文档内容
专题 01 空间向量与立体几何（6 种经典基础练+3 种优选提升
练）
空间向量的线性运算及坐标表示
一．选择题（共3小题）
1．（2023秋•湖北期末）已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影向
量的模为
A． B． C． D．
【分析】由题意求出 ， ，结合投影向量的计算公式即可求解．
【解答】解： 向量 ， ，
，
，
向量 在向量 方向上的投影向量的模为 ．
故选： ．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，考查投影向量的概念，属基础题．
学科网（北京）股份有限公司2．（2023秋•房山区期末）在三棱柱 中， 为棱 的中点．设 ，
，用基底 ， ， 表示向量 ，则
A． B． C． D．
【分析】结合已知条件，利用空间向量的线性运算即可求解．
【解答】解：由 为棱 的中点，可得 ，
则
．
故选： ．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，属基础题．
3．（2023秋•清远期末）已知空间向量 ，则下
列说法正确的是
A． 是等腰直角三角形
B． ，则 ， ， ， 四点共面
C．四边形 是矩形
D．若 与 分别是异面直线 与 的方向向量，则 与 所成角的余弦值为
【分析】根据空间向量的坐标运算、向量的数量积公式及其性质，对各项中的结论逐一加以验证，
即可得到本题的答案．
【解答】解：对于 ， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司由 ， ， ，可知 两两不
垂直，
所以 中没有直角，不可能是等腰直角三角形，故 不正确；
对于 ， ，则 ，可得 ，所以点 为线段 的中点，
因此，点 在 、 、 确定的平面内，即 ， ， ， 四点共面，故 正确；
对于 ， ，可得 ，
而 ，所以四边形 的对角线不相等，不可能是矩形，故 不正确；
对于 ， ， ，可得 ，
而异面直线的所成角为锐角或直角，故 与 所成角的余弦值为 ，故 不正
确．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用空间向量判断异面直线所成角、空间的四点共面等知识，考查了计算能
力与逻辑推理能力，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
4．（2023秋•红山区期末）已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ， ，
， ，2， ， ，2， ．下列结论正确的有
A． B．
C． 是平面 的一个法向量 D．
【分析】由 得出 ，判断 正确；
由 得出 ，判断 正确；
由 且 得出 是平面 的一个法向量，判断 正确；
学科网（北京）股份有限公司由 是平面 的法向量得出 ，判断 错误．
【解答】解：对于 ， ， ，即 ，
正确；
对于 ， ， ，即 ， 正确；
对于 ，由 ，且 ，得出 是平面 的一个法向量， 正确；
对于 ，由 是平面 的法向量，得出 ，则 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了空间向量的性质应用问题，是基础题．
5．（2023秋•合肥期末）如图，空间四边形 中， ， 分别是边 ， 上的点，且
， ，点 是线段 的中点，则以下向量表示正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点 出发，根据图形中线段的长度整理，把不是基底
中的向量用是基底的向量来表示，即可得出结论．
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 点 是 线 段 的 中 点 ， ， 可 得
，故 正确，
，故 错误，
学科网（北京）股份有限公司，故 正确，
，故 错误，
故选： ．
【点评】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与
计算能力，属于基础题．
6．（2023秋•重庆期末）给出下列命题，其中正确的是
A．任意向量 ， ， 满足
B．在空间直角坐标系中，点 ，3， 关于坐标平面 的对称点是 ，3，
C．已知 ， ， ， 为空间向量的一个基底，
则向量 ， ， 能共面
D．已知 ，1， ， ，2， ， ， ， ，则向量 在向量 上的投影向量是
【分析】通过举例说明，判断出 项的正误；根据对称的性质，判断出 项的正误；根据空间向
量共面定理，判断出 项的正误；利用空间向量数量积的定义与运算性质，判断出 项的正误．
【 解 答 】 解 ： 对 于 ， 取 ， ， ， 则 ，
，
此时 ， ，等式 不成立，故 项不正确；
对于 ，点 ， ， 关于坐标平面 的对称点是 ， ， ，
因此点 ，3， 关于坐标平面 的对称点是 ，3， ， 项正确；
对于 ，若 为空间向量的一个基底， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，可知向量 ， ， 能共面，故 项正确；
对于 ，根据 ，1， ， ，2， ， ， ， ，得 ， ，
，向量 在向量 上的投影为
，
所以量 在向量 上的投影向量是 ，故 不正
确．
故选： ．
【点评】本题主要考查空间向量数量积的定义与运算性质、空间向量共面定理等知识，考查了计算
能力、逻辑推理能力，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
7．（2023 秋•遵义期末）已知长方体 中，点 为线段 的中点，
，则 ．
【分析】根据向量的加法运算及向量的相等求值即可．
【解答】解：如图，
因为 ，
所以 ．
故答案为： ．
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
8．（2023秋•许昌期末）已知 ，1， 、 ，3， 、 ，2， ，则向量 在 上的
投影向量的模是 ．
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果．
【解答】解：由已知可得 ， ，
所以向量 在 上的投影向量的模为
．
故答案为： ．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，考查投影向量概念，属基础题．
9．（2023秋•天津期末）已知空间向量 ，则 9 ．
【分析】利用空间向量数量积的坐标运算直接求解即可．
【解答】解：由 ，
可得 ．
故答案为：9．
【点评】本题考查空间向量数量积的坐标运算，属基础题．
四．解答题（共1小题）
10．（2023秋•喀什市校级期末）已知向量 ， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 ， 的值．
【分析】（1）根据空间向量运算的坐标表示即可求解；
（2）根据空间共线向量的坐标表示计算即可求解．
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1） ， ，
；
（2） ， ，
若 ，则 ，解得 ， ，
经检验 ， 符合题意，所以 ， ．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，向量共线定理以及向量夹角公式的应用，属于基础题．
空间中点、直线、平面之间的位置关系
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•桂林期末）在空间直角坐标系 中，点 ，1， 到坐标原点 的距离为
A． B． C． D．
【分析】根据空间两点的距离公式即可求得．
【解答】解：由空间两点间的距离公式，
可得点 ，1， 到坐标原点 的距离 ．
故选： ．
【点评】本题考查空间两点距离公式，属基础题．
2．（2023秋•闵行区校级期末）如图所示，正方体 中， 是线段 上的动点
（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线 始终异面
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【分析】根据 点运动到线段端点、中点位置可判断 ，根据异面直线的判定可判断 ．
【解答】解：当 运动到点 时， 与直线 相交，故 错误；
当 运动到点 时， 与直线 相交，故 错误；
因为 与 在同一平面 上， ， 平面 ，
所以由异面直线判定定理知，直线 与直线 始异面，故 正确；
当 运动到点 中点时， ，此时 与直线 共面，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查异面直线的判断，属于基础题．
3．（2023秋•东营期末）若平面 平面 ，直线 ，直线 ，那么 ， 的位置关系是
A．无公共点 B．平行
C．既不平行也不相交 D．相交
【分析】根据两平行平面内的直线关系即可判定．
【解答】解：因为 ， ， ，
所以 或 与 异面，
即 与 无公共点．
故选： ．
【点评】本题考查平行平面的性质，考查空间线线关系，属基础题．
4．（2023秋•浦东新区期末）下列命题中，为假命题的是
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．垂直于同一个平面的两条直线平行
C． ， 是空间两条直线，若 且 ，则
D．若直线 垂直于平面 内的两条相交直线，则直线 垂直于平面
【分析】根据空间中的点线面的关系即可求解．
【解答】解：对于 ，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故 正确；
