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专题六 平面向量
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
基础篇
考点 一 平面向量的概念及线性运算 Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｂ→Ｃ 则点 Ｐ 必在
＋ ＝ ꎬ ( )
１.( 届江西百校联盟联考ꎬ )在 ＡＢＣ 中 ＡＢＣ 的外部 ＡＢＣ 的内部
Ａ.△ Ｂ.△
２０２３ ４ △ ꎬ
边 ＡＢ 上 边 ＡＣ 上
点 Ｄ 满足Ｂ→Ｄ Ｃ→Ｄ.记Ａ→Ｂ ａ Ａ→Ｃ ｂ 则Ａ→Ｄ Ｃ. Ｄ.
＝２ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝
Ｃ 由Ｐ→Ａ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｂ→Ｃ 得Ｐ→Ａ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｃ→Ｂ
＋ ＋ ＝ ꎬ ＋ ＋ ＋ ＝
( )
０ 所以Ａ→Ｐ Ｐ→Ｂ 即Ａ Ｂ Ｐ 三点共线 所以点
１ａ ３ｂ １ａ ２ｂ ꎬ ＝２ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
Ａ.－ ＋ Ｂ. ＋
Ｐ 在边ＡＢ 上.故选 .
２ ２ ３ ３
Ｃ
ａ ｂ １ａ １ｂ ５.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)设非零向量 ａ ｂ 满
Ｃ.－ ＋２ Ｄ. ＋ ２０１７ Ⅱ ４ ５ ꎬ
２ ２ 足 ａ ｂ ａ ｂ 则
｜ ＋ ｜ ＝ ｜ － ｜ꎬ ( )
答案 Ｃ 因为点 Ｄ 满足Ｂ→Ｄ Ｃ→Ｄ 所以点
＝２ ꎬ ａ ｂ ａ ｂ
Ａ. ⊥ Ｂ.｜ ｜ ＝ ｜ ｜
Ｃ 为 ＢＤ 的中点 则 Ａ→Ｃ Ａ→Ｄ Ａ→Ｂ Ａ→Ｄ Ａ→Ｃ ａ ｂ ａ ｂ
ꎬ ２ ＝ ＋ ꎬ ＝２ Ｃ. ∥ Ｄ.｜ ｜>｜ ｜
答案 Ａ 由 ａ ｂ ａ ｂ 的几何意义知
Ａ→Ｂ ｂ ａ.故选
｜ ＋ ｜ ＝ ｜ － ｜ ꎬ
－ ＝２ － Ｃ.
以向量 ａ ｂ 为邻边的平行四边形为矩形 所
２.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)在 ＡＢＣ 中 点Ｄ在 、 ꎬ
２０２２ Ⅰ ３ ５ △ ꎬ
以 ａ ｂ.故选 .
边ＡＢ上 ＢＤ ＤＡ.记Ｃ→Ａ ｍ Ｃ→Ｄ ｎ 则Ｃ→Ｂ ⊥ Ａ
ꎬ ＝２ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ 一题多解
( ) 将 ａ ｂ ａ ｂ 两边分别平方得 ａ
２
ａ
ｍ ｎ ｍ ｎ ｜ ＋ ｜ ＝ ｜ － ｜ ｜ ｜ ＋２
Ａ.３ －２ Ｂ.－２ ＋３ ｂ ｂ
２
ａ
２
ａｂ ｂ ２ꎬ即 ａｂ ꎬ故 ａ
ｍ ｎ ｍ ｎ ＋｜ ｜ ＝ ｜ ｜ －２ ＋｜ ｜ ＝０
Ｃ.３ ＋２ Ｄ.２ ＋３ ｂ.故选 .
⊥ Ａ
答案 Ｂ 由题意可知 Ｄ→Ａ Ｃ→Ａ Ｃ→Ｄ ｍ ｎ
ꎬ ＝ － ＝ － ꎬ
考点 二 平面向量基本定理及坐标运算
又 ＢＤ ＤＡ 所以Ｂ→Ｄ Ｄ→Ａ ｍ ｎ 所以
＝２ ꎬ ＝２ ＝２( － )ꎬ
考向一 平面向量基本定理及其应用
Ｃ→Ｂ Ｃ→Ｄ Ｄ→Ｂ ｎ ｍ ｎ ｎ ｍ 故选 .
