文档内容
1.1 空间向量及其运算（精讲）
思维导图常见考法
考点一 概念的辨析
【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.
B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.
C.零向量：模长为0的向量.真命题.
D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：
①若向量 共线，则 所在的直线平行；
②若向量 所在的直线是异面直线，则 一定不共面；③若三个向量 两两共面，则 三个向量一定也共面；
④已知三个向量 ，则空间任意一个向量 总可以唯一表示为 .
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直
线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个
向量 两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知
道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A
2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：
①若 、 共线，则 、 所在的直线平行；
②若 、 所在的直线是异面直线，则 、 一定不共面；
③若 、 、 三向量两两共面，则 、 、 三向量一定也共面；
④已知三向量 、 、 ，则空间任意一个向量 总可以唯一表示为 .
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】①若 、 共线，则 、 所在的直线平行或重合；所以①错；
②因为向量是可以自由移动的量，因此即使 、 所在的直线是异面直线， 、 也可以共面；所以②错；
③若 、 、 三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此 、 、 三向量不一定共面；所以③错；
④若三向量 、 、 共面，若向量 不在该平面内，则向量 不能表示为 ，所以④错.
故选：A.
考法二 空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体 中，点 在 上，且 ， 为
中点，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在四面体 中，点 在 上，且 ， 为 中点，所以
，即 .
故选：B.
根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化，一定要看最后是谁来表示。
【一隅三反】
1．（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形 中， ，且 ，
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，又因为 ，
所以 .故选：C
2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体 中，M为 与 的交点，
若 , ，则与 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据空间向量的线性运算可知因为 , ，则 即 ，
故选：D.
3．（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的
中点，则 + （ - ）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 - ＝ ， ，∴ + （ - ） ．
故选C．
考点三 空间向量的共面问题
【例3】（2020·全国高二）在下列条件中，使 与 ， ， 一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，由于 ，所以不能得出 共面.对于B选项，由于 ，所以不能得出 共面.
对于C选项，由于 ，则 为共面向量，所以 共面.
对于D选项，由 得 ，而 ，所以不能得
出 共面.故选：C
与 ， ， 一定共面的充要条件是 ，
【一隅三反】
1．（2020·全国高二）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且 ，若P，
A，B，C四点共面，则实数t＝______．
【答案】
【解析】P，A，B，C四点共面，且 ， ，解得 .故答案为:
2．（2020·全国高二）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有 ，
则x＝________.
【答案】
【解析】已知 且M，A，B，C四点共面，
则 ，解得x=3．（2019·随州市第一中学高二期中）空间 四点共面，但任意三点不共线，若 为该平面
外一点且 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为空间 四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点 都有
，所以 ，解得 .故选A
4．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．
， ．求证：四点E，F，G，H共面
【答案】证明见解析
【解析】∵ ；∴ ；
EF//AB，且EF＝|k|AB；
同理HG//DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；
∴EF//HG，且EF＝HG；
∴四边形EFGH为平行四边形；
∴四点E，F，G，H共面.
考点四 空间向量的数量积
【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，
∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
（1）求AC′的长；（如图所示）
（2）求 与 的夹角的余弦值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）可得 ＝ ＝ ，
＝ ＝ +2（ ）
＝42+32+52+2（4×3×0+4× ）＝85
故AC′的长等于 ＝
（2）由（1）可知 ＝ ， ＝
故 ＝（ ） （ ）＝
＝ ＝
又 ＝ ＝ ＝ ＝5
故 与 的夹角的余弦值＝ ＝
求两个向量的夹角有两种方法：
方法一：
(1) 结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小
(2) 先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉
方法二：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小
【一隅三反】
1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A B C D 中,向量 两两
1 1 1 1
的夹角均为60°,且| |=1,| |=2,| |=3,则| |等于( )
A．5 B．6 C．4 D．8
【答案】A
【解析】在平行六面体ABCD-A B C D 中有， =
1 1 1 1
所以有 = ，于是有 == =25
所以 ，答案选A
2．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱 的底面 为矩形， ，
， ， ，则 的长为（ ）
A． B．46 C． D．32
【答案】C
【解析】由 , .
由底面 为矩形得； ， ，另； ，
,
3．（2020·四川雨城�雅安中学高二月考（理））若空间四边形 的四个面均为等边三角形，则
的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】依题意空间四边形 的四个面均为等边三角形，设棱长均为 .
而 ，
则所以 .故选：D
4．（2020·全国高二课时练习）. ⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形， A B、
▱
B C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线 与AC所成的角.
▱
【答案】60°
【解析】如图所示.
因为
故
因为AB⊥BC，BB⊥AB，BB⊥BC，
1 1
故
故
又
故 .
而 ，故可得 ，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA 与AC成60°角.
1
