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班级 姓名 学号 分数
第一单元 空间向量与立体几何（A卷·知识通关练）
核心知识1 空间向量及其线性运算
1．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱 中，AC与BD的交点为点M， ，
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·福建·浦城县教师进修学校高二期中）给出下列命题
①空间中所有的单位向量都相等；
②方向相反的两个向量是相反向量；
③若 满足 ，且 同向，则 ；
④零向量的方向是任意的；
⑤对于任意向量 ，必有 ．
其中正确命题的序号为（ ）
A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤
3．（多选题）（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在平行六面体 中，AC和BD的交点为
O，设 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
4．（多选题）（2022·福建宁德·高二期中）如图正四棱柱 ，则下列向量相等的是
（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
核心知识2 空间向量的数量积运算
5．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，空间四边形 中， ，
， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
6．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体 中， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥 中， 两两垂直，
为 的中点，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于1，点
， 分别是 ， 的中点，则 的值为_________．
核心知识3 空间向量基本定理
9．（2022·湖南师大附中高一期末）已知 是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底 表示向量 ___________．
10．（2022·四川雅安·高二期末（理））设 是正三棱锥，G是 的重心，D是PG上的一点，
且 ，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥 ，底面 为平行四边形，M，N分别为棱BC，
PD上的点， ， ，设 ， ， ，则向量 用 为基底表示为
（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选题）（2022·江苏省镇江中学高二期中）如图，在平行六面体 中，以顶点A为
端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为 与 的交点，若 ，
则下列正确的是（ ）A． B．
C． 的长为 D．
13．（多选题）（2022·浙江浙江·高一期中）如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的
三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 ， 为 与 的交点．记 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（多选题）（2022·河北邯郸·高二期末）已知 ， ， 是空间的一个基底，则下列说法中正确的是
（ ）
A．若 ，则B． ， ， 两两共面，但 ， ， 不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D． ， ， 一定能构成空间的一个基底
核心知识4 空间向量运算的坐标表示
15．（2022·福建宁德·高二期末）已知 ， ， ，则 的坐标为______．
16．（2022·福建莆田·高二期末）已知向量 ，且 与 互相垂直，则k的值为
（ ）
A．－2 B．－ C． D．2
17．（2022·贵州遵义·高二期末（理））在空间直角坐标系 中，与点 关于平面 对称的点
为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·江苏淮安·高二期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，
，M为PC上一动点， ，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·江苏南通·高二期中）设 、 ，向量 ， ， 且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．（2022·四川内江·高二期末（理））已知 ， ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
21．（多选题）（2022·福建宁德·高二期末）已知 ， ， ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．
C． 为钝角 D． 在 方向上的投影向量为
22．（多选题）（2022·云南师大附中高二期中）已知空间中四点A（1，1，0），B（0，1，2），C（0，
3，2），D（－1，3，4）．下列说法中，正确的有（ ）
A． B．
C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面
23．（2022·上海虹口·高二期末）已知空间三点 ， ， 共线，则 ________，
________．
核心知识5 用空间向量研究平行、垂直问题
24．（多选题）（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（
）
A．若直线 的方向向量 ，直线 的方向向量 ，则 与 垂直
B．若直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则
C．若平面 ， 的法向量分别为 ， ，则D．若存在实数 使 则点 共面
25．（2022·北京房山·高二期末）如图，正方体 中， 是 的中点，则下列说法正确的
是（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 异面，直线 平面
D．直线 与直线 相交，直线 平面
26．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）如图，在正四棱柱 中， 是底面
的中心， 分别是 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． //
B．C． //平面
D． 平面
27．（2022·浙江·於潜中学高二期中）在如图所示的平行六面体 中，已知 ，
， ，N为 上一点，且 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
28．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体
的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线 的是（ ）
A． B．
C． D．
核心知识6 用空间向量研究异面直线所成角问题
29．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图，三棱锥 中， ， ，
， 分别是 的中点， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值
等于（ ）A． B． C． D．
30．（2022·陕西汉中·高二期末（理））正方体 中，E，F分别为 ， 的中点，则异
面直线AE与FC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
31．（2022·山东济宁·高一期末）如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形， ，E为弧
AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．2
32．（2022·山东济南·高一期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线
DM所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
核心知识7 用空间向量研究线面角问题
33．（2022·陕西渭南·高二期末（理））如图，在长方体 中， ， ，E
是线段 上的动点．
（1）求证： ；
（2）是否存在点E，使得直线AC与平面 所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明
理由．
34．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）在如图所示的几何体中， 、 、 都
是等腰直角三角形，AB=AE=DE=DC，且平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．
（1）求证： 平面BCE；
（2）求直线AB与平面EAD所成角的正弦值．
35．（2022·内蒙古通辽·高二期末（理））如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 分别
为 ， 的中点，（1）证明： 平面 ．
（2）若 平面 ， ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
36．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）如图，在四棱锥 中， ，
，底面 是菱形， 是 的中点， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
核心知识8 用空间向量研究二面角问题
37．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）如图，在四棱锥 中， 是直角三角形，
，四边形 是等腰梯形， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）若平面 平面 ，求平面 与平面 的夹角的正弦值．
38．（2022·海南·海口中学高二期末）如图，在四棱锥 中， ∥ ， ，， 为边 的中点，异面直线 与 所成的角为90°．
（1）在直线 上找一点 ，使得直线 平面PBE，并求 的值；
（2）若直线CD到平面PBE的距离为 ，求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值．
39．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）如图，在几何体 中， 平面 ， 平面
， ， ，又 ， ．
（1）求 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 的大小．
40．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．（1）求A到平面 的距离；
（2）设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
核心知识9．用空间向量研究距离问题
41．（2022·广东茂名·高二期末）已知 为平面 的一个法向量， 为 内的一点，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
42．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，
，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．
43．（2022·江苏宿迁·高二期末）如图，三棱柱 中，所有棱长都为2，且 ，平面平面 ，点P，Q分别在 上，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）当点P是边 的中点时，求点 到直线 的距离．
