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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 35 练 空间向量的运算及其坐标表示（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的加减法、数量积以及模值坐标运算可判断.
【详解】解：
因为 ， ，所以根据空间向量的加减法、数量积以及模值运算可判断：
对于选项A： ，故A错误；
对于选项B： ，故B错误；
对于选项C： ，故C错误；
对于选项D： ，故D正确.
故选：D
2．已知向量 ， ，且 ，则x的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出 .
【详解】由题意得 ，解得 .
故选：A
3．已知三棱锥 ，点M，N分别为 ， 的中点，且 ， ， ，用 ， ，表示 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．
【详解】因为 ， ， ，
所以 .
故选：D.
4．设 ，向量 ， ， 且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得 的值，结合向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量 且 ，
可得 ，解得 ，所以 ， ，
则 ，所以 .
故选：C.
5．平行六面体 中，化简 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
【详解】
为平行四面体，
故选：A．
6．已知 为空间任意一点，若 ，则 四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
【分析】根据空间向量线性运算化简得 ，即可判断四点位置情况.
【详解】由题设 ，
所以 ，则 ，故 四点共面.
故选：B
7．如图，在平行六面体 中， ．点 在 上，且 ，
则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的基本定理可得出 关于 的表达式.
【详解】在平行六面体 中，
则 ，
.
故选：D.
8．在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，则下列向量
中与 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.
【详解】在平行六面体 中， 为 与 的交点，
故 ，故 .
故选：B
9．如图，空间四边形OABC中， ，点M在 上，且 ，点N为BC中点，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
又点N为BC中点，所以 ，
所以 .
故选：B.
10．四面体 中， ， 为 中点，设 则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，代入计算化简，即可得到结果.
【详解】
由题意可得，
.
故选：A
11．已知点 ， ，C为线段AB上一点，且 ，则点C的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，设点 ，再利用空间向量的线性运算即可得到方程组，解出即可.
【详解】 ， .
设点 ，则 ，又 ，
，解得 ，∴点C的坐标为 .
故选：C.
12．在四面体 中， ， ， ，D为BC的中点，E为AD的中点，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】 是三个不共面的向量，构成空间的一个基底 ，利用向量的线性运算用基
底表示 即可.
【详解】
即：
故选：C.
13．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四
棱锥 为阳马， 平面 ，且 ，若 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算，以 为基底表示出 ，从而确定 的取值.
【详解】 ， ，
，
， ， ， .
故选：A.
二、多选题
14．若 ， ， ， 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（ ）
① ；
② ；
③ ；
④ .A．① B．② C．③ D．④
【答案】BD
【分析】根据向量加法，减法运算法则，即可求解判断.
【详解】①中，原式 ，不符合题意；
②中，原式 ，符合题意；
③中，原式 ，不符合题意；
④中，原式 ，符合题意.
故选：BD
15．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用向量四点共面的结论进行判断即可.
【详解】设 ，
若点 与点 共面，则 ，
逐一检验各选项，可知只有选项D确定点M，A，B，C共面.
故选：ABC.
16．在空间直角坐标系中，已知 ， ， ，则（ ）.
A．点 关于 平面对称的点是
B．点 关于 轴对称的点是
C．
D．【答案】ACD
【分析】根据空间向量的坐标表示计算可得.
【详解】点 关于 平面对称的点是 ，故A正确.
点 关于 轴对称的点是 ，故B不正确.
， ， ，
， ，故C、D均正确.
故选：ACD
17．在正方体 中，设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由题意画出几何体，再由平面向量的加法运算逐一分析四个选项得答案.
【详解】如图，
对于A, , 故 A 正确;
对于B， ，
易知 ，则 为等边三角形,
，即 ，故 B 正确;
对于C, ， 故 C错误;对于D， ，故 D正确.
故选: ABD.
18．如图，在三棱柱 中， 分别是 上的点，且 .设
，若 ，则下列说法中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
所以 故A错误；
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，故B正确；因为 ，
所以 ，故C错误；
因为 ， ，
所以
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD.
19．如图，已知四面体 的所有棱长都等于 ， 分别是 的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出 ⊥ ，得到.
【详解】由题意得：四面体 为正四面体，
故 ，
故 ，A正确；
因为 分别是 的中点，
所以 ， ，且 ， ，
故 ，B错误；
，C正确；
取 的中点 ，连接 ，
因为 均为等边三角形，
所以 ⊥ ，且 ⊥ ，
因为 ，且 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
故 ，D正确.
