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专题 02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：求直线方程......................................................................2
题型二：求离心率..........................................................................3
题型三：求弦中点的轨迹方程.......................................................4
题型四：求曲线方程......................................................................6
题型五：处理存在性问题...............................................................7
题型六：确定参数的取值范围.......................................................9
题型七：定值问题........................................................................11
三、专项训练.....................................................................................13
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后
根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
x +x y +y
中点M(x ,y ) ， x 0 = 1 2 2 ， y 0 = 1 2 2
0 0
2、点差法
x y
2 2
设直线和曲线的两个交点 ， ，代入椭圆方程，得 1 + 1 =1；
A(x
1
,y
1
) B(x
2
,y
2
) a2 b2
学科网（北京）股份有限公司x y
2 2
2 + 2 =1；
a2 b2
x
2
−x
2
y
2
−y
2 (x +x )(x −x ) (y +y )(y −y )
将两式相减，可得 1 2 + 1 2 =0； 1 2 1 2 =− 1 2 1 2 ；
a2 b2 a2 b2
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
最后整理得：1=− 1 2 1 2 1=−k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1= 1 2 1 2 1=k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
设直线和曲线的两个交点A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，代入抛物线方程，得 y 1 2 =2px 1；
y =2px
2 2；
2
y −y 2p
1 2
将两式相减，可得 ；整理得： =
(y −y )(y +y )=2p(x −x ) x −x y +y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两
点， 为坐标原点，以 ， 为邻边作平行四边形 ，点 恰好在 上．若线段
的中点 在直线 上，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆 （ ，
， ）被直线方程 截得的弦的中点横坐标为 ，则椭圆的标准方程
为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为 ，其右焦点为
，过点 的直线交椭圆与 ， 两点．若 的中点坐标为 ，则椭圆的方程
为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线 与双曲线 交于 、 两点，若弦 的
中点为 ，则直线 的方程为 .
5．（2024高三·全国·专题练习）以 为中点的双曲线 的弦所在直线的方程
为 .
6．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线交抛
物线 于 两点，若 为 的中点，则直线 的方程为 .
题型二：求离心率
1．（2023高三·全国·专题练习）设 是椭圆 上不关于坐标轴对称
的两点， 是线段 的中点， 是坐标原点，若直线 与直线 的斜率之积为 ，
则椭圆 的离心率为 .
2．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率为 的直线与椭圆 交于A，B
两点， 为线段 的中点，则椭圆的离心率为 ．
3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线 与椭圆 相
交于 两点，且线段 的中点在直线 上，则此椭圆的离心率为 ．
4．（2024·福建厦门·二模）不与x轴重合的直线l过点N（ ,0）（xN≠0），双曲线C：
（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为 ．若
，则C的离心率为 ．
5．（23-24高三·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分
学科网（北京）股份有限公司别为 ， ，过 作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的
中点，若 ，则双曲线的离心率为 ．
6．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知F，F 分别为双曲线C:
1 2
的左右焦点，过点F 且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交
1
于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为 ，若 ，
则双曲线的离心率
题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2024高三下·全国·专题练习）求证：椭圆 中斜率为 的平行弦的中点轨迹必
过椭圆中心.
2．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆方程为 ，过点 的直线 交椭圆于
点A、B，O是坐标原点，点P满足 ，当l绕点M旋转时，求动点P的轨
迹方程．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线 上一动点 到两定点 ， 的距离
学科网（北京）股份有限公司之和为 ，过点 的直线 与曲线 相交于点 ， ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动弦 满足： ，求点 的轨迹方程；
4．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆 ．
(1)过椭圆的左焦点 引椭圆的割线，求截得的弦的中点 的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点 的轨迹方程；
5．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）已知曲线 上一动点 到两定点 ，
的距离之和为 ，过点 的直线 与曲线 相交于点 ，
．
(1)求曲线 的方程；
(2)动弦 满足： ，求点 的轨迹方程；
学科网（北京）股份有限公司6．（2024高三下·全国·专题练习）已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上且
位于 轴的两侧， （其中 为坐标原点）.直线 在绕着定点转动的过程中，
求弦 中点 的轨迹方程.
7．（23-24高二上·全国·课前预习）已知抛物线 ，过点 作一条直线交抛物线
于 ， 两点，试求弦 的中点轨迹方程.
题型四：求曲线方程
1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为 ，
过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若 的中点为 ，则椭圆C的方程为
（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高三上·天津西青·阶段练习）已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦
点，过 的直线 与 相交于 ， 两点，且 的中点为 ，则 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，
直线 与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024 高三下·江苏·专题练习）已知 O 为坐标原点，点 在椭圆 C：
上，直线l： 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直
线OM的斜率为 ，则C的方程为 .
