文档内容
专题 02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：求直线方程......................................................................2
题型二：求离心率..........................................................................6
题型三：求弦中点的轨迹方程.....................................................11
题型四：求曲线方程....................................................................17
题型五：处理存在性问题.............................................................21
题型六：确定参数的取值范围.....................................................25
题型七：定值问题........................................................................31
三、专项训练.....................................................................................35
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后
根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
x +x y +y
中点M(x ,y ) ， x 0 = 1 2 2 ， y 0 = 1 2 2
0 0
2、点差法
x y
2 2
设直线和曲线的两个交点 ， ，代入椭圆方程，得 1 + 1 =1；
A(x
1
,y
1
) B(x
2
,y
2
) a2 b2x y
2 2
2 + 2 =1；
a2 b2
x
2
−x
2
y
2
−y
2 (x +x )(x −x ) (y +y )(y −y )
将两式相减，可得 1 2 + 1 2 =0； 1 2 1 2 =− 1 2 1 2 ；
a2 b2 a2 b2
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
最后整理得：1=− 1 2 1 2 1=−k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1= 1 2 1 2 1=k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
设直线和曲线的两个交点A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，代入抛物线方程，得 y 1 2 =2px 1；
y =2px
2 2；
2
y −y 2p
1 2
将两式相减，可得 ；整理得： =
(y −y )(y +y )=2p(x −x ) x −x y +y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两
点， 为坐标原点，以 ， 为邻边作平行四边形 ，点 恰好在 上．若线段
的中点 在直线 上，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，利用点差法得到 ，根据平行四边形的性质及点 在椭圆上得到
，求出k和点M的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】设 ， ， ，
则 ，两式相减，得 ，故 ，即 ①．
又四边形 为平行四边形， 为线段 的中点，所以 为线段 的中点，
所以 ，又P在椭圆 上，
所以 ，即 ②．
由①②，得 ，故直线 的方程为 ，
即 ．
故选：B．
2．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆 （ ，
， ）被直线方程 截得的弦的中点横坐标为 ，则椭圆的标准方程
为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解.
【详解】设直线 与椭圆相交于 两点，弦 的中点坐标是
，则 ，
直线 的斜率 .
由 ，得 ，得 ，所以 ，
即 ， ，
， ， ，
所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
故选：B.
3．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为 ，其右焦点为
，过点 的直线交椭圆与 ， 两点．若 的中点坐标为 ，则椭圆的方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算 ，设 ， ，代入椭圆方程相减得到 ，解
得答案.
【详解】 的中点坐标为 ，则 ，
设 ， ，则 ， ，
相减得到： ，即 ， ，
又 ， ，解得 ， ，椭圆的方程为 .
故选：C.
4．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线 与双曲线 交于 、 两点，若弦 的中点为 ，则直线 的方程为 .
【答案】
【分析】
利用点差法可求出直线 的斜率，利用点斜式可得出直线 的方程.
【详解】若直线 轴，则 的中点在 轴上，不合乎题意，
设点 、 ，因为若弦 的中点为 ，则 ，
因为 ，可得 ，即 ，
所以， ，
因此，直线 的方程为 ，即 .
联立 可得 ， ，
所以，直线 与双曲线 有两个交点，合乎题意，
因此，直线 的方程为 ，
故答案为： .
5．（2024高三·全国·专题练习）以 为中点的双曲线 的弦所在直线的方程
为 .
【答案】
【分析】利用点差法先求得弦所在直线的斜率，再利用点斜式即可求得直线的方程，再验
算一下与双曲线是否有两个交点可保万无一失.
【详解】设 是双曲线 的弦 的中点，且 ，
则 ，
因为 在双曲线上，所以 ，
两式相减，得 ，故 ，
所以 ，故以 中点的双曲线的弦所在的直线方程为 ，即
，联立 ，消去 ，得 ，
因为 ，
所以以 为中点的双曲线的弦所在的直线方程为 .
故答案为： .
6．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线交抛
物线 于 两点，若 为 的中点，则直线 的方程为 .
【答案】
【分析】设出 ， 的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求
出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.
【详解】设 ， ，由题意 ，
因为 ， 在抛物线上，所以 ， ，两式相减得，
，整理得， ，
即直线 的斜率 ，
直线 的中点为 ，
，
，
所以直线 的方程为 ，化简得 .
