” 的充
Ｒｔ△ ， ＝５， ＝４， 要条件为 λ λ 且μ μ 我们常用这个结论得出不含向
“ １＝ ２ １＝ ２”，
ＢＡＣ ＢＡＤ ４ ． 量的方程组．
∴ ｃｏｓ∠ ＝ｃｏｓ∠ ＝
５ １４．（２０１８河南许昌、平顶山两市联考，２１）在平面直角坐标系
解后反思 考查三角形外心的定义 三点共线的充要条件
向量数乘的 几何意义 以及三角函数
，
的定义．可作出图形 并
， 中
，
Ｏ为坐标原点
，
Ｍ为平面上任意一点
，
Ａ
，
Ｂ
，
Ｃ三点满足Ｍ→Ｃ
， ，
取ＡＣ的中点Ｄ
，
由Ａ→Ｏ
＝
ｘ→ＡＢ
＋２
ｙＡ→Ｄ
，
ｘ
＋２
ｙ
＝１，
得出Ｏ
，
Ｄ
，
Ｂ三
＝
１ Ｍ→Ａ
＋
２ Ｍ→Ｂ．
点共线是解题关键． ３ ３
→ＢＡ
１２．（２０１８浙江新高考调研卷三（杭州二中），１２）已知平行四边 求证 Ａ Ｂ Ｃ三点共线 并求｜ ｜的值
（１） ： ， ， ， ；
Ｂ→Ｃ
形ＡＢＣＤ →ＡＢ Ａ→Ｄ 且→ＡＢ Ａ→Ｄ →ＡＥ Ｅ→Ｂ Ｄ→Ｆ ｜ ｜
，｜ ｜ ＝２｜ ｜ ＝２， · ＝１， ＝ ， ＝ ( )
２ Ｆ→Ｃ ， 则→ＡＦ · Ｄ→Ｅ ＝ ； 若ＤＥ和ＡＦ交于点Ｍ ， 且Ａ→Ｍ ＝ （２） 已知Ａ （１，ｓｉｎ ｘ ）， Ｂ （１＋ｓｉｎ ｘ ，ｓｉｎ ｘ ）， Ｍ １＋ ３ ２ ｓｉｎ ｘ ，ｓｉｎ ｘ ，
ｘ→ＡＢ ｙＡ→Ｄ 则ｘ ｙ ． ( )
＋ ， ＋ ＝ ｘ 且函数ｆ ｘ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｍ ｍ ２ →ＡＢ 的
∈（０，π）， （ ）＝ · ＋ ２ － ·｜ ｜
答案 １ ５ ３
；
６ ７ 最小值为 １ 求实数ｍ的值．
( ) ，
解析 →ＡＦ Ｄ→Ｅ Ａ→Ｄ Ｄ→Ｆ →ＡＥ Ａ→Ｄ Ａ→Ｄ ２→ＡＢ ２
· ＝（ ＋ ）·（ － ）＝ ＋ ·
( )
３ 解析
（１）∵
Ｍ→Ｃ
＝
１ Ｍ→Ａ
＋
２ Ｍ→Ｂ
，∴
Ｍ→Ｃ
－
Ｍ→Ｂ
＝
１
（
Ｍ→Ａ
－
１ →ＡＢ Ａ→Ｄ １ →ＡＢ ２ Ａ→Ｄ ２ １ Ａ→Ｄ →ＡＢ １ ．→ＡＦ ２ →ＡＢ ３ ３ ３
－ ＝ ｜ ｜ －｜ ｜ － · ＝ ＝ ＋
２ ３ ６ ６ ３ Ｍ→Ｂ Ｂ→Ｃ １→ＢＡ．又 Ｂ→Ｃ →ＢＡ有公共点Ｂ Ａ Ｂ Ｃ三点共
λ ），∴ ＝ ∵ ， ，∴ ， ，
Ａ→Ｄ 设→ＡＦ １ Ａ→Ｍ 则Ａ→Ｍ ２ →ＡＢ λＡ→Ｄ ｍ→ＡＥ ｍ Ａ→Ｄ Ａ→Ｍ ３
， ＝ λ ， ＝ ＋ ， ＋（１－ ） ＝
３ →ＢＡ
{ｍ 线． Ｂ→Ｃ １→ＢＡ ｜ ｜ ．
２ λ→ＡＢ λ Ａ→Ｄ － ２ λ ＝０， λ ３ 故Ａ→Ｍ ２ →ＡＢ ３ ∵ ＝ ３ ，∴ ｜ Ｂ→Ｃ ｜ ＝３
＝ ＋ ⇒ ２ ３ ⇒ ＝ ， ＝ ＋ ( )