对于 ，垂直于同一个平面的两条直线平行，故 正确；
学科网（北京）股份有限公司对于 ， ， 是空间两条直线，若 且 ，
则 或者 ， 异面，故 错误；
对于 ，根据线面垂直的判定定理，可知 正确．
故选： ．
【点评】本题考查空间点、线、面关系的判定，属基础题．
5．（2023秋•湖州期末）已知空间内三点 ，1， ， ，2， ， ，3， ，则点 到
直线 的距离是
A． B．1 C． D．
【分析】借助于空间向量解决空间中距离问题．
【 解 答 】 解 ： 空 间 内 三 点 ， 1 ， ， ， 2 ， ， ， 3 ， ，
，
因为 ，
由 ，所以 ，
所以点 到直线 的距离 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查空间中点，线，面之间的位置关系，属于中档题．
二．填空题（共3小题）
6．（2023秋•海淀区校级期末）如图，已知 ， 分别为三棱锥 的棱 ， 的中点，
则直线 与 的位置关系是 异面 （填“平行”，“异面”，“相交” ．
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，利用异面直线判定定理加以证明，可得到直线 与 是异面直线，从而得
出结论．
【解答】解：根据 、 分别为三棱锥 的棱 、 的中点，可知直线 与 是异
面直线，理由如下，
证明： 点 平面 ，点 平面 ，直线 平面 ，点 ，
直线 与 是异面直线．
故答案为：异面．
【点评】本题主要考查空间直线的位置关系、异面直线判定定理及其应用，考查了逻辑推理能力，
属于基础题．
7．（2023秋•长宁区校级期末）在正方体 中，点 是棱 的中点，则直线
与直线 的位置关系是 异面 ．
【分析】由异面直线的定义进行判定即可．
【解答】解：由题意，如图所示，直线 平面 ，
平面 ， ，
由异面直线的定义可知，
直线 与直线 是异面直线．
学科网（北京）股份有限公司故答案为：异面．
【点评】本题考查空间线线关系的判定，考查异面直线的定义，属基础题．
8．（2023秋•浦东新区期末） ， ， 三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有 一
个．
【分析】根据公理“经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面”来解答即可．
【解答】解：不在同一条直线上的三点确定一个平面．
故答案为：一．
【点评】本题考查了平面的基本性质，是基础题．
三．解答题（共2小题）
9．（2024春•巴音郭楞州期末）如图，已知正四棱柱 ，
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面
【分析】（1）根据正四棱柱特点结合线面垂直的判定即可证明；
（2）通过平行四边形的性质并结合面面平行的判定即可证明．
【解答】证明：（1）因为正四棱柱 ，所以 平面 ，
且四边形 为正方形，所以 ，
又因为 平面 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以平面 平面 ．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理，考查面面平行的判定定理，是中档题．
10．（2023秋•五华区校级期末）如图，正四棱锥 的高为6， ，且 是棱
上更靠近 的三等分点．
（1）证明： ；
（2）若在棱 上存在一点 ，使得 平面 ，求 的长度．
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，可证出 平面 ，从而证得 ；
（2）建立空间直角坐标系，算出各个点的坐标，利用法向量的方法求得点 位置，进而算出向量
的模，得出结论．
【解答】（1）证明：连接 ，交 于点 ，连接 ．
底面 是正方形， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ， 平面 ． 平面 ．
平面 ， ．
（2）解：以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，0， ， ，0， ， ， ， ，
，3， ， ，0， ．
， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则
取 ，则 ， ，得 ．
设 ， ， ，其中 ， ，则 ．
平面 ， ，得 ，故 ，
可得 ，即 ．
【点评】本题主要考查空间线面垂直的判定与性质、利用空间坐标系研究线面平行等知识，考查了
空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
空间中直线与直线所成的角
一．选择题（共3小题）
学科网（北京）股份有限公司1．（2023秋•仙游县期末）如图所示的四棱锥 中，底面 为正方形，且各棱长均相
等， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A．1 B． C． D．
【分析】根据给定条件，以 为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即
得．
【解答】解：令四棱锥 的各条棱长均为 2，则 ，由 是 的中点，得
，
显然 不共面， ，又 ， ，
，
因此 ，
所以则异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查异面直线所成的角，属于中档题．
2．（2023秋•新余期末）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，
该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示
学科网（北京）股份有限公司的曲池，其中 底面 ，底面扇环所对的圆心角为 ，扇环对应的两个圆的半径之比为
， ， ， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【分析】根据题意，建立如图所示空间直角坐标系，运用向量法求解异面直线 与 所成角的
余弦值，即可得到本题的答案．
【解答】解：设上底面圆心为 ，下底面圆心为 ，连接 ， ， ， ， ，
在下底面过点 作 ， 为垂足，以为 原点，
分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为扇环对应的两个圆的半径之比为 ， ，所以 ，得 ， ，
则 ， ， ，即 ，
，即 ， ，0， ， ，0， ，
学科网（北京）股份有限公司可得 ， ， ，
可知 ，
结合异面直线所成角的范围为 ，可得异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查向量数量积的运算及其应用、异面直线所成角的求法等知识，考查了计算能
力、逻辑推理能力，属于中档题．
3．（2023秋•沈阳期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 中，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【分析】连结 ，利用棱柱的几何性质得到 ，从而得到 就是异面直线 与
所成的角或其补角，三角形中利用余弦定理分析求解即可．
【解答】解：连结 ，因为 且
所以四边形 是平行四边形，故 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 就是异面直线 与 所成的角或其补角，
连结 ，由 ， ，
则 ，
所以 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了空间角的求解，涉及了两条异面直线所成角的求解，解题的关键是寻找平行线，
找到两条异面直线所成的角，属于中档题．
二．填空题（共5小题）
4．（2023秋•东城区期末）如图，已知 是正方体 的棱 的中点，则直线
与 所成角的余弦值为 ．
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 、 互相平行，可得 （或其补角）就是异面直线 与 所成角，进
而在 △ 算出 ，可得答案．
【解答】解： ，
（或其补角）就是异面直线 与 所成角，
为 的中点，
△ 中， ，可得 ，
直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正方体的结构特征、解直角三角形及其应用、异面直线所成角的定义与求
法等知识，属于基础题．
5．（2023秋•成都期末）如图所示，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形， 为 的中点，
为 的中点，则直线 与 所成角的大小为 ．
【分析】连接 、 ，利用三角形中位线定理证出 ， （或其补角）就是直线
与 所成角，然后在 中算出 的大小，即可得到本题的答案．
【解答】解：如图所示，连接 、 ，设圆锥的底面圆半径为 ，
学科网（北京）股份有限公司中， 、 分别为 、 的中点，
，且 ，
（或其补角）就是直线 与 所成角．
为等边三角形，
，可得 ．
底面圆 ， 是底面中的一条直线，
，
为半圆弧 的中点，
，
、 是平面 内的相交直线，
平面 ，可得 ，
是以 为直角顶点的直角三角形， ．
直线 与 所成角的大小为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查圆锥的结构特征、线面垂直的判定、异面直线所成角的求法等知识，考查了
空间想象能力、逻辑推理能力，属于基础题．
6．（2023秋•眉山期末）如图是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．