故答案为： .题型二：求离心率
1．（2023高三·全国·专题练习）设 是椭圆 上不关于坐标轴对称
的两点， 是线段 的中点， 是坐标原点，若直线 与直线 的斜率之积为 ，
则椭圆 的离心率为 .
【答案】 /
【分析】
利用点差法即可得到 ，最后利用离心率公式即可.
【详解】设点 ，则 ，
把 ， 的坐标代入椭圆方程可得: ，
两式作差可得： ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆的离心率为 ，
故答案为： .
2．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率为 的直线与椭圆 交于A，B
两点， 为线段 的中点，则椭圆的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】令 ，应用点差法及直线斜率、中点坐标得 ，即可求离心
率.【详解】令 ，则 ，可得
，
所以 ，又 为线段 的中点，且直线 斜率为 ，
所以 ，则 .
故答案为：
3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线 与椭圆 相
交于 两点，且线段 的中点在直线 上，则此椭圆的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】
联立 ，得到线段 的中点为 ，设 与 的交
点分别为 ， ，利用点差法能求出椭圆的离心率.
【详解】联立 得： ，
所以直线 与直线 的交点坐标为 ，
所以线段 的中点为 ，
设 与 的交点分别为 ， ，
所以 ， ，
则 ， ，
分别把 ， 代入到椭圆 得：，两式相减得： ，
因为直线 为： ，所以 ，
且 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：
4．（2024·福建厦门·二模）不与x轴重合的直线l过点N（ ,0）（xN≠0），双曲线C：
（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为 ．若
，则C的离心率为 ．
【答案】2
【分析】由点差法得 ，结合 得 ，代入斜率公式化简
并利用 可求得离心率.
【详解】设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
因为 是AB垂直平分线，有 ，所以 ，
即 ，化简得 ，故 .
故答案为：25．（23-24高三·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分
别为 ， ，过 作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的
中点，若 ，则双曲线的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】由 可得点P ，求得 ,由点差法得
,可求得离心率.
【详解】
如图: ,由 , ,可得点P的坐标为
，
则直线OP斜率为 ,直线AB斜率为 ，
另一方面，设 则 ,
两式相减得 ,整理得 ,
即 ，故 ．
故答案为:
6．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知F，F 分别为双曲线C:
1 2的左右焦点，过点F 且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交
1
于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为 ，若 ，
则双曲线的离心率
【答案】
【分析】根据 得 为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求
解.
【详解】设 , ，设 的中点为 ，
由于 ，故 ,因此 为直角三角形，故 ，
由于 ，所以 ，进而可得 ，故
或 ，
由 在双曲线渐近线上，所以
，
进而 ，
当 时， , ，所以 ，
当 时， , ，所以 不符合题意，舍去，
综上：故离心率为 ，
故答案为：题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2024高三下·全国·专题练习）求证：椭圆 中斜率为 的平行弦的中点轨迹必
过椭圆中心.
【答案】证明见解析.
【分析】根据点差法可求出平行弦的中点的轨迹方程为 ，显然
直线经过椭圆中心原点.
【详解】设斜率为1的直线与椭圆交于点 两点， .
中点坐标为 ，所以 ， ，
所以 ， ，
作差得， ，
即有 ，即 ，
因为弦的中点在椭圆内部，所以 ，
即 ，解得 ，
故平行弦的中点的轨迹方程为 ， ，过原点，所以椭圆 中斜率为1的平行弦的中点轨迹过椭圆中心.
2．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆方程为 ，过点 的直线 交椭圆于
点A、B，O是坐标原点，点P满足 ，当l绕点M旋转时，求动点P的轨
迹方程．
【答案】
【分析】
设出直线 的方程，A，B的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出
，利用直线方程表示出 ，然后利用 ，求得 的坐标，设出
P的坐标 ，然后联立方程消去参数k，求得x和y的关系式，即为P点轨迹方程．
【详解】
直线 过点 ，设其斜率为k，则 的方程为
记 、
，化简得， ，
所以 ， ，
于是
设点P的坐标为 则 ，消去参数k得 ③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点 ，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为
3．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线 上一动点 到两定点 ， 的距离
之和为 ，过点 的直线 与曲线 相交于点 ， ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动弦 满足： ，求点 的轨迹方程；【答案】(1)
(2) ；
【分析】(1)根据椭圆的定义，可以直接写出动点P的轨迹方程 ；
(2)由条件可知M是线段AB的中点，按照圆锥曲线中点弦的思路，运用点差法即可求解.