＝ ＋ ＝ －２( － )＝ ３ －２ ꎬ Ｂ
１.( 届广东深圳高级中学调研ꎬ ) 在
３.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)若 Ｄ 为 ＡＢＣ 的边 ２０２３ ７
２０２０ Ⅱ ３ ５ △
ＡＢＣ 中 ＡＤ 为 ＢＣ 边上的中线 Ｅ 为 ＡＤ 的
ＡＢ 的中点 则Ｃ→Ｂ △ ꎬ ꎬ
ꎬ ＝ ( )
中点 则Ｅ→Ｂ
Ｃ→Ｄ Ｃ→Ａ Ｃ→Ａ Ｃ→Ｄ ꎬ ＝ ( )
Ａ.２ － Ｂ.２ －
Ｃ→Ｄ Ｃ→Ａ Ｃ→Ａ Ｃ→Ｄ
Ｃ.２ ＋ Ｄ.２ ＋
答案 Ａ Ｄ 为 ＡＢＣ 的边 ＡＢ 的中点
∵ △ ꎬ∴
Ｃ→Ｄ １ Ｃ→Ａ Ｃ→Ｂ Ｃ→Ｂ Ｃ→Ｄ Ｃ→Ａ.故选 . 专
＝ ( ＋ )ꎬ∴ ＝２ － Ａ ３Ａ→Ｂ １Ａ→Ｃ １Ａ→Ｂ ３Ａ→Ｃ 题
２ Ａ. － Ｂ. － 六
４.( 广东深圳实验学校、长沙一中联考ꎬ ) ４ ４ ４ ４ 平
２０２２ ３ 面
３Ａ→Ｂ １Ａ→Ｃ １Ａ→Ｂ ３Ａ→Ｃ 向
已知 ＡＢＣ 所在平面内的一点 Ｐ 满足Ｐ→Ａ Ｃ. ＋ Ｄ. ＋ 量
△ ＋ ４ ４ ４ ４
２０３
答案 Ａ 因为Ｂ→Ｅ １ Ｂ→Ａ １ Ｂ→Ｄ １ Ｂ→Ａ １
＝ ＋ ＝ ＋
２ ２ ２ ４
Ｂ→Ｃ １Ｂ→Ａ １ Ｂ→Ａ Ａ→Ｃ １Ｂ→Ａ １Ｂ→Ａ １Ａ→Ｃ
＝ ＋ ( ＋ )＝ ＋ ＋ ＝
２ ４ ２ ４ ４
２Ａ→Ｂ １Ａ→Ｄ １Ａ→Ｂ ２Ａ→Ｄ
Ａ. ＋ Ｂ. ＋
３Ｂ→Ａ １Ａ→Ｃ 所以Ｅ→Ｂ ３Ａ→Ｂ １Ａ→Ｃ 故选
３ ３ ３ ３
＋ ꎬ ＝ － ꎬ Ａ.
４ ４ ４ ４
３Ａ→Ｂ ３Ａ→Ｄ ２Ａ→Ｂ ２Ａ→Ｄ
２.( 届浙江嘉兴基础测试ꎬ )在平行四边 Ｃ. ＋ Ｄ. ＋
２０２３ ３ ４ ４ ３ ３
形 ＡＢＣＤ 中 点 Ｅ Ｆ 分别在边 ＢＣ ＣＤ 上 且
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ 答案 Ｃ 连接 ＡＥ ＡＦ.根据题意得Ａ→Ｇ １
ꎬ ＝
Ｂ→Ｅ Ｅ→Ｃ Ｃ→Ｆ Ｆ→Ｄ 记Ａ→Ｂ ａ Ａ→Ｄ ｂ 则Ｅ→Ｆ ２
＝２ ꎬ ＝３ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝
Ａ→Ｅ Ａ→Ｆ .又Ａ→Ｅ Ａ→Ｂ Ｂ→Ｅ Ａ→Ｂ １Ａ→Ｄ Ａ→Ｆ Ａ→Ｄ
( ) ( ＋ ) ＝ ＋ ＝ ＋ ꎬ ＝
２
３ａ １ｂ ３ａ １ｂ
Ａ.－ ＋ Ｂ. ＋ Ｄ→Ｆ Ａ→Ｄ １ Ａ→Ｂ 所以Ａ→Ｇ ３Ａ→Ｂ ３ Ａ→Ｄ.故
４ ３ ４ ３ ＋ ＝ ＋ ꎬ ＝ ＋
２ ４ ４
３ａ １ｂ １ａ １ｂ 选
Ｃ. － Ｄ.－ ＋ Ｃ.
