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§8.1 直线的方程
课标要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据
确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及
一般式)．
知识梳理
1．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l首
次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 0° ≤ α <180° .
3．直线的斜率
(1)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，其斜率k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
(2)把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k
＝tan_α.
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y － y ＝ k ( x － x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y ＝ kx ＋ b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ ( x ≠ x ， y ≠ y) 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 2 1 2 1 1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( 其中 A ， B 不全为 0) 平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一
个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角．( √ )
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．( × )
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( × )
(4)经过P(x，y)的任意直线方程可表示为y－y＝k(x－x)．( × )
0 0 0 0 0
2．已知点A(2,0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B
解析 由题意得直线AB的斜率k＝＝，
设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝，
∵0°≤α<180°，
∴α＝60°.
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_____．
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，
设直线方程为＋＝1，则＋＝1，
解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
4．直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为________．
答案 (1，－1)
解析 直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，
令解得故所过的定点坐标为(1，－1).题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜
率的取值范围是( )
A．[－，1]
B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C.
D.∪[1，＋∞)
答案 B
解析 如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k ，则k ＝＝－；当直线l过点A时，
1 1
设直线l的斜率为k ，则k ＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的
2 2
取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
延伸探究 本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
答案
(2)(2023·绵阳模拟)已知直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l倾斜角的范围是(
)
A.∪ B.∪
C. D.
答案 B
解析 xsin α＋y－1＝0，
则k＝－sin α∈，
设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，
故k＝tan θ∈，
所以当k∈时，直线l的倾斜角θ∈；当k∈时，直线l的倾斜角θ∈，
综上所述，直线l的倾斜角θ∈∪.
思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜
率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
跟踪训练1 (1)(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜
角为( )
A. B. C. D.
答案 A解析 由题意可得，直线l的斜率k＝＝，又倾斜角的范围是[0，π)，所以k＝＝tan ，即直
线l的倾斜角为.
(2)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形 ABC的边AB所在直线斜率为2，则
边AC所在直线斜率的一个可能值为________．
答案 －
解析 设直线AB的倾斜角为α，
由已知得k ＝tan α＝2，
AB
设直线AC的倾斜角为θ，
则k ＝tan θ，
AC
因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，
所以θ＝α±60°，
当θ＝α＋60°时，tan θ＝tan(α＋60°)
＝＝＝－，
所以k ＝－；
AC
当θ＝α－60°时，tan θ＝tan(α－60°)
＝＝＝，
所以k ＝，
AC
综上，k ＝－或k ＝.
AC AC
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
(2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6；
(3)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍．
解 (1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，
∴y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)设直线方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b，
令y＝0，得x＝－b，
∴|b|·＝6，解得b＝±3，
∴直线方程为y＝x±3，即3x－4y±12＝0.
(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点(2,1)，
∴1＝2k，解得k＝，
∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；当横截距与纵截距都不为0时，
可设直线方程为＋＝1，
由题意可得解得
∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0；
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
思维升华 求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条
件求出待定系数．
跟踪训练2 (1)过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 C
解析 当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(1,4)代入y＝kx，
求得k＝4，故方程为y＝4x；
当截距不为0时，
①若截距相等，设方程为＋＝1，
将P(1,4)代入，即＋＝1，解得a＝5，
故方程为x＋y＝5.
②若截距互为相反数，设直线方程为－＝1，
将P(1,4)代入，即－＝1，解得a＝－3，
故方程为x－y＋3＝0.
一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．
(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是(
)
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0
答案 B
解析 如图所示，设∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0)，
由角平分线的性质可知＝⇒＝⇒a＝，
所以∠BAC的角平分线所在直线l的方程是＝⇒2x－y－1＝0.
题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为
原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解 方法一 设直线l的方程为
y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0,1－2k)，
S ＝(1－2k)·
△AOB
＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线l的方程为＋＝1，
且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2,1)，
所以＋＝1，
则1＝＋≥2，故ab≥8，
故S 的最小值为ab＝×8＝4，
△AOB
当且仅当＝，即a＝4，b＝2时，等号成立，
故直线l的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解 由本例方法二知，＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当＝，
即a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0.
2．在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解 由本例方法一知A，
B(0,1－2k)(k<0)．
所以|MA|·|MB|＝·
＝2×＝2≥4.
当且仅当－k＝－，
即k＝－1时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的
函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
跟踪训练3 (1)(2023·贵州联考)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取
值范围为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
答案 C
解析 若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限；
若a≠0，将l的方程转化为y＝－x－，
因为l经过第四象限，
所以－<0或
解得a<0或a>.
综上，a的取值范围为(－∞，0)∪.
(2)已知直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点A，点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为
正数，则＋的最小值为( )
A．4 B．4＋4
C．8 D．4－4
答案 C
解析 由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.
∴直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点(－2，－2)，即A(－2，－2)，
∵点A在直线mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，
∴＋＝2(m＋n)＝2≥2＝8，
当且仅当＝，即m＝n＝时取等号．
∴＋的最小值为8.
课时精练
一、单项选择题1．(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为( )
A．45° B．135° C．90° D．180°
答案 A
解析 由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，
则k＝tan α＝＝1，故倾斜角α＝45°.
2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c不过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 直线方程为y＝－x＋，其斜率－>0，直线在y轴的截距<0，据此可知直线不经过第
二象限．
3．已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为( )
A．y－3＝－(x＋4)
B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4)
D．y＋3＝－(x－4)
答案 C
解析 因为直线l的一个方向向量为
n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
4．直线l的倾斜角是直线x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点(，－1)，则直线l的方程为(
)
A.x－y－4＝0 B．2x－y－7＝0
C.x＋y－2＝0 D.x＋y－4＝0
答案 C
解析 直线x－y－1＝0可化为y＝x－1，其斜率为，
∴其倾斜角为60°，
∴直线l的倾斜角为120°，
∴k＝tan 120°＝－，
l
∴直线l的方程为y＋1＝－(x－)，
即x＋y－2＝0.