【详解】（1）因为动点 到两定点 ， 的距离之和为 ，
所以曲线 是以 ， 为焦点的椭圆， ， ，
所以 ， ，所以曲线 的方程为 ；
（2）因为 ，所以 为 中点，设 ，
当 的斜率存在且不为0时，将 ， 代入椭圆方程中得：
两式相减得 ，即 ，所以
，
即 ， ，整理得 ；
当 的斜率不存在或为0时，有 或 ，也满足 ；
所以点 的轨迹方程是 ；
综上，曲线 的方程为 ，点 的轨迹方程是 .
4．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆 ．
(1)过椭圆的左焦点 引椭圆的割线，求截得的弦的中点 的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点 的轨迹方程；
【答案】(1) （在椭圆内部分）
(2) （在椭圆内部分）
【分析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为 、 ，设 ，进而分
和 ，结合点差法求解即可；
（2）结合（1）中(*)式，代入 ， ， 整理即可；
【详解】（1）解：设弦与椭圆两交点坐标分别为 、 ，设 ，当 时， ．
当 时， ，
两式相减得 ，即 (*)，
因为 ， ， ，
所以，代入上式并化简得 ，显然 满足方程.
所以点P的轨迹方程为 （在椭圆内部分）．
（2）解：设 ，在（1）中式子 里，
将 ， ， 代入上式并化简得点Q的轨迹方程为
（在椭圆内部分）．
所以，点 的轨迹方程 （在椭圆内部分）.
5．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）已知曲线 上一动点 到两定点 ，
的距离之和为 ，过点 的直线 与曲线 相交于点 ，
．
(1)求曲线 的方程；
(2)动弦 满足： ，求点 的轨迹方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，
（2）根据点差法和中点弦即可根据斜率关系进行求解，
【详解】（1）因为动点 到两定点 ， 的距离之和为 ，
所以曲线 是以 ， 为焦点的椭圆， ， ，
所以 ， ，所以曲线 的方程为 ；
（2）因为 ，所以 为 中点，设 ，
当 的斜率存在且不为0时，将 ， 代入椭圆方程中得：两式相减得 ，故 故得
，
所以 ，所以 ，整理得 ；
当 的斜率不存在或为0时， 或 ，出满足 ；
所以点 的轨迹方程是 ；
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上且
位于 轴的两侧， （其中 为坐标原点）.直线 在绕着定点转动的过程中，
求弦 中点 的轨迹方程.
【答案】
【分析】求出直线 过的定点，设出 三点的坐标，利用点差法求得三个坐标之间
的关系将定点坐标代入化简可得中点 的轨迹方程.
【详解】设直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，
因为点 在抛物线上，
所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
由 ，得 ，
由 ，得 ，
则 ，得 ，
所以直线 恒过定点 ，
设 ，则 ，
因为点 在抛物线上，
所以 ，
两式相减得 ，
当 时， ，即 ，
因为直线 恒过定点 ，所以 ，所以 ，所以 ，
当 ， 亦满足上式
所以所求为 .
7．（23-24高二上·全国·课前预习）已知抛物线 ，过点 作一条直线交抛物线
于 ， 两点，试求弦 的中点轨迹方程.
【答案】 .
【分析】方法1：利用点差法，设点作差，要考虑斜率不存在的情况；方法2：可设出直线
的方程，将其与抛物线方程联立，可得一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公
式，消参即可得轨迹方程，同时要考虑斜率不存在的情况.
【详解】方法1：设 ， ，弦 的中点为 ，则 ，
当直线 的斜率存在时， .
因为 两式相减，得 .
所以 ，即 ，
即 .
当直线 斜率不存在，即 轴时， 的中点为 ，适合上式，
故所求轨迹方程为 .
方法2：当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 （ ），由
得 .
所以所以 .