４ ３ ４ ３ 考向二 平面向量的坐标运算
答案 Ａ 因为Ｂ→Ｅ Ｅ→Ｃ Ｃ→Ｆ Ｆ→Ｄ 所以
＝ ２ ꎬ ＝ ３ ꎬ １.( 辽宁六校协作体期中ꎬ )已知四边形
２０２２ ４
Ｅ→Ｃ １Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｆ ３Ｃ→Ｄ 又Ａ→Ｂ ａ Ａ→Ｄ ｂ 且 Ａ→Ｂ ＡＢＣＤ 的三个顶点为 Ａ Ｂ
＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ (０ꎬ２)ꎬ (－１ꎬ－２)ꎬ
３ ４
Ｃ 且Ｂ→Ｃ Ａ→Ｄ 则顶点 Ｄ 的坐标为
(３ꎬ１)ꎬ ＝２ ꎬ
Ｄ→Ｃ Ａ→Ｄ Ｂ→Ｃ 故有Ｅ→Ｆ Ｅ→Ｃ Ｃ→Ｆ １ Ｂ→Ｃ ３
＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ＋ ＝ ＋
３ ４ ( )
æ ö æ ö
Ｃ→Ｄ １Ａ→Ｄ ３Ａ→Ｂ ３ａ １ｂ 选 ç ７ ÷ ç １ ÷
＝ － ＝－ ＋ ꎬ Ａ. Ａ.è２ꎬ ø Ｂ.è２ꎬ ø Ｃ.(３ꎬ２) Ｄ.(１ꎬ３)
２ ２
３ ４ ４ ３
３.( 广东韶关一模ꎬ )在 ＡＢＣ 中 点 Ｍ 答案 Ａ 设顶点 Ｄ 的坐标为 ｘ ｙ Ｂ→Ｃ
２０２１ ３ △ ꎬ ( ꎬ )ꎬ∵
Ａ→Ｄ ｘ ｙ 且Ｂ→Ｃ Ａ→Ｄ
为 ＡＣ 上的点 且Ａ→Ｍ １ Ｍ→Ｃ 若Ｂ→Ｍ λ Ｂ→Ａ ＝(４ꎬ３)ꎬ ＝ ( ꎬ －２)ꎬ ＝ ２ ꎬ∴
ꎬ ＝ ꎬ ＝ ＋
ìｘ
２ { ｘ ï ï ＝２ꎬ
μ Ｂ→Ｃ 则 λ μ 的值是 ２ ＝４ꎬ í 顶 点 Ｄ 的 坐 标 为
ꎬ － ( ) ｙ ⇒ ïｙ ７ ∴
ï
２ －４＝３ î ＝ ꎬ
２
１ １ ２
Ａ.１ Ｂ. Ｃ. Ｄ. æ ö
２ ３ ３ ç ７ ÷.故选
è２ꎬ ø Ａ.
２
答案 Ｃ 由Ａ→Ｍ １Ｍ→Ｃ 得Ａ→Ｍ １Ａ→Ｃ 所以
＝ ꎬ ＝ ꎬ ２.( 河北邢台“五岳联盟”部分重点学校
２ ３ ２０２２
期中ꎬ )若向量 ａ ｂ ｃ
Ｂ→Ｍ Ｂ→Ａ Ａ→Ｍ Ｂ→Ａ １Ａ→Ｃ Ｂ→Ａ １ Ｂ→Ｃ Ｂ→Ａ ２ ＝(１ꎬ７)ꎬ ＝(１４ꎬ－２)ꎬ ＝
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ 则
5 ３ ３ (－１ꎬ１)ꎬ ( )
年 ａ ｂ 且 ａ ｂ ａ ｂ 且 ａ ｃ
高 ２Ｂ→Ａ １Ｂ→Ｃ 又因为Ｂ→Ｍ λ Ｂ→Ａ μ Ｂ→Ｃ 所以 λ Ａ. ∥ ＝６ Ｂ. ⊥ ＝６
考 ＋ ꎬ ＝ ＋ ꎬ ａ ｂ 且 ａ ｃ ａ ｂ 且 ａ ｃ
3 ３ ３ Ｃ. ∥ ＝－６ Ｄ. ⊥ ＝－６
年 答案 Ｂ 由题意得 ａ ｂ ａ ｂ 又 ａ
模 ２ μ １ 故 λ μ １.故选 . ＝０ꎬ∴ ⊥ ꎬ
拟 ＝ ꎬ ＝ ꎬ － ＝ Ｃ
３ ３ ３ ｃ 故选 .
