文档内容
1.4.2 空间向量应用（二）
【题组一 空间向量求线线角】
1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形 ，
将平行四边形 沿对角线 折起，使平面 平面 ，则直线 与 所成角余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面
所以 平面 ，又 平面
所以 ，又
所以作 轴// ,建立空间直角坐标系
如图设 ，所以
则
所以
所以
故选：C
2．（2020·湖北武汉。月考）如图，直四棱柱 的底面是菱形， ，
，M是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由题意可得
，
故选：D
3．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）如图，长方体 中， ， ， 、
、 分别是 、 、 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所以
所以异面直线 与 所成角的余弦值
故选：A
4．（2019·浙江湖州.高二期中）在正方体 中，异面直线 与 所成的角为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系，
1
设正方体ABCD﹣ABC D 中棱长为1，
1 1 1 1
则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B（1，1，1），
1
＝（﹣1，1，0）， ＝（﹣1，﹣1，﹣1），
设异面直线AC与BD所成的角为θ，
1
则cosθ＝ ＝0，∴θ＝ .
∴异面直线AC与BD所成的角为 .
1
故选：D.
5．（2020·武汉外国语学校高一月考）如图，正三棱锥 的侧棱长为3，底面边长为2，则 与
所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】设 与 的夹角为 ，则 与 的夹角也是
则 与 所成角的余弦值为故答案为：
【题组二 空间向量求线面角】
1．（2020·江苏高二）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，
PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，
A(2，0，0)，D(1，1，0)，E( ， ， )，P(1，1，3)，
设直线CE与直线PA夹角为 ，则
整理得 ；
直线CE与直线PA夹角的余弦值 ；(2)设直线PC与平面DEC夹角为 ，
设平面DEC的法向量为 ，
因为 ，
所以有
取 ，解得 ， ，
即面DEC的一个法向量为 ， ，
.
直线PC与平面DEC夹角的正弦值为 .
2．（2020·沙坪坝.重庆八中）如图，四棱台 中，底面 是菱形， 底面
，且 60°， ， 是棱 的中点.（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成线面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）因为 底面 ，所以
因为底面 是菱形，所以
又 ，所以 平面
又由四棱台 知， ， ， ， 四点共面
所以
（2）如图，设 交 于点 ，依题意， 且 ，
，且 ，
又由已知 底面 ，得 底面 ．
以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图设 交 于点 ，依题意， 且 ，所以
则 ， ， ， ，
由 ，得
因为 是棱 中点，所以
所以 ， ，
设 为平面 的法向量
则 ，取 ，得
设直线 与平面 所成线面角为 ，则
所以直线 与平面 所成线面角的正弦值
3．（2020·浙江金华.高二期末）在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ，
且平面 平面 ， ， 分别为线段 、 的中点.（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）作 于 ，连接 ，如图所示：
由平面 平面 ，且平面 平面 ，
得 平面 ，所以 .
因为 ， ， ，
所以 ， ，
， .在直角三角形 中，可得 .
又 ， 为 的中点，所以 .
（2）以 为坐标原点， ， 为 轴，平行 的直线为 轴建系，
， ， ， ， ，
∴ ， ， .
设 是平面 的一个法向量，
则 ，取 ，
设 为直线 与平面 所成角，
所以 .
4（2020·浙江瓯海.温州中学高二期末）如图，已知三棱锥 ， ， 是边长为2的正三角形， ， ，点F为线段AP的中点．
（Ⅰ）证明： 平面ABC；
（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）证明：在 中， ， ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 面ABC．
（Ⅱ）在平面ABC中，过点C作 ，以C为原点，
， ， 的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面PBC的法向量为 ，
则
取 ，则 ， ，即 ，
所以sinα＝ ，
故直线BF与平面PBC所成角的正弦值 ．
5．（2020·甘肃城关.兰大附中）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为直角
梯形， ， ∥ ， ， ， ， ， 分别为线段 ， ，
的中点．（1）证明：平面 ∥平面 ．
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接 ，设 与 相交于点 ，如图，
因为 ∥ ，且 ， ，
所以四边形 为矩形，
所以 为 的中点，又因为 为 的中点，
所以 为 的中位线，即 ,
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 分别为线段 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 ∥平面 .
