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1.1 空间向量及其运算（精炼）
【题组一 概念的辨析】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中：
①若向量 共线，则向量 所在的直线平行；
②若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；
③若三个向量 两两共面，则向量 共面；
④已知空间的三个向量 ，则对于空间的任意一个向量 总存在实数x，y，z使得 .
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥 中， 两两共面，但它们不是共
面向量，故③错．根据空间向量基本定理， 需不共面，故④错．综上，选A．
2（2019·全国高二）下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 ， 的长度相等，方向相同或相反
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形 中，一定有
【答案】B
【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以
A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确.
对于C,减法结合律指的是 ,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足 的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.
综上可知,正确的为B，故选:B
3．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（理））给出下列命题：
①若空间向量 满足 ，则 ；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量 ，由 ，则 ；
④在向量的数量积运算中 .
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】对于①，空间向量 的方向不一定相同，即 不一定成立，故①错误；
对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；
对于③，取 ， ， ，满足 ，且 ，但是 ，故③
错误；对于④，因为 和 都是常数，所以 和 表示两个向量，若 和 方向不同
则 和 不相等，故④错误.故选：D.
4．（2019·长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律： ；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
请将正确的说法题号填在横线上：__________.
【答案】①③④
【解析】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有 个点，则 点共面，可知两向量共面，①正确；
②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误；
③中，空间向量加法满足结合律，③正确；④中，由向量加法的三角形法则可知④正确.
故答案为：①③④
【题组二 空间向量的线性运算】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体 中，点 分别是面对角线AB与
1
BD 的中点,若 =a, =b, =c,则 =（ ）
1 1
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据向量的线性运算
所以选D
2．（2020·全国高二）在四面体 中，点 在 上，且 ， 为 中点，则 等于
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 .故选：B
3（2020·山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形 中， ，点 在
上，且 为 中点，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由向量的加法和减法运算： .
故选：B
4．（2020·山东德州.高二期末）如图，平行六面体 中， 与 的交点为 ，设
， ， ，则下列选项中与向量 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示， ，
， ， ， ， ，
，
故选： ．5．（2020·陕西王益.高二期末（理））如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD
的中点，DE，MN交于F点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 是边 的中点， ； ；
故选： ．
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体 中，
，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
, .故选:C.
7．（2020·湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形 ，其对角线为 ， 分别是对边
的中点，点 在线段 上， ，现用基向量 表示向量 ，设
，则 的值分别是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】
， ， 故选：
8．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD－ABC D 中，已知下列各式：①( ＋ )＋ ；
1 1 1 1 1
②( ＋ )＋ ；③( ＋ )＋ ；④( ＋ )＋ .其中运算的结果为 的有
___个.
【答案】4
【解析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
①( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；
②( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；
③( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；
④( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ .
所以4个式子的运算结果都是 .
故答案为：4.
9．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，若记
， ， ，则 ______.【答案】
【解析】在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，
则
.故答案为： .
10．（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD－ABC D 中，若点F是侧面CD 的中心，且
1 1 1 1 1
则m，n的值分别为( )
A． ，－ B．－ ，－ C．－ ， D． ，
【答案】A
【解析】由于 ，所以 .故选：A
【题组三 空间向量的共面问题】
1．（2020·涟水县第一中学高二月考） 是空间四点，有以下条件：
① ； ② ；
③ ； ④ ，
能使 四点一定共面的条件是______
【答案】④【解析】对于④ ， ，由空间向量共面定理可知 四点
一定共面，①②③不满足共面定理的条件.故答案为：④
2．（2019·江苏海安高级中学高二期中（理））设空间任意一点 和不共线三点 ，且点 满足
向量关系 ，若 四点共面，则 ______．
【答案】
【解析】因为 四点共面，三点 不共线，
所以
因为 ，
因为 是任意一点，故 可不共面，所以 ，
故 .故答案为：1
3．（2020·全国高二课时练习）对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，有如下关系：
，则（ ）
A．四点 ， ， ， 必共面 B．四点 ， ， ， 必共面
C．四点 ， ， ， 必共面 D．五点 ， ， ， ， 必共面
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，根据共面向量基本定理，可得 ， ， 共面，所以， ， ， ， 四点共面．故选：B．
4．（2020·宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：
，则（ ）
A．四点O，A，B，C必共面 B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面 D．五点O，P，A，B，C必共面
【答案】B
【解析】由已知得 ，而 ， 四点 、 、 、 共面．
故选： ．
5．（2020·四川阆中中学高二月考（理）） 为空间任意一点, 三点不共线,若 =
,则 四点（ ）
A．一定不共面 B．不一定共面
C．一定共面 D．无法判断
【答案】C
【解析】因为 = ，且 ，所以 四点共面.
6．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知 、 、 三点不共线，对平面 外的任一点 ，下列条
件中能确定点 与点 、 、 一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】若 ，
故可得
即 ，
则 ，
故
整理得
又因为 共面，
故可得 共面，而其它选项不符合，
即可得 四点共面.
故选：B.
7．（2020·西夏.宁夏育才中学高二期末（理））已知 为空间任意一点，若 ，
则 四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
【解析】由若 ，当且仅当 时， 四点共面．
，而 故 四点共面，故选B
【题组四 空间向量的数量积】
1．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体 中， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
, .故选：D
2．（2020·四川遂宁.高三三模（理））如图，平行六面体 中， ， ，
， ， ，则 的长为_____．
【答案】【解析】平行六面体 中，
， ， ， ， ，
，
．
．故答案为： ．
3．（2020·全国高二课时练习）如图， 分别是四面体 的棱 的中点， 是
的三等分点．（1）用向量 ， ， 表示 和 ．
（2）若四面体 的所有棱长都等于1，求 的值．
【答案】（1） , （2） .
【解析】（1） ，
∴
（2）四面体 的所有棱长都等于1，各面为等边三角形,， ，
4.．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都等于1，
．
（1）设 ， ， ，用向量 ， ， 表示 ，并求出 的长度；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】
解：（1） ，
又 ，同理可得 ，
则 ．
（2）因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
则异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
5．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____________
【答案】
【解析】三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，设棱长为1，则 ， ，
.
又 ， ，
所以
而 ，
，
所以 .
故答案为： .
6.如图3122所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的
中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
图3122
【答案】
【解析】EF＝EA＋AF＝OA＋(AB＋AC)＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝－OA＋OB＋OC，
所以EF2＝OA2＋OB2＋OC2＋2××OA·OB＋2××OA·OC＋2××OB·OC＝2.
∴|EF|＝，即E，F间的距离为.
7.如图，已知线段AB⊥平面α，BC α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若
AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
⊂【答案】2
【解析】∵AD＝AB＋BC＋CD，
∴|AD|2＝(AB＋BC＋CD)2＝|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋2AB·BC＋2AB·CD＋2BC·CD＝12＋2(2·2·cos90°＋
2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，
∴|AD|＝2，即A，D两点间的距离为2.
