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专题六 平面向量
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
基础篇
2. 考点 一 平面向量的概念及线性运算 共线向量定理
向量 ａ ａ ０ 与 ｂ 共线的充要条件是存在唯
1.
向量的线性运算 ( ≠ )
一一个实数 λ 使 ｂ λａ.
向量 ꎬ ＝
法则(或几何意义) 运算律
运算
考点 二 平面向量基本定理及坐标运算
( )交换律: 1.
平面向量基本定理
１
ａ ｂ ｂ ａꎻ
加法 ＋ ＝ ＋ 如果ｅ ｅ 是同一平面内的两个不共线向量
( )结合律: １ꎬ ２ ꎬ
２
那么对于这一平面内的任意向量 ａ 有且只
(ａ ｂ) ｃ ａ (ｂ ｃ) ꎬ
＋ ＋ ＝ ＋ ＋
有一对实数 λ λ 使ａ λ ｅ λ ｅ .我们把
１ꎬ ２ꎬ ＝ １ １ ＋ ２ ２
ｅ ｅ 叫做表示这个平面内所有向量的一
{ １、 ２}
减法 个基底.
零向量和共线向量不能作基底.
( ) λａ λ ａ ꎻ 2. 平面向量的坐标运算
１ ｜ ｜＝｜ ｜｜ ｜
( )当 λ 时ꎬλａ 与 ａ
２ >０ λ(μａ) (λμ)ａꎻ 已知 ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ .
的方向相同ꎻ ＝ ＝( １ꎬ １)ꎬ ＝( ２ꎬ ２)
数乘 (λ μ)ａ λａ μａꎻ 则 ａ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ ａ ｂ ｘ ｘ ｙ
当 λ 时ꎬλａ 与 ａ 的 ＋ ＝ ＋ ＋ ＝( １ ＋ ２ꎬ １ ＋ ２)ꎬ － ＝( １ － ２ꎬ １ －
<０ λ(ａ ｂ) λａ λｂ
方向相反ꎻ ＋ ＝ ＋ ｙ λａ λｘ λｙ ａ ｂ ｘ ｙ ｘ ｙ .
２)ꎬ ＝( １ꎬ １)ꎬ ∥ ⇔ １ ２ － ２ １ ＝０
3.
当λ 时ꎬλａ ０ 向量的坐标表示
＝０ ＝
若Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则Ａ→Ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ .
( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ ＝( ２ － １ꎬ ２ － １)
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２７２
综合篇
考法 一 平面向量线性运算的解题策略
Ａ→Ｄ １(Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ) Ｂ→Ｅ ２Ｂ→Ｃ １Ｂ→Ａ
Ａ. ＝ ＋ Ｂ. ＝ ＋
1. 尽可能转化到三角形或平行四边形中 灵活 ２ ３ ３
ꎬ
运用三角形法则 平行四边形法则 结合图形 Ａ→Ｆ １Ａ→Ｄ Ｂ→Ｆ １Ｂ→Ａ １Ｂ→Ｃ
、 ꎬ Ｃ. ＝ Ｄ. ＝ ＋
２ ２ ３
的几何性质进行运算.
解析 如图ꎬ Ｂ→Ｄ Ｄ→Ｃꎬ Ｄ 为 ＢＣ 的中点ꎬ 2.
复杂的向量问题可建立坐标系 借助向量的 ∵ ＝ ∴
ꎬ
坐标运算 也可灵活地选取基底 利用平面向 Ａ→Ｄ １(Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ)ꎬ 正确ꎻ
ꎬ ꎬ ∴ ＝ ＋ ∴ Ａ
量基本定理及相关的向量知识进行求解. ２
例1 (多选)( 济南开学检测ꎬ )等边三 Ｅ→Ｃ Ａ→Ｅꎬ Ａ→Ｅ １Ａ→Ｃ １(Ｂ→Ｃ Ｂ→Ａ)ꎬ Ｂ→Ｅ
２０２２ ５ ∵ ＝２ ∴ ＝ ＝ － ∴
３ ３
角形 ＡＢＣ 中ꎬＢ→Ｄ Ｄ→ＣꎬＥ→Ｃ Ａ→ＥꎬＡＤ 与 ＢＥ 交
＝ ＝２
Ｂ→Ａ Ａ→Ｅ Ｂ→Ａ １(Ｂ→Ｃ Ｂ→Ａ) １Ｂ→Ｃ ２Ｂ→Ａꎬ
于 Ｆꎬ则下列结论正确的是 ( ) ＝ ＋ ＝ ＋ － ＝ ＋ ∴ Ｂ
３ ３ ３
λ λ
错误ꎻ设Ａ→Ｆ λ Ａ→Ｄꎬλ Ｒꎬ则Ａ→Ｆ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ
