§7.6 空间向量的概念与运算
课标要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的
正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积
及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的
法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
知识梳理
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
自由向量 与向量的起点无关的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量) 表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合的向量
共面向量 平行于同一平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量基本定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使
得a＝λb.
(2)共面向量基本定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条
件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序
实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)．
1 2 3 1 2 3
向量表示 坐标表示
数量积 a·b ab ＋ ab ＋ ab
1 1 2 2 3 3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a ＝ λ b ， a ＝ λ b ， a ＝ λ b
1 1 2 2 3 3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ab ＋ ab ＋ ab ＝ 0
1 1 2 2 3 3模 |a|
cos〈a，b〉＝
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝
(a≠0，b≠0)
4.空间位置关系的向量表示
(1)设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称AB为直线l的方向向量．
(2)如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量 n叫作平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
l∥l n∥n⇔n＝λn(λ∈R)
1 2 1 2 1 2
直线l，l 的方向向量分别为n，n
1 2 1 2
l⊥l n⊥n⇔n·n＝0
1 2 1 2 1 2
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为 l∥α n⊥m⇔n·m＝0
m，l⊄α l⊥α n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α∥β n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
常用结论
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内
任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝
1)，O为空间中任意一点．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( × )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0．( √ )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( × )
2．(选择性必修第一册P12T3改编)如图，在平行六面体ABCD－ABC D 中，AC与BD的
1 1 1 1
交点为点M，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B．a＋b＋cC．－a－b－c D．－a－b＋c
答案 C
解析 C1M＝C1C＋CM＝C1C＋(CB＋CD)＝A1A＋DA＋BA＝－a－b－c.
3．(选择性必修第一册P30例3改编)如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为a，
1 1 1 1
M，N分别为AB和AC上的点，AM＝AN＝，则MN与平面BBC C的位置关系是( )
1 1 1 1
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
答案 B
解析 以C B，C D，C C所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
1 1 1 1 1
因为AM＝AN＝，
1
所以M，
N，
所以MN＝，
又C (0,0,0)，D(0，a,0)，所以C1D1＝(0，a,0)，
1 1
所以MN·C1D1＝0，所以MN⊥C1D1.
因为C1D1是平面BBC C的一个法向量，且MN⊄平面BBC C，
1 1 1 1
所以MN∥平面BBC C.
1 1
4．设直线 l ，l 的方向向量分别为 a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若 l⊥l ，则 m＝
1 2 1 2
________.
答案 10
解析 ∵l⊥l，∴a⊥b，
1 2
∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)(2023·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 由已知可得AB＝(1，－1,3)，
AC＝(x－1，－2，y＋4)．
因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，
使得AC＝λAB，
所以解得所以x＋y＝5.
(2)(2023·淮安模拟)在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若DA＝a，DB
＝b，DC＝c，则BE等于( )
A.a－b＋c B.a－b＋c
C.a＋b＋c D.a－b＋c
答案 A
解析 根据题意可得DF＝(DA＋DC)＝(a＋c)，DE＝DF＝(a＋c)，
所以BE＝BD＋DE＝－DB＋DE＝－b＋(a＋c)＝a－b＋c.
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
跟踪训练1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案 B
解析 由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
(2)如图，在长方体ABCD－ABC D 中，O为AC的中点．
1 1 1 1
①化简A1O－AB－AD＝________；②用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________.
答案 ①A1A ②AB＋AD＋AA1
解析 ①A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A.
②因为OC＝AC＝(AB＋AD)，
所以OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1
＝AB＋AD＋AA1.
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 (1)下列命题正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
答案 C
解析 若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B
错误；
假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；
假设b＝0，若a, c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a, c不共线，则
不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误．
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若AB，CD共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四
点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，
B，C三点共线的充要条件
答案 CD
解析 由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量
a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若AB，CD共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，因为＋＋＝1，
可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA－PC＝λ(PB－PC)，即CA＝λCB，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以
D正确．
思维升华 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB MP＝xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝OA＋tAB 对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－
对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x)OB
x－y)OB
跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间
中任意一点，若BD＝6PA－4PB＋λPC，则λ等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 B
解析 BD＝6PA－4PB＋λPC，
即PD－PB＝6PA－4PB＋λPC，
整理得PD＝6PA－3PB＋λPC，
由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
(2)(2024·金华模拟)已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，且满足DE＝xDA＋yDC＋(1－x
1 1 1 1
－y)DD1，则|DE|的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为DE＝xDA＋yDC＋(1－x－y)DD1，由空间向量的共面向量基本定理可知，点E，
A，C，D 四点共面，即点E在平面ACD 上，所以|DE|的最小值即为点D到平面ACD 的距
1 1 1
离 d，由正方体的棱长为 1，可得△ACD 是边长为的等边三角形，则 ＝
1
×()2×sin ＝，S ＝×1×1＝，由等体积法得 ＝ ，所以××d＝
△ACD
××1，解得d＝，所以|DE|的最小值为.