A ＝１×(－１)＋７×１＝６ꎬ Ｂ
４.( 重庆十一中月考ꎬ ) 如图 在矩形
版
２０２２ ６ ꎬ
３.( 届福建部分名校联考ꎬ )已知向量 ｍ
２０２３ １３ ＝
高 ＡＢＣＤ 中 ＡＢ ＡＤ Ｅ Ｆ 分别为 ＢＣ ＣＤ 的中
考 ꎬ ＝２ ꎬ ꎬ ꎬ ｎ ｘ 若ｍ ｎ 则ｘ .
(６ꎬ２１)ꎬ ＝( ꎬ１４)ꎬ ∥ ꎬ ＝
数
学 点 Ｇ 为 ＥＦ 的中点 则Ａ→Ｇ 答案
ꎬ ꎬ ＝ ( ) ４
２０４
解析 因为 ｍ ｎ ｘ ｍ ｎ ５.( 沈阳市郊联体一模ꎬ )已知平面向量
＝(６ꎬ２１)ꎬ ＝( ꎬ１４)ꎬ ∥ ꎬ ２０２１ １３
所以 ｘ 解得 ｘ . ａ 非零向量 ｂ 满足 ｂ ａ 则满足条
２１ －６×１４＝０ꎬ ＝４ ＝(３ꎬ４)ꎬ ⊥ ꎬ
４.( 全国乙文ꎬ ꎬ 分)已知向量 ａ 件的一个向量 ｂ .
２０２１ １３ ５ ＝(２ꎬ ＝
ｂ λ 若 ａ ｂ 则 λ . 答案 答案不唯一
５)ꎬ ＝( ꎬ４)ꎬ ∥ ꎬ ＝ (４ꎬ－３)( )
解析 设 ｂ ｘ ｙ 因为 ｂ ａ 所以 ｘ ｙ
答案 ８ ＝( ꎬ )ꎬ ⊥ ꎬ ３ ＋４
可取 ｂ 答案不唯一 .
５
＝０ꎬ ＝(４ꎬ－３)( )
解析 由已知 ａ ｂ 得 λ λ ８.
∥ ２×４＝５ ꎬ∴ ＝
５
专
题
六
平
面
向
量
２０５
综合篇
考法 一 平面向量线性运算的解题策略 答案 Ｃ 建立如图所示
的平面直角坐标系 则 Ａ
考向一 坐标法解平面向量问题 ꎬ
Ｂ Ｃ
１.( 广东湛江二模ꎬ )在 Ａ °的等腰 ( ３ꎬ１)ꎬ (０ꎬ３)ꎬ (－１ꎬ０)ꎬ
２０２２ ４ ∠ ＝９０
直角 ＡＢＣ 中 Ｅ 为 ＡＢ 的中点 Ｆ 为 ＢＣ 的 则由Ｏ→Ｂ ｘ Ｏ→Ａ ｙ Ｏ→Ｃ 得
△ ꎬ ꎬ ＝ ＋ ꎬ (０ꎬ
中点 Ｂ→Ｃ λ Ａ→Ｆ μ Ｃ→Ｅ 则 λ ｘ ｙ
ꎬ ＝ ＋ ꎬ ＝ ( ) ３)＝ ( ３ꎬ１)＋ (－１ꎬ０)＝
ｘ
２ ３ ４ ｘ ｙ ｘ 解得 ｘ ｙ 故 ３.故
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ.－ Ｄ.－１ ( ３ － ꎬ )ꎬ ＝３ꎬ ＝３ ３ꎬ ｙ ＝
３ ２ ３ ３
答案 Ａ 以 Ａ 为原点建立 选
Ｃ.
平面直角坐标系 如图 设 Ｂ ３.( 河北张家口三模ꎬ )我国东汉末数学
ꎬ ꎬ ２０２１ ７
Ｃ 则Ｆ
家赵爽在 周髀算经 中利用一幅 弦图 给
(２ꎬ０)ꎬ (０ꎬ２)ꎬ (１ꎬ１)ꎬ
« » “ ”
Ｅ Ｂ→Ｃ 则Ａ→Ｆ 出了勾股定理的证明 后人称其为 赵爽弦
(１ꎬ０)ꎬ ＝(－２ꎬ２)ꎬ ꎬ “
图 它是由四个全等的直角三角形与一个
Ｃ→Ｅ 则 λ Ａ→Ｆ μ Ｃ→Ｅ λ
”ꎬ
＝(１ꎬ１)ꎬ ＝(１ꎬ－２)ꎬ ＋ ＝ (１ꎬ
小正方形拼成的一个大正方形 如图所示
μ λ μ λ μ
ꎬ ꎬ
１)＋ (１ꎬ－２)＝ ( ＋ ꎬ －２ )ꎬ
{λ μ 若Ｅ为ＡＦ的中点 Ｅ→Ｇ λＡ→Ｂ μＡ→Ｄ 则λ μ
所以 ＋ ＝－２ꎬ所以 λ ２.故选 ꎬ ＝ ＋ ꎬ ＋ ＝
λ μ ＝－ Ａ.