＝ ∈ ＝ ＋ ＝
２ ２
λ λ
Ａ→Ｂ ３ Ａ→Ｅꎬ ＢꎬＦꎬＥ 三点共
＋ ∵
２ ２
８ １９ ３ １１
λ λ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
线ꎬ ３ ꎬ解得 λ １ꎬ １７ １７ １７ １７
∴ ＋ ＝１ ＝
２ ２ ２ 解析 连接 ＡＦꎬＡＣꎬ
Ａ→Ｆ １Ａ→Ｄꎬ 正确ꎻ
∴ ＝ ∴ Ｃ
２
Ｂ→Ｆ Ｂ→Ａ Ａ→Ｆ Ｂ→Ａ １Ａ→Ｄ Ｂ→Ａ １(Ｂ→Ｄ Ｂ→Ａ) Ｂ→Ａ
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － ＝ ＋
２ ２
ＤꎬＯꎬＦ 三点共线ꎬ 可设Ａ→Ｏ ｘ Ａ→Ｄ ｙ Ａ→Ｆꎬ则
１Ｂ→Ｃ １Ｂ→Ａ １Ｂ→Ａ １Ｂ→Ｃꎬ 错误.故选 . ∵ ∴ ＝ ＋
－ ＝ ＋ ∴ Ｄ ＡＣ
４ ２ ２ ４ ｘ ｙ ꎬ Ａ→Ｏ ｘ Ａ→Ｄ ｙ(Ａ→Ｂ Ｂ→Ｆ) ｘ Ａ→Ｄ
＋ ＝ １ ∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
答案
æ ö æ ö
ＡＣ
ｙçＡ→Ｂ １Ａ→Ｄ÷ çｘ １ｙ÷ｂ ｙａ. ＥꎬＯꎬＣ 三点共
è ＋ ø ＝è ＋ ø ＋ ∵
考法 二 向量共线问题的求解方法 ４ ４
线ꎬ 可设Ａ→Ｏ ｍ Ａ→Ｅ ｎ Ａ→Ｃꎬ则 ｍ ｎ ꎬ Ａ→Ｏ
1. ∴ ＝ ＋ ＋ ＝１ ∴ ＝
两非零向量共线是指存在实数 λ 使两向量
ꎬ ｍ æｍ ö
可以相互表示 在应用时注意待定系数法和
Ａ→Ｄ ｎ(Ａ→Ｄ Ａ→Ｂ) ç ｎ÷ｂ ｎａꎬ
＋ ＋ ＝ è ＋ ø ＋
ꎬ
３ ３
方程思想的应用.
ì ïｘ ｙ ꎬ
2. 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但 ï
＋ ＝１
ì ï
ꎬ ꎬ
ïｍ ｎ ꎬ
ï
ｘ ｍ ９ꎬ
ï ＋ ＝１ ï ＝ ＝
应注意向量共线和三点共线的区别与联系 í ｍ 解得í １７ Ａ→Ｏ ８ ａ
ꎬ ∴ ïｘ １ｙ ｎꎬ ï ∴ ＝ ＋
当两向量共线且有公共点时 才能得到三点 ï ＋ ＝ ＋ ïｙ ｎ ８ꎬ １７
ï
ꎬ ï ４ ３ î ＝ ＝
共线. î ï ｙ ｎꎬ １７
＝
3.
对于平面上的任一点 Ｏ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ不共线 Ｏ→Ｃ
１１ｂꎬ λ ８ꎬμ １１ꎬμ λ １１ ８ ３ꎬ故选 .
ꎬ ꎬ ꎬ ＝
∴ ＝ ＝ － ＝ － ＝ Ｃ
１７ １７ １７ １７ １７ １７
λ Ｏ→Ａ μ Ｏ→Ｂ 则 Ａ Ｂ Ｃ 共线 λ μ 特别
＋ ꎬ ꎬ ꎬ ⇔ ＋ ＝１ꎬ 答案
Ｃ
地 当 λ μ １时 Ｃ 为线段 ＡＢ 的中点. 例3 ( 山东质检ꎬ )已知向量 ａ ( ꎬ
ꎬ ＝ ＝ ꎬ ２０２２ １４ ＝ ３
２
4. 若两非零向量 ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则 ａ )ꎬｂ ( ꎬ )ꎬｄ (ｋꎬ )ꎬ若 ａ ｂ 与 ｄ 平行ꎬ
＝( １ꎬ １)ꎬ ＝( ２ꎬ ２)ꎬ １ ＝ ０ １ ＝ ３ ２ －
ｂ ｘ ｙ ｘ ｙ . 则实数 ｋ .
∥ ⇔ １ ２ － ２ １ ＝０ ＝
5.
若 ａ 与 ｂ 不共线且 λａ μｂ 则 λ μ . 解析 因为ａ ( ꎬ )ꎬｂ ( ꎬ )ꎬ所以 ａ ｂ
＝ ꎬ ＝ ＝０ ＝ ３ １ ＝ ０ １ ２ －
例2 ( 广东肇庆统一检测ꎬ )如图ꎬ在平
( ꎬ ) ( ꎬ ) ( ꎬ )ꎬ
２０２２ ６ ＝２ ３ １ － ０ １ ＝ ２ ３ １
行四边形 ＡＢＣＤ 中ꎬＡＥ １ ＡＤꎬＢＦ １ ＢＣꎬＣＥ 又因为 ｄ (ｋꎬ )ꎬ ａ ｂ 与 ｄ 平行ꎬ所以可得
＝ ＝ ＝ ３ ２ －
３ ４
ｋ ꎬ解得 ｋ .
与 ＤＦ 交于点 Ｏ.设Ａ→Ｂ ａꎬＡ→Ｄ ｂꎬ若Ａ→Ｏ λａ ２ ３× ３－ ＝０ ＝６
＝ ＝ ＝ ＋ 答案
μｂꎬλꎬμ Ｒꎬ则 μ λ ( ) ６
∈ － ＝
专
题
六
平
面
向
量
２７３