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 如图，已知平行六面体ABCD－ABC D 中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA ＝
1 1 1 1 1
2，∠AAB＝∠AAD＝120°.
1 1(1)求线段AC 的长；
1
(2)求异面直线AC 与AD夹角的余弦值；
1 1
(3)求证：AA⊥BD.
1
(1)解 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
因为AC1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c，
所以|AC1|＝|a＋b＋c|＝
＝
＝＝，
所以线段AC 的长为.
1
(2)解 因为AC1＝a＋b＋c，A1D＝b－c，
所以AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋b2－c2
＝0＋1＋1－4＝－2，
|A1D|＝|b－c|＝
＝
＝＝，
设异面直线AC 与AD的夹角为θ，
1 1
则cos θ＝|cos〈AC1，A1D〉|＝
＝＝，
即异面直线AC 与AD夹角的余弦值为.
1 1
(3)证明 由①知AA1＝c，BD＝b－a，
所以AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，
即AA1⊥BD，
所以AA⊥BD.
1
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接
计算；二是利用坐标运算．跟踪训练3 (1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，
则PO·PA等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AO，∴PO·OA＝0，
|AO|＝·|AB|·sin 60°
＝，
故PO·PA＝PO·(PO＋OA)＝|PO|2＝|AP|2－|AO|2＝4－＝.
(2)已知点P为棱长等于1的正方体ABCD－ABC D 内部一动点，且|PA|＝1，则PC1·PD1
1 1 1 1
的值达到最小时，PC1与PD1夹角的余弦值为________．
答案 0
解析 取线段C D 的中点E，则PC1＝PE＋EC1，PD1＝PE＋ED1＝PE－EC1，
1 1
因为|PA|＝1，所以点 P 在以 A 为球心的正方体内部的球面上，所以PC1·PD1＝(PE＋
EC1)·(PE－EC1)＝PE2－EC\o\al(2＝|PE|2－，
当A，P，E三点共线时，PC1·PD1取最小值，
此时|PE| ＝|AE|－1＝－1＝，此时PC1·PD1＝|PE|2－＝0，
min
所以PC1⊥PD1，所以PC1与PD1的夹角为90°，则夹角的余弦值为0.
题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在长方体ABCD －ABC D 中，AA＝AD＝1，E为CD的中点．
1 1 1 1 1
(1)求证：BE⊥AD；
1 1(2)在棱AA 上是否存在一点P，使得DP∥平面BAE？若存在，求AP的长；若不存在，说
1 1
明理由．
(1)证明 以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所
示的空间直角坐标系．设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D(0,1,1)，E，
1
B(a,0,1)．
1
故AD1＝(0,1,1)，B1E＝.
因为B1E·AD1＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以B1E⊥AD1，即BE⊥AD.
1 1
(2)解 存在满足要求的点P.
假设在棱AA 上存在一点P(0,0，z)，
1 0
使得DP∥平面BAE，此时DP＝(0，－1，z)，
1 0
设平面BAE的法向量为n＝(x，y，z)．
1
AB1＝(a,0,1)，AE＝.
则即
取x＝1，则y＝－，z＝－a，
故n＝.
要使DP∥平面BAE，只需n⊥DP，
1
则－az＝0，解得z＝，
0 0
所以存在点P，满足DP∥平面BAE，
1
此时AP＝.
思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直
条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有
关定理．
跟踪训练4 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，
BC＝2AB，AC＝AB，PB⊥AC.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是
否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(1)证明 在△ABC中，
因为BC＝2AB，AC＝AB，
所以AC2＋AB2＝BC2，
所以AC⊥AB，
又AC⊥PB，PB∩AB＝B，
且PB，AB⊂平面PAB，
所以AC⊥平面PAB，
又AC⊂平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD.
(2)解 假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.