－２ ＝２ꎬ ３ ( )
２.( 江苏南通如皋教学质量
２０２２
调研一ꎬ )如图 已知 ＯＡ
７ ꎬ ＝ ２ꎬ
ＯＢ ＯＣ ＡＯＢ °
＝ ３ꎬ ＝ １ꎬ∠ ＝ ６０ ꎬ
ＢＯＣ ° 若Ｏ→Ｂ ｘ Ｏ→Ａ
∠ ＝ ９０ ꎬ ＝ ＋
ｘ
ｙ Ｏ→Ｃ 则
ꎬ ｙ ＝ ( )
１ ３ ２ ４
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１ ３ ２ ２ ５ ３ ５
Ａ. ３ Ｂ. Ｃ. Ｄ. 答案 Ｄ 以 Ｅ 为坐标原点 ＥＦ 所在直线为
２ ３ ３
ꎬ
ｘ 轴 ＥＤ 所在直线为 ｙ 轴建立如图所示的直
ꎬ
角坐标系 则 Ｅ .
ꎬ (０ꎬ０)
设 ＥＦ Ｅ为ＡＦ的中点
｜ ｜＝１ꎬ∵ ꎬ
Ｇ Ａ
∴ (１ꎬ１)ꎬ (－１ꎬ０)ꎬ ＰＡ的方程为 ｙ ７ｘ 时 又直线 ＢＣ 的方程为
＝ ꎬ
Ｂ Ｄ 则
２４
(１ꎬ－１)ꎬ (０ꎬ２)ꎬ
ｘ ｙ
Ｅ→Ｇ Ａ→Ｂ
＝(１ꎬ１)ꎬ ＝(２ꎬ ＋ ＝１ꎬ
４ ３
Ａ→Ｄ 由
ì ì
－１)ꎬ ＝ (１ꎬ２)ꎬ ï ï
ｙ ７ｘ ｘ ７２
Ｅ→Ｇ λ Ａ→Ｂ μ Ａ→Ｄ 得 ï ï ＝ ꎬ ï ï ＝ ꎬ æ ö
＝ ＋ ꎬ 故由í ２４ 解得í ２５ 即 Ｄç７２ ２１÷
ïｘ ｙ ï è ꎬ øꎬ∴
(１ꎬ１)＝ λ (２ꎬ－１)＋ μ (１ꎬ２)ꎬ ï ï ï ï ｙ ２１ ２５ ２５
î ＋ ＝１ꎬ î ＝ ꎬ
ì ４ ３ ２５
ï
λ １
{ λ μ ï ï ＝ ꎬ æ ö２ æ ö２
２ ＋ ＝１ꎬ 解得í ５ 则 λ μ ４.故 ＣＤ ç７２÷ ç２１ ÷ １８.当直线 ＰＡ 的方
∴ λ μ ï ＋ ＝ ＝ è ø ＋è －３ø ＝
－ ＋２ ＝１ꎬ ïμ ３ ５ ２５ ２５ ５
ï
î ＝ ꎬ
５ 程为 ｘ 时 ＣＤ .综上 ＣＤ １８或 .
＝０ ꎬ ＝０ ꎬ ＝ ０
选
５
Ｄ.
４.( 江苏ꎬ ꎬ 分)在 ＡＢＣ 中 ＡＢ ＡＣ 考向二 平面向量中的最值问题
２０２０ １３ ５ △ ꎬ ＝４ꎬ
ＢＡＣ ° Ｄ 在边 ＢＣ 上 延长 ＡＤ 到 １.( 福建莆田华侨中学月考ꎬ )如图 在
＝３ꎬ∠ ＝９０ ꎬ ꎬ ２０２２ ８ ꎬ
æ ö
ＡＢＣ 中 点 Ｐ 满足Ｂ→Ｐ Ｐ→Ｃ 过点 Ｐ 的直
Ｐ 使得 ＡＰ 若 Ｐ→Ａ ｍ Ｐ→Ｂ ç ３ ｍ÷Ｐ→Ｃ ｍ △ ꎬ ＝３ ꎬ
ꎬ ＝９ꎬ ＝ ＋è － ø (
２ 线与ＡＢ ＡＣ 所在的直线分别交于点Ｍ Ｎ 若
、 、 ꎬ
为常数 则 ＣＤ 的长度是 .
