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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）-A基础练
一、选择题
1．（2020安徽省北大附宿州实验学校高二期末（理））若直线 的方向向量为 ，平面 的法
向量为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 斜交
【答案】B
【解析】∵ ， ，∴ ，即 .∴ .
2．（2020·江苏省泰州中学高二开学考）若平面 ， 的法向量分别为 ， ，
则（ ）
A． B．
C． ， 相交但不垂直 D．以上均不正确
【答案】C
【解析】 分别是平面 的法向量，
且 ，
与 不垂直， 与 不垂直.又 与 不共线， 与 不平行.
与 相交但不垂直.故选： .
3．（2020甘肃武威一中学高二期末）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，
1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定【答案】A
【解析】∵空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），
∴ =（﹣2，﹣2，2）， =（1，1，﹣1），∴ =﹣2 ，
∴直线AB与CD平行．故选：A．
2 1
4.如图所示,在正方体ABCD-A BC D 中,点E,F分别在AD,AC上,且AE= AD,AF= AC,则( )
1 1 1 1 1 1 1
3 3
A.EF至多与AD,AC之一垂直 B.EF⊥AD,EF⊥AC
1 1
C.EF与BD 相交 D.EF与BD 异面
1 1
【答案】B
【解析】建立分别以DA,DC,DD 所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则
1
1 1 2 1 1 1 1
⃗D A =(1,0,1),⃗AC=(-1,1,0),E( ,0, ) ,F( , ,0 ) ,⃗EF=( , ,- )
1 3 3 3 3 3 3 3
,∴ =0, =0,∴EF⊥AD,EF⊥AC.又 =(-1,-1,1),∴ =-3 ,即EF与BD 平行.
⃗EF·⃗DA ⃗EF·⃗AC 1 ⃗BD ⃗BD ⃗EF 1
1 1 1
5．（多选题）已知v为直线l的方向向量,n,n 分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列说法中,正确
1 2
的有 ( )
A.n ∥n α∥β B.n ⊥n α⊥β C.v∥n l∥α D.v⊥n l⊥α
1 2 1 2 1 1
【答案】⇔AB ⇔ ⇔ ⇔
【解析】∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等价于平面α,β平行(垂直),∴AB正确;直线l的方
向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α,∴CD都错误.故选AB.
6．（多选题）（2020全国高二课时练习）在菱形ABCD中,若⃗PA是平面ABCD的法向量,则以下等式中一
定成立的是( )
A.⃗PA·⃗AB=0 B.⃗PC·⃗BD=0 C.⃗PC·⃗AB=0 D.⃗PA·⃗CD=0
【答案】ABD
【解析】∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∵PC 平面PAC,
∴PC⊥BD.故ABD成立. ⊂二、填空题
7．（2020·宜昌市二中高二月考）已知直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量
，若 ，则 ______ , ______．
【答案】
【解析】 ， ，且 ， ， ，解得 ， .
8.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为 .
【答案】(-1,0,2)
【解析】由题意得⃗PA=(-x,1,-z),⃗AB=(-1,-1,-1),⃗AC=(2,0,1),由⃗PA⊥⃗AB,得⃗PA·⃗AB=x-1+z=0,
{x=-1,
由⃗PA⊥⃗AC,得⃗PA·⃗AC=-2x-z=0, 解得 故点P的坐标为(-1,0,2).
z=2.
9.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值
等于 .
【答案】2
【解析】以A为原点,建立如图所示坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),
设Q(1,x,0),P(0,0,z),⃗PQ=(1,x,-z),⃗QD=(-1,a-x,0).
由⃗PQ·⃗QD=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.当Δ=a2-4=0,即a=2时,点Q只有一个.
10．（2020山东泰安一中高二月考）如图，正四棱柱 的底面边长为4，记
， ，若 ，则此棱柱的体积为______．【答案】
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，又 ，则 ， ， ， ，
， ， ， ，即 ．
此棱柱的体积为 ．
三、解答题
11.（2020银川一中高二期中）如图所示, ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,
且CE=CA=2BD. △
求证:平面DEA⊥平面ECA.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,不妨设CA=2,
则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(√3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以⃗EA=(√3,1,-2),⃗CE=(0,0,2),⃗ED=(0,2,-1).
分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n=(x,y,z),n =(x,y,z),
1 1 1 1 2 2 2 2
则
{n
1
·⃗EA=0,
即
{√3x
1
+ y
1
-2z
1
=0,
n ·⃗CE=0, 2z =0,
1 1
解得{y
1
=-√3x
1
,{n
2
·⃗EA=0,
z =0, n ·⃗ED=0,
1 2
即{√3x + y -2z =0, 解得{x =√3 y ,
2 2 2 2 2
2y -z =0, z =2y .
2 2 2 2
不妨取n=(1,-√3,0),n=(√3,1,2),
1 2
因为n·n=0,所以n⊥n.所以平面DEA⊥平面ECA.
1 2 1 2
12.如图,已知直三棱柱ABC-ABC 中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB .
1 1 1 1
求证:(1)BC ⊥AB;
1 1
(2)BC ∥平面CA D.
1 1
【解析】如图,以C 点为原点,C A,C B,C C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
1 1 1 1 1 1
设AC=BC=BB =2,
1
则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A(2,0,0),B(0,2,0),C (0,0,0),D(1,1,2).
1 1 1(1)因为 =(0,-2,-2), =(-2,2,-2),
⃗BC ⃗AB
1 1
所以 =0-4+4=0,
⃗BC ·⃗AB
1 1
因此 ,故BC ⊥AB.
⃗BC ⊥⃗AB 1 1
1 1
(2)由于 =(2,0,-2), =(1,1,0),
⃗C A ⃗CD
1
{2x+ y=0,
{ x=1,
若设⃗BC =x⃗C A +y⃗CD,则得 y=-2, 解得
1 1 y=-2,
-2x=-2,
即 -2 ,所以 是共面向量,因此BC ∥平面CA D.
⃗BC =⃗C A ⃗CD ⃗BC ,⃗C A ,⃗CD 1 1
1 1 1 1