故选：ACD
20．空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，则（ ）A．
B． 是等腰直角三角形
C．与 平行的单位向量的坐标为 或
D． 在 方向上的投影向量的坐标为
【答案】AC
【分析】本题考查空间向量的坐标运算，利用向量的加减法得出 坐标，再利用向量的模长公式
，可判断A选项；计算出三角形三条边长，可判断B选项；与已知
向量平行的单位向量计算公式： 可判断C选项；根据 在 方向上的投影向量与 向量共线
的性质，可判断D选项.
【详解】根据空间向量的线性运算，
，选项A正确；计算可得， 三条边不相等，选项B不正确；
与 平行的单位向量为：
选项C正确；
在 方向上的投影向量与 向量共线， ，选项D不正确，
故选：AC.
21．在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， ，则以下结论正确的有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法确定正确答案.
【详解】依题意可知，四棱锥 是正四棱锥，设 ，
连接 ，则 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
由于 ，所以 两两相互垂直，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
四边形 是正方形， ，
， ，所以 ，
，
，
，A选项错误.
，B选项错误.
，C选项正确.
，所以D选项正确.
故选：CD
三、填空题
22．如图，三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点，设 ， ， ，则
.【答案】
【分析】由空间向量的线性运算即可求解.
【详解】 ，
故答案为：
23．设 ，向量 ，则 .
【答案】
【分析】由向量的坐标表示和模长公式计算.
【详解】由 ，得 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
24．已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 的值是 .
【答案】
【分析】向量的垂直用坐标表示为 ，代入即可求出答案.
【详解】 ，
，因为 与 互相垂直，
所以 ,
即 ，
解得： .
故答案为：
25．已知 ， ，且 ，则 .
【答案】
【分析】由空间向量的坐标运算求解，
【详解】 ， ，
而 ，故
即 ，解得 ，
故答案为：
26．已知空间向量 和 ，则 在 上的投影向量为 (用坐标表示).
【答案】
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可得 在 上的投影向量的坐标.
【详解】已知空间向量 和 ，
则 在 上的投影向量为.
故答案为： .
27．在长方体 中，设 ， ，则 ．
【答案】1
【分析】由向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算求解即可．
【详解】如图所示，
在长方体 中，设 ， ，
则
.
故答案为：1.
28．已知向量 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，依题意可得 ，再根据向量夹角公式即可求解.
【详解】设 向量 ，
， ，设 与 的夹角为 ， ，
， .故答案为： .
29．已知正方体 中，若点 是侧面 的中心，且 ，则
.
【答案】
【分析】根据空间向量基本定理可求出 即可得解.
【详解】
因为 ，
又因为 ，
所以 ， .
则 .
故答案为： .
30．已知基底 ， ， ，若 ，则 .
【答案】
【分析】根据向量平行的判定定理运算求解.
【详解】因为 ，且 ，则存在唯一实数 ，使得 ，
即 ，可得 ，解得 或 ，
所以 .
故答案为： .
31．如图，正三棱柱 为的底面边长为 ，侧棱长为 ，则 与 所成的角的正弦值为
．
【答案】
【分析】以 为基底，求出 的值，利用平面向量的夹角公式求解即可．
【详解】正三棱柱 为的底面边长为 ，侧棱长为 ，
则 ， ， ，
又 ， ，
，
，则 与 所成的角的正弦值为 ，
故答案为：
32．已知向量 满足 ，且 ，则 ， 在 上的投影
向量的坐标为 ．
【答案】
【分析】对 两边平方后得到 ，代入投影向量的公式进行求解即可得投影向量的坐
标.
【详解】 两边平方化简得： ，①
因为 ，所以 ，
又 ，代入①得： ，解得： ，
，
所以， 在 上的投影向量坐标为
．
故答案为：2， ．
33．如图，平行六面体 中， ， ， ， ，
则线段 的长为 .【答案】1
【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可.
【详解】由题可得, ， ,
所以 ,且 ,
因为 ,
所以
，
所以 ，
故答案为:1.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．在空间四边形ABCD中，若向量 ， ，点E，F分别为线段BC，AD的中
点，则 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】令 ，根据向量的坐标表示求出 坐标，进而确定E，F坐标，最后求 的
坐标即可.
【详解】令 ，则 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
2．向量 ，若 ，且 ，则 的值为（ ）
A． 或1 B．1 C．3或 D．3或1
【答案】A
【分析】利用空间向量模长的坐标表示求得 ，再由向量垂直的坐标表示求 ，即可得结果.