)ꎬ
Ａ→Ｍ λ Ａ→Ｂ Ａ→Ｎ μ Ａ→Ｃ λ μ 则 λ μ 的
＝ ꎬ ＝ ( >０ꎬ >０)ꎬ ＋
最小值为
( )
答案 １８或
０
５
解析 建系如图
ꎬ
设 Ｐ ｘ ｙ 则Ｐ→Ａ ２ ３ ３ ５
( ꎬ )ꎬ ＝ Ａ. ＋１ Ｂ. ＋１ Ｃ. Ｄ.
２ ２ ２ ２
ｘ ｙ Ｐ→Ｂ
(－ ꎬ－ )ꎬ ＝(４－ 答案 Ｂ Ｂ→Ｐ Ｐ→Ｃ 即Ａ→Ｐ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ
∵ ＝３ ꎬ － ＝３( －
ｘ ｙ Ｐ→Ｃ
ꎬ － )ꎬ ＝
Ａ→Ｐ Ａ→Ｐ １Ａ→Ｂ ３Ａ→Ｃ Ａ→Ｍ λ Ａ→Ｂ Ａ→Ｎ μ
ｘ ｙ
)ꎬ∴ ＝ ＋ ꎬ∵ ＝ ꎬ ＝
(－ ꎬ３－ )ꎬ
４ ４
æ ö
Ｐ→Ａ ｍ Ｐ→Ｂ ç ３ ｍ÷Ｐ→Ｃ
∵ ＝ ＋è － ø ꎬ Ａ→Ｃ λ μ Ａ→Ｂ １ Ａ→Ｍ Ａ→Ｃ １ Ａ→Ｎ
２ ( >０ꎬ >０)ꎬ∴ ＝ λ ꎬ ＝ μ ꎬ∴
ì æ ö
ï
ｘ ｍ ｘ ç ３ ｍ÷ ｘ
ï ï－ ＝ (４－ )＋è － ø(－ )ꎬ Ａ→Ｐ １ Ａ→Ｍ ３ Ａ→Ｎ Ｍ Ｐ Ｎ 三点共线
í ２ 解 ＝ λ ＋ μ ꎬ∵ 、 、 ꎬ
∴ ï æ ö ４ ４
5 ï ï ｙ ｍ ｙ ç ３ ｍ÷ ｙ æ ö λ
年
î－ ＝ (－ )＋è
２
－ ø(３－ )ꎬ
∴
１
λ＋
３
μ＝１
.
∴
λ
＋
μ
＝(
λ
＋
μ
)è
ç １
λ＋
３
μø
÷
＝
３
μ＋
高 {ｘ ｍ ４ ４ ４ ４ ４
考
3 得 ＝８ ꎬ μ λ μ
年 ｙ ｍ ３ ３ 当且仅当 μ
模 ＝９－６ ꎬ λ＋１≥２ μ λ＋１＝ ＋１ꎬ ＝
拟 又 ＡＰ ｍ ２ ｍ ２ ４ ４ ４ ２
＝９ꎬ∴ (８ ) ＋(９－６ ) ＝８１ꎬ
A æ ö λ 时 等号成立 因此 λ μ 的最小值为 ３
版 ｍ 或 ｍ ２７ Ｐ 或 Ｐç２１６ ６３÷ ３ ꎬ ꎬ ＋
∴ ＝０ ＝ ꎬ∴ (０ꎬ９) è ꎬ øꎬ ２
高 ２５ ２５ ２５
.故选
考
＋１ Ｂ.
数 直线 ＰＡ 的方程为 ｘ 或 ｙ ７ ｘ 当直线
学 ∴ ＝０ ＝ ꎬ
２４
２０６
２.( 课标 ꎬ ꎬ 分)在矩形 ＡＢＣＤ 中 ＡＢ
２０１７ Ⅲ １２ ５ ꎬ １ ｋ ２ 当ｋ 时 取最小值５ 故 错
( －２) ＋２ꎬ ＝１ ꎬ ꎬ Ｃ
ＡＤ 动点 Ｐ 在以点 Ｃ 为圆心且与 ＢＤ ２ ２
＝１ꎬ ＝２ꎬ
误 正确.故选
相切的圆上.若Ａ→Ｐ λ Ａ→Ｂ μ Ａ→Ｄ 则 λ μ 的最 ꎬＤ ＢＤ.