取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以PH⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(－2,2，0)，P(1,0，)，
则AD＝(－2,2，0)，AP＝(1,0，)，
BD＝(－4,2，0)，DP＝(3，－2，)，
设n＝(x，y，z)是平面PAD的法向量，
1 1 1 1
则
取n＝(，1，－1)．
1
设DQ＝λDP，其中0≤λ≤1.
则BQ＝BD＋DQ＝BD＋λDP＝(3λ－4，2－2λ，λ)，
连接EF，因为AC∥平面BEQF，AC⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF，所以AC∥EF.取与EF同向的单位向量j＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BEQF的法向量，
2 2 2 2
则
取n＝(λ，0,4－3λ)．
2
由平面BEQF⊥平面PAD知n⊥n，
1 2
则n·n＝3λ＋3λ－4＝0，
1 2
解得λ＝.
故在侧棱PD上存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD，＝.
课时精练
一、单项选择题
1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，
若l∥α，则x等于( )
A．－6 B．6 C．－4 D．4
答案 D
解析 若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，
即3x－2－10＝0，解得x＝4.
2.如图，在长方体ABCD－ABC D 中，设AD＝1，则BD1·AD等于( )
1 1 1 1
A．1 B．2
C．3 D.
答案 A
解析 由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB，AD∥BC，AD＝BC＝1，
1
BD1＝BA＋BC＋BB1，
所以BD1·AD＝(BA＋BC＋BB1)·AD
＝BA·AD＋BC·AD＋BB1·AD＝0＋BC2＋0＝1.
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在
平面α内的是( )A．(1，－1,1) B.
C. D.
答案 B
解析 对于选项A，PA＝(1,0,1)，PA·n ＝5，所以PA与n不垂直，排除A；同理可排除
C，D；对于选项B，有PA＝，所以PA·n＝0，故B正确．
4.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半
平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( )
A．2 B．3 C．2 D．4
答案 B
解析 ∵CD＝CA＋AB＋BD，
∴CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2AB·BD，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴CA·AB＝0，BD·AB＝0，
CA·BD＝|CA||BD|cos(180°－120°)＝1×2×＝1.
∴CD2＝1＋2＋4＋2×1＝9，
∴|CD|＝3.
5．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
1 1 1 1
A．平面BEF⊥平面BDD
1 1
B．平面BEF⊥平面ABD
1 1
C．平面BEF∥平面AAC
1 1
D．平面BEF∥平面AC D
1 1 1
答案 A
解析 在正方体ABCD－ABC D 中，
1 1 1 1
AC⊥BD且DD ⊥平面ABCD，
1
又EF⊂平面ABCD，
所以EF⊥DD ，
1
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，
又BD∩DD ＝D，BD，DD ⊂平面BDD ，
1 1 1
所以EF⊥平面BDD ，
1
又EF⊂平面BEF，
1
所以平面BEF⊥平面BDD ，故A正确；
1 1如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，
则 D(0,0,0)，B(2,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B(2,2,0)，A(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
1 1
C (0,2,2)，
1
则EF＝(－1,1,0)，EB1＝(0,1,2)，
DB＝(2,2,0)，DA1＝(2,0,2)，
AA1＝(0,0,2)，AC＝(－2,2,0)，
A1C1＝(－2,2,0)．
设平面BEF的法向量为m＝(x，y，z)，
1 1 1 1
则可取m＝(2,2，－1)，
同理可得平面ABD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，
1 1
平面AAC的一个法向量为n＝(1,1,0)，
1 2
平面AC D的一个法向量为n＝(1,1，－1)，
1 1 3
则m·n＝2－2＋1＝1≠0，
1
所以平面BEF与平面ABD不垂直，故B错误；
1 1
因为m与n 不平行，
2
所以平面BEF与平面AAC不平行，故C错误；
1 1
因为m与n 不平行，
3
所以平面BEF与平面AC D不平行，故D错误．
1 1 1
6．已知梯形 CEPD如图(1)所示，其中 PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形
ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几
何体．已知当点F满足AF＝λAB(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直
角坐标系，如图所示，则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，
B(4,0,0)，
设F(t,0,0)，0<t<4，AF＝λAB(0<λ<1)，
则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)，
DE＝(4，－4,2)，DF＝(4λ，－4,0)，
PC＝(4,4，－4)，PE＝(4,0，－2)，
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，
设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)，
则
取a＝1，得m＝(1,1,2)，
∵平面DEF⊥平面PCE，
∴m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝.
