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第27课 平面向量的基本定理及坐标表示（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）已知向量 是平面内所有向量的一组基底，则下
面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.
【详解】对于A，假设 共线，则存在 ，使得 ，
因为 不共线，所以没有任何一个 能使该等式成立，
即假设不成立，也即 不共线，则能作为基底；
对于B，假设 共线，则存在 ，使得 ，
即 无解，所以没有任何一个 能使该等式成立，
即假设不成立，也即 不共线，则能作为基底；
对于C，因为 ，所以两向量共线，
不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设 共线，则存在 ，
使得 ，
即 无解，所以没有任何一个 能使该等式成立，即假设不成立，也即 不共线，则能作为基底，
故选:C.
2．（2023春·福建宁德·高一统考期中）在 中， ， ，若点M满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得： .
故选：A.
3．（2021春·广东广州·高一校联考期末）如图，在平行四边形 中， ，若
，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件利用平面向量的线性运算求得 关于 的线性表达式，然后利用平面向量基
本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值,进而得解.
【详解】 ,
又∵ ， 不共线 ，根据平面向量基本定理可得 ,
∴ ,
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量的基本运算和基本定理，属基础题，关键是根据已知条件利用平面向量的线性
运算求得 关于 的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值.
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，设 ，向量
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量 ，再根据 ，将 用 表示，再根据平面向量的
模的坐标表示结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解： ，
则 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
则 ，
当 时， .
故选：D.
二、多选题
5．（2022·海南·校联考模拟预测）用下列 ， 能表示向量 的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】AB
【分析】根据题意，设 ，利用向量的坐标运算，得到关于 的方程组，结合方程组的解，即
可求解.
【详解】对于A中，设 ，可得 ，
则 ，方程组有无数组解，例如 时， ，所以A成立；
对于B中，设 ，可得 ，
则 ，解得 时， ，所以B成立；
对于C中，设 ，可得 ，
则 ，此时方程组无解，所以 不能表示 ，所以C不成立；
对于D中，设 ，可得 ，
则 ，此时方程组无解，所以 不能表示 ，所以D不成立.
故选：AB.
6．（2022·高一课时练习）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
【答案】BC【分析】利用平面向量的坐标运算可判断A；利用平面向量的模长公式可判断B；利用平面向量垂直的坐
标表示可判断C；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断D.
【详解】对于A， ，A错；
对于B， ， ，则 ，B对；
对于C， ，故 ，所以， ，C对；
对于D， ， ，故 ，D错.
故选：BC.
7．（2023·全国·高一专题练习）已知 ，如下四个结论正确的是（ ）
A． ； B．四边形 为平行四边形；
C． 与 夹角的余弦值为 ； D．
【答案】BD
【分析】求出向量 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一
判断.
【详解】由 ，
所以 ， ， ， ,
对于A， ，故A错误；
对于B，由 ， ，则 ，
即 与 平行且相等，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确；故选：BD
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
三、填空题
8．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ，若 ，
则实数 的值为 ．
【答案】
【分析】首先求出 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ．
故答案为：
9．（2019·天津·天津市宁河区芦台第一中学校考模拟预测）如图所示，等边 的边长为2， 为边
上的一点，且 ， 也是等边三角形，若 ，则 的值是 .
【答案】
【分析】过点 作 ,交 边于 ，所以有 ,可以证出四边形 是菱形,以
为一组基底，计算出 的值，根据 ，可以得出 的值.【详解】过点 作 ,交 边于 ，所以有 ,如下图所示：
和 都是等边三角形，所以可以证出四边形AEDF是菱形，故 且
，所以
.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、平面向量加法的几何意义，考查了运算能力.