【详解】由 ，则 ，可得 ，
又 ，则 ，可得 ，
当 ，则 ；当 ，则 ；
所以 的值为 或1.
故选：A
3．在四面体 中， ，点 在棱 上，且 ， 为 中点，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.
【详解】 点 在线段 上，且 ， 为 中点，
， ，．
故选：B．
4．如图，在三棱柱 中， ， ， ， ，
与 的交点为M，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算可得 ，进而结合空间向量的数量积公式运算
即可求解.
【详解】由题意得 ，
所以.
故选：C.
5．已知直线 的一个方向向量 ，直线 的一个方向向量 ，若 ，且 ，则
（ ）
A．-3或1 B．3或
C．-3 D．1
【答案】A
【分析】根据空间向量的模的坐标表示结合 即可求得x的值，再根据 ，列出方程，即可求得
y，从而可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， ，则 ，当 时， ，则 ，
所以 或 .
故选：A.
6．已知向量 在向量 上的投影向量是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量 在向量 上的投影向量求出 ，代入 的定义式即可.
【详解】 ，设向量 在向量 的夹角为 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，所以 ，所以 .
故选：C.
7．如图，在三棱锥 中， 是边长为3的正三角形， 是 上一点， ， 为
的中点， 为 上一点且 ，则 （ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】以 为一组基底，表示 求解.
【详解】解：以 为一组基底，
则 ，
，
，
，
，，
，
所以 .
故选：D
8．在平行六面体 中，其中 ， ， ，
则 （ ）
A．100 B． C．56 D．10
【答案】D
【分析】由题意可得 ，结合已知条件及模长公式即可求解.
【详解】
，
所以
，
所以 ，
故选：D．
9．如图， ， 分别是圆台上、下底面的两条直径，且 ， ， 是弧 靠近点的三等分点，则 在 上的投影向量是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出 在 上的投影向量，从而求得正确答案.
【详解】如图，取 在下底面的投影C，作 ，垂足为D.
连接 ， ， ，则 ， 在 上的投影向量是 .
设上底面的半径为r，则 ， .
故 在 上的投影向量是 .
故选：C
10．在正四面体 中， ， ， ， 为 中点， 为 靠近 的三等分点，用向
量 ， ， 表示 （ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】利用向量加法和减法和数乘的运算，用 表示出 .
【详解】因为 为 中点，
所以 ，
因为 为 靠近 的三等分点，
所以 ，
所以
，
∴ .
故选：A.
11．正四面体 的棱长为2，点D是 的重心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的定义计算即可.
【详解】因为点D是 的重心,
正四面体 的棱长为2，
.
故选：D.
12．在平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量求出异面直线 与 所成角的余弦值作答.
【详解】在平行六面体 中， ， ，
， ，
则 ，而 ，且 ，
于是 ，
因此 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：C
13．已知空间向量 ，且 ，则 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计算作答.【详解】向量 ，则 ，
由 ，得 ，解得 ， ，
因此 ， ， ，
所以 与 的夹角的余弦值 .
故选：B
14．正方体 的棱长为2，P是空间内的动点，且 ，则 的最小值为
（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点M，连接 ，取 的中点N，连接 ，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方
体 的外接球，然后由向量的运算可得 ，从而可求得结果.
【详解】取 的中点M，连接 ，
则 ，则 ，即 ，
故动点P的轨迹为以M为球心， 为半径的球.
由正方体 的棱长为2，可知正方体 外接球的半径为3，
即动点P的轨迹为正方体 的外接球.
取 的中点N，连接 ，
则.
由题可知， ，则 ， ，
则 .
所以 的最小值为 ，
故选：C
15．如图，在棱长为1的正方体 中，点 在 上，点 在 上，则 的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】以 为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设 ， ， ， ，根据
异面直线距离定义利用空间两点距离公式即可得到答案.
【详解】以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则可设 ，其中 ， ，其中 ，根据图中可知直线 和直线 为异面直线，
若能取到两异面直线间的距离，则此时 距离最小，
根据异面直线公垂线的定义知 ， ，
， ， ， ，则 ，
则 ， ，
解得 ，满足 范围，
则此时 ，
则 .
故选：C.