设 ， ， 的中点为 ，
则 ， .
所以
.
所以
消去参数 ，得 .
当直线 的斜率不存在时，即 轴时， 的中点为 ，适合上式，
故所求轨迹方程为 .
题型四：求曲线方程
1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为 ，
过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若 的中点为 ，则椭圆C的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意涉及到中点弦，采用点差法求解即可.
【详解】不妨设椭圆方程为 ，由题意得：
，
两式作差得： ，整理得： ，因为AB的中点为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：A．
2．（23-24高三上·天津西青·阶段练习）已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦
点，过 的直线 与 相交于 ， 两点，且 的中点为 ，则 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出直线 的方程，并设出双曲线 的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作
答.
【详解】直线 的方程为： ，即 ，
设双曲线 的方程为： ，由 消去y并整理得：
，
，因弦 的中点为 ，
于是得 ，即 ，而 ，解得 ，满足 ，
所以双曲线 的方程为 ，即 .
故选：C
3．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，
直线 与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设双曲线的方程为 ， ， ， ， ，运用点差法，以及中点
坐标公式和直线的斜率公式，可得 ， 的方程，结合 ， ， 的关系，解方程可得 ，
，进而得到所求双曲线的方程．
【详解】解：设双曲线的方程为 ，
由题意可得 ，①
设 ， ， ， ，
可得 ， ，
两式相减可得 ，
由题意可得 的中点坐标为 ，直线 的斜率为 ，
则 ，②
由①②解得 ， ，
所以双曲线的方程为 ．
故选：A．
4．（2024 高三下·江苏·专题练习）已知 O 为坐标原点，点 在椭圆 C：
上，直线l： 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直
线OM的斜率为 ，则C的方程为 .
【答案】
【分析】
根据点差法，结合斜率公式可得 ，进而根据椭圆经过点 ，即可求解.
【详解】
设 ，则∵ 在椭圆上，则
两式相减得 ，整理得
∴ ，即 ，则
又∵点 在椭圆C： 上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为
故答案为：
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆 与直线 交于 两
点，且线段 的中点为 ，则椭圆 的方程为 .
【答案】
【分析】 代入直线 ，求得直线斜率，然后利用点差法化简计算即可
得出结果．
【详解】 代入直线 ，可得： ， ，
所以直线方程为： .
设 ，代入椭圆方程得 ，两式相减得： ，
即 ,又 ，
所以 ，
又因为直线的斜率为 ，所以 ，解得： .
所以椭圆 的方程为 .
故答案为： .
6．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线 的焦点为 ，第一象限的 、 两
点在抛物线上，且满足 ， .若线段 中点的纵坐标为4，则抛物线
的方程为 .
【答案】
【分析】先根据焦半径公式得到 的关系，然后根据弦长公式求解出 ，结合两点间
斜率公式以及点在抛物线上求解出 的值，则抛物线方程可求.
【详解】设 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 都在第一象限，所以 ，又因为 且 ，
所以 ，所以 ，所以抛物线方程为 ，
故答案为： .
题型五：处理存在性问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 ，直线 不过原点 且不平行
于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 中点为 .
（1）若 ，点 在椭圆 上， 分别为椭圆的两个焦点，求 的取值范
围；
（2）若 过点 ，射线 与椭圆 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若
能，求出此时直线 的斜率；若不能，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）能， .
【分析】（1）求得焦点坐标，设 ，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范
围，可得所求范围；
（2）设A，B的坐标分别为 运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率
公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率.
【详解】（1）当 时，椭圆 ，椭圆的两个焦点 .
设 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以
因为 ，所以
所以 的范围是 .
（2）设A，B的坐标分别为 可得 .则 ，两式相减可得 ，即 .
又设 ，直线 ，
即直线的方程为 ，
从而 代入椭圆方程可得， .
由 与 联立得 .
若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以 ，即
，整理可得 ，解得 .
经检验满足题意，所以当 时，四边形OAPB为平行四边形.
2．（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知椭圆 ： 的左、右焦点为
， ，点 在椭圆 上，且 面积的最大值为 ，周长为6.