二、多项选择题
7．下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成一组基，则a∥b
B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
C．若{OA，OB，OC}是空间的一组基，且OD＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，D四点共面
D．若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一组基，则{a，b，c}也是空间的一组基
答案 ACD
解析 对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成一组基，则a，b为共线向量，即
a∥b，故A正确；
对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；
对于C，若{OA，OB，OC}是空间的一组基，且OD＝OA＋OB＋OC，
则OD－OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)，即AD＝AB＋AC，
可得A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D，若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一组基，
则对空间中任意一个向量d，存在唯一实数组(x，y，z),使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，
则{a，b，c}也是空间的一组基，故D正确．
8.如图，在正方体ABCD－ABC D 中，G为正方形ABC D 的中心，E，F分别为AB，
1 1 1 1 1 1 1 1
BB 的中点，下列结论正确的是( )
1
A．C D∥平面EFG
1
B.GF＝D1B1＋A1A
C.GF·FE＝0
D．AC⊥平面EFG
1
答案 AC
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，因为E是棱AB的中点，F是棱BB 的中点，G是
1
正方形ABC D 的中心，设正方体的棱长为1，
1 1 1 1
可得A(0,0,0)，A(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，C (1,1,1)，E，F，G，D(0,1,1)，B(1,0,1)，
1 1 1 1
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
EG＝，EF＝，
则
令x＝1，∴n＝(1,2，－1)，
∵C1D＝(－1,0，－1)，C1D·n＝(－1)×1＋0×2＋(－1)×(－1)＝0，C D⊄平面EFG，
1
∴C D∥平面EFG，故A选项正确；
1
∵A1C＝(1,1，－1)，A1C与n不平行，∴AC不与平面EFG垂直，故D选项错误；
1
∵GF＝，FE＝，
∴GF·FE＝×＋×0＋×＝0，故C选项正确；
∵D1B1＝(1，－1,0)，A1A＝(0,0，－1)，D1B1＋A1A＝(1，－1，－1)，
∴GF≠D1B1＋A1A，故B选项错误．
三、填空题
9．已知向量a＝(1,1,0)，则与a同向共线的单位向量e＝________.答案
解析 因为向量a＝(1,1,0)，
所以|a|＝＝，
所以与a同向共线的单位向量为e＝＝.
10．(2023·徐州模拟)在空间直角坐标系中，已知 A(1,1,0)，B(－1,0,2)，点C满足AC＝
3AB，则点C的坐标为________．
答案 (－5，－2,6)
解析 设C(x，y，z)，
则AB＝(－2，－1,2)，AC＝(x－1，y－1，z)
＝3AB＝(－6，－3,6)，
故解得
故点C的坐标为(－5，－2,6)．
11．(2023·信阳模拟)在斜三棱柱ABC －ABC中，BC的中点为M，A1B1＝a，A1C1＝b，
1 1 1
A1A＝c，则 B1M可用a，b，c表示为________________．
答案 －a＋b＋c
解析 B1M＝B1B＋BC
＝A1A＋B1C1＝A1A＋(A1C1－A1B1)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
12.如图，已知正三棱锥P－ABC的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面α，交线段PC于
点S，交PA，PB的延长线于M，N两点．则＋＋＝________.
答案
解析 如图，设BC的中点为E，连接AE，PE，PO，则O在AE上且AO＝2OE，所以PO＝PA＋AO＝PA＋AE＝PA＋(PE－PA)
＝PA＋×(PB＋PC)
＝(PA＋PB＋PC)．
故PO＝PM＋PN＋PS，
由于S，M，N，O四点共面，
于是＋＋＝1，
因此＋＋＝.
四、解答题
13.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，
F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
证明 (1)∵E，H分别是线段PA，AB的中点，
∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．
PD＝(0,2，－2)，AH＝(1,0,0)，AF＝(0,1,1)，
∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴PD⊥AF，PD⊥AH，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，
∴PD⊥平面AHF.
14.如图，平行六面体ABCD－ABC D 的所有棱长均为，底面ABCD为正方形，∠AAB＝
1 1 1 1 1
∠AAD＝，点E为BB 的中点，点F为CC 的中点，动点P在平面ABCD内．
1 1 1
(1)若O为AC的中点，求证：AO⊥AO；
1
(2)若FP∥平面DAE，求线段CP长度的最小值．
1
(1)证明 由已知AB＝AA＝AD＝，∠AAD＝，∠AAB＝，∠BAD＝，
1 1 1
所以AD·AA1＝××cos ＝1，
AB·AA1＝××cos ＝1，
AD·AB＝0，
因为O为AC的中点，
所以AO＝AC＝AB＋AD，
又A1O·AO＝(AO－AA1)·AO
＝·
＝＋0＋0＋－－＝0，
所以A1O⊥AO，
所以AO⊥AO.