四、解答题
10．（2023春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知向量 ， ， ．
(1)若 ，求m的值；
(2)若 ，求m的值；
(3)若 与 夹角为锐角，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；
（2）由向量垂直坐标表示即可；（3）由向量夹角为锐角可知 且 不同向，由此可构造不等式组求得 的范围
【详解】（1）因为向量 ， ， ，
所以 ，解得 ；
（2）因为向量 ， ， ，
所以 ，解得 ；
（3） 夹角为锐角， 且 不同向， ，
解得： 且 ， 的取值范围为 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点， ，若 、 ，则与 共线的
单位向量为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【分析】求出 的坐标，除以 ，再考虑方向可得．
【详解】由 得 ，即 ， ，
，
，
，与 同向的单位向量为 ，反向的单位向量为 ．
故选：C．
二、多选题
2．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）下列选项中正确的是（ ）
A．若向量 ， 为单位向量， ，则向量 与向量 的夹角为60°
B．设向量 ， ，若 ， 共线，则
C．若 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为
D．若平面向量 ， 满足 ，则 的最大值是5
【答案】BCD
【分析】对 两边同时平方结合向量数量积的定义可判断A；由共线向量的坐标表示可判断B；
由投影向量的定义可判断C； ，结合余弦函数的值域可判断D.
【详解】解：A选项，由 ，以及 ，可得 ，
则 ，即 ，又 ，
所以夹角 .
对于B，因为 ， ，且 ， 共线，
则 解得 .所以B正确.
C选项， 在 方向上的投影向量为
，故C正确，对于D，因为 ，所以
所以 的最大值是5，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
3．（2023春·内蒙古乌兰察布·高一校考阶段练习）已知向量 ， ， ， ，
则 与 夹角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】设 ，根据向量共线和向量垂直的条件得到 的值，进而得到向量的坐标，然后可求出
夹角的余弦值．
【详解】设 ，则 ，
∵( )∥ ， ，
∴ ，即 ．
又 ， ,
∴ ．
由 ，解得 ，
∴ ．
设 的夹角为 ，则 ，即 夹角的余弦值为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查向量的基本运算，解题时根据向量的共线和垂直的充要条件得到向量 的坐标是关键，
同时也考查转化和计算能力，属于基础题．
四、解答题
4．（2023春·四川遂宁·高三四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知
.
（1）若 三点共线，求实数 的值；
（2）证明：对任意实数 ，恒有 成立.
【答案】(1)-3；(2)证明见解析.
【详解】分析：（1）由题意可得 ，结合三点共线的充分必要条件可得 .
（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，则恒有 成立.
详解：（1） ，∵ 三点共线，
∴ ，∴ .
（2） ，
∴ ，∴恒有 成立.
点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
【三层练能力】
一、多选题
1．（2022·重庆·统考模拟预测）已知平面内两个给定的向量 ， 满足 ， ，则使得
的 可能有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】ABC
【分析】由给定条件用坐标表示 、 ，利用向量模的坐标表示列出方程，再借助直线与圆的公共点个数
即可判断作答.
【详解】因平面向量 ， 满足 ， ，在平面直角坐标系中，令
，设 ，
由 可得： ，表示以点 为圆心，1为半径的圆，
由 得： ，
整理得： ，表示一条直线l，
依题意， 同时满足直线l的方程和圆C的方程，因此直线l与圆C的公共点个数，即是向量 的个数，
点C到直线l的距离
，
显然 ，当 时， ，直线l与圆C相交，有两个公共点，向量 有
2个，C满足；
当 时， ，直线l与圆C相切，有1个公共点，向量 有1个，B满足；
当 时， ，直线l与圆C相离，没有公共点，不存在向量 满足条件，即有0个，
A满足.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，
利用代数方法解决.二、多选题
2．（2023·浙江·高一专题练习）设 为不共线的向量，满足 ，且
，若 ，则 的最大值为 ．
【答案】324
【分析】采用建系法，令 ，将各个点用坐标表示，然后表达出 面积的最大值，
进而求得 的最大值；
【详解】令 ，又因为 ，
即 ，
则点C为 的外心，因为 ，
设 ，不妨取
则点 在圆 上，
由 ，代入坐标， ，
解得 ，
联立 和 ，
解得 ，故
，当且仅当 即 时取“=”.
故 ，于是
.
故答案为：324
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具
体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