（1）求椭圆 的方程，并求椭圆 的离心率；
（2）已知直线 ： 与椭圆 交于不同的两点 ，若在 轴上存在点
，使得 与 中点的连线与直线 垂直，求实数 的取值范围
【答案】（1） ，椭圆的离心率 （2）
【分析】（1）利用基本量法，列方程 ，求解即可．
（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出 的中点 的坐标，根据 与 中点的连
线与直线 垂直得出 点横坐标 的表达式，利用基本不等式得出 的取值范围．
【详解】（1）由题意得 ，解之得 ， ， ，
所以椭圆 的方程为 ，
椭圆的离心率 ；（2）由 得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以线段 中点的坐标为 ，
则 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时上式取得等号，
此时 取得最小值 ，
因为 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线 .
(1)若离心率为 ，求b的值， 的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若 ，是否存在被点 平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存
在，请说明理由．
【答案】(1) ，顶点坐标 ，渐近线 ；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】(1)根据离心率和a、b、c的关系即可求出b，根据双曲线的性质可求其顶点坐标
和渐近线方程；
(2)假设存在被M平分的弦，利用点差法求出弦的斜率和方程，将弦的方程代入双曲线方程
判断是否有两个解即可．
【详解】（1） ，
a＝1，故双曲线顶点为 ，渐近线方程为 ；
（2）当 时，双曲线为 ，假设双曲线存在被点 平分的弦，设弦的两个端点为 ， ，
则 ， ，
∵A、B在双曲线上，∴ ，
①－②得： ，
则 ，
∴弦AB所在直线方程为： ，
代入双曲线方程得 ，
∵ ，故AB与双曲线无交点，假设不成立．
故不存在被点 平分的弦．
4．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线M与椭圆 有相同的焦
点，且M与圆 相切．
(1)求M的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为 ？若存在，求l
的斜率；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，2
【分析】（1）根据题意得出双曲线方程后求解；
（2）中点弦问题，可用点差法，化简后得到斜率，然后代回检验.
【详解】（1）因为椭圆 的焦点坐标为
所以可设M的方程为 ．
因为M与圆 相切，所以 ，
则 ，故M的虚轴长 ．
（2）由（1）知，M的方程为 ．设A，B两点的坐标分别为 ， ，则
两式相减得 ，
假设存在直线l满足题意．则 所以 ，
因此l的方程为 ，代入M的方程，整理得 ， ，l与M相
交，
故存在直线l满足题意，且l的斜率为2．
题型六：确定参数的取值范围
1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）设圆 与两圆 中的
一个内切，另一个外切．
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)已知直线 与轨迹 交于不同的两点 ，且线段 的中点在圆
上，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）联立方程结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）圆 的圆心为 ，半径为1，圆 的
圆心为 ，半径为1，
设圆 的半径为 ，
若圆 与圆 内切，与圆 外切，则 ，
可得 ；
若圆 与圆 内切，与圆 外切，则 ，
可得 ；
综上所述： ，可知：圆心 的轨迹 是以 、 为焦点的双曲线，且 ，
可得 ，所以圆心 的轨迹 的方程 .
（2）联立方程 ，消去y得 ，
则 ，可知直线与双曲线相交，
设 ，线段 的中点为 ，
可得 ，即 ，
且 在圆 上，则 ，解得 ，
所以实数 的值为 .
2．（23-24高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆 ：
内切，且与圆 ： 外切，记动圆P的圆心轨迹为
E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)若直线l： 与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段
MN的垂直平分线过定点 ，求k的取值范围．
【答案】(1) ;
(2) 或 .
【分析】（1）由圆的内切，外切位置关系可得 ， ，即，由椭圆的定义，分析即得解；
（2）联立直线与椭圆，结合韦达定理求解弦中点坐标，用斜率表示直线的垂直关系可得
，代入 ，求解即可.
【详解】（1）由题意，圆 的标准方程为： ，圆心 ，
圆 的标准方程为 ，圆心 ，
不妨设动圆P的半径为 ，
动圆P和圆 内切，故 ；动圆P和圆 外切，故 ，
即 ，又 ，
故动圆P的圆心轨迹是以 为焦点的椭圆， ，
即轨迹E的方程是： .
（2）由题意，联立直线与椭圆：
，可得 ，
不妨设 ，则 ，
即 ，
，
线段MN的中点横坐标 ，纵坐标
，
线段MN的垂直平分线过定点 ，故 ，
即 ，代入 可得，
，即
即 ，解得 或 .
