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1.4.2 空间向量应用（二）
思维导图常见考法
考点一 空间向量求线线角
【例1】（2020·全国高三一模（文））如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ，
， ， ， 是等腰三角形，点 是棱 的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ， 两两垂直，
以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系.又因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
因为 是棱 的中点，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，故选：B.
向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值
【一隅三反】
1．（2020·河南高二）已知在正方体 中，P为线段 上的动点，则直线 与直线
所成角余弦值的范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方体 的棱长为1，如图所示，以 所在直线分别为x轴，y轴，
z轴建立空间直角坐标系，则有 ．
设 ，则 ， ，
所以 ．
又因为 ，所以 ．
故选：A．
2.三棱柱ABC－ABC 中，△ABC为等边三角形，AA⊥平面ABC，AA ＝AB，N，M分别是AB ，AC 的
1 1 1 1 1 1 1 1 1
中点，则AM与BN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】 C【解析】如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立
空间直角坐标系，不妨设AC＝2，则A(0，－1，0)，M(0，0，2)，
B(－，0，0)，N，
所以AM＝(0，1，2)，
BN＝，
所以cos〈AM，BN〉＝＝＝，故选C.
3．已知四棱锥SABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角
的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥SABCD的棱长为，
则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)，∴E点坐标为，
AE＝，SD＝(－1,0，－1)，∴cos〈AE，SD〉＝＝－，
故异面直线所成角的余弦值为.故选C
考点二 空间向量求线面角
【例2】（2020·全国高二）如图所示， 是四棱锥 的高，四边形 为正方形，点 是线
段 的中点， .（1）求证： ；
（2）若点 是线段 上靠近 的四等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）因为 ， ，所以 .
因为 为正方形，所以 ，
又因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，故 ，而 为线段 的中点，
所以 ，
又因为 ，所以 .
而 ，故 ；
（2）因为 ， ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴，
轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设正方形 的边长为2，则 ，
， ， ， ，∴ ， ，
设 为平面 的法向量，则
所以 取 ，则 ，而 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为
若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝－β或
θ＝β－，故有sin θ＝|cos β|＝.
【一隅三反】
1．（2020·浙江高三开学考试）如图，四棱锥 中， ， ， ，
， ， ．（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）如下图所示，取 的中点 ，连接 .
， ， 为 的中点，则 ， ，
又 ，可得 ， 四边形 为平行四边形， ，
且 ， ，
， ， ，则 ， ，
， ， 平面 ，
平面 ，因此， ；（2）以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
则点 、 、 、 ，
所以， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，可得 ，
令 ，可得 ， ，则 ，
.
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
2．（2020·天津河西.高三二模）在正四棱柱 中， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 ；
（3）若 为 上的动点，使直线 与平面 所成角的正弦值是 ，求 的长.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【解析】如图建立空间直角坐标系 ，
(0，0，0)， (1，0，0)， (1，1，0)， (0，1，0)， (1，0，2)， (1，1，2)， (0，1，2)，
(0，0，2)， (0，1，1)
（1）证明：设平面 的法向量 ( ， ， )，
(1，1，0)， (0，1，1)
由 ，即 ，
取 ，得 (1，-1，1)，
又 (-1，1，2)，
因为 ，所以 ，所以 平面 .
（2）证明：由（1）可知 (1，-1，1)， (-1，1，-1)， ，所以 ，
所以 平面 .（3）设点 的坐标为(1，1， )， (0，1， )，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
解得 ，所以点 的坐标为(1，1，1)， (1，1，1)， ，
所以 的长为 .
3．（2020·江苏）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，
PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，
A(2，0，0)，D(1，1，0)，E( ， ， )，P(1，1，3)，
设直线CE与直线PA夹角为 ，则整理得 ；
直线CE与直线PA夹角的余弦值 ；
(2)设直线PC与平面DEC夹角为 ，
设平面DEC的法向量为 ，
因为 ，
所以有
取 ，解得 ， ，
即面DEC的一个法向量为 ， ，
.
直线PC与平面DEC夹角的正弦值为 .考点三 空间向量求二面角
【例3】（2020·河南高三其他（理））如图，在三棱锥 中，
．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1） ，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
又 平面 ，
．
在 中， ，
，，即 ．
又 平面 平面 ，
平面 ．
（2）据（1）求解知， 两两互相垂直．
以 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，
则 ，
．
设平面 的一个法向量 ，则
令 ，则 ，
．
又平面 的一个法向量 ，
．又分析知二面角 的平面角为锐角，
二面角 的余弦值为 ．
利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：
①求平面的垂线的方向向量；
②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解
【一隅三反】
1．（2020·全国）如图，圆的直径 ， 为圆周上不与点 、 重合的点， 垂直于圆所在平面，
， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）如图，连接 ，因为 平面 ，所以 .
又因为 在圆周上， 为圆的直径，所以 ， .故 平面 .
（2）因为 ，直径 ， ，所以 ， ，
由（1）得 ， ， ，
垂直于圆所在的平面，所以 .
因为 ，以点 为坐标原点，以 、 为 、 轴建立如图空间直角坐标系，则
、 、 、 ，
， ，
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
取 ，得 .
同理可求得平面 的一个法向量 .
设 与 的夹角为 ，故 ，
又由图知 为锐二面角，二面角 的余弦值为 .
2．（2020·全国）如图，已知四棱锥 中， 是平行四边形， ，平面 平面 ， ， ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
所以 ， ，
又因为 ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 平面 .
所以以 为原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过点 和平面 垂直的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 轴在平面 内.令 ，又 ， ，
所以 ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 所以
令 ，则 ， ，所以 .又 平面 ，所以 是平面 的一个法向量.
所以 .
所以二面角 的余弦值为 .
3．（2020·全国）如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是直角梯形， ，
， ， 是 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 .因为 ，
所以 ，所以 ，
故 .又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .（2）如图，以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设
， ，则 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
易知 为平面 的一个法向量.
设 为平面 的一个法向量，
由 ，即 ∴ ，
取 ，则 ， .
依题意， ，解得 .
于是， ， .
则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .【点睛】
本题考查证明面面垂直，考查用空间向量法求二面角，直线与平面所成的角，证明垂直常用相应的判定定
理或性质定理，求空间角常用空间向量法．
考点四 空间向量求距离
A B C D
【例4】（2020·全国高二课时练习）如图，棱长为1的正方体 ， 是底面 1 1 1 1的
中心，则 到平面 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图建立空间直角坐标系，则：由于 平面 平面
，又 ，
平面
故平面 的一个法向量为：
到平面 的距离为：
故选：B
求点到平面的距离的步骤可简化为：
①求平面的法向量；
②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．
空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解
【一隅三反】
1．（2019·湖南高二期末）已知平面 的一个法向量为 ，点 在平面 内，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A【解析】由题意 ，则 ，故选：A
2．（2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体 中， ， ， 两两垂直，
， 与平面 所成角的正切值为 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ， ， ， ， ， .
， ， .
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ， ，
故 .
因为直线 与平面 所成角的正切值为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
即 ，解得 .
所以平面 的法向量 ，
故 到平面 的距离为 .
故选：D
3．（2020·全国高二课时练习）若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平
面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1). .
设平面ABC的一个法向量为 ，由 得： .
令 ，则 .则平面ABC的一个法向量为 .所以点P到平面ABC的距离.故选： .