其中 ，那么直线 与直线 所成角的余弦值为 ．
【分析】根据题意，连接 ， ， ，可证出 （或其补角）是直线 与直线 所成的
学科网（北京）股份有限公司角，从而利用几何法求出直线 与直线 所成角的余弦值．
【解答】解：连接 ， ， ，
根据题意，可得四边形 是正方体 的对角面，四边形 是矩形，
所以 ， （或其补角）是直线 与直线 所成的角，
令 ，则 ， ， ， ，
而 ， 中， ，
结合异面直线所成角为锐角或直角，可知直线 与直线 所成角的余弦值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查正方体的结构特征、异面直线所成角的定义与求法等知识，考查了计算能力、
空间想象能力，属于基础题．
7．（2023秋•苏州期末）已知圆台的高为2，上底面圆 的半径为2，下底面圆 的半径为4，
， 两点分别在圆 、圆 上，若向量 与向量 的夹角为 ，则直线 与直线 所
成角的大小为 ．
【分析】设点 在圆 所在平面内的射影为 ，连接 、 ，可证出 （或其补角）就
是异面直线 与直线 所成角，然后在 中算出 、 的长，利用三角函数的定义
算出答案．
【解答】解：作出示意图形，如下图所示，
学科网（北京）股份有限公司向量 与向量 的夹角为 ，结合 ，得 ，
所以△ 为等边三角形，
设点 在圆 所在平面内的射影为 ，连接 、 ，
则 与 平行且相等，且 为 中点，
（或其补角）就是异面直线 与直线 所成角，
中， ，
在 中， ，得 ，所以 ，
即直线 与直线 所成角为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查圆台的结构特征、异面直线所成角的求法、余弦定理的应用等知识，属于中
档题．
8．（2023秋•佛山期末）佛山是全国著名的工业城市，这里生产的部分产品通过水路运输到全国
乃至全世界．如图1是佛山一个货运码头的吊机，其作用是完成集装箱的装船或卸船．为了研究其
结构的稳固性，工程师把一个吊机的部分结构（图 1 中圈住部分）画成图 2 的空间几何体
．若四边形 是矩形， ， ， ， ，
， ，则直线 与 所成角的余弦值为 ．
学科网（北京）股份有限公司【分析】在 上取一点 ，使 ，可证出四边形 为平行四边形，从而得出
（或其补角）就是直线 与 所成角，然后求出 的长度，在 中利用余弦定理算出答
案．
【解答】解：根据题意，在 上取一点 ，使 ，
因为 ，且矩形 中， ，
所以 ，可得 、 平行且相等，四边形 为平行四边形，
所以 ， （或其补角）就是直线 与 所成角．
中， ， ， ，所以 ，
中， ， ，得 ，
在 中， ， ，可得 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查空间直线的位置关系、异面直线所成角的求法、余弦定理的应用等知识，属
于中档题．
三．解答题（共3小题）
学科网（北京）股份有限公司9．（2023秋•邵东市校级期末）如图，三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，
平面 ， ， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
【分析】（1）连接 ，交 的于 ，连接 ，因为 分别是 ， 的中点，所以
，然后结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）（1）得： ，即 （或其补角）就是异面直线 与 所成的角，然后结合
余弦定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接 ，交 的于 ，连接 ，
因为 分别是 ， 的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面
即 平面 ；
（2）解：由（1）得： ，
学科网（北京）股份有限公司即 （或其补角）就是异面直线 与 所成的角，
又 ， ， ，
则 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了异面直线所成角的求法，属基础题．
10．（2023 秋•安顺期末）将矩形面 绕边 顺时针旋转 得到如图所示几何体
．已知 ， ，点 在线段 上， 为圆弧 的中点．
（1）当 是线段 的中点时，求异面直线 写 所成角的余弦值；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？如果存在，求出线段 的长，如果不
存在，说明理由．
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法加以计算，可得 写
所成角的余弦值；
学科网（北京）股份有限公司（2）利用空间位置关系的向量证明，即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）如图，以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴，建
立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，
当 是线段 的中点时，可得 ， ， ，
则 ， ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为
；
（2）设 ，平面 的法向量为 ，
因为 ， ， ，
所以 ，令 ，得 ，
若 平面 ，则 ，解得 ，即 ．
所以线段 上存在点 ，使得 平面 ，此时 ．
【点评】本题主要考查利用空间向量求异面直线所成角、线面平行的判定与性质等知识，考查了空
间想象能力、逻辑推理能力，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司11 ． （ 2023 秋 • 湖 北 期 末 ） 如 图 ， 平 行 六 面 体 的 底 面 是 菱 形 ， 且
， ， ．
（1）求 的长．
（2）求异面直线 与 所成的角的余弦值．
【分析】（1）根据题意，选出一组基底，利用线性运算以及数量积，可得答案；
（2）利用（1）的基底，结合数量积的运算，可得答案．
【解答】解：（1）设 ， ， ， 构成空间的一个基底．
因为 ，
所以
，
则 ，即 的长为 ；
（2）由于 ， ，
则 ， 又
，
设所求异面直线 与 所成的角为 ，
， ，
学科网（北京）股份有限公司即异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
【点评】本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
空间中直线与平面所成的角
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•黔东南州期末）在空间直角坐标系中，已知向量 是平面 的一个法向
量，且 ，则直线 与平面 所成角的正弦值是
A． B． C． D．
【分析】由题意，根据空间向量的数量积的定义计算即可．
【解答】解：已知向量 是平面 的一个法向量，且 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值等于 ．
故选： ．
【点评】本题考查了直线与平面所成角的求法，重点考查了向量的应用，属基础题．
二．填空题（共1小题）
2．（2023秋•保定期末）在空间直角坐标系中，过点 ， ， 且一个法向量为 ， ，
的平面 的方程可写为 ．已知直线 的方向向量为 ，1，
，平面 的方程为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【分析】根据线面角的向量公式求解即可．
【解答】解：由题意，平面 的法向量可取 ，直线 的方向向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
学科网（北京）股份有限公司则有 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查线面角的向量求法，属基础题．
三．解答题（共4小题）
3．（2023秋•浦东新区校级期末）在圆锥 中， 是底面圆周上一点．设 的长为1，且圆
锥的侧面展开图是半圆．
（1）记圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ，则圆锥的侧面积 （用 ， 表示）；在
本题中，求圆锥的侧面积；
（2）求母线 与底面所成角的大小．
【分析】（1）根据题意，由圆锥侧面积公式可得第一空答案，由圆锥的结构特征可得 ，即
可得 的值，计算可得答案；
（2）根据题意，易得 为母线 与底面所成角，结合三角函数的定义此计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ，
则圆锥的侧面积 ，
本题中，圆锥的侧面展开图是半圆，则有 ，
则 ，
故该圆锥的侧面积 ；
（2）由图可知， 为母线 与底面所成角，
，
学科网（北京）股份有限公司，
母线 与底面所成角为 ．
【点评】本题考查圆锥的侧面积，考查直线与平面所成的角，是中档题．
4．（2023秋•聊城期末）如图，在长方体 中， ， ， 为 的
中点．
（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【分析】（1）根据题意，以 为原点建立空间直角坐标系，设 ，利用坐标法证出
，可得 ；
（2）先求出平面 的法向量，再根据直线的方向向量与平面法向量的夹角，算出 与平面
所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如
