文档内容
§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出
空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决
问题．
知识梳理
1．基本事实1：过________________的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公
共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 .
2．“三个”推论
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面．
推论2：两条相交直线确定一个平面．
推论3：两条平行直线确定一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
相交 ____个
直线与
平面
平行 ____个
在平面内 ____个
平行 ____个
平面与
平面
相交 ____个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________________．6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′
共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b的夹角．
(2)范围：_______.
常用结论
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)两两相交的三条直线共面．( )
2．已知正方体ABCD－ABC D，直线BD 与直线AA 夹角的余弦值是( )
1 1 1 1 1 1
A. B. C. D.
3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是( )
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则：
(1)当AC，BD满足条件____________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形．
题型一 基本事实的应用
例1 已知在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DC ，C B 的中点，AC∩BD＝P，
1 1 1 1 1 1 1 1AC ∩EF＝Q.求证：
1 1
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若AC交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
1
(3)DE，BF，CC 三线交于一点．
1
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
跟踪训练1 在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF与ABCD都是梯形，BC∥AD且BC
＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为AF，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型二 空间位置关系的判断
例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是( )
A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
思维升华 判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四
边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一
点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．”跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD
的位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交或平行
D．平行或异面或相交均有可能
(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，M，N分别为棱C D ，C C的中点，以
1 1 1 1 1 1 1
下四个选项正确的是( )
A．直线AM与CC 是相交直线
1
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB 是异面直线
1
D．直线AM与DD 是异面直线
1
题型三 异面直线的夹角
例3 (1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC夹
角的余弦值为( )
A. B. C. D.
(2)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC
与PD夹角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为( )
A．48π B．12π C．36π D．9π
跟踪训练3 (1)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF－ABC DEF 的底面边长为1，高为，
1 1 1 1 1 1
则直线AE 和EF夹角的大小为( )
1
A. B. C. D.
(2)平面α过正方体ABCD－ABC D 的顶点A，α∥平面CB D ，α∩平面ABCD＝m，α∩平
1 1 1 1 1 1
面ABBA＝n，则m，n夹角的正弦值为( )
1 1
A. B. C. D.