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆 与直线 交于 两
点，且线段 的中点为 ，则椭圆 的方程为 .
6．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线 的焦点为 ，第一象限的 、 两
点在抛物线上，且满足 ， .若线段 中点的纵坐标为4，则抛物线
的方程为 .
学科网（北京）股份有限公司题型五：处理存在性问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 ，直线 不过原点 且不平行
于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 中点为 .
（1）若 ，点 在椭圆 上， 分别为椭圆的两个焦点，求 的取值范
围；
（2）若 过点 ，射线 与椭圆 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若
能，求出此时直线 的斜率；若不能，请说明理由.
2．（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知椭圆 ： 的左、右焦点为
， ，点 在椭圆 上，且 面积的最大值为 ，周长为6.
（1）求椭圆 的方程，并求椭圆 的离心率；
（2）已知直线 ： 与椭圆 交于不同的两点 ，若在 轴上存在点
学科网（北京）股份有限公司，使得 与 中点的连线与直线 垂直，求实数 的取值范围
3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线 .
(1)若离心率为 ，求b的值， 的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若 ，是否存在被点 平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存
在，请说明理由．
4．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线M与椭圆 有相同的焦
点，且M与圆 相切．
(1)求M的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为 ？若存在，求l
学科网（北京）股份有限公司的斜率；若不存在，请说明理由.
题型六：确定参数的取值范围
1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）设圆 与两圆 中的
一个内切，另一个外切．
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)已知直线 与轨迹 交于不同的两点 ，且线段 的中点在圆
上，求实数 的值．
2．（23-24高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆 ：
内切，且与圆 ： 外切，记动圆P的圆心轨迹为
学科网（北京）股份有限公司E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)若直线l： 与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段
MN的垂直平分线过定点 ，求k的取值范围．
3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，点
在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线 与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线
过点M，且与直线l垂直.记直线 与y轴的交点为N，求 的取值范围.
4．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点
学科网（北京）股份有限公司为 ．
（ ）求双曲线 的方程；
（ ）若直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，且线段 的垂
直平分线过点 ，求实数 的取值范围．
题型七：定值问题
1．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆 的一个顶点为
，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在实数m，使直线 与椭圆有两个不同的交点M、N，并使
，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高二上·辽宁盘锦·期中）已知椭圆 的焦距为4，且离心
率为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线 与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点P在圆
上，求m的值．
3．（2024·云南·模拟预测）设圆 与两圆 中的一个内
切，另一个外切.
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)已知直线 与轨迹 交于不同的两点 ，且线段 的中点在圆
上，求实数 的值.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B，B在第一象
限， .
（1）求点B的坐标；
（2）若直线 与双曲线 相交于E,F两点，且线段EF的中点坐标为
，求a的值.
学科网（北京）股份有限公司5．（2024·全国·模拟预测）已知长为 的线段 的中点为原点 ，圆 经过 两点
且与直线 相切，圆心 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 且互相垂直的直线 分别与曲线 交于点 和点 ，且
，四边形 的面积为 ，求实数 的值.
三、专项训练
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆 的右焦点为 ，
过点 的直线交椭圆 于 两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆 ， 是椭圆
的一条弦 的中点，点 在直线 上，则椭圆的离心率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
3．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆 中，以点 为中点的弦所在的
直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2的直线 与椭圆 交
于 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，若 的斜率为 ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线 与双曲线 交
于 两点，点 是弦 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
6．（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线 与双曲线
分别交于 两点，若线段 的中点横坐标是 ，则该双曲线的离
心率是（ ）
A． B． C．2 D．
7．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线 交于A，B两点，线段AB的
中点为点 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆 的右焦点为 ，离心率
为 ，过点 的直线 交椭圆于 两点，若 的中点为 ，则直线 的斜率为
．
9．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆 内有一点 ，经
学科网（北京）股份有限公司过点 的直线 与圆 交于 两点，当弦 恰被点 平分时，直线 的方程为 .
10．（2024高二·全国） 与 的左支交于 两点，直线 过 及
中点，则 在 轴上截距范围为 ．
11．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）过点 的直线l与双曲线 交于A、
B两点，若M恰好是线段AB的中点，则直线l的斜率为 ．
三、解答题
12．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆 的离心率 ，椭圆
上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线 过点 ，且与椭圆相交于不同的
两点 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段 中点的纵坐标 ，求直线 的方程.
13．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线E： 的左、右焦
点分别为 ， ，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，
.
(1)求E的方程；
(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.
学科网（北京）股份有限公司14．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在
抛物线 上，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且点 为线段 的中点，求直线 的方程．
学科网（北京）股份有限公司
