文档内容
1.2 空间向量的基本定理
【题组一 基底的判断】
1．（2020·山东微山县第二中学高二月考）已知 ， ， 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一
组向量是（ ）
A．2 ， ﹣ ， +2 B．2 ， ﹣ ， +2
C． ，2 ， ﹣ D． ， + ， ﹣
【答案】C
【解析】对于A，因为2 = （ ﹣ ）+ （ +2 ），得2 、 ﹣ 、 +2 三个向量共面，故它
们不能构成一个基底，A不正确；
对于B，因为2 = （ ﹣ ）+ （ +2 ），得2 、 ﹣ 、 +2 三个向量共面，故它们不能构
成一个基底，B不正确；
对于C，因为找不到实数λ、μ，使 =λ•2 +μ（ ﹣ ）成立，故 、2 、 ﹣ 三个向量不共面，
它们能构成一个基底，C正确；
对于D，因为 = （ + ）﹣ （ ﹣ ），得 、 + 、 ﹣ 三个向量共面，故它们不能构成一个
基底，D不正确
故选：C．
2．（2018·安徽六安一中高二期末（理））已知点 为空间不共面的四点，且向量
，向量 ，则与 ， 不能构成空间基底的向量是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C【解析】
∵ ，
即 与 ， 共面，
∴ 与 ， 不能构成空间基底；
故选C.
3．已知 是空间向量的一个基底，则与向量 + ， - 可构成空间向量基底的是( )
A． B．
C． +2 D． +2
【答案】D
【解析】由题意，向量 都有向量 为共面向量，因此A、B、C都不符合题
意，只有向量 与向量 属于不共面向量，所以可以构成一个空间的基底，故选
D.
4．（2020·南昌市八一中学高二期末（理）） 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空
间向量的基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为 ，所以 共面，不能构成基底，排除A，
对于B，因为 ，所以 共面，不能构成基底，排除B，对于D， ，所以 共面，不能构成基底，排除D，
对于C，若 共面，则 ，则 共面，与
为空间向量的一组基底相矛盾，故 可以构成空间向量的一组基底，
故选：C
5．（2018·江西南昌二中高二期中（理））若 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空
间向量的基底的一组向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 共面，故不能作为基底，故错误；
共面，故不能作为基底，故错误； 不共面，故可
以作为基底，故正确； 共面，故不能作为基底，故
错误，故选C.
【题组二 基底的运用】
1．（2020·天水市第一中学高二月考（理））如图，平行六面体 中， 与 交于点
，设 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ，
∴ ，故选D．
2．（2020·全国高一课时练习）若 是空间的一个基底， ， ，
， ， ，则 ， ， 的值分别为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ，1，
【答案】A
【解析】
，
由空间向量基本定理，得 ∴ ， ， .
3（2020·山东沂.高二期末）如图所示， ， 分别是四面体 的边 ， 的中点， 是 靠
近 的三等分点，且 ，则 __．【答案】
【解析】因为 ， 分别是四面体 的边 ， 的中点， 是 靠近 的三等分点，
所以 ，
，
，
，
所以 ， ， ，
，
故答案为： ．
4．（2019·江苏鼓楼.南京师大附中高二期中）在正方体 中，点O是 的中点，且
，则 的值为________.
【答案】【解析】在正方体中得 ，
又因为 所以 所以 .故答案为：
【题组三 基本定理的运用】
1．已知 ， ， 三点不共线，对平面 外的任一点 ，若点 满足 ．
（1）判断 ， ， 三个向量是否共面；
（2）判断点 是否在平面 内．
【答案】（1） 共面 （2）点 在平面 内．
【解析】
（1）如图， 为 的重心）
为 的三等分点）
设 中点为 ，
则
可知 在 上，且 为 的重心
故知 共面
（2）由（1）知 共面且过同一点 .
所以 四点共面，从而点 在平面 内．2．已知直三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所
成角的余弦值为________．
【答案】
【解析】如图所示,将直三棱柱 补成直四棱柱 ,
连接 ,则 ,所以 或其补角为异面直线AB 与BC 所成的角．
1 1
因为 ,
所以 , .
在 中, ,
所以
所以
故答案为:
3．如图所示，在平行四边形 中， ， ，将它沿对角线 折起，使
与 成 角，求点 与点 之间的距离．【答案】 或
∴
，
∴ 或 ，故点 与点 之间的距离为 或 ．
4.已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，
G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
【答案】见解析
【解析】连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则|a|＝|b|＝|c|.
又OG＝(OM＋ON)＝＝(a＋b＋c)，BC＝c－b.
∴OG·BC＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝
0.∴OG⊥BC，即OG⊥BC．