1
(2)解 连接AD，AB，
1 1
因为AA＝AD＝，∠AAD＝，
1 1
所以AD＝，
1
因为AA＝AB＝，∠AAB＝，
1 1
所以AB＝，
1
连接BD，
由正方形的性质可得B，O，D三点共线，O为BD的中点，
所以AO⊥BD，
1
由(1)可知AO⊥AO，
1
AO，BD⊂平面ABCD，AO∩BD＝O，
所以AO⊥平面ABCD，
1以O为坐标原点， OA，OB，OA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直
1
角坐标系，
则A(1,0,0)，D(0，－1,0)，A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，
1
AD＝(－1，－1,0)，AA1＝(－1,0,1)，AB＝(－1,1,0)，
AD1＝AD＋AA1＝(－2，－1,1)，
AE＝AB＋BE＝AB＋AA1＝，
设平面DAE的法向量为n＝(x，y，z)，
1
则所以
令x＝3，则z＝7，y＝1.
所以n＝(3,1,7)为平面DAE的一个法向量，
1
因为点P在平面ABCD内，
故设点P的坐标为(m，n,0)，
因为FP＝OP－OF＝OP－(OC＋CF)＝OP－OC－AA1＝，
又FP∥平面DAE，
1
所以FP·n＝3＋n－＝0，即3m＋n＋1＝0，
所以|CP|＝
＝＝
＝，
所以当m＝－时，|CP|有最小值，最小值为.
15．(多选)(2024·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－ABC D 中，AA ＝3，点M，N分别在
1 1 1 1 1
棱AB和BB 上运动(不含端点)．若DM⊥MN，则下列命题正确的是( )
1 1
A．MN⊥AM
1
B．MN⊥平面DMC
1
C．线段BN长度的最大值为D．三棱锥C －ADM的体积不变
1 1 1
答案 ACD
解析 在正方体ABCD－ABC D 中，以点D为原点，以DA，DC，DD 所在直线分别为
1 1 1 1 1
x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(3,0,3)，D(0,0,3)，
1 1
C(0,3,0)，B(3,3,0)，
设 M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，D1M＝(3，y，－3)，MN＝(0,3－y，z)，而
DM⊥MN，
1
则D1M·MN＝y(3－y)－3z＝0，
即z＝y(3－y)．
对于A，连接AM，A1M＝(0，y，－3)，则A1M·MN＝y(3－y)－3z＝0，则A1M⊥MN，
1
MN⊥AM，故A正确；
1
对于B，CM＝(3，y－3,0)，CM·MN＝(y－3)·(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，
从而MN与平面DMC不垂直，故B错误；
1
对于C，BN＝(0,0，z)，则线段BN的长度|BN|＝z＝≤，当且仅当y＝时等号成立，故C正
确；
对于D，连接AC ，MC ，不论点M如何移动，点 M到平面ADC 的距离均为 3，而
1 1 1 1 1 1
＝ ＝×3· ＝，所以三棱锥C －ADM的体积为定值，故
1 1 1
D正确．
16.如图，在棱长为2的正方体ABCD－ABC D 中，点E是侧面BBC C内的一个动点．若
1 1 1 1 1 1
点E满足D1E⊥CE，则|BE|的最大值为__________，最小值为__________．
答案 2 －1
解析 如图，建立空间直角坐标系，则 C(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,0)，设 E(x,2，z)，
1x∈[0,2]，z∈[0,2]，
所以D1E＝(x,2，z－2)，CE＝(x,0，z)，
因为D1E⊥CE，所以D1E·CE＝x2＋z(z－2)＝0，即x2＋(z－1)2＝1，x∈[0,2]，z∈[0,2]，则动
点E的轨迹为以(0,2,1)为圆心，1为半径的半圆，
将其放到平面直角坐标系中如图所示，则B(2,0)，M(0,1)，N(0,2)，所以|BM|＝＝，所以|BE|
＝－1；
min
显然当点E在点N处(即立体图形中的C 点)时，|BE|取得最大值，|BE| ＝＝2，
1 max
因此，|BE|的最大值为2，最小值为－1.