３ ｍ λ ７ ７ ７ Ａ ｘ Ｂ ｘ ｘ Ｍ ２ ｘ ｘ
１－ ＝ （２）∵ （１，ｓｉｎ ）， （１＋ｓｉｎ ，ｓｉｎ ）， １＋ ｓｉｎ ，ｓｉｎ ，
３
Ａ→Ｄ ｘ ｙ ５ ． ( )
⇒ ＋ ＝ Ｏ Ｏ→Ａ ｘ Ｏ→Ｍ ２ ｘ ｘ
７ （０，０），∴ ＝（１，ｓｉｎ ）， ＝ １＋ ｓｉｎ ，ｓｉｎ ，
３
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｍ ２ ｘ ２ｘ 又→ＡＢ ｘ ｘ
∴ · ＝１＋ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ， ＝（ｓｉｎ ，０）， ∈（０，π），
３
( )
→ＡＢ ｘ ｆ ｘ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｍ ｍ ２ →ＡＢ ２ｘ
∴ ｜ ｜＝ｓｉｎ ，∴ （ ）＝ · ＋ ２ － ·｜ ｜＝ｓｉｎ ＋
１３．（２０１７河北百校联盟４ 月联考，１４）已知在 ＡＢＣ 中 点 Ｄ ３
△ ， ｍ ｘ ．设ｔ ｘ． ｘ ｔ ｙ ｔ２ ｍｔ
２ ｓｉｎ ＋１ ＝ｓｉｎ ∵ ∈（０，π），∴ ∈（０，１］，∴ ＝ ＋２ ＋
满足 ２ Ｂ→Ｄ ＋ Ｃ→Ｄ ＝ ０ ， 过点Ｄ的直线ｌ与直线ＡＢ ， ＡＣ分别交于点 １＝（ ｔ ＋ ｍ ） ２ ＋１－ ｍ２．
Ｍ Ｎ Ａ→Ｍ λ→ＡＢ Ａ→Ｎ μ →ＡＣ．若 λ μ 则 λ μ 的最小值 当 ｍ 即ｍ 时 ｙ ｔ２ ｍｔ 无最小值 不合题意
， ， ＝ ， ＝ ＞０， ＞０， ＋ ① － ≤０， ≥０ ， ＝ ＋２ ＋１ ， ；
为 ．
当 ｍ 即 ｍ 时 当ｔ ｍ时 ｙ ｍ２ １
② ０＜－ ≤１， －１≤ ＜０ ， ＝－ ， ｍｉｎ＝１－ ＝ ，
２
答案 ３＋２ ２
æ ö
３ ｍ ２çｍ ２舍去÷
∴ ＝－ è ＝ ø；
解析 连接ＡＤ．因为 Ｂ→Ｄ Ｃ→Ｄ ０ 所以Ｂ→Ｄ １ Ｂ→Ｃ Ａ→Ｄ →ＡＢ ２ ２
２ ＋ ＝ ， ＝ ， ＝
３ 当 ｍ 即ｍ 时 当ｔ 时 ｙ ｍ １
③ － ＞１， ＜－１ ， ＝１ ， ｍｉｎ＝２＋２ ＝ ，
Ｂ→Ｄ →ＡＢ １ Ｂ→Ｃ →ＡＢ １ →ＡＣ →ＡＢ ２ →ＡＢ １ →ＡＣ．因为Ｄ Ｍ ２
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ 、 、
３ ３ ３ ３ ｍ ３ 此时ｍ 不合题意．综上可知 ｍ ２．
Ｎ三点共线 所以存在ｘ Ｒ 使Ａ→Ｄ ｘＡ→Ｍ ｘ Ａ→Ｎ 则Ａ→Ｄ ∴ ＝－ ， ＞－１， ， ＝－
， ∈ ， ＝ ＋（１－ ） ， ＝ ４ ２
ｘλ→ＡＢ ｘ μ→ＡＣ 所以ｘλ→ＡＢ ｘ μ→ＡＣ ２ →ＡＢ １ →ＡＣ 根
＋（１－ ） ， ＋（１－ ） ＝ ＋ ，
３ ３