学科网（北京）股份有限公司图空间直角坐标系，
设 ，则 ，0， ， ， ， ，0， ，
可得 ， ，
因为 ，所以 ，即 ．
（ 2 ） 解 ： 当 时 ， ， 由 （ 1 ） 知 ， ，
．
设平面 的法向量为 ，则 ，得 ，
令 ，则 ， ，所以 为平面 的一个法向量．
设 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 ， 则
，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【点评】本题主要考查长方体的结构特征、利用空间坐标系研究线线垂直、直线与平面所成角等知
识，属于中档题．
5．（2023秋•西城区校级期末）如图，四边形 为梯形， ，四边形 为矩形，
学科网（北京）股份有限公司平面 ， ， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【分析】（1）连接 ，在底面梯形 中，利用余弦定理证出 ，可得 、
互相垂直，根据 平面 ，得到 ，从而得出 平面 ，可得结论；
（2）过点 作 于 ，连接 ，可证出 就是直线 与平面 所成角，然后
利用解三角形的知识，算出答案．
【解答】（1）证明：连接 ，
平面 ， 平面 ， ，
， ， ， 四边形 为直角梯形，
中， ， ，
， ，
又 中， ， ， ，
，可得 ，
，即 ，
，矩形 中， ， ，
平面 ，结合 平面 ，得 ，
、 是平面 内的相交直线，
平面 ，结合 平面 ，得 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）过点 作 于 ，连接 ，
由（1）知 平面 ，结合 平面 ，得 ，
， 、 是平面 内的相交直线，
平面 ，可得直线 在平面 内的射影是 ，
就是直线 与平面 所成角，
在 中， ， ，可得 ，
，
中， ，
即直线 与平面 所成角的正弦值等于 ．
【点评】本题主要考查线面垂直的判定与性质、解三角形及其应用、直线与平面所成角的求法等知
识，属于中档题．
6．（2023秋•大东区校级期末）如图，在长方体 中， ， ，点
在 上，且 ．
（Ⅰ）求直线 与 所成角的大小；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（Ⅰ）以 为原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立空间直角
坐标系，求出 ， ，利用空间向量的数量积求解直线 与 所成角的余弦值即可；
（Ⅱ）求出平面 的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角．
【解答】解：（Ⅰ）以 为原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立空间
直角坐标系，
则 ，0， ， ，3， ， ，3， ， ，3， ， ，1， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
故直线 与 所成角为 ．
（Ⅱ）因为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ， ，于是 ，
学科网（北京）股份有限公司设 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
【点评】本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
二面角
一．选择题（共2小题）
1．（2023秋•大连期末）在空间中，“经过点 ， ， ，法向量为 ， ， 的平面
的 方 程 （ 即 平 面 上 任 意 一 点 的 坐 标 ， ， 满 足 的 关 系 式 ） 为 ：
”．用此方法求得平面 和平面 的方程，化简后的结果为
和 ，则这两平面所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由两平面的方程，得到两平面的法向量，由法向量夹角公式即可求得结论．
【解答】解：由题意，平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
则两平面所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查二面角的概念和求法，考查空间向量数量积运算，属基础题．
2．（2023秋•西青区期末）在正方体 中，点 为 的中点，则平面 与平
面 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面 与平面 的法向量，利用向量的夹角公式求得
面面角的余弦值．
【解答】解：在正方体 中，建立如图所示的坐标系，
设正方体棱长为2，则 ，0， ， ，0， ， ，2， ，
学科网（北京）股份有限公司故 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则由 ，令 ，可得 ， ，
则可得平面 的一个法向量为 ，
不妨取平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则有 ，
则平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查平面与平面所成角的余弦值，属中档题．
二．多选题（共1小题）
3．（2024春•南阳期末）三棱锥 中，平面 与平面 的法向量分别为 ， ，
， ，1， ，则二面角 的大小可能为
A． B． C． D．
【分析】计算 ， ，即可得出答案．
【解答】解： ， ，
所以二面角 的大小可能为 或 ．
故选： ．
【点评】本题考查二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司三．填空题（共1小题）
4．（2024春•成都期末）如图，在正方体 中，直线 与直线 所成角的大小
为 ；平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
【分析】（1）由异面直线所成角的定义直接求解即可；
（2）根据面面角的平面角定义，得出面面角的平面角，在直角三角形中求解即可．
【解答】解：如图，在正方体 中， ，
故直线 与直线 所成角，
即为直线 与直线 所成角 ，
显然 ，故直线 与直线 所成角为 ；
设 与 交于点 ，连接 ，
因为 ， ， 为 中点，
所以 ， ，
则 即为平面 与平面 所成夹角，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
学科网（北京）股份有限公司故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
故答案为： ； ．
【点评】本题考查异面直线所成角及两平面夹角的余弦值的求法，属中档题．
四．解答题（共3小题）
5．（2023秋•电白区期末）如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 是直
角梯形， ， ， ，点 在棱 上．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当 时，求二面角 的余弦值．
【分析】（1）根据线面垂直性质可得 ，结合题意可得 是直角三角形，且 ，
利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，即可证明结论；
（2）由（1）得 ， ， ，建立以 为原点的空间直角坐标系，利用向量
法，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明： 底面 ， 平面 ，
，
， ， ，
， ，
学科网（北京）股份有限公司，即 是直角三角形，且 ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面 ；
（2）由（1）得 ， ， ， ，则 平面 ，
建立以 为原点的空间直角坐标系，如图所示：
，则 ，0， ， ，0， ， ， ， ， ，0， ，
设点 ， ， ，
，即 ， ， ， ， ，
， ， ，即 ，0， ，
， ， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
，取 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，0， ，
学科网（北京）股份有限公司又 平面 ，则平面 的一个法向量为 ，0， ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
故二面角 的余弦值 ．
【点评】本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和
运算能力，属于中档题．
6．（2023 秋•道里区校级期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， 是棱 上一点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 是 的中点，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明．
（2）利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值．
【解答】解：（1）因为 ， ， ， ，
取 中点 ，连接 ，则 ，
， ，
所以 ，即 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系：