3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线 与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线
过点M，且与直线l垂直.记直线 与y轴的交点为N，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 后可得椭圆的方程.
（2）联立直线 的方程和椭圆方程，消去 后利用韦达定理可用 表示 ，利用换元法
和二次函数的性质可求 的取值范围.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ， .
故椭圆C的标准方程为 .
（2）设 ， ， .
联立 ，整理得 ，
则 ，解得 ，
从而 ， .
因为M是线段PQ的中点，所以 ，
则 ，故 .
直线 的方程为 ，即 .令 ，得 ，则 ，
所以 .
设 ，则 ，
故 .
因为 ，所以 ，所以 .
4．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点
为 ．
（ ）求双曲线 的方程；
（ ）若直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，且线段 的垂
直平分线过点 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【详解】试题分析：（1）由双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 求出 和 ,进而
根据 求得 ,则双曲线方程可得；（2）把直线方程与双曲线方程联立，消去 ，
利用判别式大于 求得 和 的不等式关系，设 的中点为
，根据韦达定理表示出 和 ，根据 ，可知 的斜率为 ，进而求得
和 的关系，最后综合可求得 的范围.
试题解析：（ ）设双曲线方程为 ．
由已知得 ， ， ，
∴ ．
故双曲线 的方程为 ．
（ ）联立 ，整理得 ．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴ ，
可得 ．（ ）
设 、 ， 的中点为 ．
则 ， ， ．
由题意， ，∴ ．
整理得 ．（ ）
将（ ）代入（ ），得 ，
∴ 或 ．
又 ，即 ．
∴ 的取值范围是 ．
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 轴上，还
是在 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程
或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于 、
、 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
题型七：定值问题
1．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆 的一个顶点为
，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在实数m，使直线 与椭圆有两个不同的交点M、N，并使
，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程；
（2）首先求线段 的中垂线方程，根据点 在中垂线上，求 ，并判断是否满足 .
【详解】（1）椭圆 的一个顶点为 得
椭圆上任一点到两个焦点的距离之和 得 即
所以椭圆的方程为
（2）设直线l与椭圆C两个不同的交点
∵
所以，点A在线段 的中垂线 ，下面求 的方程
联立方程 去y，可得
由 ，解得
设 的中点为 ，有
则 的方程为 即
由于点A在直线 的中垂线 上，解得
又∵
所以不存在实数m满足题意．
2．（23-24高二上·辽宁盘锦·期中）已知椭圆 的焦距为4，且离心
率为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线 与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点P在圆
上，求m的值．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)由题列出关于a、b、c的方程组即可求椭圆方程；
(2)联立直线方程和椭圆方程，根据根与系数的关系求得P的坐标，代入圆的方程即可求得
m.
【详解】（1）由题意，得 ，解得 ，所以椭圆C的方程为 ．
（2）设点M，N的坐标分别为 ， ，线段MN的中点为 ，
由 消y，得 ， ，解得
．
所以 ， ，所以 ， ，
因为点 在圆 上，所以 ，解得 ，满足
．
∴ ．
3．（2024·云南·模拟预测）设圆 与两圆 中的一个内
切，另一个外切.
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)已知直线 与轨迹 交于不同的两点 ，且线段 的中点在圆
上，求实数 的值.
【答案】(1) ；
(2)7.
【分析】
（1）根据给定信息，结合两圆内切、外切的定义列式求出轨迹 即可得解.
（2）联立直线与轨迹 的方程，并求出线段 的中点坐标即可求解.
【详解】（1）圆 的圆心为 ，半径为1，
圆 的圆心为 ，半径为1，设圆 的半径为 ，
若圆 与圆 内切，与圆 外切，则 ，得 ；
若圆 与圆 内切，与圆 外切，则 ，得 ，
因此 ，则圆心 的轨迹 是以 为焦点的双曲线，
且实半轴长 ，半焦距 ，虚半轴长 ，
所以圆心 的轨迹 的方程为 .
（2）由 消去 得： ，
显然 ，设 ，线段 的中点
，
于是 ，即 ，
由 在圆 上，得 ，解得 ，又 ，
所以实数 的值为7.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B，B在第一象
限， .
