文档内容
1.1 空间向量及其运算（精讲）
思维导图常见考法
考点一 概念的辨析
【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：
①若向量 共线，则 所在的直线平行；
②若向量 所在的直线是异面直线，则 一定不共面；
③若三个向量 两两共面，则 三个向量一定也共面；
④已知三个向量 ，则空间任意一个向量 总可以唯一表示为 .
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．32.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：
①若 、 共线，则 、 所在的直线平行；
②若 、 所在的直线是异面直线，则 、 一定不共面；
③若 、 、 三向量两两共面，则 、 、 三向量一定也共面；
④已知三向量 、 、 ，则空间任意一个向量 总可以唯一表示为 .
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考法二 空间向量的线性运算
【例2】（2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体 中，点 在 上，且 ， 为
中点，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化，一定要看最后是谁来表示。【一隅三反】
1．（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形 中， ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体 中，M为 与 的交点，
若 , ，则与 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则 + （ - ）等于（ ）
A． B． C． D．
考点三 空间向量的共面问题
【例3】（2020·全国高二）在下列条件中，使 与 ， ， 一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
与 ， ， 一定共面的充要条件是 ，
【一隅三反】
1．（2020·全国高二）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且 ，若P，
A，B，C四点共面，则实数t＝______．
2．（2020·全国高二）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有 ，则x＝________.
3．（2019·随州市第一中学高二期中）空间 四点共面，但任意三点不共线，若 为该平面
外一点且 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．
， ．求证：四点E，F，G，H共面
考点四 空间向量的数量积
【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，
∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
（1）求AC′的长；（如图所示）
（2）求 与 的夹角的余弦值．求两个向量的夹角有两种方法：
方法一：
(1) 结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小
(2) 先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉
方法二：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小
【一隅三反】
1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A B C D 中,向量 两两
1 1 1 1
的夹角均为60°,且| |=1,| |=2,| |=3,则| |等于( )
A．5 B．6 C．4 D．8
2．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱 的底面 为矩形， ，
， ， ，则 的长为（ ）
A． B．46 C． D．32
3．（2020·四川雨城.雅安中学高二月考（理））若空间四边形 的四个面均为等边三角形，则
的值为（ ）A． B． C． D．0
4．（2020·全国高二课时练习）. ⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形， A B、
▱
B C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线 与AC所成的角.
▱