因为 是 的中点，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
所以平面 的法向量为 ，
显然，平面 的法向量为 ，
设平面 和平面 的夹角为 ， 为锐角，
则 ，
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 ．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
7．（2023秋•二道区校级期末）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形，
是等边三角形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）求平面 与平面 的夹角的大小；
（3）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角为 ，若存在，求线段 的
长；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意得 ， ，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）建立以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴的空间直角坐标系
，利用向量法，即可得出答案；
（3）假设线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角为 ，设 ，
由（2）得平面 的法向量为 ，0， ，则直线 与平面 的法向量 所成的夹角
为 ，利用向量法，列出关于 的方程，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）证明： 是等边三角形， 是 的中点，
，
又 平面 ， 平面 ，
，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）由（1）得 平面 ，连接 ，建立以 为原点，以 ， ， 所在直线分别
为 轴， 轴， 轴的空间直角坐标系 ，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司底面 是边长为4的正方形，则 ，0， ， ，0， ， ，4， ， ，4，
， ，0， ， ，4， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ，
则 ，2， ， ，2， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ， ，
平面 的法向量为 ，0， ，
又平面 的法向量为 ，0， ，
， ，
又平面 与平面 的夹角为锐角，
平面 与平面 的夹角为 ；
（3）假设线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角为 ，设 ，
由（2）得平面 的法向量为 ，0， ，则直线 与平面 的法向量 所成的夹角
为 ，
，0， ， ，
学科网（北京）股份有限公司，0， ，则 ，0， ，
， ， ，
， ， 即
，
△ ，
关于 的方程无解，
故线段 上不存在点 ．
【点评】本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和
运算能力、直观想象，属于中档题．
体积法求点面距离
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•济南期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边
三角形，在该几何体中， 为直线 上的动点，则 到直线 距离的最小值为
A． B． C． D．
【分析】将平面展开图还原成正八面体，根据线段位置，利用体积法求得异面直线 与 的距
离，即可得 到直线 距离的最小值．
【解答】解：把平面展开图还原为空间正八面体，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司正八面体的八个顶点都在球面上，
故正八面体外接球的球心为正方形 的中心 ，
半径 ，
平面 平面 ，
异面直线 与 的距离为平面 与平面 的距离，
又 到平面 的距离与 到平面 的距离相等，
直线 与 的距离为 到平面 的距离2倍，
，
，
， ，
异面直线 与 的距离为 ，
则点 到直线 的距离的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查空间线线距离，点线距离的求法，属中档题．
二．多选题（共1小题）
2．（2022秋•淄博期末）在棱长为3的正方体 中，点 在棱 上运动（不与顶
学科网（北京）股份有限公司点重合），则点 到平面 的距离可以是
A． B． C．2 D．
【分析】根据运动变化思想，等体积法求点面距，可得 到平面 的距离的范围，从而可得正
确选项．
【解答】解：当 与 重合时点 到平面 的距离最大，易知最大为3；
当 与 重合时点 到平面 的距离最小，设最小距离为 ，
易知 是边长为 的等边三角形，则由等体积法思想可得：
，
，
，
，
设 到平面 的距离为 ，当 在棱 上运动（不与顶点重合）时，
则 ， ，
故选： ．
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查运动变化思想，等体积法求点面距，属基础题．
三．填空题（共1小题）
3．（2023秋•西安期末）在四棱锥 中， 面 ，四边形 为直角梯形，
， ， ，则平面 与平面 夹角的余弦值为
，异面直线 与 的距离为 ．
【分析】第一空，建系利用空间向量求解即可；第二空， 与 的距离即为 到平面 的
距离，即点 到面 的距离，用等体积求解即可．
【解答】解： 面 ， ， 面 ，
， ．
又 ， ，
， ， 两两垂直．
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，4， ， ，0， ，
， ， ，2， ， ，
学科网（北京）股份有限公司设 为平面 的一个法向量，
则由 ，即 ，
令 ，可得 ，
设 为平面 的一个法向量，
则由 ，即 ，
令 ，可得 ，
则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
平面 与平面 夹角的余弦值为 ；
如图，取 中点 ，连接 ， ，
， ，
四边形 为平行四边形，
，
面 ， 面 ，
面 ，
与 的距离为 到面 的距离，
即点 到面 的距离，
设点 到面 的距离为 ，
， ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，
得 ，解得 ，
异面直线 与 的距离为 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查利用空间向量求解二面角，考查等体积法求解点面距离，属中档题．
四．解答题（共1小题）
4．（2023秋•重庆期末）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且 是边
长为2的等边三角形，四边形 是矩形， ， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
【分析】（1）根据题设条件及勾股定理可证线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得线面角的正弦值；
（3）利用等体积法即可求得点到平面的距离．
【解答】解：（1）证明：如图，平面 平面 ，四边形 是矩形，
因为四边形 是矩形，所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司又平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
故 ， ，
在直角 中， ， ，则 ，
在直角 中， ， ，则 ，
在直角 中， ， ，则 ，
则有 ，即 ；
（2）如图，取 中点为 ， 中点为 ，连接 ，
由题设可知， 平面 ，
故以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
则由 ，可得 ，
令 ，可得 ， ，
故平面 的一个法向量为 ，
学科网（北京）股份有限公司记直线 与平面 所成角为 ， ，
所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）由（1）知， ， ， ，且 ，
同理可求得 ， ，
设点 到平面 的距离为 ，
由 ，
所以 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离为 ．
【点评】本题考查线线垂直的判定，考查利用空间向量求解线面角，考查点到平面的距离，属中档
题．
空间向量与翻折问题
1．（2023秋•泰安期末）如图1，在直角梯形 中， ， ， ，
， ， ， 分别为 ， 的中点，沿 将平面 折起，使二面角
的大小为 ，如图2所示，设 ， 分别为 ， 的中点， 为线段 上的动
学科网（北京）股份有限公司点（不包括端点）．
（1）求证： ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值是 ，求 ．
【分析】（1）由已知可证得 平面 ，进而可证得 ，通过证出 ，证得
平面 ，即可证得结果；
（2）以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，求
出 平面的一个法向量，以及 ，即可利用线面角的向量公式解出．
【解答】解：（1）证明： ， 分别为 ， 的中点， ．