（1）求点B的坐标；
（2）若直线 与双曲线 相交于E,F两点，且线段EF的中点坐标为
，求a的值.
【答案】（1）(4,1).（2）2
【分析】（1）根据直线 的倾斜角、 点坐标以及 ，求得 点的坐标.
（2）利用点差法列方程，解方程求得 的值.
【详解】(1)依题意 ，所以点B的坐标为(4,1).(2)设直线 与曲线 交于两点 ， 的中点为
，则有E、F既在直线上又在曲线上，则 ；
；
（1）-（2）并化简得： ，即 ，代入点(4,1)，得 ，因
为 ，可得a=2.
【点睛】本小题主要考查双曲线中的中点弦问题求解，属于基础题.
5．（2024·全国·模拟预测）已知长为 的线段 的中点为原点 ，圆 经过 两点
且与直线 相切，圆心 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 且互相垂直的直线 分别与曲线 交于点 和点 ，且
，四边形 的面积为 ，求实数 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接写出圆心 符合的等量关系式，进而得到曲线 的方程；
（2）先用点差法求出 方程，再联立曲线 ，用弦长公式求 ，根据垂直，同理可求
，再表示面积即可求出实数 的值.
【详解】（1）由题意知圆心 在线段 的垂直平分线上，则 ,设
，圆 的半径为 ，
则 ，
又圆 与直线 相切，故 ，
于是 ，化简得 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）设 ，根据 可得 为 的中点，
则 ，得 ，即 ，所以直线 .
联立方程，得 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 .
设 ，因为 互相垂直，易知直线 ，
联立方程，得 ，
得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 .
则四边形 的面积为
.
令 ，
化简得 ，
解得 （舍）或 ，符合 ，所以 .
三、专项训练
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆 的右焦点为 ，
过点 的直线交椭圆 于 两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】点差法得到 ，从而得到 ，结合 ，
求出 ，得到椭圆方程.
【详解】由题意，设 ，代入椭圆方程 ，
可得 两式相减可 ，
变形可得 ，
又过点 的直线交椭圆 于 两点，且 的中点 为 ，
所以 ，
代入上式可得， ，又 ，
解得 ，所以椭圆 的方程为 .
故选：C
2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆 ， 是椭圆
的一条弦 的中点，点 在直线 上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出直线 的方程，与椭圆 的方程联立结合韦达定理求出
的关系计算即得.
【详解】依题意，直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，即
，由 消去 并整理得： ，
则 ，即 ，
设 ，则 ，而弦 的中点为 ，即 ，
于是 ，解得 ，此时
所以椭圆 的离心率 .
故选：C
3．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆 中，以点 为中点的弦所在的
直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先确定点 在椭圆内部，设交点为 ，代入椭圆方程做差，然后整理可得
直线斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】因为 ，故点 在椭圆内部，过点 的直线恒与椭圆有
两个交点，设交点为 ，则 ，
又 ，两式相减得 ，
整理得 ，
所以以点 为中点的弦所在的直线方程为 ，
即 .
故选：C.
4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2的直线 与椭圆 交
于 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，若 的斜率为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法求解.
【详解】设 ，则 ，两式作差可得
，
因为 ，又 ，
所以 ，所以 的离心率为 .
故选：D
5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线 与双曲线 交
于 两点，点 是弦 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用点差法可求 的关系，从而可求双曲线的离心率.
【详解】设 ，则 ，且 ，
所以 ，整理得到： ，
因为 是弦 的中点，
所以 ，所以 即
所以 ，
故选：A.
6．（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线 与双曲线
分别交于 两点，若线段 的中点横坐标是 ，则该双曲线的离
心率是（ ）A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，联立直线与双曲线方程，借助中点横坐标列式求解即得.
【详解】由线段 的中点横坐标是 ，得线段 的中点纵坐标是 ，设
，
由 消去x得 ，
，
因此 ，整理得 ，显然 成立，
所以该双曲线的离心率 .
故选：A
7．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线 交于A，B两点，线段AB的
中点为点 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ，代入双曲线方程，两式相减可得 ，由题
目条件经整理后可得答案.
