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1.4.1 空间向量应用（一）
思维导图常见考法
考法一 平面的法向量
【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC
＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．
【答案】见解析
【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，∴AS＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴AD＝是平面SAB的一个法向量．
(3)在平面SCD中，DC＝，SC＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥DC，n⊥SC，所以得方程组∴
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．1.利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC
(3)列方程组：由列出方程组
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)
(6)得结论：得到平面的一个法向量
2.求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0
【一隅三反】
1．（2020年广东惠州）正方体ABCDABC D 中，E、F分别为棱AD 、AB 的中点，在如图所示的空间
1 1 1 1 1 1 1 1
直角坐标系中，求：
(1)平面BDD B 的一个法向量；
1 1
(2)平面BDEF的一个法向量．
【答案】见解析
【解析】设正方体ABCDABC D 的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．
1 1 1 1(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDD B，所以AC＝(－2,2,0)为平面BDD B 的一个法向量．
1 1 1 1
(2)DB＝(2,2,0)，DE＝(1,0,2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∴∴∴
令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.
2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥 中， 底面 ， 为正方形
的对角线，给出下列命题：
① 为平面PAD的法向量；
② 为平面PAC的法向量；
③ 为直线AB的方向向量；
④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．
其中正确命题的序号是______________
【答案】②，③，④
【解析】①因为底面 是正方形，所以 ，由 平面PAD知 不是平面PAD的法向量；
②由底面 是正方形知 ，因为 底面 ，BD 平面ABCD，所以 ，又
， 平面PAC， 平面PAC，所以 平面PAC， 为平面PAC的法向量，②
正确；
③因为底面 是正方形，所以 ，则 为直线AB的方向向量，③正确；
④易知 ，因为 底面 ， 平面ABCD，所以 ，又 ，平面PAB， 平面PAB，所以 平面PAB，故④正确.
故答案为：②，③，④
考点二 空间向量证明平行
【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直
角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．
（1）求证：PB∥平面EFG.
（2）证明平面EFG∥平面PBC
【答案】见解析
【解析】
证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所
示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
∴PB＝(2，0，－2)，FE＝(0，－1，0)，FG＝(1，1，－1)，设PB＝sFE＋tFG，
即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，
∴解得s＝t＝2，∴PB＝2FE＋2FG，
又∵FE与FG不共线，∴PB，FE与FG共面．∵PB 平面EFG，∴PB∥平面EFG.
（2）证明 ∵EF＝(0，1，0)，BC＝(0，2，0)，∴⊄BC＝2EF，∴BC∥EF.
又∵EF 平面PBC，BC 平面PBC，∴EF∥平面PBC，
同理可证⊄GF∥PC，从而⊂得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF 平面EFG，
⊂∴平面EFG∥平面PBC.
线线平行 证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
线面平行
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题
【一隅三反】
1.在正方体ABCDABC D 中，M，N分别是CC ，BC 的中点．求证：MN∥平面ABD．
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【答案】见解析
【解析】 法一 如图，以D为原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
1
系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)，MN
1
＝.设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则
1
即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面ABD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
1
又MN·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n.∴MN∥平面ABD．
1
法二 MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1，∴MN∥DA1，∴MN∥平面ABD．
1
法三 MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝DA－A1A＝－＝DB－A1B.
即MN可用A1B与DB线性表示，故MN与A1B，DB是共面向量，故MN∥平面ABD．
1
2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面 的一个法向量为 ，则直线
与平面 的位置关系为_______.
【答案】直线 在平面 上或直线 与平面 平行
【解析】由 ，所以 .又向量 为平面 的一个法向量.
所以直线 在平面 上或直线 与平面 平行.
故答案为：直线 在平面 上或直线 与平面 平行.
3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线 平面 ，且 的一个方向向量为 ，平面
的一个法向量为 ，则 ______.【答案】
【解析】由题意，知 ，∴ ，即 ，∴ .
故答案为：
考法三 空间向量证垂直
【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—ABC 的所有
1 1 1
棱长都为2，D为CC 的中点．求证：AB⊥平面ABD.
1 1 1
【答案】见解析
【解析】方法一 设平面ABD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，
1
使m＝λBA1＋μBD.令BB1＝a，BC＝b，BA＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c
＝2，以它们为空间的一个基底，
则BA1＝a＋c，BD＝a＋b，AB1＝a－c，m＝λBA1＋μBD＝a＋μb＋λc，
AB1·m＝(a－c)·＝4－2μ－4λ＝0.故AB1⊥m，结论得证．
方法二 取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC—ABC 中，平面ABC⊥平面BCC B，
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且平面ABC∩平面BCC B＝BC，AO 平面ABC，所以AO⊥平面BCC B.
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取BC 的中点O，以O为原点，分别⊂以OB，OO ，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
1 1 1 1
如图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A(0，2，)，A(0，0，)，B(1，2，0)．
1 1
设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，BA1＝(－1，2，)，BD＝(－2，1，0)．
1
因为n⊥BA1，n⊥BD，故即
令x＝1，则y＝2，z＝－，故n＝(1，2，－)为平面ABD的一个法向量，
1
而AB1＝(1，2，－)，所以AB1＝n，所以AB1∥n，故AB⊥平面ABD.
1 1（1）利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线的方向向量，由向量数量积为0即可得证
（2）利用空间向量法证明线面垂直的方法有两种：
①利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量
垂直；
②求出平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行
（3）利用空间向量法证明面面垂直有两种方法：
①证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；②证明两平面的法向量垂直
【一隅三反】
1．（2018·浙江高三其他）已知平面 的法向量为 ， ，则直线 与平面
的位置关系为（ ）
A． B． C． 与 相交但不垂直 D．
【答案】A
【解析】 .
本题选择A选项.
2．（2020·安徽池州。高二期末（理））已知平面 的法向量为 ，若直线 平面 ，则直线l
的方向向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】因为直线 平面 ，故直线l的方向向量与平面 的法向量平行，
因为 ,故选：B.
3．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）四棱锥 中，底面 是平行四边形，
， ， ，则直线 与底面 的关系是( )
A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角
【答案】B
【解析】依题意 ，而 ，所以
，而 ，所以 平面 .故选：B
4．（2020·江苏省邗江中学高一期中）如图，在正方体 中， 分别是 的中
点，试用空间向量知识解决下列问题
（1）求证： （2）求证 平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）如图所示：以 为 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为 ，
则 ， ， ， ， ，
故 ， ，故 ，故 .（2） ，故 ，故 ，
又 ， ，故 平面 .
5．（2019·九台市第四中学高二期末（理））如图， 平面 ，四边形 是矩形，
，点 是 的中点，点 在边 上移动.
（1）当点 为 的中点时，试判断 与平面 的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有 .
【答案】（1） 平面 ，理由见解析.（2）证明见解析
【解析】（1） 是 的中点， 是 的中点，.又 平面 . 平面 ，
平面 .
（2）以 为原点， 所在的直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设 ，则
在 上，
设 ，
， ，
， .
无论点 在边 的何处，都有 .
