文档内容
1.4.2 空间向量应用（二）
思维导图常见考法
考点一 空间向量求线线角
【例1】（2020·全国高三一模（文））如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ，
， ， ， 是等腰三角形，点 是棱 的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
【一隅三反】
1．（2020·河南高二）已知在正方体 中，P为线段 上的动点，则直线 与直线
所成角余弦值的范围是（ ）
A． B． C． D．
2.三棱柱ABC－ABC 中，△ABC为等边三角形，AA⊥平面ABC，AA ＝AB，N，M分别是AB ，AC 的
1 1 1 1 1 1 1 1 1
中点，则AM与BN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．已知四棱锥SABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角
的余弦值为( )
A． B． C． D．
考点二 空间向量求线面角【例2】（2020·全国高二）如图所示， 是四棱锥 的高，四边形 为正方形，点 是线
段 的中点， .
（1）求证： ；
（2）若点 是线段 上靠近 的四等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝－β或
θ＝β－，故有sin θ＝|cos β|＝.
【一隅三反】1．（2020·浙江高三开学考试）如图，四棱锥 中， ， ， ，
， ， ．
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
2．（2020·天津河西.高三二模）在正四棱柱 中， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若 为 上的动点，使直线 与平面 所成角的正弦值是 ，求 的长.3．（2020·江苏）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，
PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
考点三 空间向量求二面角
【例3】（2020·河南高三其他（理））如图，在三棱锥 中，
．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：
①求平面的垂线的方向向量；
②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解
【一隅三反】
1．（2020·全国）如图，圆的直径 ， 为圆周上不与点 、 重合的点， 垂直于圆所在平面，
， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.2．（2020·全国）如图，已知四棱锥 中， 是平行四边形， ，平面 平
面 ， ， ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值.
3．（2020·全国）如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是直角梯形， ，
， ， 是 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；（2）若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
考点四 空间向量求距离
A B C D
【例4】（2020·全国高二课时练习）如图，棱长为1的正方体 ， 是底面 1 1 1 1的
中心，则 到平面 的距离是（ ）
A． B． C． D．
求点到平面的距离的步骤可简化为：
①求平面的法向量；
②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．
空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解
【一隅三反】
1．（2019·湖南高二期末）已知平面 的一个法向量为 ，点 在平面 内，则点到平面 的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体 中， ， ， 两两垂直，
， 与平面 所成角的正切值为 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高二课时练习）若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平
面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