，
， ， 平面
平面 ， 平面 ， ，
是二面角 的平面角， ．
， 为等边三角形，
．
， ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， ．
（2）设 中点为 ，由（1）知 ， ， 两两垂直，以 为原点， ， ， 所在
直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
学科网（北京）股份有限公司， ， ， ，
，
，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，
取 ，则 ，
设 ，
，
设 与平面 所成的角为 ，
则
，
解得 或 （舍 ，
．
【点评】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
2．（2023秋•仙游县期末）如图1， 是边长为6的等边三角形，点 ， 分别在线段 ，
上， ， ，沿 将 折起到 的位置，使得 ，如图2．
学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理得到 ， ，进而证明 平面 ，即可证明；
（Ⅱ）
【解答】解：（Ⅰ）在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
将 代入上式整理得到：
所以 ，
所以 ，
在 中， ， ， ，
易得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 平面 ，
所以平面 平面 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ， ， 两两互相垂直，所以以 为原点， ， ， 所在直线
分别为 ， ， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，0， ， ，0， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，
设 ，
易知 ，
故 ，
又因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
即 ．
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题主要考查面面垂直的证明，以及利用空间向量计算直线与平面所成的角，属于中档题．
3．（2023秋•邯郸期末）如图，四边形 是平行四边形， ， 为 的中点．以
为轴，将 折起，使得点 到达点 的位置，且平面 平面 ，以 为轴，将
折起，使得点 到达点 的位置，且平面 平面 ，设平面 平面 直
线 ．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【分析】（1）利用合理转化证明线面垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法计算即可．
【解答】解：（1）证明：由题意知 ，分别取 ， 的中点 ， ，连接
， ，则 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 直线 ，所以 ，
又 平面 ，所以直线 平面 ．
（2）不妨设 ，所以平行四边形 中， ， ，
所以 ， ，
又平行四边形 中， ，
所以 ，所以 ，即 ，
以 为原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，直线 为 轴，建立如图的空间直角坐标系，
又 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，得 ，
令 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 ，
由（1）知 是平面 的一个法向量，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
【点评】本题考查空间线面垂直以及二面角的应用，属于中档题．
4．（2023秋•锦州期末）如图1，在直角梯形 中， ， ， ，
， 是 的中点， 是 与 的交点，将 沿 折起到△ 位置，如图2．
（1）证明： ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若二面角 为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值．
【分析】（1）证明出四边形 为平行四边形，得到 是 中点，三角形 为等腰直角三
角形，证明出 ，得到结论；
（2）由二面角为直角得到面面垂直，进而得到线面垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，
求出平面的法向量，由向量夹角余弦公式求出答案．
【解答】解：（1）证明：在图（1）中，四边形 是直角梯形， ，
所以 ，
因为 ， ， 为 中点，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 是 的中点，
所以 是 中点，又 ， ，
所以三角形 为等腰直角三角形，
所以 ，
图（2）中， 且 ，
所以 ；
（2）已知二面角 为 ，所以平面 ， 平面 ，且交线为 ，
由（1）知， ， 平面 ，
所以 平面 ，
以 为原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
所以 ， ， ， ，
得 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量 ，设平面 的法向量 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
令 ，则 ，
故 ，
又 ，
解得 ，令 则 ，故 ，
，
平面 与平面 所成角 ，
所以平面 与平面 所成角余弦值为 ．
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
5．（2023秋•景德镇期末）某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面
体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1， ， ， 分别是边长为4的正方形的
三边 ， ， 的中点，先沿着虚线段 将等腰直角三角形 裁掉，再将剩下的五边形
沿着线段 折起，连接 ， 就得到了一个“刍薨”（如图 ．
（1）若 是四边形 对角线的交点，求证： 平面 ；
（2）若二面角 的平面角为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，由题意证得四边形 是平行四边形，可得
，再利用直线与平面平行的判定定理即可证得 平面 ；
（2）由题意可得 即为二面角 的平面角，即 ，建立空间直角坐标系，
求出平面 和平面 的一个法向量，再利用平面与平面的夹角公式求解即可．
学科网（北京）股份有限公司【解答】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，如图所示，
四边形 是矩形，且 ，
为线段 与 的中点， ，且 ，
由图1可知， 且 ， ，且 ，
在图2中， 且 ，
且 ，
四边形 是平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2）解：由题设图 1 可知， ， ，折起后在题设图 2 中仍有 ，
，
即为二面角 的平面角，故 ，
以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴和 轴，
在平面 内作 平面 ，
建立空间直角坐标系 ，如图所示，
可得 ，0， ， ，2， ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
易知平面 的一个法向量 ，1， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，令 ，可得 ， ，
于是平面 的一个法向量为 ，
，
平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理，考查利用空间向量求平面与平面的夹角，属中档题．
6．（2023秋•西山区期末）已知平行四边形 如图甲， ， ，沿 将
折起，使点 到达点 位置，且 ，连接 得三棱锥 如图乙．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题设条件，证明 ， ，再由面面垂直的判定定理即可证明结论；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设 ，求出平面 与平面 的法向量，利用
向量的夹角公式列方程即可求解．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意，在平行四边形 中，
， ， ，
学科网（北京）股份有限公司则在 中，由余弦定理，
可得 ，
则有 ，故 ，即 ，
又 ，所以 ，
由题意， ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（Ⅱ）解：过点 作 ，由（Ⅰ）可知， ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，0， ， ， ， ， ， ，0， ，
设 ，则有 ，故 ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，令 ，可得 ， ，
