文档内容
1.2 空间向量的基本定理
思维导图
常见考法
考点一 基底的判断
【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体 中，可以作为空间向量的一组基底的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】: 共面，排除A 共面，排除B 共面，排除D
三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C
空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底 中基向量与基底 基向量对应相等
【答案】C
【解析】 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以 错.
项，空间基底有无数个, 所以 错. 项中因为基底不唯一，所以 错.故选 .
2．（2018·全国高二课时练习）设向量 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.
选项D中， ，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个
基底.选项C中 不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.
3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{⃑a,⃑b,⃑c}构成空间的一组基底，则( )
A．⃑b+⃑c,⃑b-⃑c,⃑a 不共面 B．⃑b+⃑c,⃑b-⃑c,2⃑b 不共面
❑ ❑
C．⃑b+⃑c,⃑a,⃑a+⃑b+⃑c 不共面 D．⃑a+⃑c,⃑a-2⃑c,⃑c 不共面
❑ ❑
【答案】A
【解析】∵2⃑b =(⃑b+⃑c)+(⃑b-⃑c)，∴⃑b+⃑c,⃑b-⃑c,2⃑b 共面
❑ ❑
∵⃑a+⃑b+⃑c =(⃑b+⃑c)+⃑a，∴⃑b+⃑c,⃑a,⃑a+⃑b+⃑c 共面
❑ ❑
∵⃑a+⃑c=(⃑a-2⃑c)+3⃑c ，∴⃑a+⃑c,⃑a-2⃑c,⃑c 共面故选A
❑ ❑
考点二 基底的运用
【例2】（2019·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体 中， 为 的中点，
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 为 的中点，
．
故选： ．
【一隅三反】
1．（2019·甘肃靖远。高二期末（理））如图，在三棱锥 中，点 ， ， 分别是 ， ，
的中点，设 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】连接分别为 中点
故选：
2．（2019·中央民族大学附属中学高二月考）在平行六面体ABCD－ 中，用向量
来表示向量 （ ）
A．
B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为 ， 故选B
3．（2020·江西吉安。高二期末（理））在四面体 中，空间的一点 满足
，若 共面，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 共面知， 故选：
考点三 基本定理的运用
【例3】2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））如图，在平行六面体 中，以顶点 为
端点的三条棱长都是 ，且它们彼此的夹角都是 ， 为 与 的交点.若 ， ，
，
（1）用 表示 ；
（2）求对角线 的长；（3）求
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）连接 , ， ，如图：
， ，
在 ，根据向量减法法则可得：
底面 是平行四边形
且
又 为线段 中点
在 中
（2） 顶点 为端点的三条棱长都是 ，且它们彼此的夹角都是由（1）可知
平行四边形 中
故：
故：对角线 的长为： .
（3） ，
又
【一隅三反】
1．（2019·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，
侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于 ， 是PC的中点，设 ．
（1）试用 表示出向量 ；
（2）求 的长．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵ 是PC的中点，
∴
（2）
.
2．（2017·陕西新城。西安中学高二期中（理））如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都等于1， ．
（1）设 ， ， ，用向量 ， ， 表示 ，并求出 的长度；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】（1）
，同理可得 ，
．
（2）因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
3．（2020·安徽宿州.高二期末（理））已知平行六面体 的底面是边长为1的菱形，且， .
（1）证明： ；
（2）求异面直线 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】设 ， ，
由题可知： 两两之间的夹角均为 ，且 ，
（1）由
所以 即证.
（2）由 ，又
所以 ，
又
则又异面直线夹角范围为
所以异面直线 夹角的余弦值为 .