＝ ＋ ꎬ ＋ ４.( 辽宁大连一中期中ꎬ )在 ＡＢＣ 中
大值为 ２０２２ １５ △ ꎬ
( ) 点 Ｄ 是线段 ＢＣ 上任意一点 不包含端点
( )ꎬ
Ａ.３ Ｂ.２ ２ Ｃ. ５ Ｄ.２
若Ａ→Ｄ ｍ Ａ→Ｂ ｎ Ａ→Ｃ 则４ １的最小值为 .
答案 Ａ 以 Ｃ 为原点 以Ｃ→Ｂ Ｃ→Ｄ的方向为 ＝ ＋ ꎬ ｍ＋ｎ
ꎬ ꎬ
ｘ ｙ 轴 的 正 方 向 建 立 直 角 坐 标 系 则 答案
ꎬ ꎬ ９
Ａ Ｂ Ｄ . 点 Ｐ 在以 Ｃ 为 解析 Ｄ 是线段 ＢＣ 上一点 Ｂ Ｃ Ｄ 三
(２ꎬ１)ꎬ (２ꎬ０)ꎬ (０ꎬ１) ∵ ∵ ꎬ∴ ꎬ ꎬ
圆 心 且 与 ＢＤ 相 切 的 圆 上 可 设 点共线
ꎬ ∴ ꎬ
æ ö
Ａ→Ｄ ｍ Ａ→Ｂ ｎ Ａ→Ｃ ｍ ｎ 且 ｍ ｎ
Ｐçç ２ θ ２ θ÷÷.则Ａ→Ｂ Ａ→Ｄ ∵ ＝ ＋ ꎬ∴ ＋ ＝１ꎬ >０ꎬ >０ꎬ
è
ｃｏｓ ꎬ ｓｉｎ
ø
＝ (０ꎬ－１)ꎬ ＝
æ ö ｍ ｎ
５ ５
４ １ ç ４ １÷ ｍ ｎ ４
æ ö ∴ ｍ＋ｎ ＝èｍ＋ｎø( ＋ )＝ ｎ＋ｍ＋５≥２ ４＋５
Ａ→Ｐ çç ２ θ ２ θ ÷÷.又Ａ→Ｐ
(－２ꎬ０)ꎬ ＝
è
ｃｏｓ －２ꎬ ｓｉｎ －１
ø
＝
５ ５ ＝９ꎬ
ｍ ｎ
λ Ａ→Ｂ μ Ａ→Ｄ λ ２ θ μ １ θ 当且仅当 ４ 时取等号. ４ １的最小值
＋ ꎬ∴ ＝ － ｓｉｎ ＋１ꎬ ＝ － ｃｏｓ ＋ ｎ ＝ ｍ ∴ ｍ＋ｎ
５ ５
为 .
λ μ ２ θ １ θ θ φ ９
１ꎬ∴ ＋ ＝２－ ｓｉｎ － ｃｏｓ ＝２－ｓｉｎ( ＋ )ꎬ
考法 二 向量共线问题的求解方法
５ ５
其中 φ １ λ μ . １.( 江苏盐城伍佑中学模拟ꎬ )已知 ａ ｂ
ｔａｎ ＝ ꎬ∴ ( ＋ )ｍａｘ ＝３ ２０２２ ５ ꎬ
２
是不共线的向量 Ａ→Ｂ λａ ｂ Ａ→Ｃ ａ μｂ λ μ
３.(多选) ( 湖北重点中学联考ꎬ ) 在 ꎬ ＝ ＋ ꎬ ＝ ＋ ( ꎬ
２０２２ ９
Ｒ 那么 Ａ Ｂ Ｃ 三点共线的充要条件为
ＡＢＣ 中 点 Ｄ 满足Ｂ→Ｄ Ｄ→Ｃ 当点 Ｅ 在线段 ∈ )ꎬ ꎬ ꎬ
△ ꎬ ＝ ꎬ
( )
ＡＤ 上移动时 记Ａ→Ｅ λ Ａ→Ｂ μ Ａ→Ｃ 则
ꎬ ＝ ＋ ꎬ ( ) λ μ λμ
Ａ. ＋ ＝２ Ｂ. ＝１
λ μ
Ａ. ＝２ λμ λ μ
Ｃ. ＝－１ Ｄ. － ＝１
λ μ
Ｂ. ＝ 答案 Ｂ 若 Ａ Ｂ Ｃ 三点共线 则向量Ａ→Ｃ
λ ２ μ２ 的最小值为 、 、 ꎬ ∥
Ｃ.( －２) ＋ ２
Ａ→Ｂ 即存在实数ｋ 使得Ａ→Ｂ ｋ Ａ→Ｃ Ａ→Ｂ λａ
ꎬ ꎬ ＝ ꎬ∵ ＝ ＋
λ ２ μ２ 的最小值为５
Ｄ.( －２) ＋ ｂ Ａ→Ｃ ａ μｂ λａ ｂ ｋ ａ μｂ 可得
２ ꎬ ＝ ＋ ꎬ∴ ＋ ＝ ( ＋ )ꎬ
答案 ＢＤ 由Ｂ→Ｄ Ｄ→Ｃ得 Ｄ 是 ＢＣ 的中点 {λ ｋ
＝ ꎬ ＝ ꎬ 消去 ｋ 得 λμ 即 Ａ Ｂ Ｃ 三点共线
ｋμ ＝１ꎬ 、 、
１＝ ꎬ
则Ａ→Ｄ １ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ 又点 Ｅ 在线段 ＡＤ 上移
＝ ( ＋ )ꎬ 的充要条件为 λμ 故选
２ ＝１ꎬ Ｂ.