即 ，
取平面 的一个法向量为 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
学科网（北京）股份有限公司则由二面角 的余弦值为 ，
可得 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
故 ，即 ，
故在线段 上存在点 ，当 时，
可得二面角 的余弦值为 ．
【点评】本题考查面面垂直的判定，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，属中档题．
7．（2023秋•让胡路区校级期末）已知 和 均是等腰直角三角形， 既是 的斜
边又是 的直角边，且 ，沿 边折叠使得平面 平面 ， 为斜边 的中
点．
（1）求证： ．
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 ．若存在，求
出 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，可由线面垂直证明线线垂直得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量和直线 的方向向量，根据线面角的正
弦值列方程求解即可．
【解答】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，如图，
学科网（北京）股份有限公司又 为 的中点， ，由 ，则 ，
又 为等腰直角三角形， ， ， ，
又 ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
；
（2）解：由（1）知， ，又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 ， ， 两两互相垂直，
故以 为原点， 为 、 、 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图，
又 ，则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ，
， ，
设 ，则 ，
解得 ， ， ，则 ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，令 ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司设 与平面 所成角为 ，
由题意有 ，
整理得 ，解得 或 ，
故在线段 上存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，
此时 或 ．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的定义及正弦值的求法，属中档
题．
空间向量与存在性问题
1．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知正方形 的边长为1， 平面 ，三角形
是等边三角形．
（1）求异面直线 与 所成的角的大小；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成的角大小为 ？若存在，求出
的长度，若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解；
（2）根据几何法求解线面角的几何角，利用三角形的边角关系即可求解．
【解答】解：（1）因为 为正方形，则 ，
则异面直线 与 所成的角 即为 与 所成的角或其补角，
因为三角形 是等边三角形，
所以 ，则 ，
因为 平面 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ；
（2）作 交 于点 ，连接 ， ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
则 与平面 所成的角大小为 ，
设 ，则 ，
所以 ，
则 ，
故存在点 ，当 时， 与平面 所成的角大小为 ．
【点评】本题考查异面直线所成角及线面角的求法，属中档题．
2．（2023秋•金东区校级期末）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，
， ， 平面 ， ， ， 是 的中点．
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）在直线 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不
存在，请说明理由．
【分析】（1）分别取 ， 中点 ， ，则 ，以 为正交基底，建立
学科网（北京）股份有限公司如图所示的空间直角坐标系 ，利用向量法能求出直线 与平面 所成角的正弦值．
（2）假设存在点 ，使得平面 平面 ，设 ，求出平面 和平面 的
法向量，利用向量法能求出存在点 ，使得平面 平面 ，此时 与 重合．
【解答】解：（1）分别取 ， 中点 ， ，则 ，
又 平面 ，则 ， ， 两两互相垂直，
以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，
， ， ，1， ，
， ， ， ，2， ， ，1， ，
设 ， ， 为平面 的一个法向量，
则 ，取 ，得 ，0， ，
，
与 与平面 所成角互余，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
（2）假设存在点 ，使得平面 平面 ，
设 ，1， ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司设 ， ， 是平面 的一个法向量，
则 ，
令 ，则 ， ， ，1， ，
平面 平面 ，
，
解得 ，
存在点 ，使得平面 平面 ，此时 与 重合．
【点评】本题考查线面角的定义及其正弦值的求法、线面垂直的判定与性质、向量法等基础知识，
考查运算求解能力，是中档题．
3．（2023秋•威宁县期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角
梯形， ， ， ．
（1）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请指出点 的位置，并证明；若
不存在，请说明理由．
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先构造平行四边形证明线线平行，再利用直线和平面平行的判定定理即可证明；
（2）先建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用空间夹角的向量求法
即可得出答案．
【解答】解：（1）当 为 中点时， 平面 ，
证明如下：设 为 的中点，连接 ， ， ，
则在 中， ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司设 ，
则 ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，0， ，
则 ，1， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则有 ，令 ，则 ，2， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则有 ，令 ，则 ，0， ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 的夹角为 ．
【点评】本题考查线面平行的判定，考查二面角的求法，属中档题．
4．（2023秋•驻马店期末）如图，在四棱锥 中， 面 ， ，且 ，
， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ？若存在，求
出 的值，若不存在，说明理由；
（3）在平面 内是否存在点 ，满足 ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请
写出点 的轨迹图形形状．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）取 的中点 ，证明平面 平面 即可；
（2）建立平面直角坐标系，利用直线 与平面 所成角的正弦值为 ，进行坐标运算即可求
得；
（3）设出点 坐标，利用 ，得到相应的方程，化简即可判定点 的轨迹形状．
【解答】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理可证 平面 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：假设存在，设 ，如图，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，
故 ， ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
学科网（北京）股份有限公司则有 ，可取 ，1， ，
则 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以当 时，直线 与平面 所成角的正弦值是 ；
（3）解：假设存在，设 ， ，
， ， ，
因为 共面，所以存在唯一实数对 使得 ，
即 ， ， ，即 ，故 ，
则 ， ，
则 ，
整理得 ，所以点 的轨迹为椭圆，
即在平面 内存在点 ，满足 ，点 的轨迹为椭圆．
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查了线面平行的证明，考查了满足线面角的点是否存在的判断与方法，属难题．
