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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）-A基础练
一、选择题
1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l,l 的方向向量,若l∥l,则( )
1 2 1 2
15 15
A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y=
2 2
【答案】D
3 x y 15
【解析】由题意,有a∥b,则 = = ,得x=6,y= .
2 4 5 2
2.设a=(3,-2,-1)是直线l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,则( )
A.l⊥α B.l∥α C.l∥α或l α D.l⊥α或l α
【答案】C ⊂ ⊂
【解析】∵a·n=0,∴a⊥n,可知l∥α或l α.
3.设α,β是不重合的两个平面,α,β的法⊂向量分别为n,n,l和m是不重合的两条直线,l,m的方向向量分别为
1 2
e,e,那么α∥β的一个充分条件是( )
1 2
A.l α,m β,且e⊥n,e⊥n B.l α,m β,且e∥e
1 1 2 2 1 2
C.e⊂∥n,⊂e∥n,且e∥e D.e⊂⊥n⊂,e⊥n,且e∥e
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
【答案】C
【解析】对于C,有n∥n,则α∥β.故选C.
1 2
√2a
4.在正方体ABCD-A BC D 中,棱长为a,M,N分别为AB和AC上的点,AM=AN= ,则MN与平面BBC C
1 1 1 1 1 1 1 1
3
的位置关系是( )
A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,由图可知平面BBC C的法向量n=(0,1,0).
1 1
√2a ( 2a a) (2a 2a ) ( a 2a)
∵AM=AN= ,∴M a, , ,N , ,a ,∴⃗MN= - ,0, .∵⃗MN·n=0,∴MN∥ 平 面
1 3 3 3 3 3 3 3
BBC C.
1 15．（多选题）若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是( )
A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)
【答案】ABC
【解析】若 l∥α,则需 m⊥n,即 m·n=0,根据选择项验证可知:A 中,m·n=-2;B 中,m·n=6;C 中,m·n=-1;D
中,m·n=0,故选A,B,C.
6．（多选题）（2020全国高二课时练习）在如图所示的坐标系中, 为正方体,则下列结
论中正确的是( )
A.直线 的一个方向向量为(0,0,1); B.直线 的一个方向向量为(0,1,1);
C.平面 的一个法向量为(0,1,0); D.平面 的一个法向量为(1,1,1).
【答案】ABC
【解析】 DD ∥AA, =(0,0,1)，故A正确；BC ∥AD, =(0,1,1), 故B正确；直线AD⊥平面
1 1 1 1
ABBA, =(0,1,0). 故C正确；点C 的坐标为(1,1,1), 与平面BCD不垂直,故D错.
1 1 1 1
二、填空题
7.已知直线 l∥平面 ABC,且 l 的一个方向向量为 a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数 m 的值是
.
【答案】-3
【解析】∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x⃗AB+y⃗AC,⃗AB=(1,0,-1),⃗AC=(0,1,-1),
{
2=x,
∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴ m= y, ∴m=-3.
1=-x- y,
( 1)
8.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v= -1,y, ,已知α∥β,则x+y= .
215
【答案】
4
x = 1 = -2 { x=4, 15
【解析】因为α∥β,所以u∥v.则-1 y 1 ,即 1 故x+y= .
y=- , 4
2 4
9．（2020广西壮族自治区高二月考）在平面 中， ， ， ，若
，且 为平面 的法向量，则 _______， .
【答案】1；0
【解析】 ， ，与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，向
量 =（﹣1，y，z），且 为平面ABC的法向量，则 ⊥ 且 ⊥ ，即 • =0，且 • =0，
即﹣1+y+0=0且1﹣y﹣2z=0，即 .
10.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),平面ABC的单位法向量为 ..
15
【答案】
4
【 解 析 】 ⃗AB=(4,2,-2),⃗AC=(2,4,-2), 设 n=(x,y,z) 是 平 面 ABC 的 单 位 法 向 量 , 则 有
{|n|2=1, {x2+ y2+z2=1,
取 z>0, 得 x=y= 1 ,z= 3 . 故 平 面 ABC 的 单 位 法 向 量 为 n=
n·⃗AB=0,⇒ 2x+ y-z=0,
√11 √11
n·⃗AC=0 x+2y-z=0.
(√11 √11 3√11).
, ,
11 11 11
三、解答题
11．在棱长为1的正方体ABCD-A BC D 中,求平面ACD 的一个法向量n.
1 1 1 1 1【答案】见解析
【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1).
1
设平面ACD 的法向量n=(x,y,z).
1
∵ =(-1,1,0), =(-1,0,1),又∵n为平面ACD 的一个法向量,
⃗AC ⃗AD 1
1
∴{n·⃗AC=0, ∴{(x,y,z)·(-1,1,0)=0, 化简,得{x= y,
n·⃗AD =0, (x,y,z)·(-1,0,1)=0, x=z.
1
令x=1,得y=z=1.
∴平面ACD 的一个法向量n=(1,1,1).
1
12.（2020银川一中高二期中）在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使
BD∥AC,DC∥AB.
【答案】见解析
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).
由BD∥AC,DC∥AB ⃗BD∥⃗AC,⃗DC∥⃗AB,
{(x,y-1,z)
⇒
=k (-1,0,2),
{x=-1,
因此 1 ⇒ y=1,
(-x,- y,2-z)=k (-1,1,0),
2 z=2.
即点D的坐标为(-1,1,2).
