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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）-B提高练
一、选择题
1．（2020乐清市知临中学高二期末）已知平面α的一个法向量是 ， ，则下列向量可作为
平面β的一个法向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】平面α的一个法向量是 ， ，设平面 的法向量为 ，则
，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.
2．（2020三明三中高二期末（理））如图，在正方体ABCD 中，以D为原点建立空间直角坐
标系，E为B 的中点，F为 的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2，4) B．(－4,1，－2)
C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)
【答案】B
【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），
∴ =（0，2，1）， =（﹣1，0，2）,设向量 =（x，y，z）是平面AEF的一个法向量
则 ，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2,∴ =（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量,因
此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量,故选：B．
3．（2020北京高二期末）已知直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则“ ”是“ ∥ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 , , ,即 ,不一定有 ∥ ,也可能
“ ”是“ ∥ ”的不充分条件, ∥ ,可以推出 , “ ”是“ ∥ ”是必要条
件,综上所述, “ ”是“ ∥ ”必要不充分条件.故选:B.
4．（2020浙江高二月考）如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱
的中点，P是侧面 内一点，若 平行于平面 ，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
， ，设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
设 ，则 ，∵ 平行于平面 ，∴
，整理得 ，∴线段 长度
，当且仅当 时，线
段 长度取最小值 .故选：B.
5.（多选题）（2020怀仁市一中高二期末）已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量 ，平面 过
直线l与点M(1,2,3)，则平面 的法向量可能是（ ）
A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)
【答案】ABC
【解析】由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量 ，和向量 ，
而 =（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A，（2，1，1） （1，-4，2）=0，（0，2，4）
（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；选项B，（2，1，1） （ ，-1， ）=0，（0，2，4） （
，-1， ）=0满足垂直，故正确；选项C，（2，1，1） （- ，1，− ）=0，（0，2，4） （- ，
1，− ）=0满足垂直，故正确；选项D，（2，1，1） （0，-1，1）=0，但（0，2，4） （0，-1，1）≠0，故错误．
6．（多选题）（2020·河北省盐山中学高一期末）若长方体 的底面是边长为2的正方形，
高为4， 是 的中点，则（ ）
A． B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为 D．三棱锥 的外接球的表面积为
【答案】CD
【解析】
以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ， ， ，所以 ， ，因为
，所以 与 不垂直，故A错误； ， ,设
平面 的一个法向量为 ，则由 ，得 ，所以 ，不妨取 ，则 ， 所以 ，同理可得设平面 的一个法向量为 ，故不
存在实数 使得 ，故平面 与平面 不平行，故B错误；在长方体 中，
平面 ，故 是三棱锥 的高，所以
，故C正确；三棱锥 的外接球即为
长方体 的外接球，故外接球的半径 ，所以三棱锥
的外接球的表面积 ，故D正确.故选：CD.
二、填空题
7．给出下列命题：①若 为共面向量，则 所在的直线平行；②若向量 所在直线是异面直线，则
一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于这个平面
的法向量．其中正确命题的个数为________.
8.（2020上海市青浦区第一中学高二期中）若平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向
量为 ，且 ，则 ________， ________．
【答案】1,
【解析】∵α∥β，∴ ∥ ，∴存在实数λ使得 =λ ，即（﹣3，y，2）=λ（6，﹣2，z），
∴ ，解得λ=﹣ ，y=1，z=﹣4．
9.在空间直角坐标系中，已知三点 ， ， ，若向量 与平面 垂直，且 ，则 的坐标为________．
【答案】 或
【解析】由A ， ， ，可得 ，
设 ，根据题意可得 ，可得 ，解得 或 .
所以 或 .
10.如图,在长方体ABCD-A BC D 中,AA=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA 上,且DP∥平面BAE,则AP的
1 1 1 1 1 1 1
长为 .
1
【答案】 .
2
【解析】如图,建立分别以AB,AD,AA 所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系.
1
设 AB=a,P(0,0,b),则 A(0,0,0),B(a,0,1),D(0,1,0),E (a ,1,0 ) .于是⃗AB =(a,0,1), ⃗AE= (a ,1,0 ) , ⃗DP=(0,-
1 2 1 2
1,b).
(a ) ( μa )
∵DP∥平面BAE,∴存在实数λ,μ,使⃗DP=λ⃗AB +μ⃗AE,即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μ ,1,0 = λa+ ,μ,λ .
1 1 2 2μa
{ λa+ =0,
2 1 1
∴ ∴b=λ= ,即AP= .
μ=-1, 2 2
λ=b,
三、解答题
11.已知M为长方体ABCD-A BC D 的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A BC D 的面CC DD内,且PM∥
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面BBDD,试探讨点P的确切位置.
1 1
【解析】以D为坐标原点,以DA,DC,DD 所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
1
(1 )
根据题意可设A(a,0,0),B(a,b,0),D(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),则M a,b,0 .
1 2
又PM∥平面BBDD,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得 =m +n ,
1 1 ⃗PM ⃗DB ⃗DD
1
1
1 { m= ,
{ a=ma, 2
(1 ) 2
即 a,b- y,-z =(ma,mb,nc),即 解得 1
2 b- y=mb, y= b,
2
-z=nc,
z=-nc,n∈R,
( b )
则点P的坐标为 0, ,-nc .
2
所以点P在平面DCC D 的边DC的垂直平分线EF上.
1 1
12．（2020·银川一中中学高二月考）已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,
求证:平面DEF∥平面ABC.
【解析】如图,
设⃗PD=a,⃗PE=b,⃗PF=c,则⃗PA=2a,⃗PB=2b,⃗PC=2c,
所以⃗DE=b-a,⃗DF=c-a,⃗AB=2b-2a,⃗AC=2c-2a,对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),
使e=x⃗AB+y⃗AC=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x⃗DE+2y⃗DF,
因此e与⃗DE,⃗DF共面,即e∥平面DEF,又l 平面DEF,
所以l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC⊄∥平面DEF.