（2）因为 底面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，
所以 、 、 两两互相垂直，
以 为原点， 所在的直线为 轴， 轴， 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ， ， ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
，所以 ，
令 ，可得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【题组三 空间向量求二面角】1．（2020·全国）如图，在四棱锥 中，底面 为边长为3的正方形， ，
，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）证明：如图，取 的中点 ，连 ， ，
∵ ， ，∴ 且 ．
∵ ， ，∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形，得 ．
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．（Ⅱ）如图，过点 作 ，垂足为 ，
在 中， ，
可得 ， ，
， ．
∵ ，平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ．
如图，以点 为原点，与向量 同向方向为 轴，向量 方向为 轴，向量 方向为 轴，建立空
间直角坐标系．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
设平面 的法向量为 ， ， ，
，取 ， ， ，可得 ，设平面 的法向量为 ， ， ，
，取 ， ， ，可得 ，
有 ， ， ， ，
故二面角 的余弦值为 ．
2．（2020·全国）已知三棱柱 中，侧面 是矩形， 是 的菱形，且平
面 平面 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）在三棱柱 中连接 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，所以 平面 ，
因为 是 的中点，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）由 是矩形，得 ，因为平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
因为四边形 是 的菱形，所以 ，
以点 为坐标原点，以过点 与 垂直的直线为 轴，以 所在直线为 轴，以AD所在直线为轴建
立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ，
可得 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，
又 轴 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
所以 .
由图可知，所求二面角为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 .3．（2020·全国高三其他（理））如图1，平面四边形 中， 和 均为边长为 的等
边三角形，现沿 将 折起，使 ，如图2.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，
因为 和 均为边长为 的等边三角形，
所以 ， 且 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）以 为坐标原点，以 ， ， 为 ， ， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则平面 的一个法向量为 ，
依题意，平面 的一个法向量 ，
所以 ，
由图可得 为锐二面角，
故二面角 的余弦值为 .
4．（2020·全国）如图1，等腰梯形 中， ， ， 为 的中点，对角线
平分 ，将 沿 折起到如图2中 的位置.
（1）求证： .（2）若二面角 为直二面角， 为线段 上的点，且二面角 与二面角
大小相等，求出 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）证明：连接 ， ，设 与 交于点 ，如图1所示.
∵四边形 是等腰梯形， ，
∴ ， ，
又 平分 ，
∴ ，∴ ，
结合 为 的中点， ，易证得四边形 为菱形，∴ .
如图2，∵ ， ，且 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ .（2）∵二面角 为直二面角， ，
∴ 平面 ，易知 ，
∴ 平面 ，∴二面角 为直二面角，
又∵二面角 与二面角 大小相等，
∴二面角 的平面角为 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图3所示的
空间直角坐标系 ，
如图1，在菱形 中，易知 ，∴ ， .
∴ ， ， ， ， ， ，
设 ，∴ ，∴ ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，取 ，
则 ， ，得 ，
∴ ，解得 ，满足题意，
故 .
【题组四 空间向量求距离】
1．已知正方体ABCD AB C D 的棱长为2，点E是AB 的中点，则点A到直线BE的距离是( )
1 1 1 1 1 1
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则 ＝(0,2,0)， ＝(0,1,2)．∴cosθ＝ ＝ .∴sinθ＝ .
故点A到直线BE的距离d＝| |sinθ＝2× .
故答案为B
2．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中， ， ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ，则点 为 中点，
又 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：因为 平面 ，所以 到平面 的距离就等于点 到平面 的距离.
以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ， .
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，即
令 ，则 .
所求距离为 .
3．（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，∠ABC=90°，BC=2，CC =4，点E在棱
1 1 1 1
BB 上，EB=1，D，F，G分别为CC ，BC ，AC 的中点，EF与BD相交于点H.