5．(2023·南通联考)已知直线ax＋by＋1＝0和直线ax＋by＋1＝0都过点A(4,3)，则过点
1 1 2 2
P(a，b)和点P(a，b)的直线方程为( )
1 1 1 2 2 2A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0
C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0
答案 C
解析 因为直线ax＋by＋1＝0和直线ax＋by＋1＝0都过点A(4,3)，
1 1 2 2
所以4a＋3b＋1＝0,4a＋3b＋1＝0.
1 1 2 2
由上式可得点P(a，b)和点P(a，b)都在直线4x＋3y＋1＝0上，
1 1 1 2 2 2
即过点P(a，b)和点P(a，b)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.
1 1 1 2 2 2
6．(2024·淮南联考)已知直线l：y＝x＋1与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转45°后与x
轴交于点Q，要使直线l平移后经过点Q，则应将直线l( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 D
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，
旋转后的直线斜率为tan(α＋45°)＝＝3，
又点P坐标为(0,1)，所以旋转后的直线方程为y＝3x＋1，Q，
因为直线l过点(－2,0)，所以把直线l向右平移个单位长度后经过点Q.
二、多项选择题
7．已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是( )
A．若ab>0，则直线l的斜率小于0
B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°
C．直线l可能经过坐标原点
D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°
答案 ABD
解析 若ab>0，则直线l的斜率－<0，故A正确；
若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B正确；
将(0,0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；
若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，其倾斜角为0°，故D正确．
8．(2023·盐城模拟)下列说法正确的是( )
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．倾斜角相等的两直线的斜率一定相等
C．经过任意两个不同的点P(x ，y)，P(x ，y)的直线都可以用方程(y－y)(x －x)＝(x－
1 1 1 2 2 2 1 2 1
x)(y－y)表示
1 2 1
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－
答案 CD
解析 对于A，如倾斜角为的直线的斜率为－，而倾斜角为的直线的斜率为，故A错误；
对于B，当两直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故B错误；
对于C，当x ＝x 时，经过P(x ，y)，P(x ，y)的直线方程为x＝x ，此时适合(y－y)(x －
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2
x)＝(x－x)(y－y)；
1 1 2 1
当y ＝y 时，经过P(x ，y)，P(x ，y)的直线方程为y＝y ，此时适合(y－y)(x －x)＝(x－
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1
x)(y－y)；
1 2 1
当x≠x，y≠y 时，经过P(x，y)，P(x，y)的直线方程为＝，
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
也即(y－y)(x－x)＝(x－x)(y－y)，
1 2 1 1 2 1
故经过任意两个不同的点P(x ，y)，P(x ，y)的直线方程可以表示为(y－y)(x －x)＝(x－
1 1 1 2 2 2 1 2 1
x)(y－y)，故C正确；
1 2 1
对于D，设直线l为y＝kx＋b，由题意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，则3k＋b＋2＝
b，即k＝－，故D正确．
三、填空题
9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
答案
解析 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.
10．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________．
答案 y＝－x或x－y＋8＝0
解析 过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数，
当截距为0时，所求直线斜率为－，方程为y＝－x，即5x＋3y＝0；
当截距不为0时，设所求直线方程为x－y＝a，代入M的坐标，可得a＝－3－5＝－8，
即直线方程为x－y＋8＝0.
综上可得所求直线方程为y＝－x或x－y＋8＝0.
11．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l与线
段AB有公共点，则k的取值范围是________．
答案 (0，－2) [1,3]
解析 由题意得直线l：y＝kx－2过定点C(0，－2)，又点A(2,4)，B(4,2)，k ＝＝3，k ＝
CA CB
＝1，要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3]．
12．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
答案 16
解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为
＋＝1，
又因为C(－2，－2)在该直线上，
故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.
又因为ab>0，故a<0，b<0.
根据基本不等式ab＝－2(a＋b)＝2(－a－b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4
时取等号，即ab的最小值为16.
四、解答题
13．根据所给条件求直线方程．
(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为；
(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；
(3)直线过点A(2,4)，B(－2,8)．
解 (1)因为sin α＝，
所以k＝tan α＝±，
则所求直线方程为y－2＝±(x－1)，
即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.
(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，
可设直线方程为＋＝1，
代入点A(1,3)，可得＋＝1，
解得m＝2或m＝4，
所以所求直线方程为＋＝1或＋＝1，
即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.
(3)直线斜率k＝＝－1，
则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.
14．已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，
求S的最小值和此时直线l的方程．
解 (1)当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；
当k≠0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为y＝x＋＋1，
要使直线不经过第一象限，
则解得－2≤k<0.
综上，k的取值范围为[－2,0]．
(2)由题意可得k>0，
由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，
令x＝0得y＝，
所以S＝|OA||OB|＝··(2＋k)＝≥＝4，
当且仅当k＝，即k＝2时取等号，
此时S ＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0.
min
15.如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设
L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的
方程为________．
答案 3x－y－5＝0(答案不唯一)
解析 当过A(2,1)的直线将圆1与圆2平分，过B(3,4)的直线将圆3与圆4平分时，L划分
为面积相等的两个区域且k ＝＝3，
AB
∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，
即直线l：3x－y－5＝0(答案不唯一)．
16．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交
于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．答案 6
解析 由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，
动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2,3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
因为≥2，
所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，
当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号，
即|PA|＋|PB|的最大值为6.