２.( 辽宁丹东五校联考ꎬ )已知向量 ａ
动 设Ａ→Ｅ ｋ Ａ→Ｄ ｋ 则Ａ→Ｅ ｋ Ａ→Ｄ
２０２２ ５ ＝
ꎬ∴ ＝ (０≤ ≤１)ꎬ ＝ ＝
ｂ .若向量 ｃ 满足 ｃ ａ ｂ
１ｋ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ １ｋ Ａ→Ｂ １ｋ Ａ→Ｃ 又Ａ→Ｅ λ Ａ→Ｂ (１ꎬ２)ꎬ ＝(２ꎬ－３) ( ＋ )∥ ꎬ
( ＋ )＝ ＋ ꎬ ＝ ＋ ｃ ａ ｂ 则 ｃ
２ ２ ２ ⊥( ＋ )ꎬ ＝ ( )
专
æ ö æ ö 题
μ Ａ→Ｃ λ １ ｋ μ １ ｋ 故 错误 正确 ç７ ７ ÷ ç ７ ７÷ 六
ꎬ∴ ＝ ꎬ ＝ ꎬ Ａ ꎬＢ ꎻ Ａ.è ꎬ ø Ｂ.è－ ꎬ－ ø
２ ２ ９ ３ ３ ９
平
æ ö２ æ ö２ æ ö æ ö 面
λ ２ μ２ ç １ｋ ÷ ç １ｋ÷ １ｋ２ ｋ ç７ ７ ÷ ç ７ ７÷ 向
( －２) ＋ ＝è －２ø ＋è ø ＝ －２ ＋４＝ Ｃ.è ꎬ ø Ｄ.è－ ꎬ－ ø 量
２ ２ ２ ３ ９ ９ ３
２０７
答案 Ｄ ａ ｂ 设ｃ ｘ ｙ 则ｃ 答案 或
＋ ＝(３ꎬ－１)ꎬ ＝( ꎬ )ꎬ ＋ １ －２
ａ ｘ ｙ 由 已 知 可 得 解析 ａ ｂ ｘ ｘ 解得 ｘ
＝ ( ＋ １ꎬ ＋ ２ )ꎬ ∵ ∥ ꎬ∴ ( ＋１)－２＝０ꎬ ＝１
ì 或 ｘ .
ï
ｘ ７ ＝－２
{
２(
ｙ
＋２)＋３(
ｘ
＋１)＝ ０ꎬ解得í
ï ï ＝－
９
ꎬ ４.(
２０２２
福建莆田华侨中学月考ꎬ
１５
)已知向量
ｘ ｙ ï
３ － ＝０ꎬ ïｙ ７ ａ ｂ ｃ λ .若 ｃ ａ
î ï ＝－ ꎬ ＝(１ꎬ２)ꎬ ＝(２ꎬ－２)ꎬ ＝(１ꎬ ) ∥(２ ＋
３ ｂ 则实数 λ .
æ ö )ꎬ ＝
故 ｃ ç ７ ７÷.选
＝è－ ꎬ－ ø Ｄ. 答案 １
９ ３
３.( 海南琼海嘉积三中月考ꎬ )已知向量 ２
２０２２ １３ 解析 由题意可得 ａ ｂ . ｃ ａ
２ ＋ ＝(４ꎬ２) ∵ ∥(２ ＋
ａ ｘ ｂ ｘ 若满足 ａ ｂ 则 ｘ
＝(１ꎬ ＋１)ꎬ ＝( ꎬ２)ꎬ ∥ ꎬ ＝
ｂ ｃ λ λ 解得 λ １.
.
)ꎬ ＝(１ꎬ )ꎬ∴ ４ －２＝０ꎬ ＝
２
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２０８
