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1.3 空间向量及其坐标的运算
【题组一 空间向量的坐标运算】
1．（2020·全国高二）已知点 ，向量 ，则点 坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点 ，则向量 ，
所以 ，所以点 .故选：D
2．（2019·浙江高二学业考试）设点 ．若 ，则点B的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点B的坐标为 ，则 ，
∵ ，∴ ，解得 ，故选：C．
3．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））若 ， ， ，则
的值为（ ）
A． B．5 C．7 D．36
【答案】B
【解析】 ， .
故选：B4．（2019·包头市第四中学高二期中（理））若直线 的方向向量为 ，平面的法向量为 ，则可能使
的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】A中 ，所以排除A；B中 ，所以排除B；
C中 ，所以排除C；D中 ，所以 ，能使 .
故选D
5．（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量 ， ，以下说法错误
的有( )
A．若 ，则
B．若 ，则
C．
D．若 ，则 为单位向量
【答案】BD
【解析】对于A选项，因为 ，则 ，A选项正确；
对于B选项，若 ，且 ， ，若 ，但分式 无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知 ，C选项正确；对于D选项，若 ，则 ，此时， 不是单位向量，D选项错误.
故选：BD.
6（2020·江苏连云港 高二期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若 ＝(﹣2，1，4)， ＝(1，
﹣2，1)， ＝(4，2，0)，则（ ）
A．AP⊥AB B．AP⊥ BP C．BC＝ D．AP// BC
【答案】AC
【解析】因为 ，故A正确； ， ，故B不正确；
， ，故C正确； ， ，各个对
应分量的比例不同，故D不正确。故选:AC。
7（2020·全国高二课时练习）已知向量 .
（1）计算 和 .
（2）求 .
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】（1）因为向量
所以 ，
所以
（2） 因为 ，所以
8．（2020·吴起高级中学高二月考（理））已知空间三点 ，设.
（1） 的夹角 的余弦值；
（2）若向量 互相垂直，求实数 的值；
（3）若向量 共线，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） 或 .
【解析】（1）已知空间三点 ，
（2）若向量 互相垂直，
又 ，则
解得： 或
（3）向量 共线，又
当 时，
当 时， ，成立，当 时， ，不成立，
故： 或
【题组二 坐标运算在几何中的运用】
1．（2020·全国高二课时练习）棱长为1的正方体ABCD-A BC D 中，E，F，G分别是DD ，BD，BB 的
1 1 1 1 1 1
中点.
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求 与 所成角的余弦值；
（3）求CE的长.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz
则
所以
（1）证明：因为 ，所以 ，即EF⊥CF.
（2）因为.
（3）
2．（2019·全国高二）棱长为1的正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的
中点．
（1）求证： ；
（2）求 与 所成角的余弦值；
（3）求 的长．
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3） .
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系
则 , , , , .
所以 ,
, , .（1）证明：因为
所以
即
（2）因为
由向量夹角的求法可得
∴
（3）根据空间中两点的距离公式可得
.
3．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD-A BC D 中，E，F分别为AD，BB 的中点，则
1 1 1 1 1 1 1
____，EF=____.
【答案】
【解析】以A为原点，AB，AD，AA 分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系
1设正方体棱长为1，则
.
故答案为： ；
4．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD-ABC D 中，E，F分别为DC ，BC 的中点，若以
1 1 1 1 1 1 1 1
为基底，则向量 的坐标为___，向量 的坐标为___，向量 的坐标为___.
【答案】【解析】因为 ，所以向量 的坐标为 .
因为 ，
所以向量 的坐标为 .
因为 ，所以向量 的坐标为 .
故答案为： ； ；
【题组三 最值问题】
1．（2019·全国高一课时练习）在 平面内的直线 上求一点 ，使点 到点 的距
离最小，并求出此最小值．
【答案】点 的坐标为 时，
【解析】设 ，
则 ．
所以当 ，即点 的坐标为 时， ．
2．如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=AA=2，点G与E分别是AB 和CC 的中点，
1 1 1 1 1 1 1
点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为______________.
【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),设F(x,0,0),D(0,y,0)，
则 , ，
由于GD⊥EF，所以 ，
所以 ，
故 ，
所以当 时，线段DF长度取得最小值，且最小值为 ．
故答案为：