二、多选题
16．已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．记 与 的夹角为 ，则 D．若 ，则【答案】ABD
【分析】根据空间向量线性坐标运算、数量积的坐标运算以及垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
选项A： ，正确；
选项B： ，正确；
选项C： ，错误；
选项D：因为 ， ，
所以 ，由 得 ，
所以 ，
所以 ，正确；
故选：ABD
17．空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，则（ ）
A．
B． 与 夹角余弦值为
C．与 平行的单位向量的坐标为 或
D． 在 方向上的投影向量的坐标为
【答案】ABC
【分析】A选项先算出 ，然后根据向量的数量积计算 是否为 来判断；B选项先算出 与，然后根据夹角公式计算；C选项根据向量的单位化方法求解；D选项根据投影向量的坐标公式求解.
【详解】 ， ，
根据向量的数量积运算， ，故 ，A选项正确；
，又 ，
根据夹角公式， ，B选项正确；
与 平行的单位向量为： ，即单位向量的坐标为 或
，C选项正确；
根据投影向量的坐标公式， 在 方向上的投影向量的坐标为：
，D选项错误.
故选：ABC
18．下列命题正确的是（ ）
A．若 是平面 的一个法向量， 是直线 上不同的两点，则 的充要条件是
B．已知 三点不共线，对于空间中任意一点 ，若 ，则 四点
共面
C．已知 ，若 与 垂直，则
D．已知 的顶点分别为 ，则 边上的高 的长为
【答案】BCD【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A的结论，利用共面向量的充要条件判断B的
结论，利用向量垂直的充要条件判定C的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高 的值判定D
的结论．
【详解】若 是平面 的一个法向量，直线 上有不同的两点 ， ，当 时，
即使 ，也不能说明 ，故A错误；
若 ，则 ，
所以 ，所以 四点共面，故B正确；
由题意可得 ，若 与 垂直，
则 ，解得 ，故C正确；
由题意可得 ，则 边上的高 的长即为点 到直线 的距离
，故D正确．
故选：BCD.
19．在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即
可.
【详解】A： ，如下图 ， ，由 的关系不定，则 不一定在面 上，满足；
B： ，如下图 ，此时满足上式，
此时，M与A，B，C不共面，满足；
C：因为 ，所以 ，所以M，A，B，C共面，不满足.
D： ，如下图 ，
此时，M与A，B，C不共面，满足；
故选：ABD
20．（多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成
立的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】BCD
【分析】由空间向量的加法运算法则对选项一一判断即可得出答案.
【详解】易知四边形EFGH为平行四边形，所以
，故A不成立；
，故B成立；
，故C成立；
，故D成立.
故选：BCD.
21．下面四个结论正确的是（ ）
A．已知向量 ，则 在 上的投影向量为
B．若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
C．已知 是空间的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底
D．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量 ，则直线
【答案】ABC
【分析】利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足 ，其中
判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D.
【详解】选项A：因为 ，所以 在 上的投影向量为，故选项A正确；
选项B：因为 ，故选项B正确；
选项C： 是空间的一组基底， ，所以 两向量之间不共线，所以 也是空
间的一组基底，故选项C正确；.
选项D：因为直线 的方向向量为 ，平面 的法向量 ， ，则直线
或 ，故选项D错误；
故选：ABC
三、填空题
22．设空间向量 ， ，若 ，则 ．
【答案】9
【分析】先利用空间向量共线定理，得到 ，由此求出 和 的值，得到 ， 的坐标，求出 的
坐标，再利用向量模的计算公式求解即可．
【详解】解：因为空间向量 ， ，且 ，
所以 ，
即 ，
可得 ，解得 ， ，
所以 ，
则 ，
所以 ．故答案为：9
23．已知空间三点坐标分别为 ， ， ，点 在平面 内，则实数 的值
为 ．
【答案】
【分析】根据题意,存在实数 使得等式 成立,将各点坐标代入,列出方程组求解即可.
【详解】 点 在平面 内,
存在实数 使得等式 成立,
,
，解得 .
故答案为：
24．已知空间向量 ， ， 两两夹角均为 ，其模均为1，则 ．
【答案】
【分析】根据空间向量数量积的定义可求得 ，进而求得 的值，从而求解.
【详解】因为 ，且 两两夹角为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .25．在空间四边形 中， 为 中点， 为 的中点，若 ，则使 、 、
三点共线的 的值是 ．
【答案】
【分析】根据空间向量的运算，结合向量共线定理即可求得使 、 、 三点共线的 的值.
【详解】由题意可知，
， ，则 ，
，
， ， 三点共线， ， ．
故答案为： .
