文档内容
1.3 空间向量及其坐标的运算
思维导图
常见考法
考点一 坐标的运算
【例1】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设 ，向量
， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4（2）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知空间向量 ， ， 则向量 与
（ ）的夹角为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】（1）C（2）B
【解析】
， ， ，故选：C.
（2） 解得 ，
代入得 ，又向量夹角范围： 故 的夹角为 ，则 与 的夹角，
当 时为 ； 时为 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）下列向量中与向量 平行的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，又 ，所以A、C、D选项均不符合 的形式，只有
满足 .故选：B.
2．（2020·全国高二课时练习）已知向量 ， ，若 ，则k的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得 = ， 2 ，且 ，
所以 得 ，即2k+8k=2，解得k= .故选：D
3．（2020·广西北流市实验中学高一期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称
的点的坐标是( )
A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3）
C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3）
【答案】B
【解析】在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）.
故选：B.
4．（2020·全国高二课时练习）已知 .
（1）若 ，分别求λ与m的值；
（2）若 ，且与 垂直，求 .
【答案】（1）λ= ，m=3；（2） .
【解析】（1）由 ，得
，解得
（2） ，且化简得 ，解得 .
因此
考点二 坐标运算在几何中的运用
【例2】（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱
1 1 1
AA=2，M，N分别是AA，CB 的中点.
1 1 1
（1）求BM，BN的长.
（2）求△BMN的面积.
【答案】（1）BM的长为 ，BN的长为 ；（2） .
【解析】以C为原点，以CA，CB，CC 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).
1
则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N .
（1）
， .
故BM的长为 ，BN的长为 .（2）
故 .
即△BMN的面积为 .
【一隅三反】
1．（2019·天水市第一中学高二月考（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ，
， ，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， 设 ，根据题意得， , , , .
, ,
.故选：A.
2．（2020·全国高二课时练习） 在直三棱柱ABOAB O 中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA＝4，D
1 1 1 1
为AB 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标．
1 1
【答案】
【解析】
∵ ＝－( ＋ )＝ ＝－ － － 又| |＝||＝4，| |＝4，| |＝2，
∴ ＝－ － －
∵ ＝ － ＝ －( ＋ )＝ － － .
又| |＝2，| |＝4，| |＝4，
∴ ＝ － － (－4,2，－4)．
考点三 最值问题
【例3】（2020·全国高二课时练习）已知点 ， ，则 ， 两点的距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点 ， 所以
有二次函数易知，当 时，取得最小值为 的最小值为 故选：C.
由两点之间的距离公式求得AB之间的距离用t表示出来，建立关于t的函数，转化为求函数的最小值
【一隅三反】
1．（2020·江西高安中学高一期中（理））已知 ， ， ，点 在直
线 上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】设 ，则 ，
因为点 在直线 上运动，所以 ，
所以 ，即 ， ，所以 ，
所以
所以当 时， 取得最小值，此时点 的坐标为 .
故选：B
2．已知点 ， ， ， ，点 在直线 上运动，当 取得最小
值时，点 的坐标为________________．
【答案】