【详解】设 ， ，则直线l的斜率为
代入 ，得 ，两式相减得： .
又线段AB的中点为点 ，则 .
则 .经检验满足题意.
故选：D
二、填空题8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆 的右焦点为 ，离心率
为 ，过点 的直线 交椭圆于 两点，若 的中点为 ，则直线 的斜率为
．
【答案】
【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】设 ， ，则 的中点坐标为 ，
由题意可得 ， ，
将 ， 的坐标的代入椭圆的方程： ，
作差可得 ，
所以 ，
又因为离心率 ， ，所以 ，
所以 ，即直线 的斜率为 ，
故答案为： .
9．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆 内有一点 ，经
过点 的直线 与圆 交于 两点，当弦 恰被点 平分时，直线 的方程为 .
【答案】
【分析】求得圆心坐标为 ，易知 ，利用斜率之间的关系可得 ，即
可求得直线 的方程.
【详解】易知 可表示为 ，
可知圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，如下图所示：根据题意由圆的性质可知 ，易知 ，所以 ；
由直线的点斜式方程可得直线 的方程为 ，即 .
故答案为：
10．（2024高二·全国） 与 的左支交于 两点，直线 过 及
中点，则 在 轴上截距范围为 ．
【答案】
【分析】先联立两个方程，再由韦达定理表达直线 的方程，再求截距范围即可.
【详解】设 ，
把 代入 整理得
因为直线与双曲线左支交于两点，故方程有两负根．
所以 ，所以 .
又因为 中点为 ，
所以直线 方程为 ，令 ，截距 ，
由 得 ．
故答案为：
11．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）过点 的直线l与双曲线 交于A、
B两点，若M恰好是线段AB的中点，则直线l的斜率为 ．
【答案】6
【分析】设 ，根据题意利用点差法运算求解.【详解】设 ，则 ，
由题意可知：直线l的斜率存在，则 ，
因为A、B在双曲线 上，则 ，
两式相减得 ，则 ，
即 ，整理得 ，
此时直线 ，即 ，
联立方程 ，消去y得 ，
则 ，即直线l与双曲线 有两个交点，
符合题意，所以直线l的斜率为6.
故答案为：6.
三、解答题
12．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆 的离心率 ，椭圆
上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线 过点 ，且与椭圆相交于不同的
两点 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段 中点的纵坐标 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据已知条件及椭圆的简单几何性质即可求解；
（2）根据已知条件设出直线 的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立方程组，利用韦达
定理及中点坐标公式，结合线段 中点在直线 上即可求解.
【详解】（1）由题意可知 ,解得 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
所以椭圆的方程为 .
（2）由题意可知直线斜率存在，如图所示
设 ，设 ，
消 得， ，
所以 ，解得 .
,
设线段 中点的坐标为 ，
所以
,
又因为线段 中点的纵坐标 ，
所以 ，解得 ，
所以直线方程为 ，即 .
13．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线E： 的左、右焦
点分别为 ， ，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线中 ，求得 ，再由双曲线的渐近线方程及斜
率，求出 ，即可得到E的方程；
（2）设 ， ，可表示出直线AB和直线OP的斜率，再用点差法求出直线
OP的斜率，即可得到直线OP的方程.
【详解】（1）因为在双曲线E： 中， ，
所以 ，即 .
双曲线E： 的渐近线方程为 ，
因为斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，所以 ，所以
所以E的方程为 .
（2）设 ， ，则 .
线段AB的中点P的坐标为 ，则 ，
又点A，B在双曲线E上，所以 ，
②－①得， ，
两边同时除以 并整理，得 .
又 ， ， ，所以 .
所以直线OP的方程为： .14．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在
抛物线 上，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且点 为线段 的中点，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得 ，即可求出抛物线 的方程；
（2）由弦中点坐标为 并利用点差法即可求得直线 的斜率为 ，便可得直线方程.
【详解】（1）点 在抛物线 上，
由抛物线定义可得 ，解得 ，
故抛物线 的标准方程为 ．
（2）设 ，如下图所示：
则 ，两式相减可得 ，
即 ，
又线段 的中点为 ，可得 ；
则 ，故直线 的斜率为4，
所以直线 的方程为 ，
即直线 的方程为 ．