26．如图所示，已知 平面ABC， ， ，则向量 在向量 上的投影向
量是 .
【答案】
【分析】由余弦定理先求 ，再由投影向量的概念求解
【详解】在 中，由余弦定理得 ，，
而 平面ABC， ，故 ， ，
在 中， ，
即 ，得
故向量 在向量 上的投影向量是
故答案为：
27．在如图所示的平行六面体 中，已知 ， ， ，
N为 上一点，且 .若 ，则 的值为 .
【答案】
【分析】设 ， ， ，以 构成空间的一个基底，根据 ，可得 ，
将 分别用 表示，再根据数量积得运算律即可得解.
【详解】设 ， ， ，
则 构成空间的一个基底，
设 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
28．已知 ， ，则 最大值为
【答案】
【分析】根据数量积的夹角公式，即可结合基本不等式求解最值.
【详解】 ，
当
时， ，
由 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ，
当 时， ，
故 的最大值为 ，
故答案为：
29．如图，空间四边形 的各边及对角线长都为2， 是 的中点， 在 上，且 ，则向量 与向量 所成角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】由题设 是棱长为2的正四面体，数形结合可得 、 ，
利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求向量 与向量 所成角的余弦值.
【详解】由题意， 是棱长为2的正四面体，
而 ，
，
所以
，
，
又
，所以 .
故答案为：
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．正四面体 的棱长为4，空间中的动点P满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点 的轨迹是以 为球心，以 为半径的球面，又
，再求出 的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则 ，
所以 ，
故点 的轨迹是以 为球心，以 为半径的球面，
，
又 ，
所以 ， ，
所以 的取值范围为 ．故选：D．
2．在空间直角坐标系中， 为坐标原点，满足 ，则下
列结论中不正确的是
A． 的最小值为-6 B． 的最大值为10
C． 最大值为 D． 最小值为1
【答案】B
【分析】根据题意可设 ，根据数量积的定义可得
，可判断A，B；通过化简 ，结
合三角函数的有界性可得最大值， 可得最小值，综合得选项.
【详解】根据题意可设 ；
则 ；
当 时， ；
当 时， .
另一方面，当 时可以取到最大值 ，进一步变形上式，
令 ，
则 ，
当 时取等号，即最小值为1，综上可得，选B.
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积、向量的模、三角函数的性质等基础知识，考查运
算求解能力，考查化归与转化思想，利用三角换元以及三角函数的有界性是解题的关键，有一定难度．
3．已知空间向量 两两的夹角均为 ，且 ， .若向量 满足 ，
，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出，
之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可.
【详解】取一三棱锥 ， ，
且 ， ，所以 ，
，
令 ，因为 ， ，
根据数量积的运算率可知： ， ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
得 ，
分别取 中点 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以当 四点共线且按此顺序排列时， 的最大值为： ，
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关空间向量的运算问题，涉及到的知识点有空间向量运算法则，三角形中利用余
弦定理求边长，属于较难题目.
4．已知 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】本题通过基底法，得到 ，再通过立体图得到 的值，以及 的最小值，
最终代入数据得到最小值.
【详解】如图 为棱长为8的正方体外接球的一条直径, 为球心， 为正方体表面上的任一点则球心 也就是正方体的中心，
所以正方体的中心 到正方体表面任一点 的距离的最小值为正方体的内切球的半径,
它等于棱长的一半，即长度为4，, 的长为正方体的对角线长，为 ，
我们将三角形 单独抽取出来如下图所示：
所以 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】将空间向量知识与正方体结合考察最值问题，难度较大，需要一定空间想象能力以及向量基底法
的熟练运用，平时要多加训练.
二、多选题
5．如图，底面 为边长是 的正方形，半圆面 底面 ．点 为半圆弧 上 （不含 ，
点）的一动点．下列说法正确的是（ ）A． 的数量积不恒为
B．三棱锥 体积的最大值为
C．不存在点 ，使得
D．点 到平面 的距离取值范围为
【答案】BCD
【分析】由面面垂直的性质结合平面向量的运算判断A，由棱锥的体积公式结合 的范围判断B，由数量
积公式计算 和 判断C，由等体积法得出点 到平面 的距离取值范围.
【详解】因为半圆面 底面 ， ，由面面垂直的性质可知， 平面 ，
.