空间向量与最值问题
1．（2023秋•包河区校级期末）正方体 的棱长为5，点 在棱 上，且 ，
点 是正方体下底面 内（含边界）的动点，且动点 到直线 的距离与点 到点 的距
离的平方差为25，则动点 到 点的最小值是
A． B． C． D．
【分析】作 ， ， 即为 到直线 的距离，从而可得 ，即点
的轨迹是以 为准线，点 为焦点的抛物线，然后建立平面直角坐标系求解．
【解答】解：如图所示，作 ， 为垂足，则 面 ，
过点 作 ，则 面 ，所以 即为 到直线 的距离，
学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，
所以 ，
所以点 的轨迹是以 为准线，点 为焦点的抛物线，
如图，建立直角坐标系，
则点 的轨迹方程是 ，
则点 ，设 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 ．
故选： ．
【点评】本题考查立体几何中点、线、面间的距离计算，考查动点的轨迹方程，属难题．
2．（2023秋•湖北期末）如图，在 中， ，过 的中点 的动直线
学科网（北京）股份有限公司与线段 交于点 ，将 沿直线 向上翻折至△ ，使得点 在平面 内的射影
落在线段 上，则斜线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
【分析】首先求出 中边 ， 角的正弦与余弦值，以底面点 为空间原点建系（如图 ，
设 点 ， ， ， 由 ， 0 ， ， 得 ， 0 ， ， 求 出 ， ， 坐 标 ， 由
得出 ， 满足的关系式，从而可得 的范围也即 的范围，翻折过程中可得
，设 ，由向量的数量积为0从而得出 关于 的表达式，求得 的范
围，再由线面角的正弦值得出结论．
【解答】解：因为 中，根据余弦定理， ，
根据正弦定理 ，得 ，由 知 ，则 ，
如图1，以底面点 为空间原点建系，根据底面几何关系，得点 ，2， ， ，0， ，
设点 ， ， ，点 的投影 ，0， 在 轴上，
即 ，0， ， ，1， ，由 ，
根 据 两 点 间 距 离 公 式 ， 可 得 ， 整 理 为
．
如图2，在翻折过程中 △ ，作 于点 ，则 ，并且 ，
学科网（北京）股份有限公司， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
即 ，其中 ．
又动点 在线段 上，设 ，所以 ，且 ， ．
由 ，得 ，
又因为 ，对应的 的取值为 ，即 ，
由已知斜线 与平面 所成角是 ，
所以 ，
斜线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了空间几何体的结构特征，考查了数形结合思想和直观想象能力，属于难题．
3．（2023秋•岳麓区校级期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边
长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子 ， 分别在正方形对角线 和 上移动，
且 和 的长度保持相等，记 ．
（1）求 长的最小值；
学科网（北京）股份有限公司（2）当 的长最小时，求二面角 的正弦值．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式利用二次函数配方求得最值；
（2）求得平面 和 的法向量，利用向量夹角公式求得两平面夹角余弦值，进而求得正弦
值．
【解答】解：（1）由题意，如图，以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、
轴，
建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以当 时， 的长最小，最小值为 ；
（2）由（1）知， 的长最小时， 、 分别为正方形对角线 和 的中点，
可得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ， ， ，
， ，
由 ，取 ，可得 ，1， ，
同理可求平面 的一个法向量为 ，1， ，
则 ，
所以 ，
因此，当 的长最小时，二面角 的正弦值为 ．
【点评】本题考查两点间距离，考查二面角正弦的求法，属中档题．
4．（2023 秋•乐山期末）已知直棱柱 中， ， ， ，
， 为线段 上任一点， ， 分别为 ， 中点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，平面 与平面 的二面角的正弦值最小，并求出最小值．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明 即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）求得两平面的法向量夹角的余弦最大值，即可得正弦的最小值．
【解答】（1）证明： ， ， ，
，
， ，
在直棱柱中建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，2， ，
， ，
，
．
（2）解： ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ， ，可得 ，
令 ，可得 ，
平面 ，
学科网（北京）股份有限公司不妨取平面 的一个法向量为 ，
，当 时等号成立，
当 时，平面 与平面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为 ．
【点评】本题考查线线垂直的判定，考查面面角的正弦值最大值求法，属中档题．
5．（2022秋•萍乡期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为
2的正方形， ， 为 的中点， ， 是棱 上两点 在 的上方），且 ．
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）当点 到平面 的距离取得最大值时，求 的长．
【分析】（1）连接 交 于 ，连接 ，只需证明 即可；（2）转化为 到 的
距离最小，利用勾股定理，利用投影即可表示．
【解答】（1）证明：连接 交 于 ，连接 ，
因为 为 的中点， 是正方形，
所以 ， ， ；
因为 ， ，所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）解：因为 ，所以 的面积为定值，又点 到平面 的距离为定值，
学科网（北京）股份有限公司所以三棱锥 的体积为定值，即三棱锥 的体积为定值；要使点 到平面 的距
离最大，
则需 的面积最小，即 到 的距离最小；
由题知，可建立如图空间直角坐标系， ，0， ， ，2， ，
设 到 的距离为 ， 是等腰直角三角形，
则 ， ， ， ， ， ， ，2， ，
故 到 的距离为 ，
当 时， 到 的距离最小，此时点 到平面 的距离最大，
所以 ．
【点评】本题考查线面平行的判定，考查体积相等，考查点到面的距离，点到线的距离，属于难题．
6．（2023秋•新华区校级期末）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，
为底面圆 的内接正三角形，点 在母线 上，且 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点 为线段 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面 的距离．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）通过 平面 ，证得 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，设 ，通过向量 和平面 的法向量建立直线
与平面 所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求得最值．
【解答】（1）证明：如图，设 交 于点 ，连接 ，
由圆锥的性质可知 底面 ，因为 平面 ，
所以 ，又因为 是底面圆的内接正三角形，
由 ，可得 ， ，解得 ，
又 ， ，所以 ，
， ，所以在 中，
，
在 中，由余弦定理有：
，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，故 ，
因为 底面 ， 面 ，所以平面 平面 ，
又 面 ，面 面 ， ，故 面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）解：易知 ，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴，
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，令 ，则 ，
设 ，可得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
令 ， ，则
，
当且仅当 时，等号成立，所以当 时， 有最大值4，
即当 时， 的最大值为1，此时点 ，
所以 ，所以点 到平面 的距离 ，
故当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，点 到平面 的距离为 ．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查向量法求解线面角和二面角，属难题．
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