1 1 1 1 1 1 1 1（1）求证：BD⊥平面ABD；
1
（2）求证：平面EGF∥平面ABD；
（3）求平面EGF与平面ABD的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，
设AB=a，则A(a，0，0)，B(0，0，0)，C (0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，
1 1 1
4)，
D(0，2，2)，G .
所以 =(0，2，2)， =(-a，0，0)， =(0，2，-2).
所以 =0+0+0=0， =0+4-4=0.
所以 ，
所以BD⊥AB，BD⊥BD.
1 1
又AB∩BD=B，所以BD⊥平面ABD.
1
（2）证明：由（1）可得 =(-a，0，0)， =(0，2，-2)， =(0，1，-1)，所以=2 =2 ，所以 .
所以GF∥AB，EF∥BD.
又GF∩EF=F，AB∩BD=B，所以平面EGF∥平面ABD.
（3）解：由（1）（2）知， 是平面EGF和平面ABD的法向量.
因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d.
因为 =(0，0，3)， =(0，2，2)，
所以d= .即两平面间的距离为 .
4．（2020·全国高二课时练习）在三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，平面 平面
， ， ， 分别为 ， 的中点，如图所示.求点 到平面 的距离.
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ， .
∵ ， ，∴ ， .
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 .
又 平面 ，∴ .
如图所示，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ，则 ， ，
， ， .
∴ ， ， .
设 为平面 的一个法向量，
则 取 ，
则 ， ，∴ .
∴点 到平面 的距离 .
5．（2020·江苏常熟.高二期中）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，
， ， 是 上一点，且 .
（1）求异面直线 与 所成角余弦的大小；
（2）求点 到平面 的距离.【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）连 交 于 ，连 ，
平面 ，所以 ，
在 中， ，
又因为底面 是矩形，所以 为 中点，
，所以 ，
因为 是 上一点，且 ，
所以 为 中点， ，
所以 （或补角）就为 与 所成的角，
因为
所以 平面 ，
，
，
所以异面直线 与 所成角余弦值为 ；
（2）解1：过 做 于 ， 平面 ，
所以 ，所以 平面 ，为点 到平面 的距离，
在 中， ，
又 是 中点，所以点 到平面 的距离为 ．
解2：因为 ， 平面 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
由 ，得 ，所以 ．
又 是 中点，所以点 到平面 的距离为 ．
解法二：分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
（1）则 ， ， ，
设 ，则 ，
所以 ，
由 ，知 ，
所以 ， 为 中点，
所以 ， ，
．
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
（2） ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
所以 ，取 ，得 ，
所以 是平面 的一个法向量．所以点 到平面 的距离为 ．
6．（2020·安徽）如图，边长为 的等边 所在平面与菱形 所在平面互相垂直，
， 为线段 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为四边形 为菱形，所以 .
又因为 ，所以 ，即 为等边三角形.
因为 ， 为线段 的中点，所以 .
因为 ， 为线段 的中点，所以 .
又因为 ，所以 平面 .
又因为 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .（2）因为平面 平面 ，且 ，
所以 平面 .
以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则
所以点 到平面 的距离 .
7.（2020·福建）如图，四棱锥 中，底面ABCD为矩形，点E在PA线段上，PC 平面BDE（1）请确定点E的位置；并说明理由.
（2）若 是等边三角形， ， 平面PAD 平面ABCD，四棱锥 的体积为 ，
求点E到平面PCD的距离.
【答案】（1）点 为 的中点，理由见解析（2）
【解析】（1）连接AC交BD于M，如图，
当E为AP的中点时， 点M为AC的中点.
∴在 中， ， 平面BDE，
平面BDE. ∴ 平面BDE.
（2） 是等边三角形， ，平面 平面ABCD，
以AD中点O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过点O作AB的平行线为y轴，
以OP为z轴，建立空间直角坐标系，设 ， 四棱锥 的体积为 ，
，解得 ．
0， ， 0， ， 0， ， 0， ， 6， ．
0， ， 6， ， 0， ，
设平面PCD的法向量 ，
则 ，取 ，得 0， ，
到平面PCD的距离 ．