对于A， ，故A错误；
对于B，设点 到平面 的距离为 ，则 ，当点 为
中点时，取等号，故B正确；
对于C，
，即不存在点 ，使得 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，所以因为 ，所以 ，设点
到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ，则
，因为 ，所以
，设 ，则 ，因为
，所以 ，故D正确；
故选：BCD
【点睛】关键点睛：在处理D选项时，关键是利用等体积法得出 ，再结合 的范围得出点
到平面 的距离的范围.
6．在长方体 中， ，E，F为 的两个三等分点，点P是长方体
表面上的动点，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为2
C． 的最小值为30° D． 的最大值为90°
【答案】BD
【分析】建立空间直角坐标系，得到 点的坐标，分析出P位于长方体的四个侧面时情况相同，P位于
长方体的上下两个平面时情况相同，分两种情况进行求解出 ，得到最值，并分析出 的最大
值，举出反例得到C错误.【详解】以A为坐标原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，
不妨设 ，故 ， ，
由对称性可知：P位于长方体的四个侧面时，所处情况相同，
不妨设 ，
则
，
故当 时， 的最小值为 ，此时
当 或2， 或1时， 的最大值为2，
由对称性可知：P位于长方体的上下两个平面时，所处情况相同，
不妨设 ，
则
，
故当 时， 的最小值为0，
当 或2， 时， 的最大值为2，
综上： 的最小值为0， 的最大值为2，A错误，B正确；
因为 的最小值为0，故 的最小值为0，
因为 ，所以 的最大值为90°，D正确；
当点 与点 重合时，此时 ，C错误.故选：BD
三、填空题
7．已知点 为棱长等于 的正方体 内部一动点，且 ，则 的值达到最小时，
与 夹角大小为 ．
【答案】
【详解】 由题意得，取 中点 ，
则
，
因为 ，所以 在以 为球心的球面上，
所以 ，因为 ，
所以 ，所以 与 的夹角为 .
8．已知平行六面体 ， ， ，则
．【答案】
【分析】由已知可求得 ，再由向量的加法运算可得 ，
等式两边平方可求出 的长.
【详解】解： ， ，
，
，
，
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了平行六面体中的长度问题，常用方法是运用向量将其进行分解，线性表示出要求向量，
然后运用向量的数量积求出结果.
9．在正三棱锥 中， ， 为 的中点， 为 上靠近 的三等分点， 在平
面 上，且满足 ， 在 的边界上运动，则直线 与 所成角的余弦值的取值范
围是 .
【答案】【分析】分析可知 的轨迹以点 为圆心，半径长为 的圆，分析出 取最大值和最小值时，点 、
的位置，利用余弦定理可求得直线 与 所成角的余弦值的最小值和最大值，即可得解.
【详解】设点 在平面 内的射影为点 ，则 为正 的中心，
为 的中点，则 ，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
，则 ，
平面 ， 平面 ， ， ，
则 、 、 、 、 、 ，
设点 ， ， ，
所以， ，可得 ，
易知 的内切圆半径为 ，故点 在 内运动，
所以点 在以点 为圆心，半径长为 的圆上运动，作出 的平面图如下图所示：
由于点 是固定的，当 取最大值，此时 取最大值，且此时点 为 的某个顶点，不妨设点 与点 重合，则 为线段 的中点，
此时， ， ，
所以， ；
当 取最小值时，则 取最小值，
此时点 为 某边的中点，不妨设点 与点 重合，
则点 为 的中点，则 ， ，
所以， .
因此，直线 与 所成角的余弦值的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线所成角余弦值的取值范围，解本题的关键就是要确定点 的轨迹，
确定 取最大值和最小值时的位置，再结合余弦定理求解.
10．已知共面的三个单位向量 ， ， 满足 ，若空间向量 满足 ，且对
于任意 ， ，恒有 ，则 .
【答案】【分析】由 ，可知 三个向量的夹角，建立空间直角坐标系，用向量坐标进
行运算．
【详解】共面的三个单位向量 ， ， 满足 , ， ， 彼此夹角为
如图，以 起点作为坐标原点 ， 所在直线为x轴，以共面的三个单位向量 ， ， 所在平面为 平
面，在其中以与 垂直方向为y轴，过 点作平面 的垂线，以此垂线为z轴，建立空间直角坐标系．
设
对于任意 ， ，恒有 ,
上式表示 与 ， 所在平面中的任意向量的差向量的模最小值为 ，即
又因为
所以，
符合题意．【点睛】解决空间向量的问题常利用空间直角坐标系下的坐标，做解析变换．
